1. Esercizio
Nella figura sotto, la massa M è
La molla ha caratteristica lineare
lunghezza L , senza peso, alla cui
scrivano le equazioni del moto del
vincolata a muoversi orizzontalmente su rulli privi d'attrito.
di costante elastica k . Un pendolo costituito da un'asta di
estremità vi è una massa m , è attaccato alla massa M . Si
sistema dato nei seguenti spazi di configurazione:
a) x X m
T
b) x X m
x
c) x X m
x
T
y
T
2. Teoria
Quanto si chiede si riferirà sempre ad
in generale di dimensione m n e
Rank ( A) r
a. Decomposizione
singolari di A
in
valori
b. Angoli di Eulero: a cosa servono e cosa sono.
c. Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed
applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l’ equazione
fondamentale dell’ approccio Udwadia-Kalaba (dimostrazione).
A. Esercizio
Si consideri il doppio pendolo della figura a lato che si
muove nel piano (sotto l’azione della gravità). I link di
collegamento, di lunghezze L1 ed L2 siano privi di
massa. Si scrivano le equazioni del moto per i modelli
nei seguenti spazi di configurazione:
a. q
1
2
1 x2
b. q x1
T
T
(l’asse x ha origine nella boccola fissa ed è orizzontale,
diretto verso destra nella figura e l’asse y, di
conseguenza, è verticale e diretto verso il basso)
Determinare, pertanto, per i suddetti modelli, le
rispettive matrici di massa ed i rispettivi vettori delle
forze esterne, commentando opportunamente i vari
passi del procedimento che si seguirà.
B. Teoria
a. Domanda
Si esponga la teoria delle rotazioni
1.
2.
3.
4.
partendo dalle Interpretazioni attiva e passiva della matrice di rotazione
indicando le condizioni necessaria e sufficiente affinché una matrice sia di rotazione
esprimendo l’ orientamento di un corpo rigido tramite gli angoli di Eulero
determinando l’asse di rotazione ed il relativo angolo corrispondente ad una certa terna
di angoli di Eulero
b. Domanda
Si enunci il principio di Gauss e lo si illustri in maniera chiara ed estesa precisando a cosa
serve, a chi e quando si applica, ecc. fino alla definizione (senza dimostrazione) dell’
equazione fondamentale UK.
Esercizio
Si consideri una particella che si muove nello spazio euclideo 2-dimensionale in cui è
fissato un riferimento Oxy .
Le componenti della forza impressa agente sulla particella siano Fx ed Fy . La velocità
t
della particella abbia componenti x e y tali che x t y e
con 0 .
Si assegnino condizioni iniziali opportune all’ istante t t0
c. Si scrivano le equazioni del moto per t t0
d. SI determinino le forze di vincolo necessarie a “guidare” la particella.
Teoria
Quanto si chiede si riferirà sempre ad in generale di dimensione m n e
Rank ( A) r
d. Equazioni di Lagrange: dimostrarle a partire dal principio di D’Alembert
e. Angoli di Eulero: a cosa servono e cosa sono (n.b.; non è richiesta la teoria delle
rotazioni).
f.
Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed
applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l’ equazione
fondamentale dell’ approccio Udwadia-Kalaba (dimostrazione).
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Teoria
Domanda
Si esponga la teoria delle rotazioni
5.
6.
7.
8.
partendo dalle Interpretazioni attiva e passiva della matrice di rotazione
indicando le condizioni necessaria e sufficiente affinché una matrice sia di rotazione
esprimendo l’ orientamento di un corpo rigido tramite gli angoli di Eulero
determinando l’asse di rotazione ed il relativo angolo corrispondente ad una certa terna
di angoli di Eulero
Domanda
Si enunci il principio di Gauss e lo si illustri in maniera chiara ed estesa precisando a cosa
serve, a chi e quando si applica, ecc. fino alla definizione (senza dimostrazione) dell’
equazione fondamentale UK.
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Esercizio
Si consideri una particella che si muove nello spazio euclideo 2-dimensionale in cui è
fissato un riferimento Oxy .
Le componenti della forza impressa agente sulla particella siano Fx ed Fy . La velocità
t
della particella abbia componenti x e y tali che x t y e
con 0 .
Si assegnino condizioni iniziali opportune all’ istante t t0
e. Si scrivano le equazioni del moto per t t0
f.
SI determinino le forze di vincolo necessarie a “guidare” la particella.
Teoria
Quanto si chiede si riferirà sempre ad in generale di dimensione m n e
Rank ( A) r
g. Equazioni di Lagrange: dimostrarle a partire dal principio di D’Alembert
h. Angoli di Eulero: a cosa servono e cosa sono (n.b.; non è richiesta la teoria delle
rotazioni).
i.
Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed
applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l’ equazione
fondamentale dell’ approccio Udwadia-Kalaba (dimostrazione).
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Esercizio
1. Determinare le equazioni del moto del sistema in figura costituito dalle due particelle m1
ed
m2 vincolate a stare a distanza L e
soggette rispettivamente alle forze esterne
F1 t e F2 t
2. Determinare le forze di reazione dei vincoli
agenti su ogni particella nello spazio di
configurazione x x1
y1
z1
x2
y2
z2
T
e
dimostrare che sono uguali ed opposte. Le
uniche forze esterne applicate sono quelle
dovute all’azione del campo gravitazionale.
3. Cosa accade se le due particelle non sono più
vincolate ad avere una distanza fissa bensì
L t L0 p e t ? I parametri L0 , p e
sono tutte costanti positive e p L0 .
4. Scrivere le equazioni del moto di questo sistema vincolato.
5. Assegnare le condizioni iniziali opportune perché il problema sia ben posto.
Teoria
a. Quanto si chiede si riferirà sempre ad in generale di dimensione m n e
1. Decomposizione in valori singolari di
Rank ( A) r
A
2. Dare la definizione e l’espressione della MP-inversa A
3. Equazioni del moto di Lagrange: come ci si arriva ?
4. Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando
ed applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l’ equazione
fondamentale dell’ approccio Udwadia-Kalaba (dimostrazione).
b. Corpo rigido con un punto fisso (orientamento)
1. Angoli di Eulero
2. Teoria delle rotazioni
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Esercizio
1) Si considerino due particelle di masse m1 ed m2 rispettivamente disposte nei centri di due
cerchioni uniformi privi di massa, aventi entrambi raggio r (vedi figura). Le masse sono
collegate da una barra inestensibile priva di peso di lunghezza L come mostrato sotto. I
cerchioni rotolano senza slittare su un piano inclinato rispetto all’ orizzontale di un angolo .
Quanti gradi di libertà ha tale sistema ? Scrivere le equazioni di vincolo e poi le equazioni del
moto del sistema.
Teoria
g. Data la matrice m n A e l’ m vettore b , si trovi l’ n-vettore x tale
che
la
funzione
di
Z x A x b A x b
2
T
A x b
sia minima.
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Teoria
Quanto si chiede si riferirà sempre alla matrice
Rank ( A) r
j.
A in generale di dimensione m n e
Si definiscano gli autovalori e gli autovettori di A , nonché le corrispondenti matrici,
imponendo l’opportuna condizione ai valori di m ed n
k. Decomposizione in valori singolari (SVD( A )) di A : in cosa consiste ? Esiste sempre ?
E’ unica (dimostrazione) ?
l.
Impostare il problema del moto vincolato di un sistema meccanico e, enunciando ed
applicando il principio di Gauss, scriverne la soluzione mediante l’ equazione
fondamentale dell’ approccio Udwadia-Kalaba (dimostrazione).
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