Soluzioni_FisGen_I_-_Fis_gen_-_Fis1-_Fis2___3-7

FISICA GENERALE I
1° Appello estivo A.A. 2011-2012
03.07.2012
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
 9 crediti
 10 crediti
 12 crediti
Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è situato sul piano di una slitta, assimilabile a un parallelepipedo di massa
M (vedi figura) che si sta muovendo con velocità v su un piano orizzontale liscio e senza attrito. Il punto materiale è fermo
rispetto alla slitta e quindi si muove rispetto al piano con la stessa velocità della slitta. Fra punto materiale e piano della
slitta vi è un coefficiente di attrito statico s. Ad un certo istante la slitta colpisce l’estremo di una molla orizzontale di
costante elastica k fissata ad un vincolo che fa decelerare il sistema fino a fermarlo. Determinare il massimo valore di k
affinché il punto materiale m resti fermo rispetto alla slitta durante la decelerazione.
m
Effettuare i calcoli per M = 2.8 kg, m = 0.2 kg, s = 0.6, v = 20 m/s.
M
k
v
Nell’ipotesi che m non si muova rispetto a M, la frenata produce una compressione massima della molla:
1
M  mv12  1 k x 2  x  M  m  v1
2
2
k
A cui corrisponde una decelerazione massima per il sistema M+m:
a
Fel
M m

kx

M m
k
 v1
M m
sempre affinché m resti fermo rispetto a M :
ma   s mg
k
 m
 v1   s mg
M m
2
 g
 k   s  M  m   0.26 N/m
 v1 
Esercizio n. 2 Un cilindro omogeneo di massa m1 = 2 kg e raggio R = 10 cm, in moto di
m1
pura rotazione intorno al proprio asse con velocità angolare 0= 5 rad/s, viene

C
appoggiato su una lunga e sottile tavola scabra di massa m2 = 1 kg inizialmente in quiete
R
su una superficie piana orizzontale liscia. Quando cessa lo slittamento del cilindro
m2
rispetto alla tavola si osserva che quest’ultima si muove con velocità v2 = 0.2 m/s
rispetto al piano. Determinare la velocità angolare del cilindro quando cesserà lo
slittamento rispetto alla tavola.
Per un osservatore inerziale il sistema cilindro+tavola presenta il risultante delle forze esterne e il momento risultante di tali
forze ambedue nulli, quindi si conservano costanti, per un osservatore fisso esterno, la quantità di moto:
0
m1v1  m2 v2  v1 
m2
v2  0.1 m/s ;
m1
e il momento angolare totale rispetto a qualsiasi polo fisso, in particolare a qualsiasi punto del piano:
(*)
m1 R 2
I C 0  m1v1 R 
f
2
m1 R 2
m R2
0  m1v1 R  1  f .
2
2

 f  0  2
v1
 3 rad/s
R
Al primo membro il momento angolare iniziale è solo quello rispetto a C, risultando il centro di massa del cilindro fermo,
mentre a secondo membro il momento angolare è espresso come somma di quello del centro di massa C del cilindro più
quello rispetto al centro di massa C..
Alternativamente, si conserva il momento angolare del sistema rispetto al polo C dato che , pur non essendo centro di
massa per l’intero sistema il termine aggiuntivo della 2° eq cardinale : vox pc risulta nullo in quanto la velocità del polo C e
del centro di massa sono paralleli.
Pertanto
I C  0  I C  f  m2 v 2 R essendo il secondo termine del secondo membro il momento angolare della lastra rispetto a C.
Esercizio n. 3 In una fontana ornamentale il getto d’acqua è prodotto da un tubo orizzontale di sezione S = 1 cm2 con un
gomito orientato verticalmente verso l’alto. Sapendo che l’acqua entra nel tubo alla pressione di 1.3 atm con una portata
volumetrica Q = 0.4 litri/s e che il gomito ha sezione pari a quella del tubo ed altezza trascurabile, si calcoli l’altezza
massima a cui arriva l’acqua. Si assuma che la sezione del getto d’acqua non vari con l’altezza e si assuma che il getto
verticale di acqua in aria sia il prolungamento del tubo di flusso.
h
S
Si può applicare il teorema di Bernoulli fra un punto qualsiasi del tubo orizzontale, dove p = p1 e v = v1, e il punto di
massima altezza dove p = p0 pressione atmosferica e v = 0
p1 
1 2
v1  p0  gh
2
D’altra parte v1 
h 
Q
S
quindi:
p1  p0
1 v2
p  p0
1 Q2
 0 1  1
 0 2  3. 91 m
g
2 g
g
2 S g
Esercizio n. 4 Una macchina termica reversibile opera tra due sorgenti le cui temperature differiscono di ∆T = 200 K. La
variazione di entropia per ciclo della sorgente a temperatura inferiore T1 è ∆S1 = 83.7 J/K.
a) Calcolare il lavoro compiuto per ciclo.
In una seconda configurazione il lavoro per ciclo fornito dalla prima macchina viene integralmente utilizzato dal ciclo di
una macchina frigorifera di efficienza frigorifera ɛ = 5 che preleva calore da una miscela di acqua e ghiaccio e lo cede
all’ambiente.
b) Calcolare la quantità m di ghiaccio prodotta per ciclo. Si assuma per il ghiaccio sol = 335 J/g.
Dal teorema di Carnot e di Clausius per cicli reversibili:
 REV   C  1 
T1
T T
T
L
 2 1 

