PROBABILITA’
Alcuni eventi possono presentarsi sicuramente dopo che siano state soddisfatte certe condizioni iniziali
(eventi CERTI ) oppure possono presentarsi con un certo grado di probabilità ( eventi ALEATORI). La
probabilità può essere definita come la misura numerica della possibilità che un certo evento aleatorio si
verifichi.
DEFINIZIONI
Dato un insieme di condizioni si effettui un esperimento ( PROVA ).
Si dice SPAZIO DI PROBABILITÀ associato ad un esperimento E, l’insieme S di tutti i possibili risultati.
Si dice EVENTO un sottoinsieme contenuto nello spazio di probabilità. Un evento può essere
ELEMENTARE:
se contiene un solo elemento dello spazio di probabilità.
CERTO:
se coincide con S
IMPOSSIBILE: se coincide con l’insieme vuoto.
A partire dal concetto di evento elementare è possibile costruire eventi più complessi utilizzando opportune
operazioni definite tra gli eventi, così come a partire dalle proposizioni più semplici è possibile costruire
proposizioni più complesse utilizzando i connettivi logici o a partire da insiemi elementari si possono
costruire classi di insiemi diversi con le operazioni insiemistiche.
Operazioni tra
eventi
Evento Somma
Simbolo
rappresentativo
E E1 E 2
Evento prodotto
E E1 E 2
Evento opposto
E
E E1 E 2
Evento differenza
Definizione
E' l'evento che si verifica quando si verifica almeno
uno dei due eventi E1, E2.
E' l'evento che si verifica quando di verificano
entrambi E1, E2.
E' l'evento che si verifica quando non si verifica E
E' l'evento che si verifica quando si verifica E1 ma
non E2.
Corrispondente
insiemistico
Unione
Intersezione
Complementare
Differenza
Inoltre si dirà che un evento E1 implica un evento E2 quando se si verifica E1 si verificherà certamente anche
E2. A livello insiemistico questo significa che E1 è un sottoinsieme di E2, ovvero E1 E2 .
Definizione classica di probabilità [Laplace]
Si chiama probabilità di un evento aleatorio, previsto da una determinata prova, il quoziente fra il numero dei
risultati favorevoli e il numero dei risultati possibili della prova, nell’ipotesi che siano tutti egualmente
possibili. In simboli: P ( A) p
m
n
Da questa definizione è possibile dimostrare, facilmente, le seguenti proprietà (che risultano pertanto
teoremi !!)
P( A) 0;
P( S ) 1
P( A ) 1 P( A)
A B P( A B) P( A) P( B)
( A B) P( A) P( B)
P ( ) 0
Critiche al concetto di probabilità così introdotto
Per stabilire se due eventi sono equiprobabili (egualmente possibili) abbiamo già bisogno del concetto di
probabilità.
Come è possibile, per eventi particolari, calcolare il numero di eventi favorevoli? (qual è la probabilità
che domani piova?)
La probabilità così introdotta associa ad un evento un numero razionale. Ma nel seguente problema:
qual è la probabilità che, lanciando a caso proiettili su un quadrato di lato 2 il proiettile cada all’interno
del cerchio inscritto? Quest’ultima è data dal rapporto delle aree delle due figure e quindi da un numero
irrazionale.
Impariamo allora a contare.
CALCOLO COMBINATORIO
Disposizioni semplici
Dati n elementi distinti, e indicato con k un numero intero positivo e minore o uguale a n, si chiamano
disposizioni semplici di questi n elementi, presi a k a k (o di classe k), tutti i raggruppamenti diversi che si
possono formare con gli elementi dati, in modo che valgano le seguenti proprietà:
ciascun raggruppamento contiene k elementi;
uno stesso elemento non può figurare più volte in un raggruppamento;
due qualsiasi raggruppamenti sono da considerarsi distinti quando uno di essi contiene almeno un
elemento che non figura nell’altro, oppure gli elementi di un raggruppamento sono gli stessi dell’altro ma
differiscono per l’ordine con cui sono disposti.
