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Anna Colzato n. matricola 701367
Scheda per Matematiche Complementari II
La dimostrazione per assurdo
a.a. 2005-2006
5c – TRATTAZIONE: funzione della dimostrazione
E’ anche interessante chiedersi a chi servono le dimostrazioni. Indubbiamente ai
matematici, ad un altro livello anche ad insegnanti e studenti, i quali, leggendole,
possono convincersi di quanto l’enunciato asserisce.
Quali sono le funzioni della dimostrazione? Ovviamente non si può attribuirle solo il
compito di stabilire la verità o quello di svelare “l’inganno”.
Molte altre sono le funzioni svolte dalle dimostrazioni nella costruzione della
matematica, vediamone alcune:
- evitare i calcoli;
- predire i risultati;
- aumentare l’affidabilità, perché è inevitabile che si infiltrino errori anche
nelle manipolazioni concrete che si presumono esatte, non appena i numeri in
gioco diventano grandi, rispetto ai limiti di precisione della percezione e
dell’attenzione umana o al buon funzionamento prolungato di una macchina
fisica;
- fornire spiegazioni: un calcolo fatto a macchina o ottenuto applicando un
algoritmo, dà una risposta, ma nessuna comprensione del perché quella è la
risposta giusta;
- suggerire generalizzazioni;
- trasportare risultati;
- risolvere problemi: la dimostrazione ha spesso la funzione di trovare le
soluzioni dei problemi. Un esempio facile è fornito dalla formula risolutiva
delle equazioni di secondo grado, di non facile memorizzazione.
Invece di memorizzare la formula, basta ricordare “il quadrato del binomio”,
infatti:
ax 2  bx  c  0
b
c
x 0
a
a
b
c
x2  2
x 0
2a
a
x2 
2
2
b
c
 b   b 
x 2
x      0
2a
a
 2a   2a 
2
2
2
b   b 
c

x 
     0
2a   2a 
a

2
b
c
 b 
x
   
2a
a
 2a 
x
-
 b  b 2  4ac
2a
estrarre algoritmi;
risparmiare risorse;
inventare forme di ragionamento;
scoprire controesempi;
suggerire le ipotesi giuste: una dimostrazione associata un controesempio,
può rilevare assunzioni mancanti;
- permettere, raffinare e confermare l’intuizione.