Formule salienti di Idraulica
CONDOTTE IN PRESSIONE
L’idraulica, è quella scienza che si occupa dello studio dei fluidi in genere ma in particolare di
quella classe denominata col nome di LIQUIDO, ovvero dei fluidi incomprimibili. Lo studio si
occupa sia di capire cosa avviene ad un liquido che si trova sia in condizioni di staticità che in
moto, moto che può avvenire come corrente in pressione o come flusso che scorre a pelo libero.
Lo studio delle condizioni statiche o di moto di un fluido viene fatto mediante la risoluzione di due
importanti equazioni:
L’equazione dell’equilibrio mobile di Navier-Stokes
L’equazione di continuità
PARTE I
All’equazione di Navier-Stokes si arriva effettuando un bilancio delle forze agenti
Sul volumetto dv di lati: dx1, dx2, dx3.
Le forze agenti sono:
-
di massa
d’inerzia
di superficie
Forza di massa: dalla F = m a si ottiene
Fm dx1dx 2dx3 * f
dove f nel campo gravitazionale è pari all’accelerazione gravitazionale g
Forze d’inerzia che tengono conto delle accelerazioni del fluido
In direzione non verticale ovvero:
Fi dx1dx 2dx3 *
du
dt
Forze di superficie che tengono conto del fatto che il volumetto a contatto con
la massa fluida totale è sottoposto a scambi con lo stesso ovvero:
Sulla superficie del volumetto di normale x1:
Fs dx 2dx3 * 1
ovviamente sulla superficie di eguale normale ( l’opposta ) lo sforzo sarà differente:
1
1' 1
dx1
x1
e questo vale per tutte le superfici del volumetto.
La risultante Rs sarà:
1 2 3
Rs
dx1dx 2dx3
x1 x 2 x3
Considerando l’equilibrio del volumetto stesso, dalla: Fm + Fi + Rs = 0
Otteniamo:
dx1dx 2dx3 * f dx1dx 2dx3 *
du 1 2 3
dx1dx 2dx3 0
dt x1 x 2 x3
e quindi:
* f *
du 1 2 3
0
dt x1 x 2 x3
considerando il tensori degli sforzi:
11 12 13
T 21 22 23
31 32 33
e poiché
11 12 13
1 2 3
(
)(
) 21 22 23
x1 x 2 x3
x1 x 2 x3
31 32 33
pf – pa – div T = pf – pa - T
facendo opportune sostituzioni si arriva all’equazione di Navier-Stokes:
du
p
2 u f 0
dt
considerando che l’accelerazione dipende dal tempo ma anche dalle coordinate
ovvero possiamo considerarla come somma di una accelerazione locale ed una convettiva ovvero:
du u u dx1 u dx 2 u dx3
dt t x1 dt x 2 dt
x3 dt
e sostituendo ad “f” l’accelerazione gravitazionale come:
z
z
z
g g
g
g
x1
x 2
x3
e quindi considerando un fluido newtoniano pesante:
1 du 2
grad ( z )
u
g dt g
p
CASI PARTICOLARI
LIQUIDO FERMO ( u = 0 )
l’acqua è contenuta da un recipiente, caso di idrostatica
implica che :
grad ( z
p
)0
(z
p
)1 ( z
p
)2
Discerne l’espressione per calcolare la pressione per un punto avente un certo affondamento:
se z2 - z1 = h
h P Patm
Patm
2
h
1
z2
z1
z=0
Se il fluido è in moto, possiamo considerare :
linee di flusso:
l’inviluppo dei vettori velocità in un istante “t”
traiettorie:
l’insieme dei punti occupati successivamente durante il moto.
Abbiamo già visto l’equazione indefinita di Navier-Stokes
Indefinita poiché vale solo puntualmente.
Bisogna integrarla ad un volume generico W contenuto in un’area A generica.
A
Si integra l’equazione:
f
du
1 2 3
(
)
dt
x1 x 2 x3
otteniamo:
f dw
W
W
du
1 2 3
dw (
)dw 0
dt
x
1
x
2
x
3
W
poiché:
du u u dx1 u dx 2 u dx3
dt t x1 dt x 2 dt
x3 dt
Avremo che:
u
u dx 2
u dx3
u dx1
dw
dw
t
x
1
dt
x
2
dt
x
3
dt
W
W
1 2 3
(
)dw 0
x
1
x
2
x
3
W
G
Se il moto è permanente le forze d’inerzia locali sono nulle,
se inoltre il moto è rettilineo uniforme anche le forze d’inerzia convettive sono nulle.