Le disposizioni semplici vengono rappresentate col simbolo Dn ,k . E’ semplice calcolarne il valore
costruendo, spesso mentalmente, una particolare struttura detta albero. Vediamolo attraverso un esempio:
Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Si fanno tre estrazioni e si scommette sull’uscita di un numero di tre cifre. Chi indovina il
numero vince 50 volte la posta. Il gioco è equo?
Per sapere se il gioco è equo dobbiamo contare se i casi possibili sono maggiori o minori di 50. Il conteggio può essere fatto in questo
modo: alla prima estrazione abbiamo cinque possibilità di scelta, alla seconda 4, alla terza tre. Quindi
Quello che si vede disegnato (parzialmente) è l’albero del problema
proposto da cui si vede che inizialmente abbiamo 5 alternative:
ciascuna di esse produce 4 alternative e ciascuna di queste altre tre.
Capite perché tale rappresentazione il più delle volte può essere fatta
solo mentalmente: essa genera, a seconda del problema, un grafico
dalle dimensioni non accettabili. Pensate che l’albero del gioco degli
scacchi possiede un numero di foglie finali superiori al numero di
atomi dell’universo! La risposta al nostro problema è pertanto
D5,3 5 4 3 60 . Il gioco non è equo ma sfavorevole al
Rami
Foglie
Foglie finali
giocatore. Per svolgere questo calcolo abbiamo usato quello che si
può chiamare il:
PRIMO PRINCIPIO GENERALE DEL CALCOLO COMBINATORIO
Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi, e, per
ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza scelta può essere effettuata in t modi diversi ecc., allora la
successione di tutte le scelte può essere compiuta in r·s·t ... modi diversi
Una semplice formula per il calcolo è Dn,k n (n 1) (n 2) ... (n k 1) . Può sconcertare la presenza
dell’ultimo fattore (n-k+1) perché molti ritengono di doversi fermare al fattore (n-k). Rispondete a questa
domanda, magari facendo qualche prova e troverete da soli la risposta: quanti sono i numeri che vanno da n
a n-k ?
Disposizioni con ripetizione
Dati n elementi distinti, e indicato con k un numero intero positivo e minore o uguale a n, si chiamano
disposizioni con ripetizione di questi n elementi, presi a k a k (o di classe k), tutti i raggruppamenti diversi che
si possono formare con gli elementi dati, in modo che valgano le seguenti proprietà:
ciascun raggruppamento contiene k elementi;
uno stesso elemento può figurare più volte in un raggruppamento;
due qualsiasi raggruppamenti sono da considerarsi distinti quando uno di essi contiene almeno un
elemento che non figura nell’altro, oppure gli elementi di un raggruppamento sono gli stessi dell’altro ma
differiscono per l’ordine con cui sono disposti.
Le disposizioni semplici vengono rappresentate col simbolo Dn*,k n k .
Il calcolo del valore è perfettamente analogo a quello fatto prima e dovrebbe essere semplice dedurlo
analizzando lo stesso problema ma supponendo di reinserire la pallina dopo l’estrazione.
Permutazioni
Dati n elementi distinti si dice permutazione degli n elementi la quantità Pn Dn,n n!
Per la prima volta ci imbattiamo nel simbolo n! che si legge “n fattoriale” e che sta a rappresentare il prodotto
di tutti gli interi che vanno da 1 fino a n. E’ un simbolo estremamente importante nel calcolo combinatorio e
tramite esso è possibile esprimere molte formule. Ad esempio:
(n k ) ... 1
n!
Dn,k n (n 1) ... (n k 1) n (n 1) ... (n k 1)
(n k ) ... 1 (n k )!
Non ce ne sarebbe bisogno, ma spieghiamo i passaggi. Abbiamo moltiplicato il simbolo di disposizione per
una frazione avente al numeratore e al denominatore (n-k)!, ovvero il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a
(n-k). Al numeratore ci troviamo ad avere il prodotto di tutti i numeri da 1 a n e quindi n!.
Per convenzione risulta essere 0!=1. Non cercate di protestare, non lo avete mai fatto quando vi hanno detto
che 20 1 , eppure i motivi di queste posizioni sono simili. Questa convenzione può essere giustificata da
queste considerazioni:
n!
n!
