- Altervista

Relatività ristretta
Approccio geometrico
Viaggio su Canopo
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Piano di volo
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Il paradosso dei gemelli
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Contrazione di Lorentz
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Viaggiatore nel tempo
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Relatività della simultaneità
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Conferma sperimentale
Piano di volo
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La stella Canopo dista dalla Terra 99 anniluce,
luce l'agenzia spaziale ci chiede di visitarla,
scattare foto e tornare indietro
E' possibile per noi affrontare questo
viaggio?
La vostra risposta sarà sicuramente: NO!
Piano di volo
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Non volete ripensare alla vostra risposta?
1) Innanzitutto è possibile viaggiare con una
velocità (rispetto al sistema Terra) molto prossima
a quella della luce, senza mai raggiungerla
2) Il valore di questa velocità non ha alcun senso
se viene preso in astratto, ma ha significato solo
quando viene riferito a un sistema di riferimento
stabilito chiaramente
3) Se ci muoviamo abbastanza velocemente
possiamo visitare qualunque stella, anche in 5
minuti di tempo del nostro razzo
Piano di volo
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Dopo un primo tratto che serve per accelerare,
lasceremo la Terra ad una velocità di
99/101=0,9802 volte quella della luce
Viaggeremo a velocità costante per tutti i 99
anni-luce fino alla stella
Faremo le nostre registrazioni e torneremo
indietro sempre alla stessa velocità, senza
interruzioni
Quindi, rallenteremo e scenderemo
tranquillamente sulla Terra
Piano di volo
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1) Rispetto al sistema Terra:
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Il viaggio di andata, prevede 101 anni terrestri
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Il viaggio di ritorno, prevede 101 anni terrestri
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Tempo totale di viaggio: 202 anni terrestri
Piano di volo
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2) Rispetto al sistema in volo libero del razzo:
La distanza spaziale rispetto all'astronave sarà
nulla
La distanza temporale, sarà diversa da zero,
perché il tempo continuerà a scorrere sul
nostro orologio
Tempo di andata rispetto all'orologio del razzo:
20 anni
Tempo di ritorno rispetto all'orologio del razzo:
20 anni
Piano di volo
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Come facciamo a saperlo?
Questo risultato lo otteniamo effettuando tre
passaggi:
a) sappiamo dalle registrazioni fatte nel sistema
Terra che l'intervallo spazio-temporale (tempo
proprio) compreso tra la partenza e l'arrivo è 20
anni, cioè:
Δτ2 = Δt2 - Δx2 =
= (101 anni)2 - (99 anni)2 =
= 10201 anni2 – 9801 anni2 =
= 400 anni2 = 20 anni
(sistema laboratorio)
Piano di volo
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b) l'intervallo spazio-temporale è invariante nel
passaggio tra due sistemi di riferimento, quindi
anche il suo valore calcolato nel sistema razzo
deve essere 20 anni:
c) nel sistema razzo, la separazione tra i due
eventi (partenza e arrivo) è tutta nella dimensione
temporale ed è zero in quella spaziale
Δτ2 = Δt2 - Δx2 =
= (distanza temporale)2 - (0)2
= (tempo del razzo)2 = (tempo proprio)2 = 20 anni
(sistema razzo)
Il paradosso dei gemelli
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L'intero nostro progetto si basa sulla relatività. Ma
essa è autocontradditoria, perché afferma che le
leggi fisiche sono identiche in ogni sistema di
riferimento in volo libero
Orologi identici, sincronizzati in prossimità della
Terra, ognuno dei quali è in un sistema in volo
libero, misurano spostamenti nel tempo molto
diversi tra loro
Noi partiamo e torniamo più vecchi di soli 20 anni,
mentre coloro che rimangono sulla Terra e i loro
discendenti invecchiano di 202 anni!
Il paradosso dei gemelli
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Non c'è giustizia!
Ma se la relatività ha ragione, non c'è niente che
vieta di considerare noi il sistema fisso e gli altri,
quelli che sfrecciano via e tornano indietro
Quindi, quando “ci” rincontreremo, saranno loro ad
essere più giovani, ma abbiamo appena affermato
il contrario, ecco la contraddizione
Allora, nessuno dei due risultati è corretto (?)
