1 – Norme, spazi normati, completezza, funzionali lineari

1 – Norme, spazi normati, completezza, funzionali lineari
Esercizio 1. Sia E uno spazio vettoriale e d(·, ·) una metrica invariante su E tale
che d(λx, λy) = |λ|d(x, y) per ogni x, y ∈ E e per ogni λ ∈ K. Mostrare che d è
indotta da una norma.
Esercizio 2. Sia E uno spazio metrico. Dimostrare che la funzione T : E 2 → R
definita da T (x, y) = d(x, y) è continua una volta che E 2 è dotato della metrica
prodotto.
Esercizio 3. Sia E uno spazio vettoriale reale. Una seminorma su E è un’applicazione
p : E → R che verifica tutte le proprietà di una norma con la seguente unica differenza:
si ammette che possa essere p(x) = 0 anche se x 6= 0. Una famiglia di seminorme
P = {pi }i∈I , dove I è un insieme di indici, si dice separata se per ogni x ∈ E \ {0}
esiste i ∈ I tale che pi (x) 6= 0. Mostrare che, se E è dotato di una famiglia finita
P = {pi }i=1,...,n e separata di seminorme, allora l’applicazione
kvk :=
n
X
pi (v)
i=1
definisce una norma su E . È possibile esplicitare questa costruzione nel caso in cui
E = Rn ? È possibile caratterizzare la topologia di E (in particolare la famiglia degli
intorni di 0) utilizzando le seminorme anziché la norma? E le successioni di Cauchy?
Le successioni convergenti? La completezza? Quali difficoltà sorgono nel caso in cui la
famiglia P = {pi }i∈N è numerabile anziché finita? Qualche idea su un possibile modo
di superarle?
Esercizio 4 (alcuni spazi funzionali). Sia Ω un aperto di RN . Si ricordi che lo
spazio BC(Ω) delle funzioni continue e limitate definite su Ω e a valori reali è uno
spazio di Banach rispetto alla usuale norma del massimo (la si indichi con k · k∞ ).
Dire se Cc (Ω) è un sottospazio chiuso di BC(Ω) e, in caso contrario, caratterizzarne
la chiusura.
Si consideri ora il caso unidimensionale. Sia dunque I un intervallo aperto
di R e sia Cc1 (I) lo spazio delle funzioni C 1 a supporto compatto definite su I . Si
caratterizzi la chiusura di Cc1 (I) in BC(I) rispetto alla norma
kuk1 := kuk∞ + ku0 k∞ .
Esercizio 5. Sia E uno spazio vettoriale reale e sia k · k una norma su E che
verifica la relazione del parallelogrammo. Mostrare che allora k · k è hilbertiana e, in
particolare,
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(x, y) := kx + yk2 − kx − yk2
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definisce un prodotto scalare che induce la norma data.
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Suggerimento: partire esplicitando (x, z) + (y, z) usando la definizione data sopra
(si vorrà mostrare che tale espressione è uguale a (x + y, z)).
Esercizio 6 (completezza, metrica e topologia). Si consideri su R la distanza
d(x, y) :=
|x − y|
.
1 + |x − y|
Mostrare che d(·, ·) è effettivamente una distanza. Che relazione c’è tra la topologia
indotta da d e la topologia euclidea? E per quanto riguarda le successioni di Cauchy?
E le successioni convergenti?
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