Pn Dn,n n!
n!
(n n)!
0!
(sono le definizioni che abbiamo dato) e quindi, perché l’ultima equazione sia vera, che valore dobbiamo
attribuire a 0!
Combinazioni semplici
Dati n elementi distinti, e indicato con k un numero intero positivo e minore o uguale a n, si chiamano
combinazioni semplici di questi n elementi, presi a k a k (o di classe k), tutti i raggruppamenti diversi che si
possono formare con gli elementi dati, in modo che valgano le seguenti proprietà:
ciascun raggruppamento contiene k elementi;
uno stesso elemento non può figurare più volte in un raggruppamento;
l'ordine degli elementi non ha importanza, e quindi due raggruppamenti sono da considerarsi diversi
soltanto quando differiscono tra loro almeno per un elemento.
In altri termini, una combinazione è un sottoinsieme (di cardinalità k) di un altro insieme (di cardinalità n).
Le combinazioni di n oggetti di classe k vengono indicate col simbolo C n , k
Determiniamo il numero delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k, C n , k , attraverso un esempio.
Determinare quante squadre di tre giocatori possono essere formate scegliendo da un gruppo di cinque atleti A,B,C,D,E.
5!
60 . La differenza tra le disposizioni e le combinazioni
Per risolvere questo problema calcoliamoci prima le disposizioni D5,3
(5 3)!
sta nel fatto che nelle prime l’ordine delle scelte è significativo, nelle seconde no. Ragioniamo su questo fatto, elencando alcune tra le
disposizioni
Alla disposizione ABC abbiamo affiancato tutte le disposizioni che si
ottengono permutando i tre simboli ABC. Esse, viste come disposizioni,
ABC
ACB
BCA
BAC
CAB
CBA
sono distinte una dall’altra, ma non se viste come combinazioni. La
ABD
ADB
BAD
BDA
DAB
DBA
totalità delle disposizioni può essere divisa quindi in gruppi, e un
ABE
qualsiasi elemento di questo gruppo può essere considerato una
ACD
combinazione. Poiché in ogni gruppo vi sono 3!=6 elementi, risulterà
C 5,3 D5,3 / 3! 10
E’ possibile, meditando un poco sull’esempio, trovare una formula generale per le combinazioni semplici:
tale formula risulta essere:
Dn,k
n
n!
C n,k
k!
(n k )! k! k
Il simbolo con cui abbiamo concluso l’uguaglianza precedente è definito dal termine alla sua sinistra; viene
chiamato coefficiente binomiale e si legge “ n su k ”.
Combinazioni con ripetizione
Dati n elementi distinti, e indicato con k un numero intero positivo e minore o uguale a n, si chiamano
combinazioni con ripetizione di questi n elementi, presi a k a k (o di classe k), tutti i raggruppamenti diversi
che si possono formare con gli elementi dati, in modo che valgano le seguenti proprietà:
ciascun raggruppamento contiene k elementi;
uno stesso elemento può figurare più volte in un raggruppamento;
l'ordine degli elementi non ha importanza, e quindi due raggruppamenti sono da considerarsi diversi
soltanto quando differiscono tra loro almeno per un elemento.
Le combinazioni con ripetizione di n elementi in classe k si rappresentano col simbolo C n*,k . Con
considerazioni analoghe a quelle fatte per le combinazioni semplici si dimostra che C n*,k
Dn*,k
k!
nk
k!
Un suggerimento per lo svolgimento degli esercizi
Per risolvere un esercizio di calcolo combinatorio è spesso utile impostarlo vedendolo come un problema di
estrazione da un’urna, chiedendosi se:
l’estrazione è con reinserimento?
l’ordine degli estratti è significativo?
e ricordando questa tabella riassuntiva
Estrazione con
reinserimento
Estrazione senza
reinserimento
L’ordine degli estratti è
significativo
L’ordine degli estratti non
è significativo
Dn*.k
C n*.k
D n .k
C n .k
Per eliminare le critiche alla definizione classica vi sono altri modi per definire la probabilità; ad esempio:
Definizione soggettiva di probabilità [De Finetti]
La probabilità di un evento A è la parte di una quantità di denaro che un individuo coerente stima equo
pagare se si verificherà un evento A.