Per dare una espressione più semplice all’equazione si applica la formula di Green:
u
G dw uun dA ndA 0
t
W
A
A
dove:
un è la componente di u sulla normale “n”
n è lo sforzo agente sull’area dA di normale “n”
n
un
u
u
n
dA
A
dA
n
Quindi passiamo da una forma indefinita ( locale )
f
du
1 2 3
(
)
dt
x1 x 2 x3
ad una forma globale:
G
W
u
dw uun dA ndA 0
t
A
A
dove:
G è il peso del fluido contenuto all’interno dell’area A
W
u
dw = I
t
forza d’inerzia locale
uun dA = M
flusso di quantità di moto
A
ndA
=
A
superficie A
risultante delle forze di superficie che il resto del fluido applica sulla
Nel caso di Idrostatica:
I=0
M=0
n coincide con la pressione
RECIPIENTE CON DUE LIQUIDI DIFFERENTI
Vediamo adesso cosa avviene nel caso di un recipiente che contiene due fluidi differenti:
per ogni liquido vale l’espressione dell’idrostatica:
(z
p
)1 ( z
p
)2
In questo caso il p.c.i del liquido più sopra è noto ma non lo è quello del liquido sotto
Però, possiamo però considerare il punto di contatto
appartenente sia ad uno che all’altro liquido.
Quindi dall’eguaglianza:
h1 1 h 2 2
1
h 2 h1
2
P.c.i 1
h1
h2
1
P.c.i 2
2
z=0
Si può ricavare la quota del pelo libero in ogni caso mediante un piezometro,
ovvero un tubicino a diametro non di capillarità.
Quando esso viene collegato al serbatoio, il liquido risalire il piezometro fino alla quota p.c.i. del
recipiente anche se esso è un serbatoio in pressione.
SPINTA SULLE SUPERFICI DI UN RECIPIENTE
Spinta su superficie non inclinata
Prendiamo inizialmente un serbatoio di forma semplice ( parallelepipedo ):
si dimostra che, sul recipiente, il fluido esercita appunto delle spinte ovvero delle forze rivolte verso
le pareti; la spinta applicata su una superficie sarà una:
d dA
spinta infinitesima su una porzione di superficie
Bisogna allora integrare a tutta la superficie A
Otteniamo che ( applicata la formula di Green ):
ndA n dA n zdA
A
A
A
la spinta su una superficie verticale è un vettore che ha:
MODULO
DIREZIONE normale alla superficie
VERSO dall’interno verso l’esterno.
La spinta sarà applicata su un punto che è spostato dal baricentro dell’area di una certa eccentricità
come per la spinta che vedremo sulla superficie inclinata.
Spinta su superficie inclinata di un angolo
poiché la superficie è inclinata, dobbiamo considerare che:
p.c.i.
r
Z
Zo
dA
baricentro
z = r cos
quindi la spinta sarà in modulo pari a:
n cos rdA
A
r dA rappresenta il momento statico della superficie A rispetto alla
“ traccia della linea di sponda” .
Zo è l’altezza del baricentro geometrico di A
r0 è l’altezza del baricentro di dA.
Quindi
rdA r A
A
Ma ( r0 cos ) = Zo
0
In tutto avremo che, la spinta su superficie inclinata è pari in modulo a:
nz0 A np0 A
la spinta in questo caso, non è applicata sul baricentro della superficie,
essa sarà applicata ad una distanza dalla traccia della linea di sponda pari a:
y r0
I0
M
allora l’eccentricità della spinta sarà pari a :
e
I0
M
dove:
r0 è la distanza dalla traccia del baricentro geometrico
I0 è il momento d’inerzia baricentrico ( gabellato a seconda della sezione )
M è il momento statico M = r0 A
Se la superficie A è parallela al p.c.i. implica che:
r0
quindi avremo che la spinta è applicata al baricentro della sezione poiché:
y r0
I0
I
r0 0 r0 0 r0
M
Spinta su superficie curva
Questa volta, il calcolo della spinta è un pò differente;
questa volta infatti, il versore normale “n”, è variabile in direzione e quindi non possiamo
metterlo a coefficiente dell’integrale.
Allora si procede in modo differente:
Considerando il volume del recipiente delimitato dalla superficie curva ( B ) e
dalla superficie verticale che chiude quella curva ( A ).
Si applica l’equazione globale:
C
B
A
G
La spinta sarà uguale ad:
S 0
applicando l’equazione globale si ricava che:
G 1 0 0 G 1 0
equazione vettoriale
quindi sommando i vettori G e 1 otteniamo la spinta in :
-direzione
-verso
-modulo
S
G
N.B.
il peso G sarà pari al prodotto del volume e della densità
1 è una spinta su superficie verticale e si ottiene dalla :
1 1 A( AC )
dove: 1 è l’affondamento dal pelo libero del baricentro dell’area A(AC).
PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA SPINTA
La retta di azione della spinta passerà per il centro della curva
La spinta è applicata nel punto intersezione fra la retta d’azione
di 1 e la superficie curva.
C
B
A
G
Vediamo adesso come cambiano le cose se la superficie curva ha concavità apposta a quella
precedente come quella della successiva figura:
C
A
G
B
In questo caso si ipotizza il volume all’esterno della curva anch’esso pieno di liquido avente lo
stesso peso specifico, successivamente si applica il bilancio delle forze applicate sul volume fittizio
come nel caso precedente, ma in questo caso avremo che:
S o
e da questo discerne che:
S G 1
Analogo discorso viene fatto per il punto di applicazione:
C
B
A
G
Il metodo appena visto, ha una limitazione poiché il calcolo non può essere applicato quando la
superficie curva ha una linea di contorno che non giace su di un unico piano.