T2
T2
T2
Q2
Per la macchina frigorifera:
 
Qass
L
per cui: m 

Qass
sol
Qass  L 

L
sol
 0.25 kg
 L 
Q2
T  S 2 T  S1 T  16740 J
T2
FISICA GENERALE I
A.A. 2011-2012
03.07.2012
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
 12 Crediti
 10 Crediti
Esercizio n. 1 Una piccola pallina di massa m = 40 g è sospesa mediante un filo inestensibile di lunghezza l = 0,75 m a
un punto O. Quale velocità orizzontale minima occorre imprimere alla pallina affinché essa descriva una circonferenza nel
piano verticale? Quanto vale la tensione del filo quando esso è orizzontale?
Affinché la pallina descriva una circonferenza, nel punto B più in alto l’equazione della dinamica proiettata lungo la
normale: T  mg  m
v2
l
che imponendo il valore limite T=0 comporta v B2  gl .
Detto A il punto di partenza dalla conservazione dell’energia si ha
1 2 1 2
mv A  mvB  2mgl da cui v A  5gl  6,06 m/s.
2
2
La velocità della pallina quando il filo è orizzontale vale v D2  3gl cui corrisponde una tensione del filo
TD  m
v D2
 3mg  1,18 N.
l
Esercizio n. 2 Intorno ad una puleggia cilindrica di raggio R, libera di ruotare
intorno al suo asse orizzontale, è avvolta una fune ideale con appeso ad un capo un
corpo di massa m = 5.0 kg. Una sbarra omogenea di lunghezza L = 40 cm e massa
MS, formante un angolo  = 30° rispetto all’orizzontale, è appoggiata sulla
puleggia (senza intralciare la corda) in un punto posto a distanza h = 28 cm
dall’estremo della sbarra che è incernierato in O (vedi figura). Nell’appoggio tra
sbarra e puleggia si sviluppa un attrito statico con s = 0.5. Determinare il minimo
valore della massa della sbarra MS affinché la puleggia rimanga in equilibrio
statico.
L, MS
h

R
m
Se indichiamo con fs il modulo della forza di attrito che agisce sulla puleggia a causa dell’appoggio della sbarra, la
puleggia sarà in equilibrio statico quando il momento risultante delle forze rispetto all’asse della stessa che agiscono
su di essa è nullo. E cioè quando:
RT – Rfs = 0 con T = mg essendo il sistema in equilibrio statico e quindi abbiamo: fs = mg
d’altra parte, l’equilibrio statico della sbarra impone che anche la risultante dei momenti delle forze rispetto al suo
estremo fisso O sia nulla, e cioè:
L
M S g cos  Nh con N la reazione normale determinata dall’appoggio sulla puleggia.
2
Deve essere quindi: f s  mg   s N   s
L
M S g cos
2h


