Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo)

Contenuto
Prodotto scalare.
Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali.
Somma diretta: V = U ⊕ U ⊥ .
Proiezioni.
Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Angoli.
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2.
14) Prodotto interno. Lunghezze, ortogonalità.
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Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Definizione (Prodotto interno, spazio vettoriale euclideo)
Un prodotto interno, o prodotto scalare definito positivo, su uno
spazio vettoriale reale V è un’applicazione
V × V −→ R,
(a, b) 7−→ a · b
(oppure < a, b >)
bilineare, simmetrica e definita positiva.
Uno spazio vettoriale V , insieme alla scelta di uno specificato
prodotto interno, si dice spazio vettoriale euclideo.
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Significato dei termini
Bilinearità (ossia, linearità in entrambi gli argomenti):
Per ogni a, b, c ∈ V , per ogni λ ∈ R,
a · (b + c) = a · b + a · c
a · (λb) = λ(a · b)
(a + b) · c = a · c + b · c
(λa) · b = λ(a · b)
Simmetria:
Per ogni a, b ∈ V ,
a·b=b·a
Positività (o definita positività):
Per ogni a non nullo in V ,
a·a>0
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Esempi di prodotti interni
1
Il prodotto interno standard in Rn .
Se X = (x1 , ..., xn ), Y = (y1 , ..., yn ),
X · Y = x1 y1 + · · · + xn yn
2
V = C 0 (I), I = [−π, π].
Se f , g sono in V , poniamo
Z
π
< f , g >=
f (t)g(t) dt
−π
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Definizione (Ortogonalità e lunghezze in uno spazio euclideo)
Due vettori a, b si dicono ortogonali, o perpendicolari, se
a·b=0
La norma, o lunghezza, kak (oppure |a|) di un vettore a di
V è il numero reale:
√
kak = a · a
(1)
Un vettore a ∈ V si dice unitario se kak = 1.
Esercizio
Dimostrare che per ogni vettore a e per ogni scalare t ∈ R,
ktak = |t| ktak.
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Sistemi ortonormali
Definizione (Sistema ortonormali)
Un insieme ordinato di vettori u1 , ..., uk in uno spazio vettoriale
euclideo V si dice ortonormale o un sistema ortonormale se
kui k = 1, i = 1, ..., k, e ui ⊥ uj per i 6= j. In altri termini,
(
1 se i = j
ui · uj =
0 se i 6= j
In particolare, se un sistema ortonormale è una base di V , si
chiama base ortonormale.
Per esempio, la base canonica e1 , ..., en di Rn è ortonormale,
rispetto al prodotto scalare standard in Rn .
Le coordinate rispetto a una base ortonormale si chiamano
anche coordinate cartesiane.
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Esercizio
Esercizio
1
Ogni sistema ortonormale u1 , ..., uk è linearmente
indipendente.
2
Se B = (u1 , ..., un ) è una base ortonormale di uno spazio
vettoriale euclideo V , ogni vettore v in V si scrive
v = (v · u1 )u1 + · · · + (v · un )un
Cioè, la componente i-esima è il prodotto scalare v · ui .
3
Dati v, w ∈ V , di coordinate (v1 , ..., vn ), (w1 , ..., wn ) rispetto
a una base ortonormale B ,
v · w = v1 w1 + · · · + vn wn
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Complemento ortogonale
Definizione
Sia U un sottoinsieme di uno spazio vettoriale euclideo V . Il
complemento ortogonale U ⊥ di U è
U ⊥ = {x ∈ V | ∀ u ∈ U
x · u = 0}
Non si richiede che U sia un sottospazio vettoriale. Ad
esempio, se U è costituito da un singolo vettore v, il
complemento ortogonale U ⊥ , che si denota anche v⊥ , è il
sottospazio vettoriale costituito dai vettori di V ortogonali a v.
Esercizio
Dimostrare che U ⊥ è un sottospazio vettoriale di V .
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V = U ⊕ U ⊥ , per ogni sottospazio vettoriale U ⊂ V
Teorema
Siano V uno spazio vettoriale euclideo, U un suo qualunque
sottospazio vettoriale e U ⊥ il suo complemento ortogonale.
Allora
V = U ⊕ U⊥
Come al solito, questo significa che ogni v ∈ V si scrive in un
modo, e in uno solo, come v = u + w, con u ∈ U e w ∈ U ⊥ .
Dividiamo la dimostrazione in due parti: prima dimostriamo che
c’è al più una scrittura; poi ne troviamo una in modo esplicito.