Definizione assiomatica di probabilità (Kolmogoroff)
Sia dato un insieme S di elementi. Sia E una famiglia di sottoinsiemi di S ( E P(S ) ). Se E soddisfa le
seguenti proprietà:
SE
( A E ) ( B E ) ( A B) E
( A E ) ( B E ) ( A B) E
( A E) A E
allora E viene detto campo di eventi o -algebra o campo di Borel. Gli elementi di E vengono detti eventi.
Gli assiomi che definiscono la probabilità di un evento A contenuto in E sono i seguenti:
P( A) 0
P( S ) 1
( A B) P( A B) P( A) P( B)
Da questi assiomi si dimostrano i seguenti teoremi:
P ( ) 0
P( A ) 1 P( A)
A 0 P( A) 1
( A B) P( A) P( B)
P( A B) P( A) P( B) P( A B)
P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
Dall’ultima relazione, nel caso di eventi equiprobabili con probabilità (1/n), si ricava la definizione classica di
probabilità. Si deve ricordare che ora questa è un teorema, mentre, utilizzandola come definizione, i tre
assiomi assegnati precedenti diventano teoremi. La teoria assiomatica così esposta vale solo nel caso che
l’insieme S sia finito. Se S è infinito è necessario, per la rigorosità della teoria, un quarto assioma
(dell’additività infinita).
P(
n 1
n 1
An ) P( An )
Teoremi fondamentali del calcolo delle probabilità
A B A ( A B) P( A B) P( A) P( A B)
B ( A B) ( A B) P( B) P( A B) P( A B)
Definizione di probabilità condizionata
La probabilità che un evento casuale A si realizzi, nell’ipotesi che un altro evento B si sia realizzato, si
chiama probabilità condizionata dell’evento A rispetto all’evento B e si indica col simbolo P(A|B). Si può
P( A B)
dimostrare che: P( A | B)
da cui deriva il seguente
P( B)
TEOREMA
La probabilità del prodotto di due eventi è uguale al prodotto delle probabilità di uno degli eventi per la
probabilità condizionata dell’altro rispetto al primo.
Definizione di eventi indipendenti
Due eventi si dicono indipendenti quando P( A | B) P( A)
Il teorema di Bayes
Il teorema di Bayes, proposto da Thomas Bayes, deriva da due teoremi fondamentali delle probabilità: il
teorema della probabilità composta e il teorema della probabilità assoluta. Viene spesso usato per calcolare
le probabilità a posteriori (posterior probabilities) date delle osservazioni. Per esempio si possono osservare
determinati sintomi in un paziente: il teorema può essere utilizzato per verificare la correttezza della diagnosi
proposta, date quelle certe osservazioni.
VARIABILI ALEATORIE
Una variabile aleatoria viene definita quando un evento dà risultati esprimibili mediante un insieme di numeri.
Questa variabile può assumere un insieme discreto di valori, oppure un insieme continuo.
E={Lancio di due dati}
X={Valore massimo tra i valori usciti sui due dadi}={1; 2; 3; 4; 5; 6}
E={Scelta di un punto a caso nell’intervallo [1,3] sull’asse x}
X={Valore dell’ascissa del punto considerato}={tutti i numeri reali compresi tra 1 e 3, estremi inclusi}
Nel caso di una variabile discreta è possibile associare ad ogni valore di X un valore numerico che
rappresenta la probabilità che l’evento E dia come risultato quel valore di X. Nel precedente esempio (lancio
dei dadi) X=1 si verifica in un solo caso su 36 ( [1-1]), mentre X=2 si verifica 3 volte sui 36 casi possibili
([2,1], [2,2], [1,2]). Associando ad ogni valore possibile di X la probabilità che X assuma quel valore, si
ottiene una funzione, detta funzione di distribuzione di probabilità.
