Elettrotecnica I Angelo Castiglione 15 giugno 2015 Indice 1 Cenni di elettromagnetismo 1.1 1.2 Operatori dierenziali 1.4 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divergenza di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Rotore di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Teorema della divergenza 14 1.1.4 Teorema del rotore o di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.5 Teorema di Helmoltz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.6 Gradiente di una funzione scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Forma locale delle leggi del campo elettromagnetico . . . . . . . . 17 1.2.2 Forma globale delle leggi del campo elettromagnetico . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ per il vettore campo induzione dielettrica d ~ per il vettore campo induzione magnetica b 1.2.2.1 Legge di Gauss 1.2.2.2 Legge di Gauss 1.2.2.3 Legge di Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2.4 21 21 Legge di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Condizioni di interfaccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Proprietà dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Materiali lineari isotropi e lineari anisotropi . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2 Materiali non lineari 25 1.3.3 Dispersività dei materiali 1.3.4 Materiali chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.5 Isteresi nei materiali 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scomposizione del problema elettromagnetico 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.1 Problema di campo di corrente statico . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2 Problema di campo elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.3 Problema di campo magnetostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.4 Problema di campo quasi statico 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.1 13 1.1.1 1.2.3 1.3 13 Problema di campo di corrente statico 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Introduzione 2.1.2 Riformulazione del problema di campo di corrente statico 2.1.3 Funzione armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Le condizioni al contorno 34 2.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Dal problema di campo di corrente statico ai concetti di conduttanza e resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 36 Indice 2.1.6 Potenza dissipata dal resistore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.7 Applicazione: deduzione della seconda legge di Ohm 39 2.1.8 Generaltà sui resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resistore lineare tempo-invariante . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.8.2 Resistore lineare tempo-variante 2.1.8.3 . . . . . . . . . . . . . . 44 Resistore non lineare tempo-invariante . . . . . . . . . . . 45 2.1.8.4 Resistore non lineare tempo-variante . . . . . . . . . . . . 45 2.1.8.5 Resistore controllato in corrente e resistore controllato in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8.6 2.1.8.7 Generatore ideale di tensione e generatore reale di tensione 47 Legge di Kirchoo delle tensioni (L.K.T.) . . . . 49 2.1.8.6.2 Resistori in serie e legge del partitore di tensione 50 2.1.8.6.3 Potenza istantanea assorbita e potenza istanta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legge di Kirchoo delle correnti (L.K.I.) . . . . . 2.1.8.7.2 Resistori in parallelo e legge del partitore di cor- 2.1.8.7.3 Potenza istantanea assorbita e potenza istanta- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nea generata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lato alla Thevenin e lato alla Norton 54 54 55 . . . . . . . . . . . 56 Problema di campo elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.1 Introduzione 2.2.2 Riformulazione del problema di campo elettrostatico 2.2.3 Le condizioni al contorno 2.2.4 Metodo integrale per la risoluzione del problema di campo elettro- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 . . . . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.5 Dal problema di campo elettrostatico al concetto di capacità . . . 63 2.2.6 Circuito del primo ordine RC: carica e scarica di un capacitore . . 71 Generalità sui capacitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.7.1 73 2.2.7 Capacitore lineare tempo-invariante 2.2.7.1.1 . . . . . . . . . . . . Energia immagazzinata da un capacitore lineare tempo-invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7.2 Capacitore lineare tempo-variante 2.2.7.2.1 2.2.7.3 . . . . . . . . . . . . . 74 75 Energia immagazzinata da un capacitore lineare tempo-variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Capacitore non lineare tempo-invariante . . . . . . . . . . 76 2.2.7.3.1 Energia immagazzinata da un capacitore non lin. . . . . . . . . . . . . . . 76 Capacitore non lineare tempo-variante . . . . . . . . . . . eare tempo-invariante 77 Problema di campo magnetostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.3.2 Riformulazione del problema di campo magnetostatico . . . . . . . 80 2.2.7.4 2.3 51 Generatore ideale di corrente e generatore reale di corrente 52 2.1.8.7.1 rente 2.1.8.8 46 2.1.8.6.1 nea generata 2.2 42 2.1.8.1 3 Indice 2.3.3 Metodo integrale per la risoluzione del problema di campo magnetostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3.4 Legge dell'azione elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.3.5 Strutture ferromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.3.6 Coppia di induttori mutuamente accoppiati 97 2.3.7 Dispositivi a n bipoli e dispositivi n-polari . . . . . . . . . . . . . . 101 2.3.8 Induttore isolato 2.3.9 Circuito del primo ordine RL: carica e scarica di un induttore . . . 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.3.10 Generalità sugli induttori 2.3.10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Induttore lineare tempo-invariante . . . . . . . . . . . . . 107 2.3.10.1.1 Energia immagazzinata da un induttore lineare tempo-invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.3.10.2 Induttore lineare tempo-variante . . . . . . . . . . . . . . 109 2.3.10.2.1 Energia immagazzinata da un induttore lineare tempo-variante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.3.10.3 Induttore non lineare tempo-invariante 2.3.10.3.1 eare tempo-invariante 2.3.10.4 . . . . . . . . . . 110 Energia immagazzinata da un capacitore non lin. . . . . . . . . . . . . . . 110 Induttore non lineare tempo-variante . . . . . . . . . . . . 110 2.3.11 Generalità sulla coppia di induttori mutuamente accoppiati 2.3.11.0.1 . . . . 111 Energia immagazzinata dalla coppia di induttori mutuamente accoppiati . . . . . . . . . . . . . . 111 2.3.12 Trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.3.12.1 3 Proprietà del trasformatore ideale Generatori pilotati e forme d'onda 3.1 3.2 Generatori pilotati . . . . . . . . . . . . . 115 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.1.1 Generatore di corrente pilotato in corrente . . . . . . . . . . . . . . 120 3.1.2 Generatore di corrente pilotato in tensione . . . . . . . . . . . . . . 120 3.1.3 Generatore di tensione pilotato in corrente . . . . . . . . . . . . . . 121 3.1.4 Generatore di tensione pilotato in tensione . . . . . . . . . . . . . . 121 Forme d'onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2.1 Funzione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2.2 Sinusoide o cosinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2.3 Gradino unitario 3.2.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 gradino unitario traslato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.2.4 Impulso di durata nita 3.2.5 Impulso di Diràc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.2.5.1 Impulso di Diràc traslato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.2.5.2 Proprietà del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.2.5.3 Proprietà della delta di Diràc . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.2.6 Rampa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.2.7 Rampa parabolica 3.2.8 Doppietto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4 Indice 3.3 4 Proprietà dei segnali elettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.3.1 Valore medio o componente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3.2 Potenza media normalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3.3 Energia media normalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.3.4 Valore ecace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.3.5 Segnali di potenza e segnali di energia . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Reti elettriche 131 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.2 Scrittura delle L.K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.3 Regime costante 4.3.1 Equazione dierenziale di ordine minimo per una variabile di rete . 136 4.3.1.1 4.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Ordine minimo dell'equazione dierenziale . . . . . . . . . 137 Risoluzione equazioni dierenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3.2.1 Ricerca dell'integrale generale dell'omogenea associata . . 140 4.3.2.1.1 4.3.2.2 Rete elettrica priva di generatori . . . . . . . . . 142 Ricerca dell'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.3 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.3.3.1 Ricerca dell'integrale generale dell'omogenea associata . . 146 4.3.3.2 Ricerca dell'integrale particolare 4.3.3.2.1 4.3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . 146 Il signicato sico dell'integrale particolare Determinazione delle costanti . . . 146 k e ϕ mediante le condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.3.4 I controlli sulla correttezza dell'equazione dierenziale di ordine minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.4 Risposta transitoria e risposta permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.5 Risposta con stato zero e con ingresso zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6 Metodi integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.6.1 Integrale di convoluzione e risposta all'impulso Signicato sico dell'integrale di convoluzione . . . . . . . 156 4.6.1.2 Dimostrazione dell'integrale di convoluzione . . . . . . . . 156 4.6.1.3 4.6.2 . . . . . . . . . . . 155 4.6.1.1 Metodo del bilanciamento delle funzioni singolari . . . . . 159 4.6.1.3.1 Le risposte all'impulso per un circuito elettrico . 163 4.6.1.3.2 Analisi energetica della rete . . . . . . . . . . . . 165 Integrale di Duhamel e risposta al gradino . . . . . . . . . . . . . . 