Il paradosso dei gemelli
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Facciamo un parallelismo, considerando il viaggio
di due individui che, partendo dalla stessa località,
arrivano ad un'altra località (uguale per entrambi),
seguendo traiettorie differenti.
Un viaggiatore percorre una “linea retta”, mentre
l'altro segue una “linea curva”
Il contachilometri delle due automobili segnerà,
ovviamente, valori diversi: maggiore quello che ha
seguito la traiettoria curva
Il paradosso dei gemelli
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Allora, la curva della traiettoria del razzo spiega il
perché gli astronauti sono invecchiati meno?
Nell'esempio dei due viaggiatori, però, la traiettoria
curva ha reso il viaggio più lungo,
lungo non più corto
Questa è proprio la differenza tra la
lunghezza di un cammino nella geometria
euclidea e il tempo dell'orologio da polso
nella geometria dello spazio-tempo di
Lorentz
Il paradosso dei gemelli
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Nella geometria euclidea, il cammino più breve tra
due punti è quello che non cambia direzione (una
retta)
Nello spazio-tempo, l'invecchiamento maggiore tra
due eventi è vissuto dal viaggiatore che non
cambia direzione (una retta)
Per tutti coloro che cambiano direzione, il tempo
proprio totale, cioè il tempo totale dell'orologio da
polso, cioè l'invecchiamento totale è minore
Il paradosso dei gemelli
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La distinzione tra distanza in geometria euclidea e
invecchiamento nello spazio-tempo deriva
direttamente dalla differenza tra il segno più che si
trova nell'espressione della distanza tra due punti
e il segno meno che appare nella formula che
esprime l'intervallo temporale tra due eventi
d2 = Δx2 + Δy2
distanza tra
le due località A e B
separazione verso
nord tra A e B
separazione
verso est tra A e B
Il paradosso dei gemelli
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Δτ2 = Δt2 - Δx2
tempo proprio
dalla Terra alla stella
tempo del razzo
dalla Terra alla stella
tempo della Terra
dalla Terra alla stella
spazio della Terra
dalla Terra alla stella
Il paradosso dei gemelli
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La differenza tra un segno più e un
segno meno:
meno questa è la
distinzione tra la distanza percorsa
in un viaggio nello spazio e il tempo
trascorso, l'invecchiamento,
durante un viaggio nello spaziotempo
Contrazione di Lorentz
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Osserviamo, adesso, la separazione
spaziale rispetto al sistema razzo
Gli astronauti raggiungono la stella in 20
anni, ma sappiamo che essa è distante 99
anni-luce
Ma la distanza di 99 anni-luce è relativa al
riferimento Terra, mentre i 20 anni si
riferiscono al sistema razzo
Contrazione di Lorentz
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
L'obiezione sul tempo ne implica una simile
sulla lunghezza: la distanza tra la Terra e la
stella misurata nel sistema di riferimento in
cui i due corpi sono in quiete non coincide
con quella misurata da un razzo che si
muove lungo la linea che le collega
Ogni sistema in volo libero è equivalente ad
un altro per studiare il moto: principio di
relatività
Contrazione di Lorentz
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
Alla partenza, la Terra comincia ad
allontanarsi dal razzo alla velocità di 99/101
quella della luce
Dopo 20 anni, la stella giunge dal razzo alla
stessa velocità
Questo significa che rispetto al sistema
razzo la distanza Terra-stella è solo di 20
anni-luce
Contrazione di Lorentz
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Stiamo parlando della contrazione di
Lorentz
Facciamo un esperimento mentale:
consideriamo un'asta molto lunga con
un'estremità sulla Terra e l'altra sulla stella.