2h 
 m  16.2 kg
M S  

L
cos

 s

O
Esercizio n. 3 Due corde tese, rispettivamente di lunghezza L1=52 cm e L2=48 cm, sono entrambe vincolate ai propri
estremi. La velocità delle onde trasversali nelle due corde ha lo stesso valore v. Sapendo che quando le corde sono fatte
vibrare secondo la loro oscillazione fondamentale viene prodotta un’ampiezza risultante con un battimento alla frequenza
b = 4 Hz , a) calcolare il valore della velocità v. Inoltre: b) calcolare quale dovrebbe essere la lunghezza L’2 affinché la
frequenza di battimento sia b = 6 Hz.
1  2 L1 
v
1
 1 
v 1
v
2 L1
1
 b   2   1    
2  L2 L1 
v 1
1
 
2  L' 2 L1 
 b   2  1   
 2  2 L2 
;
v  2 b

v
2
 2 
v
2 L2
L1 L2
 50 m/s
L1  L2


L'  46.2 cm
v
 L1   2 a
 L' 2  
L' 2b  59.4 cm
 v  2 b L1 
Esercizio n. 4 Un cilindro adiabatico chiuso da un pistone mobile anch’esso adiabatico, è diviso a metà da una parete
diatermica fissa. Il volume di ciascuna parte è pari a V0 ed entrambe le metà sono riempite con un gas ideale monoatomico
a pressione atmosferica e temperatura iniziale T 0. Il pistone mobile comprime il volume del gas nella parte A con una
trasformazione quasi statica fino a quando la pressione nella parte B diventa pB. Determinare, nella situazione finale di
equilibrio: 1) la variazione d’entropia del gas in B; 2) quella del gas in A; 3) il volume finale della parte A. Si eseguano i
calcoli con: V0 = 0.03 m3, T0 = 0 °C pB = 2 p0.
A
A
B
Per la parte B possiamo considerare una trasformazione isocora reversibile, per cui:
 Tf 
T
S B  ncv ln   e T f  0 2 p0  546.3 K
p0
 T0 
Tf 
pV
S B  0 0 cv ln    11.4 J/K
RT0
 T0 
perché isocora, mentre: n A  nB 
p0V0
 1.33
RT0
(1)
d’altronde trattandosi globalmente di una trasformazione adiabatica reversibile:

  - 11.4 J/K


Tf 
V 
V 
  nR ln  A    S A  nR ln  A 
Inoltre per il gas in A : S A  ncv ln 

 V0 
 V0 
 T0 
S A  S B  0

S A  S B  -
ovvero:
V A  V0 e
2 ΔS A
nR
 0.12  V0  3.7  10 3 m 3
 Tf
p 0V0
cv ln 
RT0
 T0

V 
2S A
 ln  A 
nR
 V0 
FISICA GENERALE (Vecchio Programma-10 CF)
1° Appello estivo A.A. 2011-2012
03.07.2012
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è situato sul piano di una slitta, assimilabile a un parallelepipedo di massa M
(vedi figura) che si sta muovendo con velocità v su un piano orizzontale liscio e senza attrito. Il punto materiale è fermo
rispetto alla slitta e quindi si muove rispetto al piano con la stessa velocità della slitta. Fra punto materiale e piano della
slitta vi è un coefficiente di attrito statico s. Ad un certo istante la slitta colpisce l’estremo di una molla orizzontale di
costante elastica k fissata ad un vincolo che fa decelerare il sistema fino a fermarlo. Determinare il massimo valore di k
affinché il punto materiale m resti fermo rispetto alla slitta durante la decelerazione.
m
Effettuare i calcoli per M = 2.8 kg, m = 0.2 kg, s = 0.6, v = 20 m/s.
M
v
k
Nell’ipotesi che m non si muova rispetto a M, la frenata produce una compressione massima della molla:
1
M  mv12  1 k x 2  x  M  m  v1
2
2
k
A cui corrisponde una decelerazione massima per il sistema M+m:
a
Fel
M m