166 4.6.2.1 Risposta al gradino 4.6.2.2 Integrale di Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.6.2.3 Integrale di Duhamel nel caso di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 x (t) dis- continua in t=0 s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.6.2.4 4.7 Signicato sico dell'integrale di Duhamel . . . . . . . . . 172 Regime sinusoidale 4.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Ricerca dell'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo (metodo dei fasori) 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Indice 4.7.2 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.7.2.1 4.7.3 4.7.4 4.7.5 Ricerca dell'integrale particolare 4.7.3.1 L.K.T. nel dominio dei fasori . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.7.3.2 L.K.I. nel dominio dei fasori 4.7.4.1 Resistore lineare tempo-invariante 4.7.4.2 Capacitore lineare tempo-invariante 4.7.4.3 Induttore lineare tempo-invariante . . . . . . . . . . . . . 182 4.7.4.4 Impedenza del bipolo elementare . . . . . . . . . . . . . . 182 4.7.4.5 Coppia di induttori mutuamente accoppiati . . . . . . . . 183 4.7.4.6 Trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.7.4.7 Generatore ideale di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.7.4.8 Generatore ideale di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Impedenza del bipolo composito 4.7.5.2 . . . . . . . . . . . . 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Legge del partitore di tensione . . . . . . . . . . 188 Impedenze in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.7.5.2.1 Legge del partitore di corrente . . . . . . . . . . 190 4.7.6 Rete elettrica nel dominio dei fasori 4.7.7 Potenza in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.7.7.1 La potenza media o attiva o reale P 4.7.7.2 La potenza reattiva Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.7.7.3 La potenza complesa 4.7.7.3.1 4.7.7.4 Ȧ . . . . . . . . . . . . 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 La potenza apparente A. Rifasamento . . . . . . . . . . . . . 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Circuiti del secondo ordine RLC a regime costante 5.1 Esempio 1. Circuito RLC serie 5.2 Esempio 2. Circuito RLC parallelo 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Circuiti del secondo ordine RLC a regime sinusoidale 6.1 7 . . . . . . . . . . . . . 181 Impedenze in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.7.5.1.1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 181 L.L. nel dominio dei fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.7.5.1 5 . . . . . . . . . . . . . . 179 L.K. nel dominio dei fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Esempio. Circuito RLC serie 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Metodi di analisi delle reti elettriche 7.1 Metodo dei potenziali ai nodi 7.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Il concetto di grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.1.1.1 La matrice di incidenza totale nodi-lati 7.1.1.1.1 7.1.2 213 . . . . . . . . . . 215 matrice di incidenza nodi-lati . . . . . . . . . . . 216 Descrizione del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.1.2.1 Trasformazione Thevenin-Norton . . . . . . . . . . . . . . 219 7.1.2.2 Regole di ispezione visiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 [GN ] . . [igN ] 7.1.2.2.1 Matrice delle conduttanze di nodi 7.1.2.2.2 Vettore colonna dei generatori di nodi 6 . . . 221 . . . 221 Indice 7.1.2.2.3 Esempio1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.1.2.4 Teorema di Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.1.2.5 Metodo dei potenziali ai nodi modicato Esempio2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Modo poco furbo . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.1.2.6.2 Modo furbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 La matrice di incidenza totale anelli-lati . . . . . . . . . . 231 7.2.1.1.1 Matrice di incidenza anelli-lati . . . . . . . . . . 232 Descrizione del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.2.2.1 7.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Elementi di teoria dei gra: il concetto di anello . . . . . . . . . . . 227 7.2.1.1 7.2.2 . . . . . . . . . 224 7.1.2.6.1 Metodo delle correnti di anello 7.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.1.2.3 7.1.2.6 7.2 Consiglio Regole di ispezione visiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 [RA ] 7.2.2.1.1 Matrice delle resistenze di anello . . . . . . 237 7.2.2.1.2 Vettore colonna dei generatori di anello [vgA ] . . 237 7.2.2.2 Esempio1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.2.2.3 Metodo delle correnti di anello modicato . . . . . . . . . 239 7.2.2.3.1 Modo poco furbo . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.2.2.3.2 Modo furbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Rete elettrica con coppia di induttori mutuamente accoppiati . . . 241 7.3 Criterio per la scelta del metodo 7.4 Metodo degli insiemi di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Elementi di teoria dei gra: il concetto di albero e di insieme di taglio fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.4.1.1 7.5 7.5.1 Elementi di teoria dei gra: il concetto di maglia 7.5.1.1 7.6 . . . . . . . 245 . . . . . . . . . . 249 La matrice di incidenza maglie fondamentali-lati . . . . . 249 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 7.6.1 Esempio 1. Metodo delle correnti di maglia 7.6.2 Esempio 2. Metodo delle correnti di anello . . . . . . . . . . . . . . 254 7.6.3 Esempio 3. Metodo dei potenziali ai nodi 7.6.4 Esempio 4. Metodo delle correnti di maglia 7.6.5 Esempio 5. Metodo dei potenziali ai nodi 7.6.6 Esempio 6. Metodo delle correnti di maglia . . . . . . . . . . . . . 251 . . . . . . . . . . . . . . 255 . . . . . . . . . . . . . 256 . . . . . . . . . . . . . . 257 . . . . . . . . . . . . . 259 7.7 Metodo delle equazioni di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 7.8 Tecniche di integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.8.1 Metodo delle dierenze all'indietro 7.8.1.1 8 La matrice di incidenza insiemi di taglio-lati Metodo delle correnti di maglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Esempio (rete elettrica a regime costante) . . . . . . . . . 266 7.8.2 Metodo delle dierenze all'avanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.8.3 Metodo di Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale 8.1 270 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7 Indice 8.2 Analisi armonica: serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 8.2.1 Funzioni ortogonali e funzioni ortonormali . . . . . . . . . . . . . . 271 8.2.2 Insieme completo di funzioni 8.2.3 Teorema della rappresentazione dei segnali su base ortogonale . . . 273 8.2.4 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 8.2.4.1 8.3 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Forma trigonometrica o cartesiana della seirie di Fourier . 275 8.2.5 Rappresentazione spettrale dei segnali periodici non sinusoidali 8.2.6 Energia media normalizzata di un segnale periodico non sinusoidale 278 8.2.7 Valore ecace di un segnale periodico non sinusoidale Risposta a regime periodico non sinusoidale . . 277 . . . . . . . 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Teoremi sulle reti elettriche 289 9.1 Teorema di sostituzione 9.2 Sovrapposizione degli eetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 9.3 Teorema di Tellegen 9.2.1 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 9.3.1 Teorema della conservazione della potenza istantanea . . . . . . . . 297 9.3.2 Tesi del teorema di Tellegen nel dominio dei fasori 9.3.3 Teorema di Boucherot o della conservazione della potenza 9.3.4 Tesi del teorema di Tellegen nel dominio di Laplace . . . . . . . . . 299 Teorema di Thevenin/Norton . . . . . . . . . 298 . . . . . 298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 9.4.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 9.4.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 9.5 Teorema di reciprocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 9.6 Teorema del massimo trasferimento di potenza 9.5.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 . . . . . . . . . . . . . . . 325 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace 10.1 Sommabilità di una funzione in 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 R. 10.2 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 10.2.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 10.2.2 Proprietà della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 338 10.2.3 Trasformata di Laplace di alcune forme d'onda 10.2.3.1 . . . . . . . . . . . 341 Trasformata di Laplace del gradino . . . . . . . . . . . . . 341 10.2.3.1.1 Trasformata di Laplace del gradino traslato. . . 342 10.2.3.2 Trasformata di Laplace della funzione sinusoidale . . . . . 342 10.2.3.3 Trasformata di Laplace della funzione cosinusoidale 10.2.3.4 Tabella delle trasformate di Laplace di alcune funzioni . . 343 10.2.4 L.K nel dominio di Laplace . . . 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.2.4.1 L.K.T. nel dominio di Laplace 10.2.4.2 L.K.I. nel dominio di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.2.5 L.L. nel dominio di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 10.2.5.1 Resistore lineare tempo-invariante 10.2.5.2 Capacitore lineare tempo-invariante 8 . . . . . . . . . . . . . 344 . . . . . . . . . . . . 345 Indice 10.2.5.3 Induttore lineare tempo-invariante . . . . . . . . . . . . . 346 10.2.5.4 Impedenza del bipolo elementare . . . . . . . . . . . . . . 346 10.2.5.5 Coppia di induttori mutuamente accoppiati . . . . . . . . 347 10.2.5.6 Trasformatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 10.2.5.7 Generatore ideale di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . 348 10.2.5.8 Generatore ideale di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 349 10.3 Antitrasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 10.3.1 Il problema dell'antitrasformabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 10.3.2 Proprietà dell'antitrasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 351 10.3.3 Antitrasformata di Laplace delle funzioni razionali fratte . . . . . . 351 10.4 Risoluzione reti elettriche mediante trasformata di Laplace . . . . . . . . . 355 11 La teoria dei doppi bipoli 360 11.1 Il doppio bipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 11.1.1 Rappresentazione del doppio bipolo mediante la matrice delle impedenze e la matrice delle ammettenze . . . . . . . . . . . . . . . . 363 11.1.1.1 Matrice delle impedenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 11.1.1.1.1 11.1.1.2 Esempio. Matrice delle ammettenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 11.1.1.2.1 Esempio. h i . h. . i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 11.1.2 Relazioni tra le matrice 11.1.2.1 Ż Ẏ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Passaggio dalla matrice delle impedenze delle ammettenze 11.1.