Il valore assoluto (lunghezza, intensita’)
x=
׀3 = ׀3, ׀0 = ׀0,
x se x ≥ 0
- x se x < 0
-5 = ׀5
Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo.
Geometricamente ׀x ׀rappresenta la misura della distanza tra x e 0 sulla retta dei numeri reali.
׀x׀
׀x׀
׀
0x
׀
;
׀
׀
x
0
Più in generale, la distanza tra due punti sull’asse R sarà denotata da x - y
x - y se x ≥ y
x-y= ׀
- (x – y) se x < y
x=3
3–7=׀4
y=7
4
׀
0
׀
3
׀
7
x=2
2+1=׀3
y = -1
׀
-1
׀
0
Esempi:
- x + 2 = 6 cioè x = -4 oppure
׀x-2 = ׀6
x - 2 = 6 cioè x = 8
1
׀
2
Nota Bene :
׀x׀
≤a
-a
≤ x ≤ a (vale l'analogo con la diseguaglianza stretta)
x > -3 , x < 0 ⇒ x ∈ (-3 , 0)
-x < 3 , x < 0
Es. ׀x < ׀3
e quindi
x < 3 , x ≥ 0 ⇒ x∈ [0,3)
x<3,x ≥ 0
cioè, x∈ (− 3,0) U [0,3) = (-3,3)
⇔ -3<x<3
Analogamente
x – a ≤ ׀b
a-b ≤ x ≤ a+b
Es.
׀3x – 2
≤1
3x – 2 ≥ -1
-1 ≤ 3x -2 ≤ 1
3x ≥ 1
,
3x – 2 ≤ 1
,
3x ≤ 3
Soluzione:
[
1
1
, + ∞) U (-∞ ,1] = [ , 1]
3
3
2
x≥1
3
x≤1
Geometricamente, interpretando il valore assoluto come distanza:
׀3x-2׀ = ׀3(x –
2
2
) = ׀3 ׀x- ׀
3
3
quindi
3 ׀x –
Significa che la distanza di x da
2
≤׀1
3
׀x –
2
1
≤׀
3
3
2
1
non può superare .
3
3
Risolvere i seguenti esercizi:
1) x2-2x ≤ 0 ,
2) x3 > 4x
x
4
> 1+
2
x
4) 3x-7< ׀2
3)
Esprimere sotto forma di frazione di interi i numeri razionali 0, 12 , 3, 27
Esprimere il numero razionale
1
in forma decimale.
11
Svolgimento esercizi 3) e 4)
Disequazione secondo grado
x 2 − 2x - 8 > 0
x
4
> 1 + ⇒ 1)
2
x
x>0
x 2 − 2x - 8 = 0 ⇒
1)
x 2 − 2x - 8 < 0
oppure 2)
x<0
x1 = 1 + 1 + 8 = 4
x 2 = 1 − 1 + 8 = −2
x > 4, x < -2
x>0
x ∈ (4, + ∞) ;
3
2)
x ∈ (- 2,4)
x<0
x ∈ ( − 2,0)
Quindi le soluzioni sono le x ∈
(− 2,0)U (4,+∞ ) .
Valore Assoluto
3x - 7 < 2
3x − 7 < 2
3x - 7 ≥ 0 ⇒ x ≥
− 3x + 7 < 2
oppure
7
3
7
3
3x - 7 ≤ 0 ⇒ x ≤
5 7
3 3
7
3
5
3
Quindi le soluzioni sono le x ∈ [ ,3) U ( , ]= ( ,3)
Oppure, più velocemente, usando la proprietà del valore assoluto
-2 < 3x-7 < +2
⇒
-2+7 < 3x <+2 +7 ⇒ 5 < 3x <9 ⇒
4
5
9
< x < =3
3
3
Capitolo 2
Coordinate cartesiane nel piano
x , y assi coordinati, 0 origine.
a coordinata x di P
b coordinata y di P
P(a,b) punto del piano di coordinate a e b
Sistema di coordinate cartesiane. Piano cartesiano
Corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie di coordinate (numeri
reali).
y
II
I
x
III
IV
Nel primo quadrante x e y hanno valori positivi
Nel secondo quadrante x sono negativi e y positivi
Nel terzo quadrante sia x che y sono negativi
Nel quarto quadrante x sono positivi e y negativi
5
-Richiami di trigonometriaConsideriamo una circonferenza di raggio r = 1 e una coppia di assi cartesiani con
l’origine nel centro della circonferenza.