kx

M m
k
 v1
M m
sempre affinché m resti fermo rispetto a M :
ma   s mg
k
 m
 v1   s mg
M m
2
 g
 k   s  M  m   0.26 N/m
 v1 
Esercizio n. 2 Una macchina termica reversibile opera tra due sorgenti le cui temperature differiscono di ∆T = 200 K. La
variazione di entropia per ciclo della sorgente a temperatura inferiore T1 è ∆S1 = 83.7 J/K.
a) Calcolare il lavoro compiuto per ciclo.
In un seconda configurazione il lavoro per ciclo fornito dalla prima macchina viene integralmente utilizzato dal ciclo di
una macchina frigorifera di efficienza  = 5 che preleva calore da una miscela di acqua e ghiaccio e lo cede all’ambiente
Calcolare b) la quantità m di ghiaccio prodotta. Si assuma per il ghiaccio sol = 335 J/g.
Per un osservatore inerziale il sistema cilindro+tavola presenta il risultante delle forze esterne e il momento risultante di tali
Dal teorema di Carnot e di Clausius per cicli reversibili:
 REV   C  1 
T1
T T
T
L
 2 1 

T2
T2
T2
Q2
Per la macchina frigorifera:
 
Qass
L
per cui: m 
 Qass  L 
Qass
sol

L
sol
 0.25 kg
 L 
Q2
T  S 2 T  S1 T  16740 J
T2
Esercizio n. 3 Nel piano orizzontale delimitato dai semiassi x>0 e y>0 è presente una
distribuzione di potenziale elettrostatico V(x,y)= V0x2-3V0y2 dove V0 è una costante.
Calcolare: 1) il campo elettrico (modulo, direzione e verso) nel punto A(4L,L); 2) la
variazione di energia cinetica che un carica puntiforme q subisce passando dal punto A


al punto B 2L,
B
y
3L 
 . Eseguire i calcoli per: q=10-10 C, L=20 cm, V0=2 V/m2
2 
A
x

Dalla relazione E   grad V  si ricava
Ex  
V
x
 8V0 L ; E y  
x 4 L
V
y
 6V0 L
Ey
y L
E
E  E x2  E y2  10V0 L  4 V/m
L’angolo  che E che forma con l’asse x è tale che
tan   
Ey
3
  ; =143.1 °
Ex
4

x
Ex
Calcolando i potenziali nei punti A e B
VA   13V0 L2 ; V B  
11
V0 L2
4
e applicando il principio di conservazione dell’energia si ottiene
E CIN (B)  E CIN ( A)  qV(A)  V(B)  
63
qV0L2=1.26 10-10 J
4
Esercizio n. 4 All’interno di un solenoide con numero di spire per unità di lunghezza pari a n è disposta,
perpendicolarmente all’asse del solenoide stesso, una spira circolare di raggio r. A partire dall’istante t=0 gli
avvolgimenti del solenoide vengono percorsi da una corrente I(t) e, conseguentemente, lungo la spira si osserva una forza
elettromotrice indotta che varia nel tempo secondo la legge f i(t)=kt. Ricavare l’espressione della corrente I(t) nel
solenoide e calcolare l’energia dissipata nella spira nell’intervallo di tempo (0,t0) sapendo che la sua resistenza
complessiva è R. Eseguire i calcoli per k=3 V/s; t0=2s; R=50 
Il flusso del campo B creato dal solenoide concatenato con la spira circolare è


 B  0 nI (t )r 2
Dalla legge dell’induzione elettromagnetica si ottiene :
nI(t)


d B
dI (t )
f i  kt  
   0 nr 2
dt
dt
Tenendo conto che I(t=0)=0 si ricava
dI(t)
kt
kt 2

;
diretta in verso opposto rispetto a fi
I
(
t
)