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 h i Ẏ h i Ż alla matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Passaggio dalla matrice delle ammettenze trice delle impedenze h i Ż h i Ẏ alla ma- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 11.1.3 Rappresentazione del doppio bipolo mediante la matrice ibrida e la matrice ibrida inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 11.1.3.1 matrice ibrida 11.1.3.1.1 11.1.3.2 Proposizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 matrice ibrida inversa 11.1.3.2.1 Ḣ e Ḣ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Passaggio dalla matrice ibrida inversa 11.1.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Proposizione. h i h . .i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 11.1.4 Relazioni tra le matrice 11.1.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 h Ḣ i 0 h i Ḣ alla matrice ibrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 Passaggio dalla matrice ibrida inversa ibrida h i Ḣ h Ḣ 0 i alla matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 9 Indice 11.1.5 Relazioni tra le matrici 11.1.5.1 h i Ḣ . . . . . . . . . . . . . . . 384 h i Ż alla matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 h i Ḣ h i Ż alla ma- h i Ḣ alla matrice delle im- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Passaggio dalla matrice ibrida mettenze h i Ẏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Passaggio dalla matrice ibrida pedenze 11.1.5.4 h i Ẏ Passaggio dalla matrice delle ammettenze trice ibrida 11.1.5.3 e Passaggio dalla matrice delle impedenze ibrida 11.1.5.2 h i h i Ḣ , Ż h i Ẏ . h i Ḣ alla matrice delle am- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 11.1.6 Rappresentazione del doppio bipolo mediante la matrice di trasmissione e la matrice di trasmissione inversa . . . . . . . . . . . . . . . 387 11.1.6.1 matrice di trasmissione diretta 11.1.6.1.1 11.1.6.2 matrice di trasmissione inversa . . . . . . . . . . . . . . . 392 11.1.6.2.1 Proposizione. h i h . i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 11.1.7 Relazioni tra le matrice 11.1.7.1 Ṫ e Ṫ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Passaggio dalla matrice di trasmissione diretta matrice di trasmissione inversa 11.1.7.2 11.1.8 . . . . . . . . . . . . . . . 387 Proposizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 h h i Ṫ 11.1.8.3 11.1.8.4 h i Ż alla matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 h i Ṫ h i Ż h i Ẏ 11.1.9 Simmetria di un doppio bipolo h i Ẏ alla ma- . . . . . . . . . . . . . . 397 h i Ṫ alla . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Passaggio dalla matrice di trasmissione diretta matrice delle ammettenze alla . . . . . . . . . . . . . . . 396 Passaggio dalla matrice di trasmissione diretta matrice delle impedenze h 0i Ṫ . . . . . . . . . . . . . . . 396 Passaggio dalla matrice delle ammettenze trice di trasmissione diretta alla . . . . . . . . . . . . 395 Passaggio dalla matrice delle impedenze di trasmissione diretta 11.1.8.2 i Passaggio dalla matrice di trasmissione inversa h i matrice diretta Ṫ . . . . . . h i h i h i Relazioni tra le matrici Ṫ , Ż e Ẏ 11.1.8.1 Ṫ 0 h i Ṫ h i Ṫ alla . . . . . . . . . . . . . . . 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 11.1.9.1 Matrice delle impedenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 11.1.9.2 Matrice delle ammettenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 10 Indice 11.1.9.3 11.1.9.4 Matrice ibrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Rappresentazione mediante la matrice di trasmissione diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 11.2 Impedenza in un doppio bipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 11.2.1 Impedenza a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 11.2.2 Impedenza iterativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 11.2.3 Impedenza di cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 11.2.4 Impedenza immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 11.2.5 Impedenza caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 11.2.6 Espressioni analitiche delle impedenze del doppio bipolo . . . . . . 406 11.3 Il quadripo composito e il doppio bipolo composito . . . . . . . . . . . . . 410 11.3.1 Interconnessione serie-serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 11.3.2 interconnessione parallelo-parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 11.3.3 Interconnessione serie-parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 11.3.4 Interconnessione parallelo-serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 11.3.5 Interconnessione cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 11.3.6 Il doppio bipolo composito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 11.3.7 Trasformazione stella-triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 12 Linee di trasmissione 422 12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 12.2 Linea di trasmissione biconduttore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 12.3 Linea di trasmissione in regime transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 12.3.1 Equazioni dei telegrasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 12.3.2 Linea di trasmissione non distorcente . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 12.3.2.1 Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 12.3.3 Bilancio energetico per una linea di trasmissione . . . . . . . . . . 439 12.4 Linea di trasmissione in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 12.4.1 Rappresentazione fasoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 12.4.2 Equazioni dei telegrasti nel dominio dei fasori e parametri secondari della linea di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 12.4.3 I parametri secondari nel caso di linea di trasmissione non distorcente452 12.4.4 Impedenza di linea e coecienti di riessione 12.4.5 Linea di trasmissione adattata . . . . . . . . . . . . 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 12.4.6 Rappresentazione della linea mediante la sintassi dei doppi bipoli . 456 12.4.6.1 Rappresentazione attraverso la matrice di trasmissione diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 12.4.6.2 Rappresentazione attraverso la matrice di trasmissione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 12.4.6.3 Rappresentazione attraverso la matrice delle impedenze 12.4.6.4 Rappresentazione attraverso la matrice delle ammettenze 12.4.6.5 Circuito equivalente a 12.4.6.6 Circuito equivalente a 12.4.6.7 Linea di trasmissione corta 11 T Π . 460 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Indice 12.4.6.8 Impedenza di ingresso di una linea di trasmissione . . . . 464 12.4.7 Linea di trasmisssione ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 12.4.8 Potenze in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 12.4.8.1 Linea di trasmissione non distorcente . . . . . . . . . . . 471 12.4.8.2 Linea di trasmissione adattata 12.4.8.3 Linea di trasmissione ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 . . . . . . . . . . . . . . . 472 12.5 Linee di trasmissione in regime transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 12.6 Linee di trasmissione multiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 12.7 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 13 Problema di campo quasi stazionario 473 14 Circuiti trifase 474 15 Cenni sulle macchine elettriche 475 16 Appendice A: Teoria delle distribuzioni 476 17 Appendice B: Trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni 477 18 Appendice C: Trasformata di Laplace nel senso delle distribuzioni 478 12 1 Cenni di elettromagnetismo 1.1 Operatori dierenziali 1.1.1 Divergenza di un campo vettoriale Sia f~ = f~ (x, y, z) un campo vettoriale, si chiama divergenza del campo vettoriale f~, la somma delle derivate parziali delle componenti del campo rispetto alle coordinate spaziali: ∂ ∂ ∂ div f~ = fx + fy + fz ∂x ∂y ∂z (1.1.1) La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare e si può anche scrivere mediante la notazione: div f~ = ∇ · f~ dove ∇ (1.1.2) (nabla) è un operatore vettoriale simbolico denito come segue: ∇ = x̂ ∂ ∂ ∂ + ŷ + ẑ ∂x ∂y ∂z (1.1.3) 1.1.2 Rotore di un campo vettoriale Il rotore di un campo vettoriale f~ si denisce come segue: x̂ ŷ ẑ rot f~ = ∇ × f~ = det ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z fx fy fz Il rotore di un campo vettoriale f~ (1.1.4) è un vettore le cui componenti si individuano trovando il determinante della matrice in (1.4). La componente lungo l'asse ~x di rot f~ è dunque: x̂ ∂ ∂ fz − fy ∂y ∂z Le altre componenti, cioè quelle lungo l'asse per permutazioni cicliche ~y e l'asse ~z di degli indici: si tratta di trasformare Pertanto la componente lungo l'asse ~y è: 13 rot f~ x in si possono ottenere y, y in z e z in x. 1 Cenni di elettromagnetismo ŷ ∂ ∂ fx − fz ∂z ∂x ~z mentre la componente lungo l'asse In denitiva rot f~ espresso rot f~ = ∇ × f~ = x̂ è: ∂ ∂ fy − fx ∂x ∂y ẑ mediante le sue componenti è: ∂ ∂ fz − fy ∂y ∂z + ŷ ∂ ∂ fx − fz ∂z ∂x + ẑ ∂ ∂ fy − − fx ∂x ∂y (1.1.5) 1.1.3 Teorema della divergenza Teorema 1.1. (della divergenza) Sia f~ una funzione vettoriale denita in Ω ⊆ R3 , f~ : Ω ⊆ R3 → R3 , sia inoltre 0 f~ ∈ C (Ω); dunque f~ è un campo vettoriale. Indicando con ∂Ω la supercie chiusa di Ω e con n̂ il versore normale uscente da ∂Ω si ha (Figura 1.1): ˆ ˛ ∇ · fˆ dΩ = f~ · n̂ d∂Ω Ω Possiamo dare un signicato sico alla divergenza di un campo vettoriale P (x, y, z) (1.1.6) ∂Ω f~ in un punto dello spazio. Si consideri un punto esso e chiamiamo ∂Ω P (x, y, z) dello spazio e si consideri un volumetto la sua supercie. usso del campo vettoriale f~ attraverso ˛ Se f~ Ω attorno ad è un campo vettoriale si può calcolare il la supercie ∂Ω : f~ · n̂ d∂Ω ∂Ω Alla quantità: ¸ lim Ω→0 si dà il nome di ˆ · n̂ d∂Ω ∂Ω f Ω = div f~ (P ) divergenza del campo vettoriale f~ nel punto P (x, y, z). Figura 1.1.1: dominio di analisi 14 (1.1.7) 1 Cenni di elettromagnetismo 1.1.4 Teorema del rotore o di Stokes Teorema 1.2. (del rotore o di Stokes ) Sia f~ un campo vettoriale e sia S una supercie bilatera (è una supercie con due faccie e un orlo, Figura 1.2). Supponiamo di orientare una delle due faccie della supercie bilatera S mediante un versore normale n̂. Sia Γ l'orlo della superce bilatera S, orientatom concordemente al versore n̂ secondo la regola della mano destra. ~ il tratto elementare orientato dell'orlo Γ si ha: Se indichiamo con dΓ ˛ ˆ ∇ × f~ dS = ~ f~ · dΓ (1.1.8) Γ S Figura 1.1.2: Supercie bilatera Possiamo dare un signicato sico pure al rotore di un campo vettoriale P (x, y, z) dello spazio. Si consideri un punto il punto P P dello spazio e si consideri una supercie S avente come centro (si noti che una circonferenza nello spazio si può orientare in inniti modi). n̂ A questo punto si ssa un versore normale della mano destra con la normale lungo f~ in un punto n̂ e si orienta l'orlo Γ di S secondo la regola in modo che si possa calcolare la circuitazione di f~ Γ: ˛ ~ f~ · dΓ Γ A questo punto come fatto con la divergenza si potrebbe pensare al rotore di un campo vettoriale f~ in un punto P (x, y, z) dello spazio come: ¸ lim ~ · dΓ ~ Γf (1.1.9) S S→0 Però quest'ultimo limite restituisce un numero che dipende dal come è stata orientata la supercie S nello spazio. Per eetto di questa dipendenza, il modulo di ∇ × f~ si denisce come segue: (¸ ~ ~ Γ f · dΓ S ) mentre direzione e verso si prendono tramite la normale n̂ ∇ × f~ = lim max S→0 orientazione della supercie per cui la (1.9) (1.1.10) risulta massima. 