distribuzioni statistiche
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LA STATISTICA ANALIZZA IN TERMINI QUANTITATIVI I
FENOMENI COLLETTIVI, OSSIA FENOMENI IL CUI STUDIO
RICHIEDE
L’OSSERVAZIONE
DI
UN
INSIEME
DI
MANIFESTAZIONI INDIVIDUALI.
ESEMPIO
IL DIRETTORE DEL PERSONALE DI UN’INDUSTRIA HA
SOMMINISTRATO UN BREVE QUESTIONARIO A 20 ADDETTI
NEL QUALE SI CHIEDEVA:
- IL GRADO DI PESANTEZZA DEL LAVORO SVOLTO
1 = ”POCO FATICOSO”
2 = ”MODERATAMENTE FATICOSO”
3 = ”FATICOSO”
4 = ”MOLTO FATICOSO”
5 = ”ESTREMAMENTE FATICOSO”
- IL NUMERO DI FIGLI A CARICO
- LO STIPENDIO MEDIO ORARIO (in migliaia di lire)
- LA DISPONIBILITA’ DI UN’AUTO PROPRIA
0 = “NO”
1 = “SÌ”
1
MATRICE DEI DATI
Unità
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
OGNI
Grado di
pesantezza
2
2
3
4
1
3
3
1
2
3
4
2
3
5
3
5
2
4
4
1
RIGA
INDIVIDUO
CARATTERI.
Numero
di figli
0
1
3
2
0
1
0
2
2
1
2
0
2
2
2
2
1
0
3
1
DELLA
SUL
Stipendio
Medio orario
22,5
23,0
18,5
18,3
15,0
25,7
24,2
16,7
17,9
15,0
24,6
26,8
21,5
20,3
23,6
18,4
18,9
19,4
19,3
26,0
TABELLA
QUALE
CIASCUN
SONO
Disponibilità
auto propria
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
CORRISPONDE
STATI
CARATTERE
A
RILEVATI
ASSUME
UN
4
IN
CORRISPONDENZA DI OGNI INDIVIDUO UNA DETERMINATA
MODALITA’.
2
NELL’ESEMPIO L’ADDETTO E’ L’UNITA’ ELEMENTARE SU
CUI VENGONO OSSERVATI I CARATTERI SELEZIONATI.
UNITA’
STATISTICA:
UNITA’
ELEMENTARE
SU
CUI
VENGONO OSSERVATI I CARATTERI OGGETTO DI STUDIO.
UN INSIEME DI UNITA’ STATISTICHE OMOGENEE RISPETTO
A UNA O PIU’ CARATTERISTICHE COSTITUISCONO UN
COLLETTIVO STATISTICO O UNA POPOLAZIONE. PUO’
ESSERE FINITO O INFINITO.
NELLA
MATRICE
DEI
DATI
VISTA,
A
OGNI
UNITA’
CORRISPONDONO LE MODALITA’ OSSERVATE RELATIVE AI
DIVERSI
CARATTERI,
MENTRE
A
OGNI
CARATTERE
CORRISPONDE L’INSIEME DELLE MODALITA’ OSSERVATE
SUL COLLETTIVO
3
STATISTICA DESCRITTIVA
- PARTE DELLA STATISTICA RIVOLTA ALL’ANALISI DELLE
CARATTERISTICHE DI UN COLLETTIVO OSSERVATO
NELLA SUA TOTALITA’;
- FORNISCE
GLI
STRUMENTI
PER
SINTETIZZARE
ED
ESPLICITARE IN FORMA CORRETTA IL MODO IN CUI IL
FENOMENO SI E’ MANIFESTATO NEL COLLETTIVO
OSSERVATO, MA NON FORNISCE ALCUNO STRUMENTO
PER ESTENDERE I RISULTATI A UNA POPOLAZIONE PIU’
AMPIA NEL CASO IN CUI IL COLLETTIVO OSSERVATO SIA
SOLO UN CAMPIONE.
REQUISITI DI UN CARATTERE IN BASE A CUI EFFETTUARE
UN’ANALISI DEI DATI:
i)
IL CARATTERE DEVE POTER ASSUMERE MODALITA’
DIFFERENTI;
ii)
PIU’
ELEMENTI
DELLA
POPOLAZIONE
POSSONO
ASSUMERE LA STESSA MODALITA’ DEL CARATTERE;
iii)
DEVONO ESISTERE ALMENO DUE ELEMENTI DELLA
POPOLAZIONE PER CUI IL CARATTERE SI PRESENTA
CON MODALITA’ DIFFERENTI.