dt
 0 nr 2
2 0 nr 2
L’energia dissipata UD è data da
t0
UD 

0
fi2
k2 3
dt 
t 0  0.48 J
R
3R
r
fi
FISICA GENERALE (Vecchio Programma – 10 CFU)
A.A. 2011-2012
03.07.2012
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Una piccola pallina di massa m = 40 g è sospesa mediante un filo inestensibile di lunghezza l = 0,75 m a
un punto O. Quale velocità orizzontale minima occorre imprimere alla pallina affinché essa descriva una circonferenza nel
piano verticale? Quanto vale la tensione del filo quando esso è orizzontale?
Affinché la pallina descriva una circonferenza, nel punto B più in alto l’equazione della dinamica proiettata lungo la
normale: T  mg  m
v2
l
che imponendo il valore limite T=0 comporta v B2  gl .
Detto A il punto di partenza dalla conservazione dell’energia si ha
1 2 1 2
mv A  mvB  2mgl da cui v A  5gl  6,06 m/s.
2
2
La velocità della pallina quando il filo è orizzontale vale v D2  3gl cui corrisponde una tensione del filo
TD  m
v D2
 3mg  1,18 N.
l
Esercizio n. 2 Un cilindro adiabatico chiuso da un pistone mobile anch’esso adiabatico, è diviso a metà da una parete
diatermica fissa. Il volume di ciascuna parte è pari a V0 ed entrambe le metà sono riempite con un gas ideale monoatomico
a pressione atmosferica e temperatura iniziale T0. Il pistone mobile comprime il volume del gas nella parte A con una
trasformazione quasi statica fino a quando la pressione nella parte B diventa pB. Determinare, nella situazione finale di
equilibrio: 1) la variazione d’entropia del gas in B; 2) quella del gas in A; 3) il volume finale della parte A. Si eseguano i
calcoli con: V0 = 0.03 m3, T0 = 0 °C pB = 2 p0.
A
B
A
Per la parte B possiamo considerare una trasformazione isocora reversibile, per cui:
 Tf 
T
S B  ncv ln   e T f  0 2 p0  546.3 K
p0
 T0 
Tf 
pV
S B  0 0 cv ln    11.4 J/K
RT0
 T0 
perché isocora, mentre: n A  nB 
p0V0
 1.33
RT0
(1)
d’altronde trattandosi globalmente di una trasformazione adiabatica reversibile:

  - 11.4 J/K


Tf 
V 
V 
  nR ln  A    S A  nR ln  A 
Inoltre per il gas in A : S A  ncv ln 

 V0 
 V0 
 T0 
S A  S B  0

S A  S B  -
ovvero:
V A  V0 e
2 ΔS A
nR
 0.12  V0  3.7  10 3 m 3
 Tf
p 0V0
cv ln 
RT0
 T0

V 
2S A
 ln  A 
nR
 V0 
Esercizio n. 3 Una sfera conduttrice di raggio R è circondata da una corteccia sferica di costante dielettrica e r
che ha raggio interno R e raggio esterno 2R. Nella sfera conduttrice è presente la carica Q. Calcolare la
differenza di potenziale ai capi del guscio dielettrico ed il campo elettrico in un punto a distanza r 2=3R dal
centro.
Utilizzare per i calcoli numerici: Q=1nC, er=4, R=0.1m
Utilizzando il teorema di Gauss otteniamo:
Q
Per R<r<2R Er  
40 r r 2
2R

V(R) - V(2R) 
E(r)dr 
Q
80 r R
 11.2 V
R
Per r>2R E r  
Q
40 r
2
; E r2  
Q
360 R 2
 100 V/m
Esercizio n.4 Un conduttore cilindrico di raggio R e un sottile guscio metallico cilindrico di raggio 2R, entrambi
di lunghezza molto maggiore di R, sono disposti con il loro asse (r=0) in comune. Su entrambi viene fatta
scorrere una corrente i parallela ai rispettivi assi di ugual valore e verso opposto. Sapendo che Il campo B in una
posizione r* intermedia tra i due cilindri vale B*, determinare l’andamento del campo B in funzione della distanza
dall’asse comune (r=0) dei due cilindri e ricavare i valori di B per i seguenti valori di r: r 1=5 cm, r2=15cm e r3 =
25 cm.
Utilizzare per i calcoli: r*=12 cm, R=10 cm, B*=4 T
B*=oi/2r* da cui i=B*2r*/0=2.4 A
Dal Teorema di Ampere,
per r<R Br  
0 Jr
2
per R<r<2R Br  
per r> 2R Br   0
con J 
 0i
2r
i
Ampere Br1   2.4.10–6 T
2
R
Br2   3.2 10-6 T
FISICA 1 (5 CFU)
A.A. 2011-2012
03.07.2012
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Una piccola pallina di massa m = 40 g è sospesa mediante un filo inestensibile di lunghezza l = 0,75 m a
un punto O. Quale velocità orizzontale minima occorre imprimere alla pallina affinché essa descriva una circonferenza nel
piano verticale? Quanto vale la tensione del filo quando esso è orizzontale?
Affinché la pallina descriva una circonferenza, nel punto B più in alto l’equazione della dinamica proiettata lungo la
normale: T  mg  m
v2
che imponendo il valore limite T=0 comporta v B2  gl .
l
Detto A il punto di partenza dalla conservazione dell’energia si ha
1 2 1 2
mv A  mvB  2mgl da cui v A  5gl  6,06 m/s.
2
2
La velocità della pallina quando il filo è orizzontale vale v D2  3gl cui corrisponde una tensione del filo
TD  m
v D2
 3mg  1,18 N.
l
Esercizio n. 2 Una macchina termica reversibile opera tra due sorgenti le cui temperature differiscono di ∆T = 200 K.
La variazione di entropia per ciclo della sorgente a temperatura inferiore T1 è ∆S1 = 83.7 J/K.
a) Calcolare il lavoro compiuto per ciclo.
In una seconda configurazione il lavoro per ciclo fornito dalla prima macchina viene integralmente utilizzato dal ciclo di
una macchina frigorifera di efficienza frigorifera ɛ = 5 che preleva calore da una miscela di acqua e ghiaccio e lo cede
all’ambiente.
b) Calcolare la quantità m di ghiaccio prodotta per ciclo. Si assuma per il ghiaccio sol = 335 J/g.
Dal teorema di Carnot e di Clausius per cicli reversibili:
 REV   C  1 
T1
T T
T
L
 2 1 

