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ESERCIZI SUI CORPI CONTINUI
1. Le equazioni di moto dal punto di vista materiale di un corpo continuo C occupante tutto lo
spazio E sono le seguenti:
x1 xo1e t 2t
x 2 x o 2 e 2t t
( xo1 , xo 2 , xo 3 , t ) R 3 [0,)
x3 xo 2 (e t 1) x o 3.
Si chiede:
a) di determinare la configurazione di riferimento;
b) di provare che il moto è regolare;
c) di scrivere le equazioni del moto dal punto di vista spaziale.
2. E’ dato il corpo continuo C occupante tutto lo spazio E , in moto rispetto ad un dato osservatore
nell’intervallo di tempo [0, + ). Le sue equazioni di moto dal punto di vista spaziale sono le
seguenti:
v1 ( x1 , x2 , x3 , t ) x1 sin t
v 2 ( x1 , x2 , x3 , t ) x3 e t
( x1 , x 2 , x3 , t ) R 3 [0,)
v 3 ( x1 , x2 , x3 , t ) x2 e t .
Si chiede:
a) di scrivere le equazioni del moto dal punto di vista materiale prendendo come
configurazione di riferimento quella iniziale;
b) di provare che il moto è regolare.
3. Dato un corpo continuo C occupante tutto lo spazio E , le sue equazioni di moto dal punto di
vista materiale sono le seguenti:
x1 xo1e t t
x 2 xo 2 e t xo3
( xo1 , xo 2 , xo 3 , t ) R 3 [0,)
x3 xo1e 2t xo 3 e t .
Si chiede:
a) di provare che il moto è regolare;
b) di scrivere le equazioni del moto dal punto di vista spaziale;
c) di determinare la derivata materiale rispetto al tempo dal punto di vista spaziale del campo
scalare spaziale f f ( P, t ) definito su E [0,) avente la seguente rappresentazione
analitica
f o ( x1 , x 2 , x3 , t ) x1 x 2 e t t
( x1 , x 2 , x3 , t ) R 3 [0,).
4. E’ dato il corpo continuo C occupante tutto lo spazio E , in moto rispetto ad un dato osservatore
nell’intervallo di tempo [0, + ). Le sue equazioni di moto dal punto di vista spaziale sono le
seguenti:
2
v1 ( x1 , x 2 , x3 , t ) cos t x 2
v 2 ( x1 , x 2 , x3 , t ) sin t x1
( x1 , x 2 , x3 , t ) R 3 [0,).
v 3 ( x1 , x 2 , x3 , t ) 1.
( = costante > 1).
Si chiede:
a) di provare che il moto è incomprimibile;
b) di scrivere le equazioni del moto dal punto di vista materiale prendendo come
configurazione di riferimento quella iniziale;
c) di provare che il moto è regolare.
5. Sia C un corpo continuo occupante tutto E , in moto rispetto ad un dato osservatore
nell’intervallo di tempo [0, + ). Il campo spaziale della velocità abbia la seguente rappresentazione
analitica:
v( x1 , x 2 , x3 , t ) ( x1 t )e1 x3 e2 e t e3
( x1 , x 2 , x3 , t ) R 3 [0,).
Si chiede:
a) di determinare la derivata locale e la derivata materiale rispetto al tempo del campo scalare
spaziale f f ( P, t ) definito su E [0,) , avente la seguente rappresentazione analitica:
f o ( x1 , x 2 , x3 , t ) ( x1 x 2 ) x3 e t
( x1 , x 2 , x3 , t ) R 3 [0,) ;
b) di scrivere il campo dell’accelerazione dal punto di vista spaziale;
c) di determinare le equazioni di moto dal punto di vista materiale prendendo come
configurazione di riferimento quella iniziale.
6. Le equazioni di moto dal punto di vista materiale di un corpo continuo C occupante tutto lo
spazio E sono le seguenti:
x1 xo1e at
x 2 xo 2 e at
( xo1 , xo 2 , xo 3 , t ) R 3 [0, t1 ]
x3 x o 3
(a = costante > 0).
Si chiede:
a) di determinare il tensore velocità di deformazione;
b) di determinare le traiettorie descritte dalle particelle del corpo continuo.
7. E’ dato il corpo continuo C occupante tutto lo spazio E , in moto rispetto ad un dato osservatore
nell’intervallo di tempo [0, + ). Le sue equazioni di moto dal punto di vista spaziale sono le
seguenti:
v1 ( x1 , x 2 , x3 , t ) x1 x 2
v 2 ( x1 , x 2 , x3 , t ) 3 x1 x 2 e t
( x1 , x 2 , x3 , t ) R 3 [0,)
v 3 ( x1 , x 2 , x3 , t ) cos t.
Si chiede:
a) di provare che il moto è incomprimibile ;
b) di determinare la derivata materiale rispetto al tempo dal punto di vista spaziale del campo
scalare spaziale f f ( P, t ) definito su E [0,) avente la seguente rappresentazione
analitica
( x1 , x 2 , x3 , t ) R 3 [0,) ;
f o ( x1 , x 2 , x 3 , t ) x1 x 3 e t
3
c) di scrivere le equazioni del moto di C dal punto di vista materiale prendendo come
configurazione di riferimento quella iniziale;
d) di provare che il moto è regolare.
8. Sia C un corpo continuo, in moto rigido rispetto ad un dato osservatore nell’intervallo di tempo
[t o , t1 ]. Provare che ( P, t ) S si ha
1
rotv
2
dove (t ) è la velocità angolare istantanea.
9. Sia v v( P, t ) il campo spaziale della velocità di un corpo continuo. Provare che se v C 2 ( S ) ,
in generale :
divv (divv) .
10. Provare che l’accelerazione spaziale di un corpo continuo in moto regolare si può scrivere nella
forma:
v2
a v' grad
rotv v.
2
11. Sia C un corpo continuo, in moto regolare rispetto ad un dato osservatore. Provare che se il
campo spaziale della velocità v C 2 (S ), sussiste la seguente equazione, detta equazione di
Beltrami:
1
1
gradv rota
in S
dove
a accelerazione spaziale
densità di massa spaziale
rotv .