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V = U ⊕ U ⊥ . Dimostrazione. (Unicità della scrittura)
a) Ogni v si può scrivere al più in un modo come somma
v = u + w, con u ∈ U e w ∈ U ⊥ . Infatti, supponiamo
v = u + w = u0 + w0 , con u, u0 ∈ U, w, w0 ∈ U ⊥ . Allora
u − u0 = w0 − w, con u − u0 ∈ U e w0 − w ∈ U ⊥ . Il vettore u − u0
è ortogonale a w0 − w, ossia è ortogonale a se stesso. Poiché il
prodotto scalare è definito positivo, l’unico vettore ortogonale a
se stesso è il vettore nullo; quindi u − u0 = 0, cioè u = u0 . Di
conseguenza, anche w = w0 .
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V = U ⊕ U ⊥ . Dimostrazione. (Esistenza della
scrittura)
b) Sia u1 , ..., uk una base ortonormale di U. (Una tale base
esiste sempre, per Gram-Schmidt). Cerchiamo di scrivere
v = u + w, con u ∈ U e w ∈ U ⊥ . Il vettore u ∈ U si scrive
u = c1 u1 + · · · + ck uk . Quello che dobbiamo fare è determinare
i coefficienti c1 , ..., ck in modo tale che w = v − u sia in U ⊥ . Ora
w ∈ U ⊥ equivale a w · ui = 0, i = 1, ..., k , ossia equivale a
0 = w · ui = (v − u) · ui = v · ui − u · ui = v · ui − ci
Quindi l’unica scelta giusta per i coefficienti è ci = v · ui ,
i = 1, ..., k . Allora v si può scrivere come v = u + w, dove
u = (v · u1 )u1 + · · · + (v · uk )uk ∈ U
w = v − u ∈ U⊥
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Caso particolare: dim U = 1
U (dim U = 1)
u
vk
U⊥
v
v⊥
v = vk + v⊥ ,
vk ∈ U, v⊥ ∈ U ⊥
(Scrittura unica)
Se U = Span(u) e kuk = 1,
vk = (v · u) u
(Se kuk = 1)
Se invece z è un vettore arbitrario (non nullo) in U,
v·z
vk =
z
z·z
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Esercizio
Esercizio (Proiezione ortogonale di un vettore lungo una retta)
Nello spazio euclideo R3 , sia W la retta generata da
w = (1, 0, 1). Scrivere v = (0, 0, 1) come
v = vk + v⊥
con vk ∈ W e v⊥ ∈ W ⊥ .
Soluzione
Abbiamo: v · w = 1,
w · w = 2. Quindi:
1
1
1
v·w
w = (1, 0, 1) = ( , 0, )
w·w
2
2
2
1
1
1
1
v⊥ = v − vk = (0, 0, 1) − ( , 0, ) = (− , 0, )
2
2
2
2
vk =
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Proiezioni su sottospazi
Supponiamo che V sia somma diretta di due suoi sottospazi
vettoriali U1 , U2 :
V = U1 ⊕ U2
Dunque ogni v ∈ V si scrive, in modo unico, come
v = u1 + u2 ,
u1 ∈ U, u2 ∈ U ⊥
Le applicazioni
PU
1
V −→
V,
PU
2
V −→
V,
PU1 (v) = u1
PU2 (v) = u2
si chiamano proiezioni su U1 e su U2 , rispettivamente.
Ovviamente,
Im PU1 = U1 , Im PU2 = U2 , Ker PU1 = U2 , Ker PU2 = U1
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Teorema di Pitagora
Teorema (Teorema di Pitagora)
Se v, w ∈ V (spazio vettoriale euclideo) sono ortogonali,
kv + wk2 = kvk2 + kwk2
Dimostrazione
kv + wk2 = (v + w) · (v + w)
= v · v + 2v · w + v · v
= kvk2 + kwk2
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Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Teorema (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)
Per tutti i v, w ∈ V ,
|v · w| ≤ kvk kwk
(2)
Dimostrazione
Se w = 0, la (2) è ovvia. Altrimenti, scriviamo v = vk + v⊥ con
vk multiplo di w e v⊥ ortogonale a w. Per Pitagora,
2
2
kvk2 = vk + kv⊥ k2 ≥ vk v · w 2 v · w 2
= w =
kwk2
w·w
w·w
2
|v · w|
=
kwk2
Moltiplicando per kwk2 si ha la tesi.
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Angolo tra due vettori
Dalla disuguaglianza di Schwarz segue che, se a e b sono
entrambi non nulli,
a·b
≤1
−1 ≤
|a| |b|
Poiché il coseno definisce una funzione biunivoca
cos
[0, π] −→ [−1, 1]
esiste un unico ϑ in [0, π] tale che
cos ϑ =
a·b
|a| |b|
(3)
Si dice che ϑ è l’angolo tra i vettori a e b.
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