II metodo del calcolo della spinta.
Questo metodo consiste nel calcolare la spinta mediante le loro componenti:
Sy e Sx
Componente verticale Sy
Si procede isolando il volume di liquido contenuto come in figura:
Considereremo il
volume , racchiuso
dalle superfici:
Curva (in verde)
Dal p.c.i (in
celeste)
Dalla superficie
laterale formata
dalle:
A,B,C e D
Poiché questo metodo può essere applicato quando la superficie curva ha una linea di contorno che
non giace su di un unico piano in genere la superficie laterale è data dalla porzione compresa fra
superficie curva e p.c.i. delle infinite generatrici appoggiate alla curva stessa.
AB
A
AB
G
B
Sy Sy ( p.c.i.) Sy paretiverticali Sy AB
ma Syp.c.i. è nulla poiché Prel = 0
Sy delle pareti verticali è anch’essa nulla
Le AB si bilanciano
Allora l’unica spinta agente sulla superficie curva è il peso G
Sy = G
La componente verticale della spinta sarà in direzione:
concorde con G se il volume isolato è reale
discorde con G se il volume isolato è fittizio.
S
y
Componente orizzontale Sx:
Si procede isolando il volume di liquido contenuto delimitato da :
un piano verticale a distanza arbitraria dalla superficie curva AB
la superficie laterale data dalla porzione compresa fra superficie curva e il piano verticale scelto
delle infinite generatrici orizzontali appoggiate alla curva stessa.
Piano verticale a distanza arbitraria
D
A
B
C
Per il bilancio sul volume avremo che:
AB = CD (In modulo )
Allora : Sx = AB = CD
(In modulo )
Sy = CD
La componente orizzontale della spinta sarà in direzione:
verso l’esterno se il recipiente è in pressione
verso l’interno se esso è in depressione
BILANCIO DI MASSA ( equazione di continuità )
Attraverso un volume di controllo dw si ha un passaggio di massa totale pari a:
u1dx 2dx3dt ( u1
u1
u1
dx1)dx 2dx3dt
dx1dx 2dx3dt
x1
x1
in tutto avremo che:
u1 u 2 u3
dx1dx 2dx3dt div ( u )dx1dx 2dx3dt
x 2
x3
x1
La variazione all’interno del volumetto dv è :
( dx1dx 2dx3)
dt dx1dx 2dx3
dt
t
t
In tutto allora avremo che:
div ( u )dx1dx 2dx3dt dx1dx 2dx3
dt
t
poiché un liquido ha densità costante, avremo che:
div u = 0
nota come equazione di continuità.
L’equazione di continuità applicata a un tubo di flusso ci da come risultato che:
La portata rimane costante lungo il percorso ovvero:
Q
0
s
se il fluido è perfetto avremo che:
dQ
0
ds
ds
Questo implica che per più sezioni trasversali la portata resta costante lungo “s” e quindi:
se la sezione diminuisce deve aumentare la velocità media.
E’ questo poiché
Vm
Q
A
Ovvero se A1 < A2 < A3 implica che : V1 > V2 > V3.
A1
A2
A3
Abbiamo visto l’equazione di Navier-Stokes per fluido pesante ed incomprimibile:
grad ( z
p
)
1 du 2
u
g dt g
Fluidi perfetti ( viscosità nulla )
Se il fluido è inoltre perfetto, ovvero a viscosità nulla, avremo che:
p
EULERO
1 du
grad ( z )
g dt
Nota come relazione di
Spesso conviene scomporre l’equazione di Navier-Stokes secondo una terna detta “intrinseca”
Questa terna è caratterizzata da tre assi:
s asse che varia nel tempo, restando sempre tangente alla traiettoria del flusso.
n asse sempre normale all’asse “s” diretto ovvero nella direzione centripeta dell’accelerazione
b asse bitangente, ovvero normale al piano ( s , n ).
Secondo questa terna, l’equazione di Navier-Stokes, viene scomposta in tre equazioni scalari:
Asse “s”
Asse “n”
Asse “b”
p
1 du
(z )
s
g dt
p
1 u2
(z )
n
g r
p
(z ) 0
b
Se la corrente è lineare, anche
p
(z ) 0 ;
n
b
n
s
La relazione di EULERO, può essere espressa in modo differente tenuto in conto il fatto che
L’accelerazione du/dt è in realtà la somma di due componenti:
accelerazione locale:
u
t
accelerazione convettiva:
u u u
s n b
nel caso di condotta lineare avremo che:
du u u ds
dt t s dt
In tutto, otteniamo l’equazione indefinita del moto di un fluido perfetto, incomprimibile, pesante
Che si muove lungo una traiettoria generica “s”.
p
1 du u 2
(z )
( )
s
g dt s 2 g
Se il moto è permanente ovvero :
u
0
t
Otteniamo l’equazione di Bernoulli:
V2
( z ) cos tan te
2g
p
Se inoltre, il moto è uniforme, anche la piezometrica è parallela alla l.c.t.
ed è quindi anch’essa orizzontale.