15 relativa a quella particolare 1 Cenni di elettromagnetismo 1.1.5 Teorema di Helmoltz Teorema 1.3. (di Helmoltz) Sia f~ un campo vettoriale tale che ∇ × f~ = x̂Fx (x, y, z) + ŷFy (x, y, z) + ẑFz (x, y, z) (1.1.11) ∇ · f~ = G (x, y, z) (1.1.12) e essendo Fx , Fy , Fz , e G funzioni note. Allora esiste ed è unico il campo vettoriale f~ che soddisfa contemporaneamente le condizioni (1.11) e (1.12). So osservi che sono inniti i campi vettoriali f~ che soddisfano singolarmente le con- dizioni (1.11) e (1.12). 1.1.6 Gradiente di una funzione scalare Sia f = f (x, y, z) una funzione scalare; si chiama componenti sono le derivate parziali della funzione ∇f = x̂ f gradiente di f quel vettore le cui rispetto alle coordinate spaziali: ∂ ∂ ∂ f + ŷ f + ẑ f ∂x ∂y ∂z (1.1.13) f = f (x, y, z) si può rappresentare nello spazio con le cosiddette superci di livello, ovvero superci nelle quali il valore di f = f (x, y, z) rimane costante.ù Consideriamo un punto P nello spazio di una qualunque supercie di livello e valutiamo il gradiente della funzione f = f (x, y, z). Quello che si trova è un vettore in direzione ortogonale alla supercie di livellorivolto verso il massimo aumento della funzione f = f (x, y, z) a parità di passo (vedi Figura 1.3) Il modulo del gradiente della funzione f dà la derivata della funzione f lungo quella direzione in cui si ha il massimo aumento della funzione f : Una funzione ∂ f (x, y, z) ∂n scalare f = f (x, y, z) |∇f | = Conoscere il gradiente di una funzione (1.1.14) torna molto utile quando si vuole conoscere la derivata direzionale della stessa funzione: ∂ f (x, y, z) = ∇f · t̂ = |∇f | cos α ∂t 16 (1.1.15) 1 Cenni di elettromagnetismo Figura 1.1.3: superci di livello 1.2 Equazioni di Maxwell 1.2.1 Forma locale delle leggi del campo elettromagnetico l'elettromagnetismo classico macroscopico trovano spiegazione equazioni di Maxwell, le quali, nella loro forma vettoriale moderna, scritte nel I fenomeni che riguardano nelle sistema di misura SI, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, si scrivono, in funzione del raggio vettore ~r e del tempo t, nella forma: ~ × ~e(~r, t) = − ∂ ~b(~r, t) ∇ ∂t (1.2.1) ~ r, t) + ~j(~r, t) ~ × ~h (~r, t) = ∂ d(~ ∇ ∂t (1.2.2) ~ r, t) = ρ(~r, t) ~ · d(~ ∇ (1.2.3) ~ · ~b(~r, t) = 0 ∇ (1.2.4) Esse sono delle equazioni dierenziali lineari alle derivate parziali nelle quali ~e (~r, t) è intensità di campo elettrico misurato in V /m, ~h (~r, t) è il vettore intensità di campo magnetico misurato in A/m , d~ (~r, t) è il vettore induzione elettrica misurato in C/m2 , ~b(~r, t) è il vettore induzione magnetica misurato in W b/m2 , ~j (~r, t) è il vettore il vettore 17 1 Cenni di elettromagnetismo corrente areica misurato in A/m2 , ed inne ρ(~r, t) è la carica elettrica volumica misurata in A/m3 . equazione di continuità Dalle equazioni (1.2.2) e (1.2.3) si deduce l' che esprime il principio di conservazione della carica elettrica: ~ · ~j (~r, t) = − ∂ ρ(~r, t) ∇ ∂t (1.2.5) Quando si arontano i problemi di elettromagnetismo, per tener conto della connessione tra i fenomeni elettromagnetici e quelli meccanici, si fa uso di un'ulteriore equazione detta equazione della forza di Lorentz: f~ (~r, t) = ρ~e (~r, t) + ~j (r̂, t) × ~b (~r, t) (1.2.6) f~(~r, t) è la forza elettromagnetica volumica nel vuoto misurata in N/m3 . I vettori ~ e, ~h, d~, ~b deniscono il campo elettromagnetico ; tali vettori si suppongono generalmente continui assieme alle loro derivate nel dominio di analisi Ω considerato. dove E' importante osservare che Le equazioni di Maxwell assieme all'equazione di continuità non risultano essere tutte indipendenti tra di loro. Le uniche equazioni indipen- denti sono le equazioni di Maxwell ai rotori. Infatti, non è dicile provare quanto detto: le equazioni di Maxwell (1.2.3) , (1.2.4) si determinano a partire dalle equazioni ai rotori, con l'ausilio dell' equazione di continuità. Prendendo la divergenza di entrambi i membri dell'equazione (1.2.1) si ha: − ~ ·∇ ~ ×→ ~ · ∂ ~b ∇ e = −∇ ∂t Quest'ultima equazione, per una nota identità vettoriale e per il fatto che risulta possibile scambiare gli operatori dierenziali ~ (.), ∇ ∂ ∂t (.) per il teorema di Schwarz, si scrive: ∂ ~ ~ ∇·b=0 ∂t da cui segue che ~ · ~b (~r, t) ∇ è costante nel tempo: ~ · ~b (~r, t) = Cb (~r) ∇ (1.2.7) Postulando che il campo sia stato eccitato ad un certo istante e che prima di quell'istante fosse nullo, ne segue che la costante segue Cb risulta zero. Pertanto dalla relazione (1.2.7) (1.2.4) . Analogamente, prendendo la divergenza di entrambi i membri dell'equazione 18 (1.2.2) 1 Cenni di elettromagnetismo − ~ ·∇ ~ ×→ ~ · ∂ d~ + ∇ ~ · ~j ∇ h =∇ ∂t si ha: 0= quindi ~ · d~ (~r, t) −ρ + ∇ ∂ ~ · d~ −ρ + ∇ ∂t è costante nel tempo: ~ · d~ (~r, t) = Cd (~r) ρ−∇ (1.2.8) Ancora una volta, postulando che il campo sia stato eccitato ad un certo istante e che prima di quell'istante fosse nullo, ne segue che la costante relazione (1.2.8) segue Cd risulta zero. Pertanto dalla (1.2.3). L'equazione di continuità si ricava a partire dall'equazione dell'equazione (1.2.2) e facendo uso (1.2.3). Prenendo la divergenza di entrambi i membri dell'equazione (1.2.2) − ~ r, t) + ∇ ~ ·→ ~ ·∇ ~ × ~h = ∇ ~ · ∂ d(~ j (~r, t) ∇ ∂t e utilizzando una nota identità vettoriale, si ha: Inne invertendo fornisce l'equazione ~ r, t) + ∇ ~ · ∂ d(~ ~ · ~j(~r, t) 0=∇ ∂t l'ordine di derivazione e utilizzando (1.2.3) , di continuità (1.2.5). quest'ultima relazione Le equazioni di Maxwell indipendenti costituiscono un sistema di equazioni dierenziali alle derivate parziali, in cui il numero di incognite supera il numero di equazioni. E' chiaro allora che per arontare il problema elettromagnetico non bastano le sole equazioni di Maxwell. Quando si aronta un problema elettromagnetico bisogna stabilire: il dominio di analisi i mezzi materiali presenti in l'intervallo di tempo Ω in cui si svolgono i vettori campo; (ti , tf ) Stabilire il dominio di analisi Ω; in cui viene osservato il fenomeno elettromagnetico. Ω signica conoscere la geometria della regione di spazio in cui sono deniti i vettori del campo; le proprietà dei mezzi materiali che compongono il Ω vengono descritte attraverso i parametri costitutivi ε ( permettività dielettrica µ (permettività magnetica H/m), σ ( conducibilità elettrica S/m ), che legano i dominio F/m ), vettori del campo secondo le cosiddette lineari, isotropi e non dispersivi equazioni costitutive, le quali nel caso di mezzi si scrivono: d~ (~r, t) = ε~e (~r, t) 19 (1.2.9) 1 Cenni di elettromagnetismo Nell'equazione (1.2.11) ~b (~r, t) = µ~h (~r, t) (1.2.10) ~j (~r, t) = σ~e (~r, t) + j~s (1.2.11) gura la densità di corrente impressa ~js = σ~es che rappresenta una sorgente per il campo elettromagnetico. L'altra sorgente del campo elettromagnetico è rappresentata dalla carica volumica ρs . In questi mezzi i parametri costitutivi assumono la forma: ε = ε (~r) = ε0 εr (~r) (dove nome di ε0 ' 8.85 · 10−12 F/m (1.2.12) è la permettività dielettrica del vuoto, nota pure con il costante dielettrica del vuoto e εr (~r) è la funzione dielettrica relativa ), µ = µ (~r) = µ0 µr (~r) (essendo nome di µ0 = 4π · 10−7 H/m (1.2.13) la permettività magnetica del vuoto, nota pure con il permeabilità magnetica del vuoto e µr (~r) la permettività magnetica relativa ), ed inne: σ = σ (~r) (1.2.14) Cioè i parametri costitutivi dipendono soltanto dal punto P individuato dal vettore ~r. Le quazioni di Maxwell indipendenti, assieme alle equazioni costitutive, realizzano un sistema dierenziale alle derivate parziali determinato (5 equazioni vettoriali in 5 incognite vettoriali) che ammette una soluzione unica (il campo elettromagnetico) se ad esso vengono abbinate le condizioni iniziali che specicano i valori dei campi all'istante ti in cui inizia l'analisi elettromagnetica e le condizioni al contorno che danno informazioni ∂Ω del dominio Ω. Pertanto in denitiva il problema elettromagnetico consiste nel risolvere il seguente sistema dierenziale alle derivate parziali con sui campi sulla frontiera annesse condizioni iniziali e condizioni al contorno: ~ × ~e = − ∂ ~b ∇ ∂t ~ × ~h = ∂ d~ + ~j ∇ ∂t d~ = ε~e ~b = µ~h ~j = σ~e + j~s condizioni iniziali t0 condizioni al contorno su ∂Ω 20 (1.2.15.1) (1.2.15.2) (1.2.15.3) (1.2.15.4) (1.2.15.5) (1.2.15.6) (1.2.15.7) (1.2.15) 1 Cenni di elettromagnetismo 1.2.2 Forma globale delle leggi del campo elettromagnetico Le equazioni di Maxwell sono delle relazioni portamento dei campi all'istante generico Ω; dierenziali o locali che descrivono il com- t in un punto ~r ordinario del dominio di analisi le relazioni più generali che riguardano l'elettromagnetismo sono le leggi di Maxwell in forma integrale o globale. Tali relazioni si ricavano da quelle dierenziali applican- do semplicemente i teoremi della divergenza e del rotore. La formulazione globale delle equazioni di Maxwell consente, per esempio, lo studio di problemi elettromagnetici in cui la sorgente è rappresentata da cariche elettriche discrete; consente di determinare pure il comportamento dei campi in corrispondenza di cariche o correnti distribuite su superci o in linee ove si manifestano discontinuità delle proprietà costitutive del mezzo materiale. 1.2.2.1 Legge di Gauss per il vettore campo induzione dielettrica Integrando l'equazione (1.2.3) in un dominio Ω ˆ d~ (Figura 1.1.1), ˆ ~ · d~ dΩ = ∇ ρ dΩ Ω (1.2.16) Ω ed applicando il teorema della divergenza si ha: ˛ ˆ d~ · n̂ d∂Ω = ∂Ω (1.2.17) prende Secondo (1.2.17) chiusa ∂Ω, ˛ La relazione integrale po induzione elettrica. attraverso la supercie ρ dΩ = q (1.2.17) Ω legge di Gauss per il vettore cam- il nome di il usso del vettore campo induzione elettrica d~ · n̂ d∂Ω ∂Ω eguaglia la carica elettrica totale interna alla supercie ∂Ω. Questa relazione si interpreta dicendo che le uniche sorgenti per il campo elettrico sono le cariche elettriche. 