E={Lancio di due dati}
X={Valore massimo tra i valori usciti sui due dadi}={1; 2; 3; 4; 5; 6}
2
3
4
5
6
1
f (X )
1
3
5
7
9 11
36 36 36 36 36 36
Si osservi che la funzione distribuzione di probabilità non è particolarmente utile se ne dobbiamo calcolare
noi il valore, per ogni valore di X, utilizzando il calcolo delle probabilità. Se invece disponiamo di
un’espressione matematica che ci consenta automaticamente il calcolo per ogni valore di X le cose
cambiano, perché il calcolo delle probabilità che l’evento dia uno o più valori di X è notevolmente
semplificato. Ad esempio
X 1;2;3; 4
X2
f (X )
30
12
; la probabilità che
30
l’evento E dia come risultato un valore minore o uguale a 3 si può calcolare con f (1) f (2) f (3) , oppure,
ricordando che la somma di tutte le probabilità deve essere uguale a 1, mediante 1 f (4) .
La probabilità che l’evento E dia come risultato 1 si calcola quindi mediante f (1)
Esempio:
E’ data una figura geometrica costituita da quattro quadrati di lati
1, 2, 3, 4.
Evento E:{Si spara, a caso, un proiettile su questa figura}
X ={La lunghezza del lato del quadrato colpito dal proiettile}={1,
2, 3, 4}
Calcolare la funzione distribuzione di probabilità di X
supponendo che la probabilità che un quadrato venga colpito sia
proporzionale all’area del quadrato stesso.
Questa interpretazione non può essere estesa meccanicamente al caso di una variabile continua: in questo
caso non ha senso parlare della probabilità che un evento conduca al valore x i di una variabile aleatoria
riferendosi alla definizione classica di probabilità (numero di casi favorevoli diviso numero di casi possibili) in
quanto si hanno infiniti possibili risultati. Ha senso però parlare della probabilità che in seguito ad un evento
una variabile statistica continua assuma valori compresi fra due valori a e b.
La conoscenza di una funzione di distribuzione di probabilità (detta in questo caso funzione densità di
probabilità) aiuta a risolvere questo problema.
Esempio
Evento E={Si tira a caso su un bersaglio circolare di raggio 1 metro}
X={Il punteggio realizzato valutato in base alla distanza del lancio effettuato dal centro misurata in
metri}={Insieme dei reali compresi fra 0 e 1}
x0
y 0
Funzione di distribuzione: y 1 0 x 1
y 0
x 1
È evidente che il valore della funzione in xi non equivale più alla probabilità che la variabile assuma valore x i
(questo valore è 1 per ogni punto nell’intervallo [1;2], ma se il problema è quello di determinare la probabilità
che la variabile assuma valore compreso tra a e b allora possiamo immaginare che questo valore sia
assegnato dall’area della parte di piano limitata dalla curva e dall’asse x nell’intervallo richiesto.
La funzione di densità può quindi essere vista come una funzione che sottende, nell’intervallo [a,b], un’area
uguale alla probabilità che, in seguito all’evento E, X assuma valori compresi fra a e b.
Tra le variabili aleatorie continue e discrete esistono forti parallelismi.
Funzione di distribuzione di probabilità
Valore medio:
XM
Varianza:
V (X )
Funzione densità di probabilità
pi 1
(x
i
f ( x)dx 1
Valore medio:
xi pi
X M ) 2 pi
XM
xf ( x)dx
Varianza:
V (X )
( x X M ) 2 f ( x)dx
Moda:
X MODA X : MAX ( f ( X ))
Mediana:
X MEDIANA
X MEDIANA
f ( x)dx
f ( x)dx
X MEDIANA
Un importante teorema mette in evidenza una notevole proprietà generale delle variabili casuali
Teorema di Cebicef
Data una variabile casuale X, detta M la sua media e il suo scarto quadratico medio, la probabilità che la X
assuma un valore x tale che si abbia x M è, per ogni , maggiore di 1
2
2
Un secondo importante teorema è
Legge debole dei grandi numeri
Siano X 1 , X 2 ,..., X n n variabili casuali, mutuamente indipendenti, ciascuna con valore medio M e sia
X X 2 ... X n
Xa 1
. Allora lim P( X a M ) 1
n
n
Tra le distribuzioni di probabilità discrete, è opportuno ricordare:
Distribuzione binomiale
Gli eventi a cui si applica sono quelli tipici
dell’estrazione con reinserimento (eventi
equiprobabili). Essa rappresenta la probabilità che in
n estrazioni l’evento E, di probabilità p, si presenti x
volte:
n
P ( x) p x q n x
x
Da ricordare che
XM=np
V(X)=npq
npq
Un’importante teorema, detto legge dei grandi numeri
(nel caso bernoulliano) afferma che:
Nel problema delle prove bernoulliane la probabilità
x
che lo scarto relativo p diventi e rimanga in
n
modulo minore di un assegnato 0 tende a 1 al
crescere del numero di prove.