Osserviamo cosa significa questa equazione :
carichi totali
p1/
p2/
piezzometrica
traiettoria
z1
z2
z=0
z
è l’energia potenziale rispetto al piano Z = 0 del volume di liquido di peso unitario
p
energia di potenziale di movimento
(z
V2
2g
p
)
è l’energia potenziale totale
rappresenta l’energia cinetica
Allora le equazioni di Bernoulli, esprime il fatto che, in una corrente lineare di fluido perfetto,
newtoniano e incomprimibile non si dissipa il così detto carico totale.
( il fluido è perfetto se ha viscosità nulla e quindi non si esplicano sforzi tangenziali )
MOTO LAMINARE E MOTO TURBOLENTO
Si suppone di immettere una goccia di colorante in un fluido in moto
Definiamo moto laminare se la goccia definisce una traiettoria lineare
che non perde la propria individualità.
Definiamo invece, moto turbolento, il moto nel quale la goccia perde
la propria individualità colorando più o meno uniformemente tutto il fluido.
Possiamo conoscere la caratteristica del moto mediante il valore di Raynolds :
definito il numero di Raynolds “Re” come :
Re
uD
dove
u è la velocità media
D è il diametro della condotta
è la viscosità cinematica
Se: Re < 2000 il moto sarà laminare
Re > 3000 il moto sarà turbolento.
Fluidi reali ( a viscosità non nulla )
Abbiamo visto che l’equazione di Navier-Stokes per i fluidi perfetti si riduce all’equazione di
Bernoulli
Che esprime il fatto che il carico totale di una corrente in moto, se il fluido è perfetto, non subisce
dissipazioni di alcun genere ovvero, la linea dei carichi totali è una retta orizzontale.
Adesso osserviamo cosa avviene nel caso più semplice di moto di un fluido reale e vedremo che
a causa del fatto che la viscosità adesso non è più nulla, si hanno dissipazioni di carico.
MOTO LAMINARE LINEARE DI FLUIDO REALE
In moto uniforme in una condotta a sezione circolare
Per un fluido reale l’equazione di Navier-Stokes assume una forma differente:
p 2 u1 2 u1 2 u1
(z ) (
)
x1
g x1 x2 x3
Ma è più conveniente esprimerla in coordinate polari ( r, ), poiché si ha simmetria rispetto alla
rotazione ovvero, l’equazione vale per tutti i punti di una circonferenza di raggio ri .
Essa diventa:
p 1 d du
(z ) (
ri )
x1
g r dr dr
x2
x3
x1
ri
Nel caso di fluido reale la viscosità è non nulla e continua a comparire nell’equazione di NavierStokes
p 2u1 2u1 2u1
(z ) (
)0
x1
g x1 x2 x3
ed inoltre, la linea dei carichi totali non è più orizzontale così come la piezometrica,
e quindi subisce un abbassamento:
Il rapporto fra l’abbassamento del p.c.i. ed il percorso dx si chiama cadente piezometrica
e si indica con J ( iota )
d (z
J
p
)
dx1
Questo fenomeno è causato dalla non idealità del fluido e quindi la cadente sarà
proporzionale alla viscosità dello stesso, infatti:
J
2u1 2u1 2u1
(
)
g x1 x2 x3
Se facciamo riferimento alla terna intrinseca e consideriamo che il moto uniforme della corrente
avviene nella sola direzione x1 come si nota dalla figura,
X
3
X
2
X
1
possiamo dire che:
u1
2u1
0
0
x1
x1
e quindi avremo che:
J
2u1 2u1
(
)
g x2 x3
E questo si traduce in coordinate polari con la:
J
poiché:
1 d
du1
g r dr dr
J
Avremo che:
g
r
J
ed inoltre :
rdu
x
dr
J
rdr dx
Per tutta la sezione bisogna integrare quest’ultima fra 0 ed r e fra 0 e x :
x
r
J rdr dx
0
0
otteniamo quindi una equazione differenziale:
r2
du
J
r
2
dr
separando le variabili:
r2
J
dr du
2r
la quale va integrata:
u
r
J
rdr du
2 D
0
2
e questa ci da la relazione definitiva:
J D 2 r 2
u
(
)
4 4
nota come equazione della distribuzione delle velocità per un fluido reale
in moto in condotta circolare di diametro D.
( l’equazione da luogo ad un paraboloide )
Sostituendo i valori di “r” si nota che a causa della viscosità, il fluido che lambisce le pareti della
condotta ha velocità nulla; di contro la velocità massima si raggiunge al centro .
Infatti per r = 0 otteniamo :
Vmax
JD2
16
La velocità media sarà pari a :
D
2
Q
Vm
A
udA 2dr
A
A
0
D2
4
1
JD 2
Vmax
2
32
Vm
Vmax
dall’espressione della Vm si ricava che:
32 Vm
D2
J
effettuando opportune sostituzioni si ottiene che:
32 Vm2 64 Vm2
J
g 2 gD Re 2 gD
per comodità si usa indicare con il rapporto :
64
Re
Si ottiene che la cadente sarà pari a :
J
Vm2
D 2g
nota come relazione di Darcy-Weisbach.