T2
T2
T2
Q2
Per la macchina frigorifera:
 
Qass
L
per cui: m 

Qass
sol
Qass  L 

L
sol
 0.25 kg
 L 
Q2
T  S 2 T  S1 T  16740 J
T2
FISICA GENERALE (Vecchio Programma-10 CF)
1° Appello estivo A.A. 2011-2012
Cognome
Nome
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Nel piano orizzontale delimitato dai semiassi x>0 e y>0 è presente una
distribuzione di potenziale elettrostatico V(x,y)= V0x2-3V0y2 dove V0 è una costante.
y
Calcolare: 1) il campo elettrico (modulo, direzione e verso) nel punto A(4L,L); 2) la
variazione di energia cinetica che un carica puntiforme q subisce passando dal punto A


al punto B 2L,
03.07.2012
n. matr.
B
3L 
 . Eseguire i calcoli per: q=10-10 C, L=20 cm, V0=2 V/m2
2 
A
x

Dalla relazione E   grad V  si ricava
Ex  
V
x
 8V0 L ; E y  
x 4 L
V
y
 6V0 L
Ey
y L
E
E  E x2  E y2  10V0 L  4 V/m
L’angolo  che E che forma con l’asse x è tale che
tan   
Ey
3
  ; =143.1 °
Ex
4

x
Ex
Calcolando i potenziali nei punti A e B
VA   13V0 L2 ; V B  
11
V0 L2
4
e applicando il principio di conservazione dell’energia si ottiene
E CIN (B)  E CIN ( A)  qV(A)  V(B)  
63
qV0L2=1.26 10-10 J
4
Esercizio n. 2 All’interno di un solenoide con numero di spire per unità di lunghezza pari a n è disposta,
perpendicolarmente all’asse del solenoide stesso, una spira circolare di raggio r. A partire dall’istante t=0 gli
avvolgimenti del solenoide vengono percorsi da una corrente I(t) e, conseguentemente, lungo la spira si osserva una forza
elettromotrice indotta che varia nel tempo secondo la legge f i(t)=kt. Ricavare l’espressione della corrente I(t) nel
solenoide e calcolare l’energia dissipata nella spira nell’intervallo di tempo (0,t0) sapendo che la sua resistenza
complessiva è R. Eseguire i calcoli per k=3 V/s; t0=2s; R=50 
Il flusso del campo B creato dal solenoide concatenato con la spira circolare è


 B  0 nI (t )r 2
Dalla legge dell’induzione elettromagnetica si ottiene :
nI(t)


d B
dI (t )
f i  kt  
   0 nr 2
dt
dt
Tenendo conto che I(t=0)=0 si ricava
dI(t)
kt
kt 2

I
(
t
)

;
diretta in verso opposto rispetto a fi
dt
 0 nr 2
2 0 nr 2
L’energia dissipata UD è data da
t0
UD 

0
fi2
k2 3
dt 
t 0  0.48 J
R
3R
r
fi