Istituzioni di Matematiche I - Esercitazioni - Turno 8

Istituzioni di Matematiche I - Esercitazioni - Turno 8
Esercitatore: Claudio Vailati - e-mail:
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sabato 18/10/2014 ore 9.30 - 11.30
1. Dimostrare per induzione su n che la somma dei primi n numeri pari è: 2 + 4 + 6 + .... + 2n = n(n + 1).
2. Dimostrare per induzione su n che: 20 + 21 + 22 + ... + 2n = 2n+1 − 1.
3. Data l'uguaglianza (1 − 1/2)(1 − 1/3) . . . (1 − 1/n) = 1/n
(a) Scriverla e vericarla per n = 3 e per n = 4.
(b) Dimostrarla per induzione per ogni n > 1.
4. Dimostrare per induzione su n che per ogni numero naturale n ≥ 2 vale la disuguaglianza: 2n ≤ n2 .
5. Dimostrare per induzione su n che per ogni numero naturale n ≥ 4 vale la disuguaglianza: n2 ≥ 3n + 2.
6. Dimostrare per induzione su n che 9 divide (10n − 1) per ogni n ≥ 1.
7. Dimostrare che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è (n − 2) · 180o .
8. Dimostrare per induzione che n2 + 3n − 1 è dispari per ogni numero naturale n ≥ 1.
9. Dimostrare per induzione che il numero dei sottoinsiemi di due elementi di un insieme di n elementi (con n ≥ 2) è uguale a
n(n − 1)
2
10. Dimostrare per induzione che per ogni n ≥ 0
5 + 15 + 25 + . . . + (10n + 5) = 5(n + 1)2
11. Dimostrare per induzione che per ogni nN l'insieme delle funzioni denite su un insieme di n elementi con valori in {0, 1}
ha 2n elementi.
12. Dimostrare per induzione su n che la somma dei primi n numeri dispari è uguale al quadrato di n, cioè
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
13. Data l'uguaglianza
1 + 4 + 9 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
(a) Scriverla e vericarla per n = 2 e per n = 3.
(b) Dimostrarla per induzione per ogni n ≥ 1.
14. Siano E = {1, 2, 3} e D = {1, 2, 3, 4}:
(a) elencare i sottoinsiemi di E e di D che hanno un numero pari di elementi;
(b) se F ha n elementi e p è il numero di sottoinsiemi di F che hanno un numero pari di elementi, stabilire quanti sono i
sottoinsiemi di F che hanno un numero dispari di elementi;
(c) dimostrare per induzione che ∀n ≥ 1 si ha p = 2n−1 .
15. Scrivere lo sviluppo di (a + b)3 , poi dimostrare per induzione che la somma di tre cubi consecutivi è divisibile per 9:
∀n ≥ 0, n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 è multiplo di 9.
1
16. Dimostrare per induzione che per ogni n ≥ 1 vale la relazione
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + n(n + 1)(n + 2) =
17. Data l'uguaglianza
3 + 3 2 + . . . + 3n =
1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
3(3n − 1)
2
(a) vericarla per n = 3 e n = 4;
(b) dimostrarla per induzione su n ≥ 1.
18. Data la disuguaglianza
√
1
1
1 + √ + ... + √ > n
n
2
(a) vericarla per n = 2 e n = 3;
p
(b) dimostrarla per induzione su n ≥ 2. (Suggerimento: ∀n ≥ 1, n(n + 1) > n).
19. Posto E(n) = (n − 1)2 + n2 + (n + 1)2 per n ≥ 1, (nN)
(a) calcolare E(1) e E(2);
(b) dimostrare che ∀nN vale la relazione E(n + 1) = E(n) + 6n + 3;
(c) dimostrare che E(n) ha la stessa parità rispetto a n.
2