Sforzo in condotta a sezione circolare
Per un fluido reale pesante in moto in una condotta a sezione circolare, sussiste simmetria a parità
di raggio ed inoltre gli sforzi tangenziali sono uguali fra loro, ovvero:
12
u1
(
) 21
x 2
è quindi ha senso parlare di un unico sforzo :
du
dr
in funzione del raggio avremo che:
r
J
2
detto questo avremo che, lo sforzo alle pareti è massimo mentre al centro del flusso, esso è nullo
ed è per questo che si realizza la massima velocità al centro e velocità nulla alla parete.
Da notare che:
max
Vm
=0
Vmax
RICAPITOLANDO
max
D
J
4
Per una corrente in pressione di fluido reale che scorre in una condotta a sezione
circolare di moto uniforme si ha che :
l’equazione della distribuzione delle velocità è :
J D 2 r 2
u
(
)
4 4
La linea dei carichi totali e la piezometrica non sono orizzontali
si ha infatti una cadente data dalla:
64 1 Vm2
J
Re D 2 g
Ricordando che Re è il numero di Raynolds dato dalla:
Re
VmD
posto
64
Re
si ottiene l’espressione di Darcy-Weisbach
J
Vm
2
D 2g
Si è dimostrato che la relazione di Darcy-Weisbach, può essere applicata
a moti laminari uniformi differenti da quelli in condotta a sezione circolare, quali:
b) moto laminare fra due lastre parallele ed infinite
c) moto laminare che avviene a superficie libera
apportando la modifica del numeratore dell’indice
infatti parleremo di :
64
n
Re Re
nel caso di condotta a sezione circolare avevamo che:
D è il diametro ed n = 64
D=
diametro
nel caso b)
D è la distanza fra le lastre ed n = 24
D è la
distanza
fra le
lastre
Nel caso c)
D è l’altezza della corrente ed n = 3
Dè
l’altezza
della
corrente
MOTO TURBOLENTO UNIFORME DI FLUIDO REALE
Nel caso in cui il moto sia turbolento, se supponiamo di fare delle “fotografie”
del sistema in istanti generici “t”, si nota che in ogni istante, sia la velocità che la pressione
hanno delle disposizioni sempre differenti ed è impossibile fornire una espressione
matematica che lega le variazioni di velocità e pressione per i vari istanti;
questo vuol dire che, sia la velocità che la pressione, sono delle variabili casuali.
Allora si deve adottare un procedimento di tipo statistico.
Si ipotizza che il vettore velocità sia dato dalla somma di due vettori:
u u u'
ovvero come somma di un vettore velocità medio e del vettore u’ che è lo scostamento
istantaneo dal valore medio.
In vari istanti, per un punto “p”, il vettore velocità assume differenti valori in modulo verso e
direzione,ed è per questo che possiamo esprimere il vettore “u” come somma vettoriale di un
vettore che rappresenta la media di tutti i vettori velocità e del vettore che rappresenta appunto lo
scostamento di “u” dal valore medio.
Il vettore medio delle velocità, sarà dato da:
1
u
T
t
2
udt
t
2
Il discorso della media e dello scostamento può essere meglio compreso se facciamo riferimento
alla pressione anziché al vettore velocità: Sperimentalmente si osserva che il vettore velocità, da
luogo a variazioni, istante per istante, del tutto casuali, per questo motivo, un grafico sul piano (
tempo, pressione ) risulta discontinuo e casuale.
Pressione
dt1 dt2
tempo
Dt1
Dt2
Se prendiamo due intervallini temporali, piccoli ( dt1 e dt2 ) i due valori medi della pressione sono
molto differenti;
se invece, consideriamo due intervalli più grandi ( Dt1 e Dt2 ) i due valori medi saranno
sensibilmente più simili.
Tornando al discorso del vettore velocità possiamo capire che la risoluzione del problema consiste
nel fare una media appropriata; il problema fu risolto da Raynolds che sostituì nell’equazione di
Navier-Stokes, i valori di velocità e pressione come somma dei valori medi e degli scostamenti e
successivamente effettuando una media generale.
Le equazioni che vennero tratte da Raynolds sono conosciute come: RANS (Raynolds Avarage
Navier-Stokes )
ovvero equazioni di Navier-Stokes mediate alla Raynolds.
Si considerano infatti i valori:
(ui ui ' )
ed
( pi pi ' )
Successivamente si considerano le medie temporali ovvero:
Avremo che:
(ui ui ' ) ui ui '
t
t
t
(ui ui ' )
t
( media generale )
dove il secondo termine è nullo.
Si ottiene allora che
u1 u1
Sostituendo nell’equazione otteniamo:
u1 u1
u1
u1
1 p
2 u1 2 u1 2 u1
( u1
u2
u3)
( 2
) f 0
2
2
t
x1
x 2
x3
g x1
x1 x 2 x3
ricordando che la media della somma di due valori medi è pari alla somma dei valori medi stessi
e che la media di un termine fluttuante ( scostamento ) è nulla si ricava una nuova espressione
dell’equazione di Navier-Stokes:
Ovvero dall’equazione generale dell’equilibrio dinamico di Navier-Stokes che scritta in forma
contratta era:
3
3 2
1 p
ui
u
ui
i
uj
fi 0
2
t
x
x
x
j 1
j 1
j
i
j
con “i” che va da 1 a 3
Si passa alla stessa equazione mediata alla Raynolds:
3 u u
3 2
ui 'u j ' 1 p
ui
ui
i
j
f 0
2 i
t
x j xi
j 1 x j
j 1 x j
ui u j ui 'u j '
dove il termine x
x j
j
è un termine convettivo.
