IL VALORE ATTESO

IL VALORE ATTESO
Bruno de Finetti a pag. 27 del primo volume della sua “Teoria delle Probabilità” spiega l’uso e il significato di
alcuni termini come: aleatorio, stocastico, casuale e previsione.
Per il termine previsione scrive: “Una parola a parte per quello che è forse l’unico termine importante cambiato: previsione in luogo di speranza matematica o valore sperato o valore atteso e via
dicendo.
Intanto, tutte queste altre denominazioni hanno, preso alla lettera, un significato alquanto improprio e
spesso (con la parola speranza) qualcosa di antiquato e umoristico, ed è comunque incomodo che per una
nozione così fondamentale la denominazione (che ricorre spesso in ogni discorso) sia composta di due
parole”.
Ma, a pag. 118 avverte: previsione non è predizione! Perché (e lo dice a pag. 87) “la previsione, nel senso in
cui abbiamo detto di voler usare questa parola, non si propone di indovinare nulla”.
Perché De Finetti ha preferito il termine previsione alle altre denominazioni?
Perché il valore atteso ci fornisce un indice di valutazione dello avverarsi di una classe di eventi. O, per dirla
col Daboni: è un valore certo che ci consente di orientare le opinioni e informazioni sulla grandezza aleatoria
X.
Il valore atteso è un valore medio che, come scrive P. Dore, rappresenta in qualche modo, globalmente, il
complesso degli eventi aleatori che all’atto di una prova si possono presentare. Ecco la previsione di De
Finetti.
Per una classe di eventi il valore atteso è una media ponderata i cui pesi sono le probabilità che spettano a
ciascuno dei casi favorevoli che formano il totale dei casi possibili.
Che cosa è una media ponderata?
Prima vediamo che cosa è una media semplice di più quantità.
La media aritmetica è il quoziente tra la somma di tali quantità e il loro numero. Le varie quantità sono i
termini della media ed essi entrano nel computo una sola volta. Ecco un esempio con 2 termini: una camicia
costa lire 1500 e un’altra ne costa 1800; il costo medio di una camicia è: (1500+1800)/(1+1) = 1650.
Nella media ponderata i termini entrano nel calcolo un numero di volte a seconda della loro quantità. Questo
numero di volte in cui si introduce ciascun termine, dicesi peso. Esempio: quale è il costo medio di una
camicia se 5 sono state pagate 1500 ciascuna e 3 sono state pagate 1800 lire ognuna? Il costo medio è:
(1500x5) + (1800x3)
/ (5+3) = 1737,50.
Nel gioco del Lotto, di N numeri ne possono sortire 0,1, 2, 3, 4, 5.
Ogni estrazione può non sortite alcuno degli N numeri o ne può sortire uno solo, oppure ne possono sortire
due, ecc. Questi sono eventi incompatibili ed ogni estrazione casualmente si avvera una delle sei possibilità.
Se riguardiamo le sei possibilità come valori di una grandezza, vediamo che questa grandezza può variare da
0 a 5.
Una grandezza che può assumere diversi valori si dice “variabile”. Ma, come sappiamo, è il caso a stabilire se
degli N numeri ne debbano sortire 0, 1, 2, 3, 4, o 5. Quindi, questi valori dipendono dal caso. Se i valori
dipendono dal caso allora di parla di “variabile casuale”.
Ecco cosa dice G. Castelnuovo: “Una delle variabili casuale è una quantità variabile X che può assumere
diversi valori x(1), x(2), .... x(k) uno dei quali debba necessariamente presentarsi, e ciascuno dei quali abbia
rispettivamente la probabilità p(1), p(2), ...., p(k) di presentarsi e deve sussistere la relazione: p(1), p(2), ...
p(k) di presentarsi e deve sussistere la relazione: p(1) + p(2) + ... + p (k) = 1.
Nel gioco del lotto la quantità variabile X è la quantità di estratti che di N numeri sortono in una estrazione;
i valori x che può assumere la variabile sono k = 6 e cioè: 0, 1, 2, 3, 4, 5, , uno dei quali necessariamente
deve presentarsi.
Le probabilità per ciascun valore della variabile casuale si calcolano con la formula dello schema
di distribuzione inpergeometrica:
p(x) = C(N,x).C(90-N, 5-x) / C(90,5),
nella quale p(x) rappresenta la probabilità che tra le 5 balle estratte ve ne siano x delle N.
Con N = 8 (i numeri messi in gioco siano gli otto gemelli), le probabilità calcolate con la formula sono:
p(0)
p(1)
p(2)
p(3)
p(4)
p(5)
=
=
=
=
=
=
0,6208370
0,3183779
0,0564214
0,0042316
0,0001306
0,0000012
e cioè dalla probabilità p(0) che non sorta alcuno degli otto numeri, alla probabilità p(5) che ne sortano
cinque. La somma delle cinque probabilità è uguale all’unità (nell’esempio è 0,9999997 a causa degli
arrotondamenti).
Quale è il valore atteso, cioè quale è la previsione per N=8 numeri messi in gioco?
Dunque, il valore atteso è la media dei valori che una variabile può assumere (nel nostro caso X
= 0, 1, 2, 3, 4, 5); in essa compaiono i pesi p(x) dati dalle probabilità rispettive. Si dimostra
facilmente che il valore medio M(X) è dato da:
M(X) = 0.p(0) + 1.p(1) + 2.p(2) + 3.p(3) + 4.p(4) + 5.p(5)
Quindi si ha:
p(0)
p(1)
p(2)
p(3)
p(4)
p(5)
x
x
x
x
x
x
0
1
2
3
4
5
=
=
=
=
=
=
0,0000000
0,3183779
0,1128428
0,0126948
0,0005224
0,0000060
il cui totale è M (X) = 0,4444439.