1.2.2.2 Legge di Gauss per il vettore campo induzione magnetica Integrando l'equazione (1.2.4) su un dominio Ω ~b (Figura 1.1.1), ˆ ~ · ~b dΩ = 0 ∇ (1.2.18) Ω ed applicando il teorema della divergenza si ha la induzione magnetica ~b: legge di Gauss per il vettore campo ˛ ~b · n̂ d∂Ω = 0 (1.2.19) ∂Ω Secondo (1.2.19) il usso del vettore campo induzione magnetica attraverso una su- percie chiusa risulta nullo. Questa relazione implica la non esistenza delle cariche mqgnetiche. 21 1 Cenni di elettromagnetismo 1.2.2.3 Legge di Faraday (1.2.1) ˆ Integrando l'equazione su una supercie bilatera ˆ ~ × ~e · n̂ dS = − ∇ S S ed applicando il teorema di Stokes si ha la ~e · t̂ dΓ = − S Γ (Figura 1.1.2), ∂~ b · n̂ dS ∂t (1.2.20) legge di Faraday : ˆ ˛ S ∂~ b · n̂ dS ∂t (1.2.21) Supposta ssa la supercie S nel tempo si può portare l'operatore ∂ ∂t (.) fuori dal segno di integrale. Esiste una importante forma alternativa alla forma integrale (3.2.6) che utilizza inte- grali di volume e supercie anziché integrali di linea e supercie. Integrando l'equazione (1.2.1) in un dominio Ω (Figura 1.1.1), ˆ ˆ ~ × ~e dΩ = − ∇ Ω Ω ∂~ b dΩ ∂t (1.2.22) ed applicando la formula del rotore si ha : ˛ ˆ n̂ × ~e d∂Ω = − ∂Ω Ω ∂~ b dΩ ∂t (1.2.23) 1.2.2.4 Legge di Ampere (1.2.2) Integrando l'equazione su una supercie bilatera ˆ ˆ ~ × ~h · n̂ dS = ∇ S S ∂ ~ d · n̂ dS + ∂t ed applicando il teorema di Stokes si ha la ˆ ˛ ~h · t̂ dΓ = Γ S S ˆ (Figura 1.1.2), ~j · n̂ dS (1.2.24) S legge di Ampere : ∂ ~ d · n̂ dS + ∂t ˆ S ~j · n b dS (1.2.25) Come nel caso precedente, supposta ssa la supercie S nel tempo si può portare l'operatore ∂ ∂t (.) fuori dal segno di integrale. Anche in questo caso esiste una importante forma alternativa alla forma integrale (1.2.25) che utilizza integrali di volume e supercie anziché integrali di linea e supercie. Integrando l'equazione (1.2.2) in un dominio Ω (Figura 1.1.1), ˆ ˆ ˆ ∂ ~ ~ ~ ∇ × h dΩ = d dΩ + ~j dΩ Ω Ω ∂t Ω (1.2.26) ed applicando la formula del rotore si ha: ˛ ˆ n̂ × ~h d∂Ω = ∂Ω Ω 22 ∂ ~ d dΩ + ∂t ˆ ~j dΩ Ω (1.2.27) 1 Cenni di elettromagnetismo 1.2.3 Condizioni di interfaccia Come detto in precedenza, nei punti ordinari dello spazio in cui i parametri costitutivi dei mezzi e le sorgenti variano in modo continuo, i vettori campo si assumono continui. Questo non vale per i punti appartenenti a superci che segnano bruschi cambiamenti dei parametri costitutivi o che sono sede di cariche o correnti superciali. Su tali superci, i vettori campo presentano in generale delle discontinuità. Il comportamento dei vettori campo in corrispondenza di dette superci si determina applicando opportunamente le equazioni di Maxwell in forma globale. Consideriamo due mezzi materiali: il mezzo 1 di parametri costitutivi mezzo 2 di parametri costitutivi ε2 , µ2 , σ2 . ε1 , µ1 , σ1 e il Inichiamo con S la supercie o interfaccia di separazione dei due mezzi e orientiamo un versore normale n̂ come mostrato in Figura 1.2.1. Consideriamo inne un cilindro di volume Ω che attraversa l'interfaccia S con le basi disposte parallelemente ad S. La legge di Gauss per il campo d~ nel ca- so specico del volume cilindrico di Figura 1.2.1 si scrive: ˆ ˆ ~ n̂·d2 dS+ S2 interfaccia ˆ ˆ ˆ ˆ Figura 1.2.1: ˆ ~ (−n̂)·d~1 dS+ n̂S ·ddhdC = ρdhdS+ ρs dS S1 C h S h S S dove l'integrale ˆ ρs dS S compare solo se vi è una carica superciale h→0 Passando al limite per S1 , S2 le basi ρs sulla supercie di separazione. e S vanno a coincidere, gli integrali doppi tendono a zero e la legge di Gauss diventa: ˆ ˆ n̂ · d~2 dS + S ˆ (−n̂) · d~1 dS = S ρs dS S da cui segue la relazione: n̂ · d~2 − d~1 = ρs (1.2.28) d~ attraverso superciale ρs . che esprime la discontinuità della componente normale del vettore supercie su cui è distribuita una carica areica con densità una Analogamente scrivendo la legge di Gauss per il vettore campo induzione magnetica ~b nel caso specico del volume cilindrico di Figura 1.2.1 si trova la relazione: n̂ · ~b2 − ~b1 = 0 23 (1.2.29) 1 Cenni di elettromagnetismo che esprime la continuità della componente normale del vettore ~b attraverso una supercie che separa due mezzi con proprietà costitutive dierenti. La legge di Faraday (3.2.8) nel caso specico del dominio cilindrico di Figura 1.2.1 si scrive: C S1 Passando al limite per h→0 le basi − n̂S × ~e dhdC = (−n̂) × ~e1 dS + n̂ × ~e dS + S2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S1 , S2 S h e S h ∂~ b dhdS ∂t vanno a coincidere, gli integrali doppi tendono a zero e la legge di Faraday diventa: ˆ ˆ (−n̂) × ~e1 dS = 0 n̂ × ~e2 dS + S S da cui segue la relazione: n̂ × (~e2 − ~e1 ) = 0 (1.2.30) che esprime la continuità della componente tangente del vettore ~e alla supercie di separazione S. Analogamente la legge di Ampere (3.2.12) nel caso specico del volume cilindrico di Figura 1.2.1, si scrive: ˆ ˆ n̂×~h2 dS+ S2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ~ ~j dhdS+ ~js dS (−n̂)×~h1 dS+ n̂S ×~h dhdC = d dhdS+ S1 C h S h ∂t S h S dove l'integrale ˆ ~js dS S compare solo se vi è una corrente lineica Passando al limite per h→0 ~js sulla supercie di separazione. si ricava inne: n̂ × ~h2 − ~h1 = ~js che esprime la discontinuità della componente tangente del vettore supercie su cui scorre una corrente elettrica avente (1.2.31) ~h attraverso una densità ~ js . (1.2.31) segue: n̂ × ~h2 − ~h1 = 0 In assenza di densità di corrente allora da (1.2.32) 1.3 Proprietà dei materiali I materiali all'interno del dominio di analisi Ω denti tra loro. 24 godono di alcune proprietà tutte indipen- 1 Cenni di elettromagnetismo 1.3.1 Materiali lineari isotropi e lineari anisotropi Un materiale è detto lineare isotropo se le equazioni costitutive che legano i vettori campo assumono le forme (1.2.9), (1.2.10), (1.2.11). Per questi mezzi i parametri costitutivi sono delle semplici funzioni del punto. Nel caso dei materiali anisotropi i parametri costitutivi vengono espressi mediante delle matrici 3x3 dette tensori e le equazioni costitutive si scrivono: εxx εxy d~ (~r, t) = εyx εyy εzx εzy µxx µxy ~b (~r, t) = µyx µyy µzx µzy σxx σxy ~j (~r, t) = σyx σyy σzx σzy εxz εyz ~e (~r, t) εzz µxz µyz ~h (~r, t) µzz σxz σyz ~e + j~s σzz (1.3.1) (1.3.2) (1.3.3) L'uso dei tensori spiega il fatto che in presenza dei materiali lineari anisotropi, il comportamento dei vettori campo dipende dalla direzione oltre che dal punto considerato. 1.3.2 Materiali non lineari I materiali non lineari isotropi sono caratterizzati dalle equazioni costitutive: d~ (~r, t) = ε (~e) ~e (~r, t) (1.3.4) ~b (~r, t) = µ ~h ~h (~r, t) (1.3.5) ~j (~r, t) = σ (~e) ~e (~r, t) + j~s (1.3.6) mentre quelli non lineari anisotropi sono caratterizzati dalle equazioni costitutive: εxx (~e) d~ (~r, t) = εyx (~e) εzx (~e) µxx ~h ~b (~r, t) = µyx ~h µzx ~h σxx (~e) ~j (~r, t) = σyx (~e) σzx (~e) εxz (~e) εyz (~e) ~e (~r, t) εzz (~e) µxz ~h µyz ~h ~h (~r, t) µzz ~h σxy (~e) σxz (~e) σyy (~e) σyz (~e) ~e + j~s σzy (~e) σzz (~e) εxy (~e) εyy (~e) εzy (~e) µxy ~h µyy ~h µzy ~h 25 (1.3.7) (1.3.8) (1.3.9) 1 Cenni di elettromagnetismo 1.3.3 Dispersività dei materiali I materiali possono essere dispersivi spazialmente o temporalmente. I materiali dispersivi spazialmente sono caratterizzati dalle equazioni costitutive: ε 4πr2 d~ (~r, t) = ˆ ~e (~r, t) dΩ (1.3.10) Ω ˆ µ ~h (~r, t) dΩ 4πr2 Ω ˆ ~j (~r, t) = σ ~e (~r, t) dΩ + j~s 4πr2 Ω ~b (~r, t) = Secondo (1.3.10), il valore del vettore campo vettore campo del punto ~e nel punto ~r d~ in un punto (1.3.11) (1.3.12) ~r non dipende soltanto dal ma anche dal valore del vettore campo ~e in un intorno Ω ~r. In maniera analoga si ragiona con le altre equazioni. I materiali dispersivi temporalmente sono caratterizzati dalle equazioni costitutive: ε d~ (~r, t̄) = 4 ˆ t̄ ~e (~r, t) dt (1.3.13) 4 ˆ ~h (~r, t) dt ~b (~r, t̄) = µ 4 Ω ˆ ~j (~r, t̄) = σ ~e (~r, t) dt + j~s 4 4 (1.3.14) (1.3.15) d~ in un istante di tempo t̄ non dipende soltanto dal vettore campo ~ e all'istante di tempo t̄ ma anche dal valore del vettore campo ~e in un intervallo di tempo passato 4. Secondo (1.3.13), il valore del vettore campo In maniera analoga si ragiona con le altre equazioni. 1.3.4 Materiali chirali I materiali chirali sono molto usati nelle telecomunicazioni. Per i materiali chirali dipende solo da ~e ma pure d~ = ε~e + η~h Analogamente ~b d~ non da ~ h: non dipende solo da ~h, ma pure da ~b = µ~h + ξ~e 26 (1.3.16) ~e: (1.3.17) 1 Cenni di elettromagnetismo 1.3.5 Isteresi nei materiali Imateriali soggetti a isteresi sono i ferromagneti. Per questa classe di materiali la relazione tra i campi ~b e ~h non è più lineare ma nemmeno univoca. L'andamento dei valori dipende anche dalla storia passata dagli stessi campi nel materiale; tale fenomeno si chiama isteresi. Ad ogni modo essi sono di grande utilità tecnologica; vale quindi la pena soermarsi nel loro studio seppure qualitativamente. Curva di isteresi Per comprendere al meglio qualitativamente le proprietà magnetiche di un ferromagnete si studia la curva che mostra la dipendenza di ~b da ~h; tale curva si dice di isteresi. Esaminiamo i punti salienti di tale curva: 1. si parte dallo stato vergine del materiale: tutti i campi all'interno di esso sono nulli. ~h e corrispondentemente si osserva un andamento del campo ~b decisamente non lineare; la pendenza della curva è molto elevata nei confronti dei 2. Si aumenta il campo materiali lineari. 3. Oltre un certo valore del campo ~ h , detto di saturazione più, attestandosi al valore Bs Hs , l'induzione ~b non cresce o almeno cresce molto lentamente. In tali condizioni essa cresce essa cresce ulteriormente solo per eetto della corrente di conduzione che genera il campo ~h, siccome il contributo del materiale è saturo. 4. A questo punto si comincia a decrescere il campo ~h: l'induzione magnetica ~b segue una nuova curva al di sopra della precedente, e in particolare si nota che, una volta azzerato il campo ~ h: rimane una induzione non nulla chiamata residua. induzione magnetica 5. Per annullare l'induzione magnetica residua, bisogna quindi diminuire ulteriormente il campo ~ h e quindi invertirlo rispetto alla direzione originaria: si raggiungerà così tale valore detto coercitivo Hc . 6. Diminuendo ulteriormente il valore del campo ~h si presenta la stessa condizione di saturazione incontrata precedentemente ma stavolta con induzione opposta; il fenomeno è quindi completamente speculare. 7. A tal punto si aumenta di nuovo il campo ~h e l'induzione segue ancora una curva al di sotto della precedente con una nuova induzione residua opposta alla precedente e un nuovo campo coercitivo per poi ritornare alla saturazione in direzione positiva: la curva diventa chiusa realizzando così il ciclo di isteresi. 