Due osservatori misurano la posizione dei
due estremi nello stesso istante rispetto al
proprio sistema di riferimento
Contrazione di Lorentz
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L'osservatore che si allontana registra una
lunghezza dell'asta, cioè una distanza Terrastella minore rispetto a quella registrata
dall'osservatore per il quale l'asta è ferma
Il fattore per il quale l'asta risulta contratta
nel sistema razzo è esattamente uguale al
rapporto tra il tempo del razzo e il tempo
della Terra per il viaggio di andata:
(20 anni)/(101 anni)
Contrazione di Lorentz
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Quindi, l'osservatore del razzo misura una
distanza Terra-stella pari a:
(99 anni-luce)(20/101) = 19,6 anni-luce
poco meno di 20 anni-luce
Viaggiatore nel tempo
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Finora abbiamo discusso di noi come
viaggiatori dello spazio
Ma siamo anche viaggiatori nel tempo
Il tempo e lo spazio non sono molto diversi,
a questo riguardo.
Proprio come possiamo percorrere una
distanza lunga a piacere (rispetto al sistema
Terra) in un tempo (rispetto al razzo) breve
quanto vogliamo, allo stesso modo
possiamo spostarci in avanti nel futuro della
Terra
Viaggiatore nel tempo
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Se il viaggio di andata e ritorno dalla Terra alla
stella lo facessimo alla velocità di 9999/10001
della luce,
luce il tempo del viaggio sarebbe appena
di 3,96 anni nel razzo e 198 anni per la Terra
Quindi, dieci viaggi di andata e ritorno dello
stesso tipo ci farebbero invecchiare di 39,6 anni
e ci riporterebbero sulla Terra in un tempo
(della Terra) di circa 2000 anni nel futuro!
E allora, perché non andare ancora più veloci,
e visitare un futuro ancora più remoto?
Viaggiatore nel tempo
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Purtroppo non potremmo tornare a riferire
quello che abbiamo visto, nel nostro secolo
C'è una differenza tra spostarsi nello spazio e
viaggiare nel tempo
Possiamo tranquillamente rimanere nello
stesso posto, quindi, essere fermi rispetto a
quel sistema di riferimento
Però, per quanto riguarda lo spostamento nel
tempo, non abbiamo la stessa scelta, per due
motivi
Viaggiatore nel tempo
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
1) Anche se siamo fermi rispetto alla Terra, ci
muoviamo inevitabilmente in avanti nel tempo
2) Il tempo procede in una sola direzione; non è
possibile andare indietro nel tempo: esso non si
inverte.
Possiamo comprare il biglietto di andata e
ritorno verso la stella, ma il viaggio per il
quarantesimo secolo è di sola andata
Relatività della simultaneità
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In base al principio di relatività, tutti i sistemi di
riferimento in volo libero sono equivalenti
Gli osservatori solidali con il razzo hanno
l'impressione di essere fermi “in quiete” ed è
l'orologio sulla Terra a sfrecciare via ad
altissima velocità
Quindi, sono gli orologi sulla Terra ad essere
“in movimento”
Relatività della simultaneità
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In definitiva, il tempo di andata, quando è
misurato dall'orologio (sulla Terra) “in
movimento” deve essere minore del tempo
misurato dall'orologio (sul razzo) “in quiete”
Analogamente, il tempo di ritorno
Se la relatività è consistente, questo
ragionamento è accettabile (?)
Riassumiamo: andata, ritorno...ma
forse
ritorno
abbiamo dimenticato qualcosa...
Relatività della simultaneità
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...l'inversione di marcia!
Tutti stiamo pensando che esista un unico
sistema di riferimento del razzo
E' vero che il veicolo è uno solo e che è un solo
orologio che percorre il viaggio di andata e
ritorno
Ma questo veicolo “gira attorno”,
attorno” cioè inverte il
verso del proprio moto, e questo cambia tutto
Relatività della simultaneità
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Consideriamo due razzi che viaggiano a
velocità costante, uno si allontana e l'altro torna
indietro
Ciascuno di essi è effettivamente un sistema di
riferimento del razzo e ognuno di essi ha (lungo
il precorso) la propria successione di orologi
sincronizzati con il proprio
Si può immaginare, che arrivati sulla stella un
osservatore salti sul razzo che torna indietro
portando con sé l'orologio che misura gli anni
Relatività della simultaneità
Relatività della simultaneità
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
Quando l'osservatore arriva sulla stella sono
trascorsi 20 anni del tempo del razzo che si
allontana e questo è anche il tempo registrato
da tutti gli orologi sincronizzati, posti in quel
sistema di riferimento
Anche l'orologio (sincronizzato con lo stesso
sistema) di un osservatore che si trova nella
stazione posta accanto alla Terra, registrerà 20
anni
Qual è il tempo letto dallo stesso osservatore
sull'orologio posto sulla Terra che gli passa
accanto?
