Matematica e statistica

Matematica e statistica
10 febbraio 2012
Compito A
Cognome e nome · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Matricola · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Parte I
Esercizio 1
Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida,
liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una
soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella
della soluzione. Sapendo che 25 ± 2 g di soluto vengono sciolti in 175 ± 2 g di solvente, calcolare, in percentuale, il valore stimato, l’errore relativo e l’errore assoluto della concentrazione
della soluzione ottenuta.
Esercizio 2
Un allevatore di labrador sta studiando la crescita di uno dei cuccioli dell’ultima cucciolata:
per far questo registra il peso del cucciolo mensilmente. All’inizio del suo studio il cucciolo
pesa 5 kg, dopo il primo mese il peso è aumentato del 15% mentre nel secondo mese si registra
un incremento di 20%. Quanto vale l’incremento totale del peso del cucciolo nei due mesi?
Esercizio 3
Calcolare il valore, in notazione scientifica, delle seguenti espressioni
(a)
2.2 · 10−16 + 3.14 · 10−15
1.4 · 10−18
(b)
2.56 · 10−11 · 1.5 · 1036
2
11
3.2 · 10
Esercizio 4
Scrivere l’espressione esplicita di una funzione f : R → R continua, periodica e con un
massimo nel punto (1, 3) e un minimo nel punto (3, −3).
Esercizio 5
Trovare la funzione quadratica il cui grafico ottenuto partendo dal grafico della funzione
f (x) = 4 − 2x2 e
• moltiplicando la funzione per 2 e le ascisse per 2;
• traslando il grafico di 2 unità verso sinistra e moltiplicando la funzione per 3;
• traslando il grafico di 1 unità verso destra e di 2 unità verso il basso;
• moltiplicando la funzione per 3 traslando il grafico di 1 unità verso destra.
Esercizio 6
Calcolare la derivata rispetto a x della funzione
Z 1
e1−t dt
F (x) =
x
Parte II
Esercizio 1
Si osserva la schiusura delle uova in una certa popolazione di uccelli. Partendo da un tempo
iniziale t0 = 0 in cui tutte le uova sono chiuse, si osserva che dopo t1 = 1 ore si sono schiuse
in tutto u1 = 9 uova, dopo t2 = 2 ore in tutto u2 = 16 uova.
(i) Trovare se esiste l’espressione esplicita di una funzione quadratica u = u(t) (dove u sta
per il numero totale di uova schiuse e t sta per il tempo trascorso) il cui grafico passi
per i dati osservati.
(ii) Ammesso che esista, per quale intervallo di tempi tale funzione può effettivamente
rispecchiare il fenomeno preso in considerazione?
Esercizio 2
Si sta effettuando uno studio su un test dell’HIV. Si sa che la percentuale di malati nella
popolazione è dello 0.1%. Il test, effettuato su una persona malata, dá risultato positivo nel
95% dei casi, mentre, effettuato su una persona sana, dá risultato negativo nel 98% dei casi.
Se una persona risulta positiva al test, che probabilità ha di essere realmente malata?
Suggerimento: Utilizzare la formula di Bayes e la legge delle alternative, oppure la formula
del valore predittivo con esito positivo in funzione della sensibilità e della specificità.
Esercizio 3
Supponiamo che la quantità d’acqua presente in un bacino artificiale al tempo t > 0 sia
descritta, rispetto a un’opportuna unità di misura, dalla legge
q(t) = ln(t2 + 1) + arctan t + 10.
Sapendo che la capienza massima del bacino è uguale a 100, determinare se l’acqua tracimerà.
Esercizio 4
Determinare il dominio della funzione
f (x) =
e risolvere la disequazione f (x) ≥ 0.
log2 (x2) − 1
log2 x − 2
Matematica e statistica
10 febbraio 2012
Compito B
Cognome e nome · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Matricola · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Parte I
Esercizio 1
Una soluzione è un sistema omogeneo prodotto dallo scioglimento di una sostanza solida,
liquida o gassosa (soluto) in un opportuno liquido (solvente). La concentrazione di una
soluzione, espressa solitamente in percentuale, è il rapporto tra la massa del soluto e quella
della soluzione. Sapendo che 20±1 g di soluto vengono sciolti in 80±1 g di solvente, calcolare,
in percentuale, il valore stimato, l’errore relativo e l’errore assoluto della concentrazione della
soluzione ottenuta.
Esercizio 2
Un allevatore di labrador sta studiando la crescita di uno dei cuccioli dell’ultima cucciolata:
per far questo registra il peso del cucciolo mensilmente. All’inizio del suo studio il cucciolo
pesa 4 kg, dopo il primo mese il peso è aumentato del 16% mentre nel secondo mese si registra
un incremento di 25%. Quanto vale l’incremento totale del peso del cucciolo nei due mesi?
Esercizio 3
Calcolare il valore, in notazione scientifica, delle seguenti espressioni
(a)
4.1 · 10−17 + 3.01 · 10−16
1.2 · 10−18
(b)
1.1 · 10−10 · 3.5 · 1038
2
12
2.5 · 10
Esercizio 4
Scrivere l’espressione esplicita di una funzione f : R → R continua, periodica e con un
minimo nel punto (1, −3) e un massimo nel punto (3, 3).
Esercizio 5
Trovare la funzione quadratica il cui grafico ottenuto partendo dal grafico della funzione
f (x) = 2 − 4x2 e
• moltiplicando la funzione per 2 e le ascisse per 2;
• traslando il grafico di 2 unità verso sinistra e moltiplicando la funzione per 3;
• traslando il grafico di 1 unità verso destra e di 2 unità verso il basso;
• moltiplicando la funzione per 3 traslando il grafico di 1 unità verso destra.
Esercizio 6
Calcolare la derivata rispetto a x della funzione
Z 2
e1+2t dt
F (x) =
x
Parte II
Esercizio 1
Si osserva la schiusura delle uova in una certa popolazione di uccelli. Partendo da un tempo
iniziale t0 = 0 in cui tutte le uova sono chiuse, si osserva che dopo t1 = 1 ore si sono schiuse
in tutto u1 = 10 uova, dopo t2 = 2 ore in tutto u2 = 16 uova.
(i) Trovare se esiste l’espressione esplicita di una funzione quadratica u = u(t) (dove u sta
per il numero totale di uova schiuse e t sta per il tempo trascorso) il cui grafico passi
per i dati osservati.
(ii) Ammesso che esista, per quale intervallo di tempi tale funzione può effettivamente
rispecchiare il fenomeno preso in considerazione?
Esercizio 2
Si sta effettuando uno studio su un test dell’HIV. Si sa che la percentuale di malati nella
popolazione è dello 0.1%. Il test, effettuato su una persona malata, dá risultato positivo nel
96% dei casi, mentre, effettuato su una persona sana, dá risultato negativo nel 97% dei casi.
Se una persona risulta positiva al test, che probabilità ha di essere realmente malata?
Suggerimento: Utilizzare la formula di Bayes e la legge delle alternative, oppure la formula
del valore predittivo con esito positivo in funzione della sensibilità e della specificità.
Esercizio 3
Supponiamo che la quantità d’acqua presente in un bacino artificiale al tempo t > 0 sia
descritta, rispetto a un’opportuna unità di misura, dalla legge
q(t) = arctan t + ln(t2 + 1) + 15.
Sapendo che la capienza massima del bacino è uguale a 130, determinare se l’acqua tracimerà.
Esercizio 4
Determinare il dominio della funzione
f (x) =
e risolvere la disequazione f (x) ≥ 0.
log3 (x2) − 2
log3 x − 2