HOMEWORK N. 1, LOGICA MATEMATICA PER

HOMEWORK N. 1, LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA 2012/2013
CONSEGNA: VENERDÌ 2 NOVEMBRE. LE RISPOSTE E LE DIMOSTRAZIONI DEVONO ESSERE
DETTAGLIATE E COMPLETE. IL LAVORO DEVE ESSERE INDIVIDUALE.
Esercizio 1 Sia F una formula senza quantificatori, simboli di funzione, né simboli di costante. Dimostrare
i due punti seguenti.
(1) Una formula chiusa del tipo ∀x1 . . . ∀xn ∃y1 . . . ∃ym F con m ≥ 0 e n ≥ 1 è valida se e solo se è vera
in ogni struttura (non vuota) con ≤ n elementi.
(2) Una formula chiusa del tipo ∃y1 . . . ∃ym F è valida se e solo se è vera in ogni struttura con 1 elemento.
Esercizio 2 Dimostrare che la teoria S∞ nel Lemma di Lindenbaum (Dispensa 4) è completa, i.e. che
per ogni enunciato E nel linguaggio di S∞ , vale S∞ ` E oppure S∞ ` ¬E.
Esercizio 3 Dimostrare che una teoria T coerente è completa se e solo se, per ogni coppia di enunciati
F, G, se T ` F ∨ G allora T ` F oppure T ` G. (N.B. l’ipotesi che T è coerente serve solo per un verso
dell’equivalenza. Indicare quale).
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