Corso di Matematica I - Anno 2002-03 Spazi topologici e spazi metrici

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Corso di Matematica I - Anno 2002-03
Spazi topologici e spazi metrici
271. Si verifichi che la famiglia di insiemi
(a, b),
[−∞, a),
(a, +∞],
dove a, b ∈ R,
costituiscono la base di una topologia sulla retta reale estesa R = R ∪ {−∞, +∞}.
(a) Verificare che l’inclusione R ,→ R è un omeomorfismo con l’immagine.
(b) Dimostrare che R è omeomorfo a [0, 1].
b = R ∪ {∞} si consideri la topologia determinata dalla prebase
272. Sull’insieme R
(a, b),
(−∞, a) ∪ (b, +∞) ∪ {∞},
a, b ∈ R.
b è un omeomorfismo con l’immagine.
(a) Verificare che l’inclusione R ,→ R
b è omeomorfo al cerchio {z ∈ C | |z| = 1}.
(b) Dimostrare che R
273. Dato uno spazio metrico (X, d) e una funzione f : [0, +∞) → [0, +∞), trovare delle
condizioni che assicurano che f ◦ d è una distanza su X che induce la stessa topologia.
Trovare una distanza su X che abbia valori in [0, 1).
274. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A ⊂ X. Dimostrare che la funzione
dA : X → R,
dA (x) = inf d(x, a),
a∈A
è continua. Determinare d−1
A ({0}).
275. Sia A ⊂ R compatto, privo di punti isolati, non contenente alcun intervallo aperto.
Dimostrare che A è omeomorfo all’insieme di Cantor.
276. Si consideri l’insieme U di sottoinsiemi di C cosı̀ definito: un insieme A appartiene ad
U se e solo se gli elementi di A sono tutte e sole le radici comuni ad un insieme di
polinomi in C[x]. L’insieme U può costituire l’insieme degli aperti di una topologia di
C? E dei chiusi ?
277. Esiste un omeomorfismo dall’intervallo [0, 1] su S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} ? E da S 1 sul
disco chiuso D = {z ∈ C | |z| ≤ 1}?
278. Si definiscano gli insiemi
X = {0, 1}N ,
C(a0 , a1 , . . . , an ) = {x ∈ X | x(h) = ah ∀h = 0, 1, . . . , n}.
(a) Verificare che la famiglia di insiemi C(a0 , . . . , an ), al variare di n ∈ N, (a0 , . . . , an ) ∈
{0, 1}n+1 , costituiscono la base di una topologia su X.
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(b) Trovare una distanza su X che induca la topologia definita sopra.
(c) Dimostrare che le applicazioni
L : X → X, (Lx)(n) = x(n + 1) per n ∈ N,
R : X → X, (Rx)(0) = 0, (Rx)(n) = x(n − 1) per n ≥ 1,
sono continue, discuterne l’iniettività e la surgettività, e determinare L ◦ R, R ◦ L.
279. Sia X lo spazio topologico definito nell’esercizio 278. Si verifichi che l’applicazione
A : X → [0, 1],
∞
X
A(x) =
x(n)2−n−1 ,
n=0
è ben definita.
(a) Discutere la continuitá, la surgettività e l’iniettività di A.
(b) Costruire un’inversa destra di A, cioè un’applicazione B : [0, 1] → X tale che
A ◦ B = id.
(c) Esiste un inversa destra continua di A?
280. Dimostrare che lo spazio topologico X = {0, 1}N con la topologia definita nell’esercizio
278 è omeomorfo all’insieme di Cantor.
281. Sia U una famiglia di aperti che copre un sottoinsieme A chiuso e limitato di R.
Dimostrare che si può trovare un numero positivo r tale che, preso un qualunque
punto x di A, l’intervallo (x − r, x + r) è tutto contenuto in uno degli aperti di U.
Spazi vettoriali normati. Sia X uno spazio vettoriale reale o complesso. Una norma
su X è un applicazione X → [0, +∞), x 7→ kxk, tale che kxk = 0 se e solo se x = 0,
kλxk = |λ| kxk per ogni λ in R (o C) e per ogni x ∈ X, e kx + yk ≤ kxk + kyk per ogni
x, y ∈ X. Ogni norma induce una distanza su X, d(x, y) = kx − yk. Uno spazio vetoriale
normato si dice spazio di Banach se rispetto a questa distanza è uno spazio metrico completo.
282. Dimostrare che due norme k · k1 e k · k2 sullo spazio vettoriale (reale o complesso)
inducono la stessa topologia se e solo se sono equivalenti, cioè se esiste una costante
c > 0 tale che
1
ckxk1 ≤ kxk2 ≤ kxk1 ∀x ∈ X.
c
283. Dimostrare che se X è uno spazio vettoriale (reale o complesso) di dimensione finita,
tutte le norme su X sono equivalenti. Dare un esempio di spazio vettoriale di dimensione infinita con due norme non equivalenti.
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284. Si considerino gli spazi vettoriali
`∞ = {x ∈ RN | sup |x(n)| < +∞},
n∈N
0
` = {x ∈ R | ∃ lim x(n) ∈ R},
N
n→∞
c0 = {x ∈ R | lim x(n) = 0}.
N
n→∞
Dimostrare che |x|∞ = supn∈N |x(n)| è una norma su tali spazi, che li rende spazi di
Banach.
285. Dato p ∈ [1, +∞), si consideri lo spazio vettoriale
(
)
∞
X
`p = x ∈ RN |
|x(n)|p < +∞ .
n=0
P
p 1/p
Dimostrare che |x|p = ( ∞
è una norma su questo spazio, che lo rende
n=0 |x(n)| )
uno spazio di Banach.
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