4
CLASSIFICAZIONE DEI CARATTERI STATISTICI
I CARATTERI CHE POSSONO COSTITUIRE OGGETTO DI
STUDIO DELLA STATISTICA SONO CLASSIFICATI SULLA
BASE DELLE CARATTERISTICHE DELLE LORO MODALITA’
UN CARATTERE SI DICE QUANTITATIVO SE ASSUME
VALORI NUMERICI (VARIABILE).
I CARATTERI QUANTITATIVI DI DISTINGUONO IN DISCRETI
E CONTINUI.
I
CARATTERI
QUANTITATIVI
DISCRETI
RIGUARDANO
UN’OPERAZIONE DI CONTEGGIO; PERTANTO LE LORO
DETERMINAZIONI
APPARTENGONO
ALL’INSIEME
DEI
NUMERI NATURALI.
NELL’ESEMPIO: NUMERO DI FIGLI A CARICO
I CARATTERI QUANTITATIVI CONTINUI RIGUARDANO LA
MISURAZIONE DI UNA GRANDEZZA E POSSONO ASSUMERE
TUTTI I VALORI REALI COMPRESI ENTRO UN DATO
INTERVALLO.
NELL’ESEMPIO: STIPENDIO MEDIO ORARIO
5
UN CARATTERE SI DICE QUALITATIVO SE NON ASSUME
VALORI NUMERICI MA AMMETTE GRADI O ATTRIBUTI
DISTINTI (MUTABILE).
I CARATTERI QUALITATIVI SI DISTINGUONO IN SCONNESSI
E ORDINATI.
CARATTERE QUALITATIVO SCONNESSO: SE DATE DUE
MODALITA’ E’ POSSIBILE SOLO AFFERMARE SE QUESTE
SONO UGUALI O DIVERSE. TRA LE MODALITA’ DEL
CARATTERE NON ESISTE QUINDI UN ORDINAMENTO.
NELL’ESEMPIO: DISPONIBILITA’ AUTO PROPRIA
CARATTERE
QUALITATIVO
ORDINATO:
SE
TRA
LE
MODALITA’ CHE ESSO AMMETTE E’ POSSIBILE STABILIRE
UNA RELAZIONE D’ORDINE.
SE E’ POSSIBILE INDIVIDUARE IL GRADO PIU’ BASSO E PIU’
ALTO DELLA GRADUATORIA, IL CARATTERE E’ DETTO
ORDINATO
RETTILINEO;
SE
GLI
ESTREMI
DELL’ORDINAMENTO SONO ARBITRARI IL CARATTERE E’
DETTO ORDINATO CICLICO (ES. MESE DI NASCITA).
NELL’ESEMPIO: GRADO DI PESANTEZZA DEL LAVORO
SVOLTO (ORDINATO RETTILINEO).
6
CARATTERE TRASFERIBILE
UN CARATTERE E’ DETTO TRASFERIBILE SE HA SENSO
IMMAGINARE CHE UN’UNITA’ STATISTICA POSSA CEDERE
TUTTO O PARTE DEL CARATTERE POSSEDUTO A UN’ALTRA
UNITA’ STATISTICA.
ES. DI CARATTERE TRASFERIBILE: REDDITO
ES. DI CARATTERE NON TRASFERIBILE: ETA’
7
SERIE STORICA
SERIE
STORICA
RESIDENTE
IN
DELL’AMMONTARE
ITALIA
ALLE
DELLA
DATE
DEI
POPOLAZIONE
CENSIMENTI
1901 – 1991 (FONTE: ISTAT)
ANNO DI
POPOLAZIONE
CENSIMENTO (IN MILIONI)
1901
33,78
1911
36,92
1921
37,86
1931
41,04
1936
42,40
1951
47,52
1961
50,62
1971
54,14
1981
56,56
1991
56,41
UNA SERIE STORICA E’ UN INSIEME DI OSSERVAZIONI SU
UN CARATTERE QUANTITATIVO ORDINATE NEL TEMPO,
SOLITAMENTE
EQUISPAZIATI,
MISURATE
AD
AD
ISTANTI
ESEMPIO
TRIMESTRALMENTE, ANNUALMENTE, ECC.