Per il moto turbolento di un fluido reale allora bisogna risolvere un sistema di 4 equazioni scalari
dato dalle tre proiezioni scalari dell’equazione di Navier-Stokes mediata alla Raynolds e da quella
di continuità.
3 2
ui 3 ui u j ui 'u j ' 1 p
ui
fi 0
2
t j 1 x j
x j xi
x
j 1
j
tre equazioni in x1, x2 e x3
u j
xi
0
equazione di continuità.
PARTE II
Nell’ equazione mediata alla Raynolds compare il termine: ui 'u j '
Questo termine rappresenta la correlazione fra le componenti fluttuanti della velocità.
Esso assume significato fisico se moltiplicato per la densità del fluido:
ui 'u j ' infatti rappresenta l’insieme degli sforzi turbolenti o sforzi di Raynolds.
Ciò vuol dire che in tutto si avranno degli sforzi viscosi ma anche degli sforzi aggiuntivi che danno
luogo alle turbolenze del moto; possiamo considerare questi nuovi sforzi nel tensore:
Ttot = T - Tr
11 12 13
T 21 22 23
31 32 33
u'1 u'1u'2 u'1u'3
Tr u '2u '1 u '2 u '2u '3
u'3u'1 u'3u'2 u'3
2
2
2
Quindi l’equazione di Navier-Stokes diventa:
f
u
u ( grad u ) div (T Tr )
t
poiché in forma estesa l’equazione assume una forma troppo complicata e quindi il sistema delle
sue tre proiezioni insieme all’equazione di continuità diventa molto complesso da risolvere, si
procede utilizzando dei modelli di turbolenza che legano gli sforzi di Raynolds con i valori medi
della velocità e della pressione.
MODELLI DI TURBOLENZA
Bisogna precisare che in presenza di regime turbolento:
non si può parlare fisicamente di moto uniforme; esso è una pura astrazione, ovvero si intende per
moto turbolento uniforme, il moto calcolato mediante i valori medi ma fisicamente esso non può
esistere.
Il concetto di traiettorie rettilinee si riferisce soltanto alla traiettoria media delle velocità
Poiché il moto uniforme turbolento appena descritto, è un moto “ di media “ la curva delle
distribuzioni delle velocità sarà sensibilmente “piatto” come si può notare dalla figura:
Vmax
CONSIDERIAMO IL MOTO TURBOLENTO IN CONDOTTA CIRCOLARE
Se facciamo riferimento alla condotta cilindrica, si nota che:
u 2 u 3
2 u 2 2 u3
implica
0
0
2
2
xi
xi
xi
xi
Con” i” che va da 1 a 2
L’equazione di Raynolds allora si riduce ad una sola equazione scalare in X1 ( direzione del moto ):
p u1
1 u1 2 u1 2 u1 2 u1 u1 u2 u1 'u3 '
(z
)
x1
2g
g t g x12 x 2 2 x32 x2
x3
2
nella quale :
p
( z ) Jp
x1
ovvero la cadente piezometrica
2
p u1
(z
) Jt
x1
2g
ovvero la cadente della linea dei carichi totali
Questa espressione va integrata all’area A contenente un volume W, applicando il lemma di
Green considerando il perimetro bagnato “p”, considerando inoltre nell’integrazione della “u”
media di un coefficiente di ragguaglio per utilizzare la velocità media Vm; facendo opportuni
passaggi si ottiene un’espressione definitiva:
p Vm2
1 Vm 1 u1
(z
)
u1' u 2' dp
x1
2g
g t
A p n
dove:
u1
n
è lo sforzo viscoso
u '1u '2 è lo sforzo turbolento.
Indichiamo con il valore mediato dello sforzo tangenziale in un punto della superficie
del cilindretto di raggio “r” esso sarà pari a:
0
u1
u '1u '2
n
Come già detto, in una condotta cilindrica, sussiste simmetria assiale e quindi lo sforzo tangenziale
risulta essere distribuito uniformemente all’interno della condotta ed in particolare avremo che :
0,m
1
0 dp
p p
mediante questo passaggio, possiamo scrivere l’equazione di Raynolds come:
p Vm2
p
(z
) 0
x1
2g
A
Allora nel caso in cui il moto sia uniforme avremo che:
Jp Jt J
0 p
A
e quindi la cadente piezometrica coincide con quella della linea dei carichi totali.
CASI PRATICI
Supponiamo di avere due recipienti, e di conoscere il dislivello fra loro e le caratteristiche della
condotta che supponiamo fatta da un unico tubo; a questo punto si presentano due casi differenti:
-
il moto che si sviluppa, è laminare
il moto che si sviluppa, è turbolento.