27 1 Cenni di elettromagnetismo Figura 1.3.1: ciclo di isteresi 1.4 Scomposizione del problema elettromagnetico Dal problema elettromagnetico dato in (2.1.15) si ricavano i cosidetti problemi di campo statico. Prima di scrivere le equazioni che descrivono i problemi di campo statico osserviamo che l'equazione di continuità in condizioni statiche si scrive: ~ · ~j (~r, t) = 0 ∇ (1.4.1) 1.4.1 Problema di campo di corrente statico Il problema di campo di corrente statico è dato dal seguente sistema: ~ · ~j = 0 ∇ ∇ ~ × ~e = ~0 ~j = σ~e condizioni al contorno su ∂Ω e permette di denire il concetto di (1.4.2) resistenza. 1.4.2 Problema di campo elettrostatico Il problema di campo elettrostatico è dato dal seguente sistema: ~ · d~ = ρ ∇ ∇ ~ × ~e = ~0 d~ = ε~e condizioni al contorno su ∂Ω e permette di denire il concetto di capacità. 28 (1.4.3) 1 Cenni di elettromagnetismo 1.4.3 Problema di campo magnetostatico Il problema di campo magnetostatico è dato dal seguente sistema: ~ · ~b = 0 ∇ ∇ ~ × ~h = ~j ~b = µ~h condizioni al contorno su ∂Ω e permette di denire i concetti di induttanza e (1.4.4) mutua induttanza. 1.4.4 Problema di campo quasi statico Trascurando la corrente di spostamento si ricava il ∂ ~ ∂t d dal problema elettromagnetico dato in (1.2.15) problema di campo quasi statico: ~ × ~e = − ∂ ~b ∇ ∂t ~ ~ ~ ∇ × h = j d~ = ε~e ~b = µ~h ~j = σ~e + j~s condizioni iniziali t0 condizioni al contorno su ∂Ω (1.4.5) Nei prossimi capitoli verranno trattati i problemi di campo statico e soltanto alla ne del corso verrà trattato il problema di campo quasi statico 29 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.1 Problema di campo di corrente statico 2.1.1 Introduzione Attraverso il problema di campo di corrente statico ~ · ~j = 0 ∇ ∇ ~ × ~e = ~0 ~j = σ~e condizioni al contorno su ∂Ω si vuole determinare l'andamento della densità di corrente (2.1.1) ~j in un corpo massiccio. Illustriamo un tipico problema di campo di corrente statico. Esempio. Si consideri un pezzo di materiale conduttore massiccio. Supposto che esso sia fatto di rame allora sarà caratterizzato da una conducibilità elettrica data da σ = 56 · 106 s/m. Collegando il pezzo di rame massiccio ad una pila ideale V0 attraverso dei li conduttori p.e.c (perfect electrical cundoctor), cioè a conducibilità innita, si osserva un passaggio di corrente costante I nei li conduttori e nel pezzo di rame massiccio. Dalla Figura 2.1.1 è possibile osservare che i il pezzo di materiale massiccio è connesso ai li mediante delle placchette di materiale p.e.c. Figura 2.1.1: conduttore massiccio 30 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Il problema di campo di corrente statico consiste nel determinare la corrente I che attraversa il pezzo di rame massiccio. Dato che la corrente elettrica è una grandezza sica macroscopica data da: ˆ ˆ ~ = ~j · ds I= S si capisce che bisogna determinare ~j · n̂ ds (2.1.2) S ~j in ogni punto del pezzo di rame massiccio per risolvere il problema di campo di corrente statico. Qualitativamente le linee di campo del vettore ~j tendono ad occupare tutta la sezione S del pezzo di rame massiccio come mostrato in Figura 2.1.2 Figura 2.1.2: conduttore massiccio Volendo fare un paragone idrauilico, possiamo immaginare che V0 sia una pompa e che il pezzo di rame massiccio sia una vasca piena o parzialmente piena d'acqua. In questo caso si vuole determinare la portata d'acqua I e il vettore velocità ~ j in ogni punto interno alla vasca. La corrente I si può determinare in due modi: si realizza il prototipo del pezzo di rame massiccio e attraverso un amperometro opportunamente collegato si determina il valore della corrente I; si risolvono le equazioni del problema di campo di corrente statico , si trova la densità di corrente ~j e attaverso la (2.1.2) si trova la corrente I. 2.1.2 Riformulazione del problema di campo di corrente statico Esiste un modo che permette di semplicare notevolmente il problema di campo di corrente statico. Esso consiste nell'introdurre una nuova variabile detta elettrico v = v (x, y, z), attraverso la nota formula: potenziale scalare ~ ~e = −∇v Utilizzando quest'ultima equazione, il problema di campo di corrente statico (2.1.1) diventa: 31 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici ~ · ~j = 0 ∇ ~ ~ ∇ × ~e = 0 ~ ~e = −∇v ~j = σ~e condizioni al contorno su ∂Ω (2.1.3.1) (2.1.3.2) (2.1.3.3) (2.1.3.4) (2.1.3.5) (2.1.3) Utilizzando la (2.1.3.3), la (2.1.3.2) viene automaticamente soddisfatta in quanto il rotore del gradiente di una funzione scalare è sempre nullo, qualunque sia la funzione scalare v considerata. Sostituendo (2.1.3.3) in (2.1.3.4) si ricava: ~ ~j = −σ ∇v (2.1.4) Sostiuendo inoltre (2.1.4) in (2.1.3.1) si ottiene: ~ · −σ ∇v ~ ∇ =0 Pertanto il problema di campo di corrente statico risulta equivalente al seguente: ( ~ · −σ ∇v ~ ∇ =0 (2.1.5.1) (2.1.5) condizioni al contorno su ∂Ω (2.1.5.2) L'equazione in (2.1.5.1) prende il nome di equazione di Laplace. Se il materiale conduttore è uniforme, come nel caso del rame, si ha che σ = cost. e l'equazione di Laplace si scrive: ~ · ∇v ~ =0 ∇ Deniendo l'operatore dierenziale (2.1.6) laplaciano 2 2 2 ~ ·∇ ~ = ∂ + ∂ + ∂ ∇2 = ∇ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (2.1.7) ∇2 v = 0 (2.1.8) ( ∇2 v = 0 (2.1.9.1) condizioni al contorno su ∂Ω (2.1.9.2) (2.1.9) la (2.16) si scrive: e il problema in (2.1.5) diventa: La (2.1.8) è chiamata ancora una volta equazione di Laplace. L'equazione di Laplace è un'equazione dierenziale alle derivate parziali omogenea che deve essere ovviamente integrata nel to. volume ⊗ del pezzo di rame massiccio considera- Tale equazione ammette innite soluzioni e si dimostra che abbinando ad essa le condizioni al contorno ammette una unica soluzione. 32 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.1.3 Funzione armonica Una funzione v = v (x, y, z) che soddisfa l'equazione di Laplace si dice armonica. Nel caso monodimensionale l'equazione di Laplace si scrive: d2 v (x) = 0 dx2 (2.1.10) Attraverso semplici passaggi si trova che le funzioni che soddisfano la (2.1.10) sono le rette del piano x-v: d dx ˆ d d v (x) = 0 ⇒ v (x) = k1 ⇒ v (x) = k1 dx = k1 x + k2 dx dx v (x) = k1 x + k2 (2.1.11) Analogamente nel caso bidimensionale si trova che le soluzioni dell'equazione di Laplace ∂2 ∂2 v (x, y) + v (x, y) = 0 ∂x2 ∂y 2 (2.1.12) v (x, y) = ax + by + c (2.1.13) sono le funzioni: Proprietà del minimo e del massimo delle funzioni armoniche Si dimostra che una funzione armonica avrà massimi e minimi assoluti solo nei punti di frontiera e non nei punti interni al dominio. Proprietà del valore medio delle funzioni armoniche Per funzioni armoniche di due variabili si ha: 1 v (x0 , y0 ) = πR2 ˆ 1 v (x, y) dxdy = 2πR cerchio ˛ v (l) dl (2.1.14) circonf erenza Per funzioni armoniche di tre variabili si ha: 1 v (x0 , y0 , z0 ) = 4 3 3 πR ˆ 1 v (x, y, z) dxdydz = 4πR2 sf era 33 ˛ v (l) dl superf icie sf era (2.1.15) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.1.4 Le condizioni al contorno Consideriamo nuovamente il problema di campo di corrente statico (2.1.9) e concentriamo l'attenzione sulle condizioni al contorno Neuman. ∂Ω che possono essere di tipo Dirichelet Una condizione si dice di tipo Dirichelet se il potenziale scalare elettrico in una parte analisi Ω ∂Ω1 della frontiera ∂Ω v o di tipo risulta noto (supercie del conduttore massiccio) del dominio di (volume del conduttore massiccio): ∀P ∈ ∂Ω1 v = f (P ) (2.1.16) Una condizione si dice di tipo Neuman se la derivata normale del potenziale scalare elettrico v risulta nota nella rimanente parte ∂Ω2 della frontiera ∂Ω (supercie del conduttore Ω (volume del conduttore massiccio): massiccio) del dominio di analisi ∂ v = g (P ) ∂n ∀P ∈ ∂Ω2 (2.1.17) 2 ∀P ∈ Ω ∇ v = 0 v = f (P ) ∀P ∈ ∂Ω1 ∂ ∂n v = g(P ) ∀P ∈ ∂Ω2 (2.1.18) Si dimostra che la soluzione al problema esiste ed è unica. ∂Ω+ ∂Ω collegata alla placchetta riferita al ∂Ω− la parte di supercie di ∂Ω collegata alla placchetta riferita al morsetto negativo, visto che la d.d.p tra le due placchette è V0 , possiamo ssare Se indichiamo con la parte di supercie di morsetto positivo della pila e con due condizioni di tipo Dirichelet nel seguente modo: v = V0 ∀P ∈ ∂Ω+ v = 0 ∀P ∈ ∂Ω− essendo ∂Ω+ U ∂Ω− = ∂Ω1 . Per la parte rimanente della frontiera ∂Ω, ovvero (2.1.19) ¯ 1, ∂Ω2 = ∂Ω bisogna ssare una condizione di tipo Neuman. Innanzitutto chiariamo il signicato di derivata normale di v: ∂ ∂ v = lim v P →P0 ∂n0 ∂n Il pezzo di rame massiccio (Ω) è una materializzazione di un tubo di usso per gli elettroni e pertanto le linee di campo della densità di corrente ~j sono in ogni punto tangente alla supercie del pezzo di rame massiccio; in altri termini ciò vuol dire Figura 2.1.3: derivata normale 34 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici che la componente normale della densità di corrente ~j è nulla: jn = 0 (2.1.20) Se fosse il contrario si avrebbe che la corrente esce fuori dalla supercie del conduttore e ciò è assurdo perchè fuori dal pezzo di rame massiccio c'è aria e la conducibilità dell'aria è nulla. Manipolando la (2.1.20): ~ · n̂ = 0 ⇒ ∇v ~ · n̂ = 0 jn = 0 ⇒ ~j · n̂ = 0 ⇒ σ~e · n̂ = 0 ⇒ −σ ∇v si trova la condizione di tipo Neuman: ∂ ∂n v = 0 ∀P ∈ ∂Ω2 La (2.1.21) equivale a dire che nei punti di elettrico v Ω (2.1.21) ortogonali a ∂Ω2 il potenziale scalare rimane costante; tali punti costituiscono le cosiddette superci di livello per il potenziale scalare elettrico v. Una supercie di livello è dunque un insieme di punti di ortogonale a ∂Ω2 Ω posti su di un piano dove il potenziale risulta costante e pari ad un valore: Figura 2.1.4: superci di livello Le traiettorie del vettore campo ~j (e quindi del vettore campo ~e) sono ortogonali alle superci di livello. Si possono usare le superci di livello per dare una misura qualitativa del modulo del vettore campo elettrico ~e oppure del modulo del vettore densità di corrente esempio tracciando le superci di livello con passo costante 4v 5 = e= d d essendo d V m 4v = 5V ~j . Per si avrebbe: (2.1.22) la distanza ortogonale tra due superci di livello consecutive: Dalla (2.1.22) si capisce che laddove le superci di livello si inttiscono il modulo del campo elettrico aumenta a parità di passo. 