8
DI
TEMPO
MENSILMENTE,
SERIE TERRITORIALE
POPOLAZIONE RESIDENTE NELLA REGIONE EMILIA-ROMAGNA PER
PROVINCIA DI RESIDENZA AL 31/12/2000
FONTE: REGIONE EMILIA-ROMAGNA
Provincia di residenza
PIACENZA
PARMA
REGGIO EMILIA
MODENA
BOLOGNA
FERRARA
RAVENNA
FORLI'-CESENA
RIMINI
TOTALE
267.164
399.990
455.998
632.625
921.972
347.558
352.236
356.629
274.669
EMILIA-ROMAGNA
4.008.841
UNA SERIE TERRITORIALE E’ UN INSIEME DI DATI
OSSERVATI PER n ZONE GEOGRAFICHE DIVERSE.
L’UNITA’ STATISTICA E’ LA ZONA GEOGRAFICA.
9
DISTRIBUZIONE UNITARIA SEMPLICE DI UN CARATTERE
(PROTOCOLLO ELEMENTARE)
ELENCAZIONE DELLE MODALITA’ OSSERVATE, UNITA’ PER
UNITA’, NEL COLLETTIVO PRESO IN ESAME.
X = CARATTERE OSSERVATO
(QUANTITATIVO O QUALITATIVO)
n = CARDINALITA’ DEL COLLETTIVO PRESO IN ESAME
i=
INDICE CHE IDENTIFICA LA GENERICA UNITA’
STATISTICA
10
x1 = VALORE O ATTRIBUTO DEL CARATTERE X RELATIVO
ALLA 1° UNITÀ STATISTICA RILEVATA
x2 = VALORE O ATTRIBUTO DEL CARATTERE X RELATIVO
ALLA 2° UNITÀ STATISTICA RILEVATA
..........
xi = VALORE O ATTRIBUTO DEL CARATTERE X RELATIVO
ALLA i-ESIMA UNITÀ STATISTICA RILEVATA
..........
xn = VALORE O ATTRIBUTO DEL CARATTERE X RELATIVO
ALLA n-ESIMA UNITÀ STATISTICA RILEVATA
LA SEQUENZA (NON ORDINATA) {x1, x2, ...., xi, ..., xn} DEI
VALORI O ATTRIBUTI DEL CARATTERE X OSSERVATI PER
LE
n UNITÀ STATISTICHE È DETTA DISTRIBUZIONE
UNITARIA SEMPLICE.
IN SINTESI: {xi; i=1,...,n}
11
PRIMA SINTESI DEI DATI:
DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA SEMPLICE
RIASSUME
LE
INFORMAZIONI
CONTENUTE
PROTOCOLLO ELEMENTARE
Grado di
pesantezza
1
2
3
4
5
Totale
Nj
Stipendio
medio orario
15 |- 19
19 |- 23
23 |- 27
Totale
Nj
3
5
6
4
2
20
8
5
7
20
12
Numero di
figli
0
1
2
3
Totale
nj
Disponibilità
auto propria
0
1
Totale
nj
5
5
8
2
20
8
12
20
NEL
FREQUENZA
ASSOLUTA
DI
UNA
MODALITA’
DI
UN
CARATTERE: NUMERO DI VOLTE CHE QUESTA VIENE
OSSERVATA NEL COLLETTIVO
LA
DISTRIBUZIONE
DI
FREQUENZA
ASSOCIA
ALLE
MODALITA’ CHE PUO’ ASSUMERE UN CARATTERE X,
QUALITATIVO O QUANTITATIVO, LE CORRISPONDENTI
FREQUENZE ASSOLUTE.
LE n UNITA’ STATISTICHE SONO RAGGRUPPATE IN k CLASSI
( k < n ) FORMATE SULLA BASE DELLE MODALITA’ DEL
CARATTERE.
OGNI CLASSE E’ DEFINITA DA UNA COPPIA DI VALORI: LA
MODALITA’ DEL CARATTERE E LA CORRISPONDENTE
FREQUENZA.
A SECONDA DEL TIPO DI CARATTERE POSSONO ESSERE
ASSOCIATE
ALLE
FREQUENZE
SINGOLE
MODALITA’,
NUMERI NATURALI, INTERVALLI CONTINUI DI VALORI.
13
RAPPRESENTAZIONE GENERALE DI UNA DISTRIBUZIONE DI
FREQUENZA
X
A1
A2
...
Aj
...
