ALGEBRA: PRIMO FOGLIO DI ESERCIZI (1) Calcolare i prodotti

ALGEBRA: PRIMO FOGLIO DI ESERCIZI
1. O PERAZIONI TRA MATRICI
(1) Calcolare i prodotti delle matrici seguenti:

1
0
1 3 0 4 
·
2 1 1 0 1
0

2
1
· 1
1 0
0

1
3

0
4

3
2
−1
1
−2
1
 
1
−2
0  · 1
0
2
0
1

0
1
,
0
1
1
2
1
0
,
1
 
1
 2
 · 1
 3
4

1
1 ,
2
1
−1
1

1
0

0
1
· 1
0 2
1

1
0

1
0
3
1
0
2
3
3
1
0
1
4
0

2
1
1
 
1
2
0 · 0
1
1
4 ,
1
2
3
 
1
2

4 · 
3
4
(2) Calcolare il prodotto di matrici

x
y
a
1 · b
d
  
d
x
e  · y 
f
1
b
c
e
ed esprimere in modo matriciale l’equazione
x2 + 10xy + y 2 + 8x + 4y + 2 = 0.
(3) Se
A=
0
0
1
,
1
B=
−1
,
0
−1
0
mostrare che
(A + B)2 6= A2 + 2AB + B 2
AB 6= BA,
ma che
(A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 .
(4) Trovare tutte le matrici reali M , con due righe e due colonne, tali che:
• M 2 = id;
• M 2 = − id;
• M 2 = 0.
(5) Mostrare che una matrice 2 × 2
a b
c d
si può scrivere come prodotto
x
· u
y
v
se e solo se ad − bc = 0.
(6) Campanella, es. 2.2.1, 2.2.5.
[Sugg.: analizzare separatamente i casi a = 0 e a 6= 0]
2. C AMPI E CORPI
(1) Mostrare che le operazioni
+
0
1
α
β
0
0
1
α
β
1
1
0
β
α
α
α
β
0
1
β
β
α
1
0
definiscono su F4 = {0, 1, α, β} una struttura di campo.
·
0
1
α
β
0
0
0
0
0
1
0
1
α
β
α
0
α
β
1
β
0
β
1
α
2
ALGEBRA
(2) Mostrare che le operazioni
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
·
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
definiscono su F5 = {0, 1, 2, 3, 4} una struttura di campo.
(3) I quaternioni reali sono espressioni del tipo a + bi + cj + dk, dove a, b, c, d sono numeri reali. La somma di
quaternioni è definita termine a termine:
(a + bi + cj + dk) + (a0 + b0 i + c0 j + d0 k) = (a + a0 ) + (b + b0 )i + (c + c0 )j + (d + d0 )k,
mentre il prodotto si ottiene imponendo
i2 = j 2 = k2 = −1,
ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik,
e distribuendo rispetto alla somma. In altre parole:
(a + bi + cj + dk) · (a0 + b0 i + c0 j + d0 k)
= (aa0 − bb0 − cc0 − dd0 ) + (ab0 + ba0 + cd0 − dc0 )i + (ac0 − bd0 + ca0 + db0 )j + (ad0 + bc0 − cb0 + da0 )k.
Mostrare che l’insieme H dei quaternioni reali soddisfa tutte le proprietà di un campo tranne la commutatività del prodotto. Una struttura algebrica di questo tipo si dice corpo.
[I quaternioni giocano un ruolo importante in contesti di grafica, visione, robotica e quantum computation]
(4) Mostrare che non esistono campi con esattamente 6 elementi. [Questo esercizio è potenzialmente molto difficile]
3. S PAZI E SOTTOSPAZI VETTORIALI
(1) Se U1 , U2 sono sottospazi di uno spazio vettoriale V , mostrare che anche l’intersezione U1 ∩ U2 è un sottospazio di V .
(2) Se U1 , U2 sono sottospazi di uno spazio vettoriale V , definiamo la loro somma
U1 + U2 = {u1 + u2 | u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 }
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
come l’insieme di tutte le somme di elementi di U1 con elementi di U2 . Mostrare allora che U1 + U2 è ancora
un sottospazio di V .
Mostrare che l’insieme R[x] dei polinomi in x a coefficienti reali è uno spazio vettoriale rispetto alle usuali
operazioni di somma tra polinomi e prodotto per numeri reali.
Mostrare che l’insieme P dei polinomi p(x) ∈ R[x] tali che p(x) = p(−x) è un sottospazio vettoriale di R[x].
Mostrare che l’insieme D dei polinomi p(x) ∈ R[x] tali che p(x) = −p(−x) è un sottospazio vettoriale di
R[x].
Mostrare che P ∩ D = {0} e che P + D = R[x].
Siano U, V spazi vettoriali. Definiamo sul prodotto cartesiano
U × V = {(u, v) | u ∈ U, v ∈ V }
un’operazione di somma data da
(u1 , v1 ) + (u2 , v2 ) = (u1 + u2 , v1 + v2 )
e un prodotto per scalari dato da
λ(u, v) = (λu, λv).
