Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria
Meccanica
Esercitazioni sul Principio di Induzione
7 ottobre 2005
Esercizio 1. Dimostrare che per ogni intero k ≥ 1 vale che 2k−1 ≤ k!.
Dimostrazione. Indichiamo con Pk la proposizione “2k−1 ≤ k!”. Verifichiamo la base dell’induzione, la proposizione P1 . P1 è 21−1 ≤ 1! che è vera.
Dimostriamo ora che Pk =⇒ Pk+1 , vale a dire:
2k−1 ≤ k! =⇒ 2k ≤ (k + 1)!.
Abbiamo
2k = 22k−1 ≤ 2k! ≤ (k + 1)k! = (k + 1)!
Esercizio 2. Dimostrare che per ogni x ≥ −1 e per ogni intero n ≥ 0 vale
che (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Dimostrazione. Indichiamo con Pn la proposizione “(1 + x)n ≥ 1 + nx per
ogni x ≥ −1”. Ancora una volta verifichiamo la base dell’induzione, P0 , vale
a dire (1 + x)0 ≥ 1 + 0x, che è vera. Infine vediamo che Pk =⇒ Pk+1 , cioè
dobbiamo dimostrare che
“(1 + x)k ≥ 1 + kx, ∀x ≥ −1” =⇒ “(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x, ∀x ≥ −1”.
Abbiamo
(1+x)k+1 = (1+x)k (1+x) ≥ (1+kx)(1+x) = 1+(k+1)x+kx2 ≥ 1+(k+1)x
che è quanto si voleva mostrare.
Ricordiamo la seguente formula (binomio di Newton)
n X
n k n−k
n
(a + b) =
a b
k
k=0
dove
n
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n!
:=
=
.
k
k!
k!(n − k)!
1
(1)
Esercizio 3. Si consideri la successione
n
1
an := 1 +
n
e si verifichi che
1. an > 2 per n ≥ 2;
2. an < 3;
3. an è crescente.
Dimostrazione.
1. Abbiamo:
n X
n 1
n 1
n 1
1+
= 2.
=
>1+
k
n
k n
1 n
k=0
(2)
2. Consideriamo il termine generico della sommatoria in (2):
n 1
n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1
=
k
k n
k!
nk
1
1
2
k−1
1
=
1−
1−
··· 1 −
≤ .
k!
n
n
n
k!
Grazie all’Esercizio 1 abbiamo:
n
n
X
1
1
1+
< 3.
≤1+
n
2k
k=0
3. Per prima cosa osserviamo che:
n+1
n
n+1
=
.
k
k n−k+1
Abbiamo quindi:
n X
n n X
1
n+1
k
n 1
1
1+
=
=
1−
k
n
n + 1 nk
k
k n
k=0
k=0
k
n n X
X
n+1
1
1
n+1 1
nk
≤
1−
≤
k
n+1
nk
k
nk (n + 1)k
k=0
k=0
n+1
n+1 X
n+1
1
1
≤
= 1+
,
(n + 1)k
n+1
k
k=0
che è quanto si voleva mostrare.
2
Esercizio 4. Dimostrare che per k ≥ 6 vale che 2k k! ≤ k k .
Dimostrazione. Per k = 6 abbiamo: 46080 = 64 · 720 = 26 · 6! ≤ 66 .
Supponiamo che 2k k! ≤ k k . Abbiamo
2k+1 (k + 1)! ≤ 2(k + 1)k k
e basta vedere che
2(k + 1)k k ≤ (k + 1)k+1
che segue dall’Esercizio 3 in quanto è equivalente a
k
1
2≤ 1+
.
k
Esercizio 5. Dimostrare che per k ≥ 0 vale che k k ≤ 3k k!.
Dimostrazione. Per k = 1 la disuguaglianza è vera. Supponiamo che k k ≤
3k k!. Abbiamo allora:
3k+1 (k + 1)! = 3(k + 1)3k k! ≥ 3(k + 1)k k .
Basta verificare che
3(k + 1)k k ≥ (k + 1)k+1
che è ancora l’Esercizio 3, perché equivale a
k
1
.
3≥ 1+
k
Esercizio 6. Con il principio di induzione dimostrare le seguenti formule:
P
• S1 (n) := nk=1 k = 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
;
2
P
• S2 (n) := nk=1 k 2 = 12 + 22 + · · · + n2 = n(n+1)(2n+1)
;
6
2
P
• S3 (n) := nk=1 k 3 = 13 + 23 + · · · + n3 = n(n+1)
.
2
P
Poniamo Sk (n) := ni=1 ik = 1k + 2k + · · · + nk . Sk (n) è la somma delle
potenze k-esime dei primi n numeri naturali.
Esercizio 7. Dimostrare la seguente formula ricorsiva per Sk (n):
!
k−1 X
1
k
+
1
Sk (n) =
(n + 1)k −
Sα (n) .
k+1
α
α=0
3
Suggerimento. Sviluppare con il binomio di Newton
(h + 1)
k+1
=
k+1 X
k+1
α
α=0
hα
Si ha quindi
n
X
(h + 1)
k+1
=
n X
k+1 X
k+1
α
h=1 α=0
h=1
hα
e verificare che
n
X
(h + 1)k+1 = Sk+1 (n) − 1 + (n + 1)k+1
h=1
e che
k+1 n X
X
k+1
h=1 α=0
α
α
h =
n
k+1 X
k+1 X
α=0
=
α
h=1
k−1 X
k+1
α=0
α
α
h =
k+1 X
k+1
α=0
α
Sα (n)
Sα (n) + (k + 1)Sk (n) + Sk+1 (n).
Ricavare quindi Sk (n) a partire da
Sk+1 (n) − 1 + (n + 1)
k+1
=
k−1 X
k+1
α=0
α
Sα (n) + (k + 1)Sk (n) + Sk+1 (n).
Esercizio 8. Dimostrare la formula (1).
Suggerimento. Fare una dimostrazione per induzione sull’esponente n e sfruttare la seguente uguaglianza (da dimostrare con il calcolo diretto)
n
n
n+1
+
=
.
k
k−1
k
4