L
MOTO LAMINARE
Poiché il rapporto fra il dislivello e la lunghezza della condotta ci da la cadente J e quindi dalla
relazione di Darcy-Weisbach è possibile ricavare la velocità media :
Vm 2
J
L
D 2g
nella quale l’unica incognita è la velocità media.
Dalla velocità Vm è possibile ricavare la portata Q poiché:
Q = Vm A;
MOTO TURBOLENTO
Se il moto è turbolento, dobbiamo conoscere : , D e Vm ed inoltre la scabrezza della condotta.
Infatti in una condotta la determinazione degli sforzi dipende dalla scabrezza della condotta, poiché
si possono sviluppare sforzi viscosi e turbolenti e la loro distribuzione varia; bisogna tenere sempre
in considerazione il fatto che in ogni caso si ha la presenza di un substrato limite viscoso più o
meno esteso.
Possiamo suddividere il fluido in moto in vari filetti, da quello più vicino alla parete, a quello più
interno che è quello più veloce come si nota dalla figura:
La turbolenza, come si nota dalla figura successiva, si esplica ad una certa distanza dal bordo
poiché sussiste il substrato limite viscoso:
possiamo notare che avremo delle componenti del moto parallele al moto stesso ( in nero ) e delle
componenti di turbolenza ( in giallo ) ma è sempre presenta il substrato limite viscoso ( in blu ) che
viene disturbato dalle turbolenze in modo praticamente nullo.
Dalla figura successiva si nota come vengano distribuiti i due sforzi in base al tipo di moto:
sforzo viscoso
Moto turbolento
sforzo turbolento
Moto laminare
Moto puramente turbolento
Lo sforzo allora sarà per il moto turbolento pari a :
0
u1
u '1u '2
n
Per il moto laminare invece:
0
u1
n
Lo sforzo in ogni caso si può esprimere indipendentemente dal tipo di regime mediante la:
r
J
2
IN DEFINITIVA:
Per moto laminare abbiamo utilizzato la relazione di Darcy-Weisbach per risolvere il problema, per
il moto turbolento, possiamo fare riferimento alla stessa equazione ma con qualche modifica:
Infatti in questo caso l’indice non dipende dal solo numero di Raynolds:
(Re,
D
)
dove il rapporto /D è la scabrezza relativa.
Allora adesso bisogna trovare una relazione che lega le tre grandezze : , /D e Re
Sostituendo l’espressione generale dello sforzo nella relazione di Darcy si ottiene un’equazione
importante:
1
8
0 Vm2
dalla quale si ricava la seguente:
0
Vm
8
se indichiamo con:
0
u*
Otteniamo la relazione di partenza per trovare il legame fra le tre grandezze:
1
1 1 u
dA
A
u
*
8 A
Da questa si ricavano le così dette leggi di resistenza
LEGGI DI RESISTENZA
Per trovare la legge di resistenza bisogna fare una distinzione fondamentale, infatti le varie
relazioni vennero ricavate differentemente per:
-
tubi lisci
tubi artificialmente scabri
tubi commerciali
TUBI LISCI
Il modello che spiegò cosa avviene nei tubi lisci, venne ricavata da PRANDTL il quale costruì un
modello valido:
Prandtl ricavò che per tubo liscio lo sforzo di turbolenza è pari a:
du
turbolenza u '1u '2 l 2
dy
2
nella quale: “l” è la lunghezza del percorso di mescolamento ed “y” è la distanza dalla parete.
PERCORSO DI MESCOLAMENTO
La lunghezza del percorso di mescolamento “l” può essere definita come la distanza che una
particella percorre in direzione trasversale alla corrente per effetto dell’agitazione, prima di
scambiare la propria q. di moto con altre particelle.
Il modello di Prandtl si basa su delle ipotesi:
Ipotesi sullo sforzo: totale = turbolenza
Ovvero si trascurano gli effetti della viscosità e quindi anche la presenza del substrato limite
viscoso.
II ipotesi sullo sforzo:
Lo sforzo tangenziale è costante sulla sezione
quindi lo si può denotare con lo sforzo tangenziale sulla parete ovvero :
totale = turbolenza
(y) = costante = 0
Ipotesi su “l” : La lunghezza “l” è proporzionale alla distanza dalla parete “y”
Ovvero l = k Y dove K è la costante di Von Karman
Tutte queste ipotesi si traducono in formule e si ottiene:
2
du
du
0 l 2 k 2 y 2
dy
dy
2
E quindi si ottiene:
0
du
ky
dy
quindi
du u * 1
dy
k y
Che integrata da luogo alla distribuzione della velocità media per tubo liscio:
u( y)
u*
ln y cos t
k
Ma in realtà da studi successivi, si è capito che bisogna tenere conto del substrato limite
viscoso; la relazione esatta della distribuzione della velocità media venne ricavata da Prandtl e
Nikuradse valida per la regione di liquido sufficientemente lontana dal substrato limite
viscoso tale da esserne vicina per mantenere valida l’ipotesi della costanza dello sforzo
turbolento :
u
y
( y) 2,5 ln
5,5
u*
y*
nella quale y* è detta lunghezza caratteristica data dalla:
y*
u*
Per il substrato limite viscoso vale invece l’espressione:
u( y)
yJ
y( D y)
4
ma poiché y << D otteniamo :
u( y)
yJ
Dy
4
Si dimostra inoltre che per i tubi lisci vale la relazione:
u
y
u* y*
Lo spessore del substrato limite viscoso è pari a :
11,6 D
0 Re
questa espressione ci fa capire come lo spessore del substrato limite viscoso diminuisce al crescere
di Re
are
Line
ico
ritm
Loga
D/2
Facendo le opportune sostituzioni nella:
1
1 1 u
dA
A
u
*
8 A
si ottiene la legge di resistenza per i tubi lisci:
2,51
2 log
Re
1
si trascura il substrato limite viscoso poiché le turbolenze possono essere attribuite al solo nocciolo
di turbolenza
TUBI ARTIFICIALMENTE SCABRI
Per tubo artificialmente scabro, si intende un tubo liscio al quale si fa aderire uniformemente della
sabbia monogranulare alla parete, questo esperimento venne fatto da Nikuradse per ricavare l’indice
di scabrezza “d ” legato al diametro “d” dei granuli. Poiché ogni granulo interferisce con la sola
metà del proprio diametro si considera d/2.