Mostrare che queste operazioni definiscono su U × V una struttura di spazio vettoriale — che di solito si
indica con U ⊕ V e si chiama somma diretta di U e V . Per intenderci, Rn è la somma diretta di n copie di R.
(8) Una successione reale è un’applicazione a : N → R, solitamente indicata per mezzo della notazione a =
(a0 , a1 , a2 , . . . , an , . . . ), dove an = a(n).
Mostrare che l’insieme S di tutte le successioni reali è uno spazio vettoriale (reale) rispetto alle operazioni
di somma e prodotto per uno scalare definite da:
(a + b)(n) = an + bn ,
(λa)(n) = λan .
(9) Una successione reale a si dice successione di Fibonacci se
an+2 = an+1 + an
per ogni n ≥ 0. In altre parole, ogni elemento della successione si può ottenere sommando i due precedenti.
Mostrare che l’insieme F delle successioni di Fibonacci è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale
S definito nell’esercizio precedente.
(10) Decidere se sono sottospazi di S i seguenti sottoinsiemi:
• l’insieme di tutte le successioni a termini positivi;
• l’insieme di tutte le successioni limitate (per le quali, cioè, tutti i termini siano in valore assoluto minori
di K per qualche K);
• l’insieme di tutte le successioni convergenti;
• l’insieme di tutte le successioni crescenti.
ALGEBRA
3
(11) Sull’insieme R+ dei numeri reali positivi definiamo le operazioni
x ⊕ y = xy,
λ x = xλ ,
per ogni scelta di x, y ∈ R+ e di λ ∈ R. Mostrare che R+ , dotato di ⊕ come operazione di somma tra vettori
e di come operazione di prodotto per uno scalare, è uno spazio vettoriale reale.
(12) Sia X un insieme, e PX il suo insieme delle parti — l’insieme, cioè, i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi
di X. Per intenderci, se X ha 5 elementi, PX possiede 32 elementi.
La differenza simmetrica di due sottoinsiemi A, B di X è il sottoinsieme
A + B = A \ B ∪ B \ A;
in altre parole A + B contiene gli elementi che stanno in A o in B, ma non in entrambi.
Mostrare che PX è uno spazio vettoriale sul campo Z2 rispetto alle operazioni di somma appena introdotta, e di prodotto per uno scalare definito da
0 · A = ∅,
1 · A = A,
dove ∅ indica l’insieme vuoto.
(13) Campanella es. 2.4.1, 2.4.8.
4. A PPLICAZIONI LINEARI E MATRICI
(1) Dire quali delle seguenti applicazioni sono lineari, e scriverne in tal caso la matrice corrispondente:
A : R3 → R2 ,
A(x, y, z) =
(xy + z, yz − x)
B : R3 → R ,
B(x, y, z) =
(x + y)2 − (x − y)2 + z
C : R2 → R2 ,
C(x, y)
D : R → R3 ,
D(x, y, z) =
E : R2 → R2 ,
E(x, y, z) =
(x + 2y, y − 2x)
F : R3 → R2 ,
F (x, y, z) =
(x + y + z, x − y − 1, z + x)
=
(x + 1, y − 1)
(x, 2x, 4x)
(2) Dire quali delle applicazioni precedenti sono invettive, quali suriettive, e calcolare nucleo e immagine nel
caso di quelle lineari.
(3) E’ data l’applicazione lineare F : R2 → R4 di matrice


1 3
2 1


1 1 .
0 3
Calcolare F (1, 2), F (3, 4), F (1, −1) e stabilire se F sia iniettiva e/o suriettiva, calcolandone nucleo e immagine.
(4) Considerata l’applicazione lineare G : R4 → R3 di matrice


1 3 2
1
2 1 0 −1 ,
1 0 0
3
e l’applicazione F dell’esercizio precedente, dire quale tra le composizioni F ◦ G e G ◦ F risulti definita e
scriverne la relativa matrice, calcolandone nucleo e immagine.
(5) Determinare se l’applicazione lineare T : R3 → R2 di matrice
1 3 2
,
2 1 0
sia iniettiva, suriettiva, invertibile.
(6) Determinare se l’applicazione lineare S : R2 → R3 di matrice


1 3
2 1 ,
2 0
sia iniettiva, suriettiva, invertibile.
(7) Campanella, es. 2.4.2, 2.4.6.
[“Omomorfismo di spazi vettoriali” vuol dire semplicemente applicazione lineare]
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA”
E-mail address: [email protected]