Ak
totale
IN SINTESI
nJ
n1
n2
...
nJ
...
nk
n
A j , nj; j 1,..., k
NELLA SCELTA DELLE MODALITA’ CLASSIFICATORIE SI
TENGA PRESENTE CHE:
1) OGNI UNITA’ STATISTICA DEVE POTER ESSERE SEMPRE
CLASSIFICATA (ESAUSTIVITA’);
2) OGNI UNITA’ STATISTICA NON PUO’ APPARTENERE
CONTEMPORANEAMENTE
A
(DISGIUNTIVITA’)
k
DA 1) E 2) SEGUE CHE
nj n
j1
14
DUE
CLASSI
DISTINTE
DISTRIBUZIONE
DI
FREQUENZA
PER
INTERVALLI
(CARATTERE QUANTITATIVO)
VARIABILI DISCRETE: LE MODALITA’ POSSONO ESSERE
RAGGRUPPATE IN INTERVALLI
VARIABILI CONTINUE: LE MODALITA’ DEVONO ESSERE
RAGGRUPPATE IN INTERVALLI
VENGONO PERSI I VALORI PUNTUALI DEL CARATTERE PER
LE SINGOLE UNITA’ STATISTICHE
INDICAZIONI GENERALI PER FISSARE L’AMPIEZZA DEGLI
INTERVALLI:
i)
SI
COSTRUISCONO
COSTANTE
INTERVALLI
QUANDO
SI
STUDIA
DI
AMPIEZZA
LA
LEGGE
DISTRIBUTIVA DEL FENOMENO (E’ COSI’ POSSIBILE
CONFRONTARE LE FREQUENZE DI CLASSI DIVERSE);
ii)
SI COSTRUISCONO INTERVALLI DI AMPIEZZA DIVERSA
QUANDO SI VOGLIONO IDENTIFICARE CON LE CLASSI
DELLE “TIPOLOGIE”
15
NOTAZIONI:
a) xj-1 |- xj :
INTERVALLO CHIUSO A SINISTRA E APERTO A
DESTRA
(IL
VALORE
xj-1 E’ COMPRESO
NELL’INTERVALLO, xj E’ ESCLUSO)
b) xj-1 -| xj :
INTERVALLO CHIUSO A DESTRA E APERTO A
SINISTRA
(IL
VALORE
xj E’ COMPRESO
NELL’INTERVALLO, xj-1 E’ ESCLUSO)
c) xj-1 |-| xj :
FORMA
USATA
DISTRIBUZIONI
DI
A
VOLTE
VARIABILI
NELLE
DISCRETE.
ENTRAMBI GLI ESTREMI SONO COMPRESI
NELL’INTERVALLO. E’ RICONDUCIBILE ALLA
FORMA a) O b).
NEI CASI a) E b) L’AMPIEZZA DELL’INTERVALLO E’:
aj = xj-1 - xj
0-2
2-4
4-8
Non esaustive
0 |-| 2
2 |-| 4
4 |-| 8
Non
mutuamente
esclusive
16
0 |- 2
2 |- 4
4 |- 8
OK
0 -| 2
2 -| 4
4 -| 8
OK
DISTRIBUZIONE
DI
FREQUENZA
RELATIVA
E
PERCENTUALE
Grado di
pesantezza
1
2
3
4
5
Totale
nj
Numero di
figli
0
1
2
3
Totale
nj
fj=nj/n pj=fj*100
3
5
6
4
2
20
0,15
0,25
0,30
0,20
0,10
1
15
25
30
20
10
100
fj=nj/n pj=fj*100
5
5
8
2
20
0,25
0,25
0,40
0,10
1,00
25
25
40
10
100
FREQUENZA RELATIVA DELLA CLASSE j-ESIMA: RAPPORTO
TRA LA FREQUENZA ASSOLUTA E IL NUMERO TOTALE DI
UNITA’ OSSERVATE. IN SIMBOLI
FREQUENZA
PERCENTUALE
fj=nj/n
DELLA
CLASSE
j-ESIMA:
FREQUENZA RELATIVA MOLTIPLICATA PER 100 (EQUIVALE
A RAPPORTARE IL TOTALE DELLE UNITA’ A 100). IN
SIMBOLI
pj=fj*100
17
RAPPRESENTAZIONE GENERALE DI UNA DISTRIBUZIONE DI
FREQUENZA RELATIVA E PERCENTUALE
DALLA
X
A1
A2
...
Aj
fj
f1=n1 / n
f2=n2 / n
...
fj=nj / n
...
Ak
Totale
...
fk=nk / n
1
DISTRIBUZIONE
DI
pj
p1 = f1 * 100
p2 = f2* 100
pj = fj* 100
pk = fk * 100
100
FREQUENZA
E’
SEMPRE
POSSIBILE RICAVARE LE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA
RELATIVA E PERCENTUALE QUALUNQUE SIA LA NATURA
DEL CARATTERE (QUANTITATIVO O QUALITATIVO). PER
TORNARE ALLE FREQUENZE ASSOLUTE E’ NECESSARIO
CONOSCERE n.