Relatività della simultaneità
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Egli legge un tempo minore dello stesso
fattore rispetto al quale gli orologi del razzo
anticipano in base agli osservatori sulla
Terra, e cioè 20/101
Quindi per l'osservatore del razzo che si
allontana, l'orologio della Terra deve
segnare 20/101 volte 20 anni, cioè:
(20/101)20 = 3,96 anni
Relatività della simultaneità
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Nello stesso istante in cui il razzo arriva
sulla stella, in base alle misure effettuate in
questo sistema di riferimento che si
allontana, l'orologio sulla Terra segnerà 3,96
anni
Analogamente, nello stesso istante in cui il
razzo arriva sulla stella, in base alle misure
effettuate nel sistema di riferimento della
Terra, l'orologio su essa segnerà 101 anni
Relatività della simultaneità
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La conclusione è che: osservatori che si
trovano in diversi sistemi di riferimento in
moto relativo tra loro, non concordano su
quali eventi accadono nello stesso istante
quando questi avvengono in punti molto
distanti tra loro lungo la direzione del moto
relativo (relatività della simultaneità)
Relatività della simultaneità
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
Prendiamo in considerazione il razzo che
torna indietro
Quale sarà il tempo della Terra misurato
dall'orologio sincronizzato con il sistema del
razzo quando esso inizia il viaggio di
ritorno?
Relatività della simultaneità
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Riassumiamo:
1) l'orologio del razzo che torna indietro
segna 40 anni quando arriva sulla Terra
2) l'orologio sulla Terra, nello stesso
momento, segna 202 anni
N.B. Entrambi questi valori vengono ottenuti
nello stesso luogo, Δx = 0
3) durante il viaggio di ritorno, l'orologio
sulla Terra registra un intervallo di tempo
che è minore di quello misurato dall'orologio
del razzo dello stesso fattore (20/101)20
Relatività della simultaneità
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
4) tale intervallo è, secondo gli osservatori
posti nel razzo che torna indietro, di 3,96
anni
Quindi, nel momento della “virata” gli
osservatori di questo sistema di riferimento
vedranno l'orologio della Terra che misura:
202 – 3,96 = 198,04 anni

In definitiva, abbiamo fatto le seguenti due
affermazioni:
Relatività della simultaneità
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
A) L'osservatore del razzo, nel momento
dell'inversione di marcia, vede l'orologio
della Terra che segna 3,96 anni rispetto al
sistema di riferimento che si allontana
B) Lo stesso osservatore, nel momento
dell'inversione di marcia, vede lo stesso
orologio della Terra che segna 198.04 anni
rispetto al sistema di riferimento che si
avvicina
Qual è la verità?
Relatività della simultaneità
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Hanno ragione entrambi!
Le due osservazione avvengono in due
sistemi di riferimento diversi ed entrambi
questi sistemi (compreso quello della Terra),
hanno il loro reticolo di orologi sincronizzati
Il cosiddetto “paradosso dei gemelli” viene
risolto soltanto considerando che, tra la
lettura dell'orologio sulla Terra, effettuata
durante la virata, dal razzo che si allontana
e la lettura dello stesso orologio, effettuata
durante la virata, dal razzo che si avvicina,
c'è una differenza di 198,04 anni
Relatività della simultaneità
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Questo “salto” non viene registrato da
nessun orologio, ma è il risultato del fatto
che il viaggiatore, una volta giunto sulla
stella, cambia sistema di riferimento ed esso
è l'unico che cambia davvero sistema
di riferimento!

Quindi, non esiste nessuna simmetria tra il
viaggiatore del razzo e l'abitante sulla Terra,
nessuna vera contraddizione tra i loro
diversi intervalli di tempo
Relatività della simultaneità