La lunghezza dell’arco AP è per definizione la misura in radianti dell’angolo
AÔP = t.
Quindi la lunghezza di una semicirconferenza π è la misura in radianti dell’angolo
180° , π /2 sarà la misura in radianti di un angolo retto (90°), 2 π corrisponderà a 360°
etc…
Definizione:
∀ t ∈ R si definiscono
cos t = coordinata x del punto P
sen t = coordinata y del punto P
OQ = cost
PQ = sent
6
essendo r = 1, risulta -1 ≤ cos t ≤ 1, -1 ≤ sen t ≤ 1
cioè
|cos t | ≤ 1, |sen t | ≤ 1
Essendo OP=1, dal Teorema di Pitagora, si ha l’identità notevole:
sen2t + cos2t = 1
∀t ∈ R
Risulta:
A(1,0) ⇒ cos0 = 1, sen0 = 0
B(0,1) ⇒ cos
π
2
= 0 , sen
π
2
C(-1,0) ⇒ cos π = -1, sen π = 0
,
3
2
cos2 π = cos0 = 1,
Gli angoli crescono in senso antiorario e decrescono in senso orario.
Alcuni valori utili
sen
sen
π
6
π
4
=
1
π
3
, cos =
2
6
2
= cos
π
4
=
3
2
D(0,-1) ⇒ cos π = 0, sen π = -1
=1
2
2
7
sen
π
3
=
3
π
1
, cos =
2
3
2
Definizione di tangente
OB = 1
I triangoli OPA e OTB sono simili (rettangoli) perché hanno tre angoli uguali e
quindi
TB PA sen t
sen t
=
=
⇒ TB =
≡ tan t
OB OA cos t
cos t
tangente di t
Nota che OB:OA =OT:OP ⇒ OB = OT cos t cioè, il cateto OB è uguale
all’ipotenusa OT per il coseno dell’angolo adiacente. In generale, si ha che
in ogni triangolo rettangolo valgono le relazioni
BA = OB senα
OA = OB cosα
BA = OA tanα
OA = OB sen β = OB cosα
8
Inoltre valgono le seguenti relazioni per la somma o differenza tra angoli
sen( β ± α) = sen β cosα ± cos β senα
cos( β ± α) = cos β cosα m sen β senα
π
π
2
2
e quindi OA=OBsen β =OBsen [ π - ( + α )]=OBsen( + α )=
π
π
2
2
= OB(sen cos α +cos sen α )= OBcos α
Esempio
Determinare OA e AB se OB=2 e α =
OA=2cos
π
3
=2×
π
3
1
π
3
= 1, AB=2sen = 2 ×
= 3
2
3
2
Verifica : OA 2 + AB 2 = 1 +3 = 4 = OB 2
ELEMENTI DI GEOMETRIA NEL PIANO
Distanza fra due punti P(x1 , y1) e Q(x2 , y2)
9
Denotiamo con ∆x = x 2 − x 1 l'incremento della variabile x e con ∆y = y 2 − y 1
quello della variabile y che si ottiene nel passare dal punto P(x 1 , y 1 ) al punto Q(x 2
,y 2 ).
Dal teorema di Pitagora si ha:
PQ = (∆x) 2 + ∆y) 2 =
(x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Esempi:
1) Una particella si muove dal punto P(3,2) al punto Q(-1,-2). trovare gli
incrementi ∆x e ∆y e la distanza da P a Q.