LA FREQUENZA RELATIVA DI UNA CLASSE DESCRIVE IL
PESO
DELLA
CLASSE
SUL
COMPLESSO
DELLE
OSSERVAZIONI
LE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA DI UN CARATTERE IN
DUE (O PIU’) INSIEMI DI DIVERSA NUMEROSITA’ NON SONO
FRA
LORO
CONFRONTABILI,
CORRISPONDENTI
MENTRE
DISTRIBUZIONI
RELATIVA E PERCENTUALE
18
DI
LO
SONO
LE
FREQUENZA
DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA CUMULATA
Stipendio
medio orario
nj
Nj
Fj
Pj
FREQ.
15 |- 19
19 |- 23
23 |- 27
Totale
FREQ.
FREQ. REL. FREQ. PERC.
CUMULATA CUMULATA CUMULATA
8
8
0,40
40
5
13
0,65
65
7
20
1
100
20
13 E’ LA FREQUENZA DEGLI ADDETTI CON STIPENDIO
INFERIORE A 23.
DATO UN CARATTERE X CON k MODALITA’ ORDINATE IN
SENSO CRESCENTE, SI INDICANO CON
j
Nj n1 n2 ... n j nh
h 1
LA FREQUENZA ASSOLUTA CUMULATA j = 1, ..., k;
j
Fj f1 f2 ... fj fh
h 1
LA FREQUENZA RELATIVA CUMULATA j = 1, ..., k;
j
Pj p1 p2 ... p j ph
h 1
LA FREQUENZA PERC. CUMULATA j = 1, ..., k
RELATIVE ALLA CLASSE j-ESIMA.
19
RAPPRESENTAZIONE GENERALE
X
A1
A2
...
Aj
...
Ak
Nj
N1=n1
N2= n1 + n2
...
Nj= n1 + n2 + nj
...
Nk = n
Fj
F1 = f1
F 2 = f 1 + f2
Pj
P1 = p1
P2 = p1 + p2
Fj= f1 + f2 + fj
...
Fk = 1
Pj= p1 + p2 + pj
...
Pk = 100
LA FREQUENZA CUMULATA PER UNA DATA CLASSE E’
QUINDI
OTTENUTA
CORRISPONDENTE
RELATIVE
ALLE
COME
FREQUENZA
CLASSI
SOMMA
E
DI
TUTTE
PRECEDENTI.
DELLA
QUELLE
SONO
CIOE’
ENUMERATE LE UNITA’ STATISTICHE PORTATRICI DEL
CARATTERE IN MISURA INFERIORE A UN LIVELLO VIA VIA
CRESCENTE.
LA DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA CUMULATA E’ DEFINITA
SOLO PER CARATTERI QUANTITATIVI E QUALITATIVI
ORDINATI RETTILINEI.
20
DISTRIBUZIONE DI QUANTITA’ (O DI INTENSITA’)
DISTRIBUZIONE DEL NUMERO DI ADDETTI ALLE UNITÀ LOCALI
CLASSIFICATE SECONDO IL NUMERO DEGLI ADDETTI
(CENSIMENTO GENERALE DELL’INDUSTRIA, 2 OTTOBRE 91)
Ampiezza unita locale
0-1
2-5
5-10
11-20
20-50
>50
Totale
SI
OTTIENE
COME
Addetti
1.234.600
987.456
2.567.430
765.433
345.946
245.980
6.146.845
RISULTATO
CONGIUNTO
DELL'OPERAZIONE DI CLASSIFICAZIONE DEL COLLETTIVO
RISPETTO AD UN CARATTERE E DI MISURAZIONE DI UN
CARATTERE QUANTITATIVO TRASFERIBILE ALL'INTERNO
DI CIASCUNA CLASSE.
SE IL CARATTERE RISPETTO AL QUALE SI EFFETTUA LA
CLASSIFICAZIONE NON COINCIDE CON QUELLO MISURATO
ALL'INTERNO DI OGNI CLASSE, LA DISTRIBUZIONE DI
QUANTITÀ DESCRIVE COME L'AMMONTARE GLOBALE DI
UN
CARATTERE
SI
DISTRIBUISCE
MODALITÀ DEL SECONDO CARATTERE.
21
RISPETTO
ALLE