Nikuradse fece vari esperimenti con tubi diversi e sabbie a granulometria diverse ed ottenne i vari
valori della scabrezza relativa d/D.
Egli notò che se :
Re < Rec
il regime è laminare
log log 64 log Re
e si ottiene una legge di resistenza data dalla:
Re ≈ Rec ma per valori di Re < Re ‘ i tubi si comportano come se fossero lisci e quindi:
2,51
2 log
Re
1
Re > Re ‘ la curva si stacca da quella dei tubi lisci raggiungendo un minimo e tendendo infine
ad Re ‘’ asintoticamente.
Re > Re ‘’ l’indice di scabrezza perde ogni dipendenza dal numero di Raynolds e si parla di
un λ∞
Allora per:
Rec < Re < Re ‘ la corrente è in regime di tubo liscio
Re ‘ < Re < Re ‘’ la corrente è in regime di transizione
Re > Re ‘’ la corrente è in regime puramente turbolento
Tutto ciò venne tradotto da formule:
u * d
per
u * d
per
u * d
per
5
il tubo si comporta come tubo liscio
70
la corrente è in regime di transizione
70 si ha il moto puramente turbolento
Nikuradse ricavò che la legge di resistenza per il moto puramente turbolento è la seguente:
8
1 Du *
ln
4,75
k
2 d
TUBI COMMERCIALI
Nel tubo commerciale, ovvero i normali tubi che si trovano in vendita nei quali le asperità non sono
uniformi nella parete ma esse variano per forma, granulometria e direzione; Nikuradse notò che a
causa di queste differenze sostanziali, era impossibile applicare le formule ricavate per i tubi
artificialmente scabri; tuttavia egli notò che se il moto è puramente turbolento anche in questo caso
l’indice λ anche stavolta è indipendente dal numero di Raynolds.
Però questo volta la scabrezza relativa è una scabrezza di media ovvero: è quella uniforme ed
omogenea che influenza il moto della corrente allo stesso modo della scabrezza reale del tubo.
Per i tubi commerciali, otteniamo che:
1
2 log
3,71 D
1
In queste espressioni abbiamo che per Altschoul
Re'
23
Re' '
560
D
D
per Moody invece :
Re'
D
14
Re' '
200
D
Furono Colebrook e White ha dare una formula generale valida per i tubi commerciali
valida se Re > ReC :
1
2,51
2 log
3
,
71
D
Re
1
RICAPITOLANDO
DISTRUBUZIONI DI VELOCITA’ E LEGGI DI RESISTENZA
TUBI LISCI ( velocità )
u(
y
2,5 ln
5,5
u*
y*
Fuori dal substrato limite viscoso:
Nel substrato limite:
u( y)
yJ
( D y)
4
TUBI LISCI ( legge di resistenza )
1
Si trascura il substrato limite:
2 log
2,51
Re
TUBI ARTIFICIALMENTE SCABRI ( legge di resistenza )
REGIME DI TUBO LISCIO
1
Per velocità basse δ >> scabrezze
2 log
2,51
Re
REGIME DI TUBO SCABRO
2,51
2 log
Re 3,71D
1
Per velocità alte δ ≈ scabrezze
nota come Colebrook-White
REGIME PURAMENTE TURBOLENTO
1
Per velocità molto alte δ < scabrezze
2 log
3,71D
Per il regime puramente turbolento sussistono delle formule empiriche del tipo:
Darcy:
Q2
J 5
D
0.00164
0.000042
D
Chezy : ( Ro = raggio idraulico )
Vm 2
J 2
Ro
per BAZIN :
opp:
opp:
87
2
1
8g
D
c
4
1
6
TUBI COMMERCIALI ( legge di resistenza )
NOTA COME COLEBROOK-WHITE
2,51
2 log
Re 3,71D
1
Essa può essere scritta come:
k ' '
Q k ' D 5 J log
k ' ' '
3
D
D J
con : k’=-0.575; k’’ = 0.4; k’’’=0.269;