∆x = - 1 - 3 = -4 , ∆y = - 2 - 2 = - 4
PQ = 16 + 16 = 32 = 4 2
2) Trovare la distanza di P(x , y) dall’ origine 0(0 , 0)
PO =
x 2 + y2
Retta passante per i punti P1 e P2 con y2 > y1 e x2 > x1
P2 •
P1
•
Pendenza, m , positiva :
m =
∆y
=
∆x
y 2 − y1
>0
x 2 − x1
la retta sale verso destra
10
Pendenza , m , negativa , y 2 < y 1 , x 2 > x 1
la retta discende verso destra
m =
∆y
=
∆x
y 2 − y1
<0
x 2 − x1
y2 < y1
NOTA BENE : m ha lo stesso valore per qualunque coppia di punti scelti sulla retta
Esempio
La pendenza della retta che passa per P 1 (-1, 2) e P 2 (1,1) è m =
1− 2
1
=−
1+1
2
Inclinazione: angolo Φ misurato in senso antiorario a partire dalla direzione positiva
dell’ asse x , 0 o ≤ Φ ≤ 180 o
11
La pendenza di una retta verticale è indefinita essendo ∆x = O, ma l'inclinazione di
una retta verticale è 9O o .
L'inclinazione di una retta orizzontale è di O o .
Dalla definizione di tangente data precedentemente si ha :
m=
∆y
senΦ
=
= tan Φ
∆x
cosΦ
( m viene anche chiamato coefficiente angolare della retta)
Rette parallele: stessa inclinazione e quindi stessa pendenza
m = m’
Rette ortogonali : m = -
1
(reciproco negativo l'una dell'altra)
m'
π
2
12
Equazioni delle rette.
x = b , ∀y ∈ R
y = a , ∀x ∈ R
equazione della retta verticale passante per P(b , 0)
equazione della retta orizzontale passante per P(0 , a)
Equazione della retta non verticale, L, passante per P(x1 , y1) e pendenza m
• P(x1,y1)
• P(x,y)
Dalla definizione della pendenza m, si ha che ∀P(x, y) ∈ L
m=
y - y1
x - x1
⇒ y= m(x-x1) + y1 ⇒ y = mx + q , con q= y1 – mx1
equazione esplicita della retta
Cioè , conoscendo m e le coordinate di un punto sulla retta possiamo scrivere
l'equazione della corrispondente retta.
13
Se invece conosco le coordinate di due punti allora posso calcolare m e quindi
l’equazione di una retta passante per due punti assegnati, P1 e P2, sarà:
y=
y 2 − y1
(x - x 1 ) + y 1
x 2 − x1
essendo m =
y 2 − y1
x 2 − x1
Esempio: trovare l’ equazione della retta con pendenza -2 e passante per il punto
(1,4) .
y-4
= −2 ⇒ y -4 = -2 (x-1) ⇒ y = -2x +6
x -1
x = 0 ⇒ y = 6 intercetta con l’asse y
y = 0 ⇒ x = 3 intercetta con l’asse x
GRAFICO
x
y
1
4
2
2
14
P 1 (1,4) e P 2 (2,2)
sono sulla retta
Equazione implicita della retta.
Ax + By = C
Esempio: trovare la pendenza della retta 3x + 4y = 12 e disegnare il grafico.
Soluzione:
4y = -3x + 12 ⇒ y = −
3
3
12
3
x+
⇒ y = - x + 3 , quindi m = −
4
4
4
4
Esempio: La relazione tra gradi Fahrenheit (F) e gradi Celsius (C) per misurare la
Temperatura è data da una relazione lineare, cioè da una equazione lineare
della forma F = mC + b.
Il punto di congelamento dell’ acqua è C = 0°C e F = 32°F.
Il punto di ebollizione è F = 212°F e C = 100°C (a pressione ambiente)
Trovare m.
32 = m • 0 + b , 212 = 100 m + b ⇒
b = 32 , m =
212 − 32
100
QUINDI
F=
9
C + 32
5
oppure C =
5
(F – 32)
9
equazioni che consentono di convertire i gradi F in C e viceversa.
15
=
9
5
Esercizi:
1) Una particella arriva nel punto (-2, -2) dopo che le sue coordinate hanno subito
gli incrementi ∆x = -5 e ∆y = 1 . Da dove è partita?
2)Disegnare nel piano FC il grafico di C = 5/9 (F -32) e sullo stesso grafico
disegnare la retta
C = F. esiste una temperatura per la quale °C e °F sono uguali?
3)Trovare l’ intercetta y della retta passante per i punti (2,1) e (3,-1).
4)Trovare i punti di intersezione delle rette 3x + 4y = -6 e 2x – 3y = 13.
5)Trovare le equazioni delle rette passanti per P(2,1) che siano
a) Parallela a
y=x+2
b) Perpendicolare a y = x +2.
16