La dimostrazione è una semplice applicazione del
teorema di Cebicef
Distribuzione ipergeometrica
Gli eventi a cui si applica sono quelli tipici
dell'estrazione senza reinserimento. Supponiamo che
in una popolazione di N elementi ve ne siano K di un
tipo e N-K di un altro.
Si estraggano n elementi e calcoliamo la probabilità
che x individui del primo tipo possano essere estratti.
La variabile X potrà ovviamente assumere valori
particolari che si calcolano facilmente a seconda del
problema.
Risulta
K N k
x n x
P( x)
N
n
Si ha
XM
V (X )
nK
n
nK ( N K )( N n)
N 2 ( N 1)
Distribuzione di Poisson
Si applica ad eventi rari o sostituisce la distribuzione
binomiale nel caso p piuttosto piccolo e n piuttosto
piuttosto bene i problemi quali: l’arrivo di chiamate ad
un centralino (richiesta di servizi), il decadimento
radioattivo, la distribuzione degli errori in un testo,
ecc.
P( x) e
x
x!
Da ricordare che
XM=
V(X)=
La distribuzione di Poisson fornisce
un'approssimazione della legge binomiale nel caso di
p piuttosto piccolo.
Esercizi
(dal sito www.chihapauradellamatematica.org)
1. In una compagnia di quattro amici (Roberto, Paolo, Enzo, Walter) bisogna scegliere un capo e un vice.
In quanti modi può essere effettuata la scelta?
2. Per andare da una città A ad una città B ci sono quattro strade diverse. In quanti modi è possibile "fare
un giro" da A fino a B e ritorno? E se al ritorno non si vuole ripercorrere la stessa strada dell'andata?
3. In un'urna ci sono quattro palline, contrassegnate coi numeri 1, 2, 3, 4. Se si effettuano tre estrazioni,
quanti sono gli esiti possibili, tenendo conto dell’ordine con cui vengono estratte le palline? (nel senso
che, ad es., l’esito 1-2-3 sarà considerato distinto dall’esito 2-1-3) Considerare separatamente i due casi:
a)
dopo aver estratto una pallina, la si reintroduce (si dice: "la si reimbussola") nell'urna prima di
effettuare l'estrazione successiva
b)
le estrazioni avvengono una dopo l'altra, ma senza reimbussolamento.
4. In un plotone di 25 militari bisogna scegliere: un addetto alle pulizie; un addetto alle cucine; un soldato
che monti di sentinella. In quanti modi è possibile effettuare la scelta?
5. Quante parole di 5 lettere si possono scrivere utilizzando liberamente le 21 lettere dell'alfabeto italiano,
con possibilità di ripetizione di una lettera ma col vincolo di evitare le 'doppie', cioè due (o più) lettere
uguali consecutive? (Es. parole ammissibili: atoim, qtatq, eoeoe... Non ammissibili: aggfe, pppio...)
6. Per giocare al totocalcio, com’è noto, bisogna scegliere un pronostico (che può essere 1, X o 2) per
ciascuna delle 13 partite sulla schedina. Quante schedine diverse è possibile, teoricamente, compilare?
7. La moglie di un carcerato, per poter parlare col marito anche al di fuori delle ore di colloquio coi parenti,
ha concordato con lui un codice basato sull'uso di quattro bandierine: una Italiana, una Francese, una
Americana e una del Milan.
8. Un messaggio può consistere nell'esposizione di una singola bandierina, oppure di due, o tre, o tutte e
quattro le bandierine. Nel caso il messaggio sia costituito da più bandierine, conta anche l'ordine in cui
queste si susseguono da sinistra a destra. Si domanda: quanti messaggi è possibile trasmettere con
queste modalità?