Il significato di questa media è che nel complesso di n prove in media si presentano in una prova 0,444444
estratti degli N = 8 numeri.
O. Da Fiorenza nella 41810 estrazioni da lui controllate ha rilevato che i gemelli sortiti sono stati complessivamente 18407.
Se il valore atteso è M (X) per una estrazione, per n estrazioni si h: n.M(X) e, nel nostro caso, 41810x0,444444
= 18582.
Degli 8 gemelli nelle 41810 estrazioni se ne prevedono teoricamente 18582, mentre quelli effettivamente
usciti sono stati 18407.
Esiste un modo facile per calcolare il valore atteso?
Ecco la formula che vi dà immediatamente il valore atteso per le combinazioni di classe m di N numeri:
C(N,m) . C(5,m)
M (X) = —————————————
C(90,m)
Esempio, per N = 8 e per l’estratto semplice per cui m = 1 si ha:
M (X) = 8x5/90 = 0,444444.
Con m = 2 per gli ambi si ha:
M (X) = 28x10/4005 = 0,0699118.
Nelle 15075 estrazioni osservate da Statistikus gli ambi nella serie dei gemelli che teoricamente dovevano
sortire sono: 15075 x 0,0699118 = 1054, mentre Statistikus ha rilevato che sono sortiti 1028 ambi così
distinti: 806 ambi secchi, 216 ambi nei 72 terni secchi e 6 ambi nella sola quaterna secca sortita.
Il valore atteso è detto pure “speranza matematica” perché lo si può ricavare anche con considerazioni sulla
equità e quindi sulle scommesse.
Ecco perché Samaritani ha chiamato “rapporto equitativo” il valore atteso, infatti risulta essere il rapporto tra
la posta ed il premio equo. Per ogni lira giocata ci si aspetta il premio equo:
C(90,m) / (5,m)
la posta è di una lira per ogni combinazione giocata e per N numeri la posta è C(N,m) così che si ricava dal
rapporto tra la posta e il premio equo e cioè dal prodotto di C(N,m) per l’inverso di C(90,m)/C(5,m) la
formula per M(X).
Se il valore atteso M(X) rappresenta la parte delle C(N,m) combinazioni che possono sortire in una estrazione, quante estrazioni occorrono per vedere realizzato una volta l’evento) Da n.M(X) = 1 si ricava: n = 1/M(X)
e cioè le estrazioni occorrenti sono date dall’inverso della formula per il valore atteso, ovvero:
N = C(90,m) / C(N,m). C(5,m)
questa formula ci indica, in sostanza, il turno teorico di sortita delle combinazioni di classe m che si possono
formare con N numeri.
Questo turno teorico di sortita è stato definito: CICLO. Quindi, il “ciclo” è la rotazione teorica (numero di
estrazioni) in cui uno degli C(N,m) eventi si presenta.
Come chiaramente si vede il CICLO è un indice medio per la cui formazione occorrono sia le sorti semplici che
quelle multiple di un evento (per gli ambi, ad esempio, occorrono gli ambi secchi, gli ambi contenuti nei terni,
nelle quaterne e nelle cinquine).
Ma quante volte un evento si verificherà in media in un numero n di prove?
Se un evento ha probabilità costante p in ogni prova, il valore medio del numero delle volte che l’evento si
verifica in n prove è: n.p.
La sortita di uno degli 8 gemelli ha probabilità p = 0,3183779, quindi nelle 15075 estrazioni osservate da
Statistikus i gemelli sortiti dovevano essere in media: 15075 x 0,3183779 = 4799 ovvero in media ogni
15075/4799 = 3,14 estrazioni ve ne è stata una con uno ed uno solo numero gemello.
Ma, se andiamo a contare i gemelli sortiti veramente nelle 15075 estrazioni troviamo che essi sono circa
6700 e cioè quanto ne indica il prodotto: (numero delle estrazioni x valore atteso).
Perché? Perché, come abbiamo detto, i 4799 sono gemelli sortiti come estratti semplici e poiché il calcolo
prevede la sortita di: 851 ambi secchi; 64 terni secchi; 2 quaterne secche, si ha: 479+(851x2)+(64x3)+(2x4)
= 6700, infatti in un ambo vi sono due estratti, in un terno tre e in una quaterna quattro.
Questo risultato non lo si ottiene nemmeno se effettuiamo il prodotto np in cui p è la probabilità per “almeno
uno” degli otto numeri: 15075 x 0,7791627 = 5716 perché quest’ultimo risultato conta i successi ottenuti e
cioè la somma delle estrazioni in cui si è avuto esito positivo (evento semplice o multiplo che sia).
Infatti: estratti 4799; ambi 64; quaterne 2, il totale è 5716.
E per la verifica si ha:
a) numero degli insuccessi: 15075 x 0,6208370 = 9359 che sono le estrazioni in cui non è comparso alcuno
degli otto numeri; quindi
b) numeri di insuccessi: 15075 - 9359 = 5716. Si è avuto un successo ogni 15975/5716 = 2,63 estrazioni.
Con p per “almeno una” delle C(N,m) combinazioni si ha: np = 1 da cui n = 1/p e questo valore, che è
l’inverso delle probabilità per almeno una delle C(N,m) combinazioni è detto “Ritardo naturale” ed è il solo
valore veramente significativo perché rappresenta il numero medio delle estrazioni per un successo.