RIPETIZIONE e SOLUZIONE
PROBLEMA: Cap.5; 37P
Un blocco con massa m1=3.70 kg su un piano privo di attrito
inclinato di 30.0 gradi è collegato, da una corda che passa sopra una
puleggia priva di massa e di attrito, a un altro blocco, sospeso in
verticale, con massa m2=2.30 kg. Quali sono (a) il valore
dell’accelerazione di ciascun blocco, (b) la direzione
dell’accelerazione di m2 e (c) la tensione nella corda?
m1
m2
30º
http://lxmi.mi.infn.it/~camera/Informatica/esercizi/esercizi.htm
Soluzione 1:
Le due masse come sistemi di riferimento:
Su m1 agisce la forza peso m1*g e la forza normale m1*g*cos(30º) e
una certa forza F=T trasmessa dalla cordicella. Tale forza T
rappresenta la tensione della fune e viene trasmessa integralmente al
corpo m2. Scegliamo un sistema di coordinate avente l’asse x
parallelo al piano e l’asse y perpendicolare al piano, come si vede
nella figura 2. Le componenti x e y della forza peso si possono porre
uguali rispettivamente a: –m1*g*sin(30º) e -m1*g*cos(30º).
Osserviamo che la componente del peso del corpo 1 normale al piano
inclinato sia equilibrata dalla reazione vincolare. In altre parole:
Consideriamo il moto del corpo che scivola lungo il piano inclinato.
Le uniche due forze che agiscono su di esso sono la componente del
peso lungo il piano e la tensione della fune, la componente del peso
lungo la direzione perpendicolare al piano viene bilanciata dalla
reazione del piano stesso, non vi è infatti accelerazione lungo questa
direzione Vedi figura1
T
N
T
m2
m1
m1*g*cos(30º)
G1
G2= F||2
m1*g*sin(30º)= F||1
figura 1
Su m2 agiscono la forza F=T, diretta verso l’alto e il proprio peso
m2*g, diretto verso il basso. Scriviamo ora separatamente la seconda
legge della dinamica per m1 e per m2, indicando con x l’ascissa
lungo la fune e con y l’ordinata di m2, indicando con il segno
positivo le forze che tendono a spostare verso destra il sistema. Vedi
figura2.
Y
X
Y
m2
m1
X
30º
figura 2
Avremo quindi le due equazioni:
per m1:(1)
m1*a
=
G1+N+T =
-m1*g*sin(30º) + T
per m2:(2)
m2*a
= G2 + T =
m2*g - T
Ricordiamoci: Abbiamo usato due sistemi di riferimento diversi per
le due masse. Questo e’ legittimo purche’ le equazioni ottenute siano
consistenti
Da (2) otteniamo:
T = m2*g - m2*a
(3)
(3) in (1):
m1*a = -m1*g*sin(30º) + m2*g - m2*a
à m1*a + m2*a = -m1*g*sin(30º) + m2*g
à (m1 + m2)*a = -m1*g*sin(30º) + m2*g
à a =g*[ m2 -m1*sin(30º)]/[m1 + m2]
à a=9.81*[2,3-3,7*sin(30º)]/6 m/s² = 0,74 m/s²
a)
L’accelerazione e positivo, quindi il sistema si muove verso destra,
m2 scende verso basso !
b)
Per tensione risulta con equazione:
(2)T = m2*g - m2*a = (2,3*9,81 – 2,3*0,74)N=20,9N
c)
(1)T = m1*a + m1*g*sin(30º) = (3,7*0,74 + 3,7*9,81* sin(30º))N= 20,9N
Soluzione 2:
Sistema di riferimento: fune ideale (inestendibile e con massa 0)
L’accelerazione è identica per entrambe le masse.
Il bilancio delle forze dà:
Σm * a = (m1+m2)*a= F||2 - F||1 = -m2*g – m1*g sin(30°) à
a=[m2 – m1*sin(30°)]*g / (m1 + m2)
Ricordando che per l’inestendibilità della cordicella a = y’’ = x’’
(vedi figure 1 e 2) i due corpi m1 e m2 percorrendo la stessa distanza
avranno la stessa velocità e quindi lo stesso modulo in accelerazione.
(indichiamo con a il valore del modulo dell’ accelerazione, del
sistema: corda insieme con i due corpi con massa m1 e m2)
Nella fune ideale abbiamo, nel sistema di riferimento della cordicella,
due forze che “tirano” dai due lati del sistema (il sistema = due corpi
collegati da una cordicella ideale, viene visto come un “corpo
unico”). Le due forze sono:
F||2 = m2*g = forza che tira la fune verso giù/destra causato
dalla forza peso del corpo m2
e la forza
F||1 = m1*g*sin30°
= forza parallelo al piano inclinato,
causato dalla proiezione lungo la fune della forza peso del corpo m1.
I due moduli delle forze si sommano in modo che una ha un segno
positivo, l’altra un segno negativo, perché tirano il sistema
ovviamente in direzione opposte. La loro forza risultante è, secondo
la seconda legge della dinamica, la forza che accelera il sistema intera
(=corda + i due corpi). Quindi: F||2 - F||1 = Σm * a = (m1 + m2) * a
à m2*g – m1*g* sin(30°) = (m1 + m2) * a
(1)
à a = [m2*g – m1*g* sin(30°)] / (m1 + m2) = 0,74 m/s²
a)
Abbiamo definito in (1) la direzione “m2*g” positivo.
Quindi il sistema si muove verso la direzione della forza peso di m2
(giù/destra). Guardando il corpo m2 (che è in movimento) si vede,
che per lui vale:
Forza Newton = FN = m2*a = “forze che
agiscono sul corpo 2” = “Tensione nella fune e la Forza Peso di m2;
che vanno in senso opposto” = T – (G=m2*g)
Quindi: T = FN
+ G. Siccome vogliamo sapere il modulo della Tensione:
T = |FN + G| = | m2*g – m2*a | = 20,9N
c)
http://lxmi.mi.infn.it/~camera/Informatica/esercizi/esercizi.htm