35 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.1.5: superci di livello a passo costante 2.1.5 Dal problema di campo di corrente statico ai concetti di conduttanza e resistenza Esplicitando le condizioni al contorno come in (2.1.19) e (2.1.21) si ha che il problema di campo di corrente statico in (2.1.18) si scrive: ∇2 v = 0 v = V 0 v = 0 ∂ v=0 ∂n essendo ∂Ω+ U ∂Ω− = ∂Ω1 e ∀P ∀P ∀P ∀P ∈Ω ∈ ∂Ω+ ∈ ∂Ω− ∈ ∂Ω2 (2.1.23) ¯1 ∂Ω2 = ∂Ω Risolvendo tale problema si trova l'espressione analitica del potenziale scalare elettrico v , noto il potenziale scalare elettrico v , attraverso la (2.1.3.3) si trova il campo ~e, noto il campo elettrico ~e, tramite la (2.1.3.4) si trova il vettore densità di ~j ed inne notoil vettore densità di corrente ~j , attraverso la (2.1.2) si trova la elettrico corrente corrente elettrica I: ˆ ˆ ~ = ~j · ds I= S ˆ ˆ ~j · n̂ ds = S ~ · n̂ ds σ ∇v σ~e · n̂ ds = − S (2.1.24) S Osserviamo che tutte le equazioni del campo di corrente statico sono omogenee tranne l'equazione v = V0 ∀P ∈ ∂Ω+ Vista la linearità del problema si ha che se raddoppia che V0 ed I sono proporzionali. Il fattore di proporzionalità tra I e V0 si chiama V0 raddoppia pure I; si ha cioè conduttanza G del resistore essendo quest'ultimo il nome dato al pezzo di rame massiccio considerato: ˆ ~ = G V0 =⇒ G = 1 I = ~j · ds V0 S 36 ˆ ~ · n̂ ds −σ ∇v S (2.1.25) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici L'unità di misura della conduttanza è il siemens s, dato dal rapporto ampere su volt: (2.1.26) resistenza R L'inverso della conduttanza G si chiama R= L'unità di misura della resistenza è A s= V del resistore: 1 G (2.1.27) l'ohm Ω, dato dal rapporto ampere volt su ampere: V s= A (2.1.28) Il parametro G (oppure R) riassume tutte le proprietà costitutive e geometriche del pezzo di rame massiccio da cui siamo partiti. In Figura 2.1.6 viene mostrato i simboli utilizzati per indicare un resistore nei circuiti elettrici Figura 2.1.6: simboli per indicare il resistore 2.1.6 Potenza dissipata dal resistore Il passaggio di corrente nel resistore di conduttanza G (o resistenza R) produce calore per eetto joule sul resistore stesso: si trova che la temperatura del resistore percorso da corrente è maggiore della temperatura ambiente; si ha una dissipazione di energia elettrica in calore. In altri termini il resistore è un dispositivo che pompa energia dal circuito all'ambiente esterno. Se consideriamo un elemento innitesimo del pezzo di rame massiccio di volume Ω possiamo valutare quanto calore si genera in esso. La potenza dissipata dal cubetto elementare dΩ = dxdydz del conduttore massiccio Ω è data da: dP = ~e · ~j dΩ Integrando su tutto il volume dissipata Ω del pezzo di rame massiccio si ricava la dal resistore: 37 potenza totale 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici ˆ ~e · ~j dΩ P = Ω Osservando che il campo elettrico e la densità di corrente sono due vettori paralleli tra di loro, quest'ultima espressione si può manipolare come: ~e · ~j dΩ = P = Ω Ω 2 σ |~e| dΩ = e σ e dΩ = e j dΩ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ω Ω Ω 2 ~ σ ∇v dΩ (2.1.29) Questa potenza si può conoscere una volta risolto il problema di campo di corrente statico con cui si trova il potenziale scalare elettrico v. D'altra parte la potenza dissipata dal resistore si può pure ricavare mediante la relazione: P = V0 I = V0 G Vo = G V02 (2.1.30) Confrontando (2.1.29) e (2.1.30) si ricava una nuova espressione per la conduttanza G: 1 G= 2 V0 ˆ σ |V0 |2 dΩ (2.1.31) Ω Quindi in generale se indichiamo con V la d.d.p tra i morsetti di un resistore e con I la corrente che lo attraversa, allora la relazione che ne regola il funzionamento è: V = RI (2.1.32) I = GV (2.1.33) oppure: tale relazione è nota con il nome di prima legge di Ohm. Si osservi che la prima legge di Ohm resta valida purchè la corrente attraversi il resistore passando dal suo nodo a potenziale più alto al suo nodo a potenziale più basso (convenzione dell'utilizzatore): Figura 2.1.7: convenzione dell'utilizzatore Se la tensione ai capi del resistore è lentamente variabile nel tempo, approssimazione continua a valere la prima legge di Ohom che si scrive: 38 v (t), con buona 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici v (t) = R i (t) (2.1.34) i (t) = G v (t) (2.1.35) oppure: Figura 2.1.8: caso lentamente variabile Nel caso lentamente variabile nel tempo la potenza dissipata dal resistore prende il nome di potenza istantanea dissipata dal resistore ed assume una delle seguenti forme equivalenti: p (t) = v (t) i (t) (2.1.36) p (t) = R i (t)2 (2.1.37) p (t) = v (t)2 R p (t) = G iv (t) p (t) = i (t)2 G (2.1.38) (2.1.39) (2.1.40) 2.1.7 Applicazione: deduzione della seconda legge di Ohm Consideriamo un tratto di lo conduttore massiccio di forma cilindrica retta avente sezione S e lunghezza d come in Figura 2.1.9. Supponimo che le basi ∂Ω+ e ∂Ω− siano collegate a due placchette di materiale p.e.c grandi quanto le basi e che queste siano collegate ad una pila di tensione costante V0 mediante due li conduttori p.e.c. Per la struttura mostrata in Figura 2.1.9, che si suppone posta in aria, si può scrivere il seguente problema di campo di corrente statico: 39 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.1.9: tratto di lo conduttore cilindrico ∇2 v = 0 v = V 0 v=0 ∂ v=0 ∂n2 essendo Ω e ∂Ω = ∂Ω+ U ∂Ω− U ∂ΩL ∀P ∀P ∀P ∀P ∈Ω ∈ ∂Ω+ ∈ ∂Ω− ∈ ∂ΩL (2.1.41) , rispettivamente, il volume e la supercie del lo conduttore massiccio. Visto che il potenziale varia solo lungo l'asse ~z e viste le condizioni al contorno allora esso sarà la retta nel piano z-v passante per i punti di coordinate P0 = (0, V0 ) e Pd = (d, 0): v − V0 = 0 − V0 (z − 0) d−0 ovvero: v = v (z) = − V0 z + V0 d (2.1.42) Proviamo che (2.1.42) è la soluzione per il problema in (2.1.41) visto che d d v (z) = dz dz V0 − z + V0 d V0 d =− =⇒ ∇2 v (z) = d dz d v (z) dz d = dz resta provato che la (2.1.42) soddisfa la prima equazione in (2.1.41) visto che v (z) |z=0 = − V0 0 + V0 = V0 d 40 v (z) |z=d = − V0 d + V0 = 0 d V0 − =0 d 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici resta provato che la (2.1.42) soddisfa la seconda e la terza equazione in (2.1.41) Inne visto che ∂ ~ (z) · n̂2 = ẑ d v (z) · n̂2 = −ẑ V0 · (x̂ cos α + ŷ sin α) = 0 v (z) = ∇v ∂n2 dz d resta provato che la (2.1.42) soddisfa la quarta equazione in (2.1.41). Noto il potenziale scalare elettrico densità di v (z) possiamo determinare il campo elettrico ~e la corrente ~ j ~ (z) = − ~e = −∇v d dz − V0 V0 z + V0 ẑ = ẑ d d (2.1.43) ~j = σ~e (z) = σ V0 ẑ d (2.1.44) I: ˆ ˆ ˆ V0 S V0 ~ = σ ẑ · n̂1 dS = σ dS = σ V0 I = ~j · dS d d d S S S e quindi la corrente elettrica S I = σ V0 d (2.1.45) Dalla relazione in (2.1.45) risulta evidente che si è supposto di utilizzare un materiale conduttore omogeneo; inoltre si vede subito che la conduttanza del resistore vale: G=σ S d (2.1.46) R=ρ d S (2.1.47) mentre la resistenza vale: essendo: ρ= la resistività 1 σ (2.1.48) del conduttore. Sottoponendo la (2.1.47) si trova subito che la resistività si misura in Ω m. La (2.1.47) riassume tutte le proprietà costitutive e geometriche del resistore e prende il nome di seconda legge di Ohm. 41 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.1.8 Generaltà sui resistori L'unico resistore no ad ora studiato è quello che soddisfa alla prima legge di Ohm, secondo cui la tensione ai capi del resistore risulta proporzionale alla corrente che uisce in esso. Se la corrente attraversa il resistore dal morsetto a potenziale maggiore al morsetto a potenziale minore, come mostrato in Figura 2..1.10 , si parla di zatore convenzione dell'utiliz- e la prima legge di Ohm si scrive v (t) = R i (t) (2.1.49) Figura 2.1.10: convenzione dell'utilizzatore Viceversa se la corrente attraversa il resistore dal morsetto a potenziale minore al morsetto a potenziale maggiore , come mostrato in Figura 2..1.11 , si parla di del generatore convenzione e la prima legge di Ohm si scrive v (t) = −R i (t) (2.1.50) Figura 2.1.11: convenzione del generatore Vedremo adesso che esistono altri tipi di resistori. Il resistore è un dispositivo bipolare (ovvero avente due terminali) che mette in relazione tensione e corrente tramite una legge di tipo algebrico. In altri termini un elemento a due terminali (o morsetti) viene chiamato resistore se v (t) i − v. in qualsiasi istante di tempo t, la sua tensione una relazione denita da una curva nel piano Questa curva è chiamata la e la sua corrente caratteristica del resistore di tutti i possibili valori che la coppia soddisfano ad all'istante t e specica l'insieme (i, v) può assumere all'istante t. 42 i (t) Ogni resistore può 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici essere classicato in quattro modi possibili, a secoda che sia lineare o non lineare, tempo invariante o tempo variante. Un resistore è detto lineare se la sua caratteristica in ogni istante di tempo è una retta passante per l'origine del piano Un resistore è detto i − v, i − v. non lineare se la sua caratteristica è una curva generica del piano oppure una retta non passante per l'origine. Un resistore è detto invariante tempo variante se la sua caratteristica varia col tempo, tempo se la sua caratteristica non varia col tempo. 2.1.8.1 Resistore lineare tempo-invariante Un resistore lineare tempo-invariante ha una caratteristica che non varia con il tempo e i − v: rappresenta una retta passante per l'origine del piano Figura 2.1.12: caratteristica del resistore lineare tempo-invariante Quindi la relazione tra la sua tensione e la sua corrente è espressa dalla prima legge di OHm:v (t) = R i (t) oppure i (t) = G v (t) essendo 1 G costante. R= Due tipi speciali di resistore lineare tempo-invariante sono il circuito Un elemento a due morsetti è detto circuito aperto circuito aperto e il corto- se ha una corrente identica a zero per qualsiasi tensione ai suoi capi: i (t) = 0 A ∀v (t) (2.1.51) Come mostrato in Figura 2.1.13 la caratteristica del circuito aperto (asse delle tensioni) è a pendenza innita: R=∞ o equivalentemente Un elemento a due morsetti è detto G=0 cortocircuito se ha una tensione ai suoi capi identica a zero per qualsiasi corrente che lo attravera: v (t) = 0 V ∀i (t) (2.1.52) Come mostrato in Figura 2.1.14 la caratteristica del cortocircuito (asse delle correnti) è a pendenza nulla: R=0 o equivalentemente 43 G=∞ 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.1.13: caratteristica del circuito aperto Figura 2.1.14: caratteristica del cortocircuito In Figura 2.1.15 sono riportati i simboli utilizzati per il circuito aperto e per il cortocircuito: Figura 2.1.15: simboli circuitali per circuito aperto e cortocircuito 2.1.8.2 Resistore lineare tempo-variante La caratteristica di un resistore lineare tempo-variante è descritta dalla seguente equazione: v (t) = R (t) i (t) ⇔ i (t) = G (t) v (t) 44 (2.1.53) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Come mostrato in Figura 2.1.16 la caratteristica è un fascio proprio di rette con centro nell'origine del piano i − v. Figura 2.1.16: caratteristica del resistore lineare tempo-variante 2.1.8.3 Resistore non lineare tempo-invariante Il resistore non lineare tempo-invariante è descritto da una equazione algebrica del tipo: f (v (t) , i (t)) = 0 (2.1.54) Essa non dipende dal tempo e può essere una retta non passante per l'origine del piano i − v, oppure una qualunque curva del medesimo piano come mostrato in Figura 2.1.17 Figura 2.1.17: caratteristica del resistore non lineare