9. Sappiamo che in ogni computer, la memoria è costituita da tanti "bit", essendo un "bit" un dispositivo
fisico che può assumere due stati differenti (essere magnetizzato o non, essere attraversato da corrente
o non). Indicati convenzionalmente con "0" e "1" tali due stati fisici, diremo, in sostanza, che un bit è una
"cella" di memoria che può assumere, di volta in volta, o il valore "0" o il valore "1". Una sequenza di 8 bit
forma il cosiddetto "byte".
a)
Quante diverse "informazioni" può contenere un byte?
b)
E quante informazioni diverse si potranno memorizzare in una sequenza di 10 bytes?
10. Se 6 persone arrivano contemporaneamente ad uno sportello, in quanti modi diversi possono mettersi in
coda.
11. Una compagnia di 5 ragazzi, Aldo (A), Bruno (B), Carlo (C), Dario (D) ed Ernesto (E), deve passare una
notte in una stanza in cui ci sono solo 2 letti. In quanti modi è possibile scegliere i due ragazzi che
dormiranno nei letti? (gli altri tre si aggiusteranno col sacco a pelo ...)
12. Un mazzo da poker è formato da 32 carte. A ciascun giocatore se ne distribuiscono 5. Quanti "giochi"
diversi può teoricamente avere in mano un giocatore?
13. Quanti sottoinsiemi di 5 elementi contiene un insieme di 10 elementi?
14. a) Con 9 numeri fissati, possiamo costruire molte "quaterne" e molte "cinquine" .Pensiamo sia le une che
le altre "non ordinate". Sono più numerose le quaterne o le cinquine? E se si pensasse a quaterne e
cinquine ordinate? In questo caso, sarebbero più numerose le quaterne o le cinquine?
15. Dal mio guardaroba di 10 magliette e 8 paia di pantaloni voglio scegliere 5 magliette e altrettante paia di
pantaloni per andare in ferie. In quanti modi diversi posso effettuare la scelta?
16. In un'urna ci sono quattro palline, contrassegnate coi numeri 1, 2, 3, 4. Supponiamo di estrarne 3
CONTEMPORANEAMENTE e non teniamo conto dell'ordine di estrazione. Quanti sono gli esiti possibili
di queste estrazioni?
17. In un mazzo da scopa ci sono 40 carte. Si mischia. Quanti sono i possibili esiti della mischiata?
18. Devo distribuire a 10 bambini 5 mele, 2 banane e 3 pesche. In quanti modi diversi posso effettuare la
distribuzione?
19. In un cinema c'è una fila di 5 poltrone. Se 3 persone vogliono sedersi, in quanti modi diversi si possono
disporre?
20. Quante sono le possibili schedine di totocalcio con esattamente 5 pronostici "1", 7 pronostici "X" e 1
pronostico "2"? Generalizzare il problema precedente per n1 pronostici "1", nX pronostici "X" e n2
pronostici "2".
RACCOLTA DI QUESITI TRATTI DA TEMI D’ESAME
Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel
campionato italiano a 18 squadre?
Dati gli insiemi A={1, 2, 3, 4} e B={a, b, c} quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?
Nel Liceo Scientifico «Torricelli» vi sono 4 classi quinte, i cui alunni sono distribuiti per sezione e per sesso in
base alla seguente tabella
Rappresentare graficamente la situazione per mezzo di un istogramma.
Calcolare le distribuzioni marginali degli studenti per sezione e per sesso.
Calcolare la probabilità che, scelta a caso una coppia di studenti della 5aA, questa sia formata da alunni di
sesso:
maschile
femminile
differente.
Calcolare la probabilità che, scelti a caso una classe e, in essa, una coppia di studenti, questa sia formata da
alunni di sesso differente.
Scelto a caso un alunno di quinta del Liceo in questione e constatato che si tratta di uno studente di sesso
maschile, calcolare la probabilità che esso provenga dalla 5aD.
Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Quale è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?
Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a+b)n è uguale a 2n per ogni n
Lo scopone scientifico si gioca in quattro con un mazzo da 40 carte distribuendone 10 a ciascuno. Qual è
il numero delle possibili distribuzioni se i giocatori si dispongono in un ordine prefissato? Se si tiene conto
anche di tutti i modi in cui si possono disporre i giocatori qual è il numero delle distribuzioni?
Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i 16 allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la
probabilità che essi siano tutti maschi?
Assumendo che i risultati – X, 1, 2 – delle 13 partite di Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità
che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.
Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610-1685), amico di Blaise Pascal:
“giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno
un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”
Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A
contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne
contiene 1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Qual è
la probabilità che essa sia difettosa?
Alla finale dei 200 m piani partecipano 8 atleti, fra i quali figurano i nostri amici Antonio e Pietro. Sapendo che
sul podio finiscono i primi 3 classificati e ammesso che tutti gli atleti abbiano le stesse possibilità, calcolare le
probabilità che:
sul podio finiscano sia Antonio che Pietro;
almeno uno dei due finisca sul podio;
nessun dei due finisca sul podio.
Si consideri l’esperimento consistente nel lancio di due dadi con le facce numerate da «1» a «6», aventi
tutte le stesse possibilità di uscire. Si ottiene un successo se, nell’esperimento, esce almeno un «5».
Determinare il minimo numero di volte in cui bisogna effettuare l’esperimento per garantirsi una probabilità
pari almeno al 99% di ottenere almeno un successo.
Due giocatori, A e B, giocano a «Testa o Croce» con una moneta le cui facce hanno la stessa probabilità di
uscire. Ciascuno di loro punta la somma S. Chi vince porta via l’intera posta. Il gioco si svolge con la seguente regola: «Il giocatore A lancia la moneta: se esce “Testa” vince, altrimenti il gioco passa a B. Questi, a
sua volta, lancia la moneta e vince se viene “Croce”, in caso contrario il gioco ritorna ad A, che ripete il lancio e
vince se viene “Testa”. In caso contrario il gioco ripassa a B, che vince se viene “Croce”. Se B non vince il gioco
ha termine e ciascuno dei due giocatori riprende la somma che aveva puntato». Il gioco è equo?
Nelle ultime 10 estrazioni non è uscito il «47» sulla Ruota di Napoli. Qual è la probabilità che non esca
neppure nelle prossime 10 estrazioni ed esca invece nell’11-esima estrazione?
Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità
di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?
Un’urna contiene delle palline che possono essere bianche o nere, di vetro o di plastica. Precisamente: 135
sono bianche, 115 di vetro; inoltre 45 palline di vetro sono bianche e 80 palline di plastica sono nere. Si
estrae a caso una pallina: qual è la probabilità che sia nera e di vetro?
In un’urna ci sono due palline bianche, in una seconda urna ci sono due palline nere e in una terza urna
ci sono una pallina bianca e una pallina nera. Scegli a caso un’urna ed estrai, sempre a caso, una delle
due palline in essa contenute: è bianca. Saresti disposto a scommettere alla pari che la pallina rimasta
nell’urna che hai scelto sia essa pure bianca?
Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro. Quanti tiri
deve fare per avere probabilità 0,99 di colpirlo almeno una volta?
Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale ricorre
quest’anno il centenario della nascita, alla domanda: «che cos’è la probabilità?» era solito rispondere: «la
probabilità non esiste!». Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla a una delle
diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?
Quale fra i seguenti eventi ha probabilità maggiore?
In tre lanci di uno stesso dado il 5 esca soltanto una volta.
In un lancio di due dadi la somma delle facce sia 8.
I dadi non sono truccati e sono identici.
Nel decadimento radioattivo la probabilità che un radionuclide decada nel generico intervallo di tempo
t
[0, t[ è espressa dalla relazione p(0, t ) e z dz . Nel decadimento beta del
32P
(fosforo 32) si
0
osserva che, dopo 14,3 giorni, sono ancora in vita il 50% dei nuclei. Dimostra che
probabilità che un nucleo abbia una durata di vita superiore a 20 giorni
ln 2
e calcola la
14 ,3