tempo-invariante 2.1.8.4 Resistore non lineare tempo-variante Il resistore non lineare tempo-variante è descritto da una equazione algebrica del tipo: f (v (t) , i (t) , t) = 0 45 (2.1.55) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici i−v Come mostrato in Figura 2.1.17 nel piano si distinguono diverse curve al variare del tempo Figura 2.1.18: caratteristica del resistore non lineare tempo-variante 2.1.8.5 Resistore controllato in corrente e resistore controllato in tensione Consideriamo l'equazione del resistore non lineare tempo-invariante: f (v (t) , i (t)) = 0 Essa rappresenta una funzione implicita nelle variabili v (t) e i (t). Ci chiediamo adesso se è possibile esplicitare in ogni caso una variabile rispetto all'altra. Se il resistore ha una caratteristica del tipo mostrata in Figura 2.1.19 è ovvio che non è possibile esplicitare i (t) in funzione di v (t), ovvero non è possibile scrivere una relazione del tipo: i (t) = g (v (t)) E' possibile tuttavia esplicitare v (t) in funzione di i (t): v (t) = h (i (t)) perchè ad un sol valore della correntte corrisponde un sol valore della tensione. Un resistore per cui è possibile esplicitare la tensione rispetto alla corrente si dice resistore controllato in corrente: v (t) = h (i (t)) (2.1.56) Un resistore per cui è possibile esplicitare la corrente rispetto alla tensione si dice resistore controllato in tensione: i (t) = h (v (t)) 46 (2.1.57) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.1.19: caratteristica del resistore controllato in corrente 2.1.8.6 Generatore ideale di tensione e generatore reale di tensione Un generatore ideale di tensione una data tensione v0 è un elemento a due morsetti che presenta ai suoi capi qualunque sia la correntei (t) che lo attraversi: v (t) = v0 (t) Se v0 (t) = V0 = cost. tensione costante. ∀i (t) il generatore ideale di tensione si dirà (2.1.58) generatore ideale di Per esso la caratteristica è una retta parallela all'asse delle correnti: Figura 2.1.20: caratteristica del generatore ideale di tensione costante In Figura 2.1.20 viene mostrato il simbolo circuitale del generatore ideale di tensione. Figura 2.1.21: simbolo circuita del generatore ideale di tensione 47 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Si osservi che per tale elemento circuitale vale la convenzione del generatore visto che la corrente che lo attraversa si sposta dal morsetto a potenziale più basso al morsetto a potenziale più alto. Si osservi pure che qualunque sia il carico connesso al generatore ideale di tensione, ai capi di quest'ultimo ci sarà sempre la tensione v0 Figura 2.1.22: generatore ideale di tensione connesso ad un carico Nella pratica è impossibile realizzare un generatore ideale di tensione poichè ci sarà sempre una caduta di tensione all'interno di esso. Si parla in questo caso di generatore reale di tensione. Un generatore reale di tensione eratore ideale di tensione v0 (t) è un dispositivo a due morsetti costituito da un gen- e un resistore lineare tempo-invariante di resistenza R0 aventi un morsetto a comune. Si osservi che il generatore ideale di tensione e il resistore lineare tempo invariante così disposti sono attraversati dalla stessa corrente tale ragione si dicono in serie. i (t) e per In Figura 2.1.23 viene mostrato un generatore reale di tensione connesso ad un carico resistivo di resistenza R. Figura 2.1.23: generatore reale di tensione connesso ad un carico 48 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici La tensione ai capi del generatore reale di tensione, del generatore ideale di tensione, v0 (t), v (t), è pari alla tensione ai capi meno la caduta di tensione vR0 (t) su R0 . v (t) = v0 (t) − vR0 (t) (2.1.59) 2.1.8.6.1 Legge di Kirchoo delle tensioni (L.K.T.) scrivendo per il circuito mostrato in Figura 2.1.23 la Asserzione . (legge di kirchoo delle tensioni ). 2.1 La (2.1.59) si ricava subito legge di Kirchoo delle tensioni. La somma algebrica delle cadute di tensione in un circuito elettrico è identicamente nulla: X vk (t) = 0 k Per stabilire il segno da attribuire alle cadute di tensione nel circuito occorre: utilizzare per i generatori la convenzione del generatore e per i resistori la convenzione dell'utilizzatore associare al circuito una linea chiusa dotata di verso di percorrenza arbitrario chiamata anello. stabilire per ciascuna caduta di tensione, il segno che si incontra percorrendo l'anello. Con riferimento al circuito mostrato in Figura 2.1.23 si ha: − v0 (t) + v (t) + vR0 (t) = 0 (2.1.60) E' immediato vericare che la (2.1.60) porta alla (2.1.59). Tenedo conto che per il resistore di resistenza R0 è stata utilizzata la convenzione dell'utilizzatore, la prima legge di Ohm si scrive: vR0 (t) = R0 i (t) Sostituendo (2.1.61) in (2.1.59) si ricava la caratteristica (2.1.61) del generatore reale di ten- sione: v (t) = v0 (t) − R0 i (t) Riportando su uno stesso piano i−v (2.1.62) la caratteristica del generatore reale di tensione e la caratteristica v (t) = R i (t) del carico R, si ricava il (2.1.63) punto di lavoro Q del carico R che esprime corrente e tensione per il carico R durante il suo funzionamento: 49 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.1.24: punto di lavoro del carico R 2.1.8.6.2 Resistori in serie e legge del partitore di tensione Risolvendo il sistema costituito dalle relazioni in (2.1.62) e (2.1.63) si determinano le espressioni di corrente e tensione del punto di lavoro Q del carico R: v0 (t) R0 + R (2.1.64) R v0 (t) R0 + R (2.1.65) iQ (t) = vQ (t) = Attraverso (2.1.64) si deduce che due resistori in serie sono equivalenti ad un resistore avente come resistenza la somma delle resistenze dei due resistori. Rs = R0 + R (2.1.66) La (2.1.66) si estende facilmente al caso di n resistori connessi in serie: Rs = R1 + R2 + ... + Ri + ... + Rn (2.1.67) Attraverso (2.1.65) si deduce che in una serie, la caduta di tensione su un carico è una frazione della tensione del generatore ideale di tensione. La (2.1.65) è nota con il nome di legge del partitore di tensione e si può estendere facilmente al caso di n resistori connessi in serie: vi (t) = Ri v0 (t) R1 + R2 + ... + Ri + ... + Rn 50 (2.1.68) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici La Figura 2.1.25 chiarisce quanto detto Figura 2.1.25: Resistori in serie 2.1.8.6.3 Potenza istantanea assorbita e potenza istantanea generata Consideriamo la caratteristica del resistore lineare tempo-.invariante e del generatore ideale di tensione mostrate in Figura 2.1.26 Figura 2.1.26: resistore lineare tempo invariante Vs generatore ideale di tensione La caratteristica del resistore lineare tempo-invariante giace nei quadranti I e III e ciò implica che la potenza istantanea risulta essere sempre non negativa: p (t) = v (t) i (t) ≥ 0 Visto che (2.1.69) risulta essere concorde con la convenzione dell'utilizzatore istantanea è assorbita dal resistore: p (t) = pass. (t) (2.1.69) la potenza . La caratteristica del generatore ideale di tensione giace nei quadranti I e II se risulta v0 (t) > 0. Questo fatto implica che p (t) = v (t) i (t) ≥ 0 se i (t) ≥ 0 (2.1.70.1) v (t) i (t) < 0 se i (t) < 0 (2.1.70.2) 51 (2.1.70) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici La potenza in (2.1.70.1) risulta essere concorde con la convenzione del generatore e per- i (t) ≥ 0 la potenza istantanea è generata dal generatore ideale di tensione:p (t) = pgen. (t) ≥ 0; viceversa la potenza in (2.1.70.2) risulta essere discorde con la convenzione del generatore e pertanto per i (t) < 0 la potenza istantanea è assorbita dal generatore ideale di tensione:p (t) = pgen. (t) < 0. In questo caso si dice che il generatore ideale di tanto per tensione è in fase di carica. 2.1.8.7 Generatore ideale di corrente e generatore reale di corrente Un generatore ideale di corrente una data corrente i0 (t) è un elemento a due morsetti che viene attraversato da qualunque sia la tensione i (t) = i0 (t) Se i0 v (t) ai suoi capi: ∀v (t) (2.1.71) (t) = i0 = cost. il generatore ideale di corrente si dirà generatore ideale di corrente costante. Per esso la caratteristica è una retta parallela all'asse delle tensioni: Figura 2.1.27: caratteristica del generatore ideale di corrente costante In Figura 2.1.20 viene mostrato il simbolo circuitale del generatore ideale di tensione. Figura 2.1.28: simbolo circuita del generatore ideale di corrente Si osservi che per tale elemento circuitale vale la convenzione del generatore visto che la corrente che lo attraversa si sposta dal morsetto a potenziale più basso al morsetto a potenziale più alto. Si osservi pure che qualunque sia il carico connesso al generatore ideale di corrente, la corrente che lo attraversa sarà sempre i0 (t): 52 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.1.29: generatore ideale di corrente connesso ad un carico Nella pratica è impossibile realizzare un generatore ideale di corrente poichè ci sarà sempre una perdita di corrente all'interno di esso. Si parla in questo caso di generatore reale di corrente. Un generatore reale di corrente eratore ideale di corrente i0 (t) è un dispositivo a due morsetti costituito da un gen- e un resistore lineare tempo-invariante di resistenza R0 aventi i morsetti a due a due a comune. Si osservi che il generatore ideale di corrente e il resistore lineare tempo invariante così disposti presentano ai loro capi la stessa tensione v (t) e per tale ragione si dicono in parallelo. In Figura 2.1.23 viene mostrato un generatore reale di corrente connesso ad un carico resistivo di resistenza R. Figura 2.1.30: generatore reale di corrente connesso ad un carico La corrente che attraversa il generatore reale di corrente, atttraversa il generatore ideale di corrente, i0 (t), i (t), è pari alla corrente che meno la corrente iR0 (t) che scorre su R0 . i (t) = i0 (t) − iR0 (t) 53 (2.1.72) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.1.8.7.1 Legge di Kirchoo delle correnti (L.K.I.) La (2.1.72) si ricava subito scriven- legge di Kirchoo delle correnti. Asserzione 2.2. (legge di kirchoo delle correnti ). La somma algebrica delle correnti in do per il circuito mostrato in Figura 2.1.30 la un nodo di circuito elettrico è identicamente nulla: X ik (t) = 0 k Per stabilire il segno da attribuire alle correnti di un nodo del circuito occorre: utilizzare per i generatori la convenzione del generatore e per i resistori la convenzione dell'utilizzatore, associare il segno - alla corrente che converge verso il nodo, associare il segno + alla corrente che lascia il nodo. Con riferimento al circuito mostrato in Figura 2.1.23 si ha: − i0 (t) + i (t) + iR0 (t) = 0 (2.1.73) E' immediato vericare che la (2.1.73) porta alla (2.1.72). R0 è stata utilizzata la convenzione vR0 (t) v (t) = R0 R0 (2.1.74) Tenedo conto che per il resistore di resistenza dell'utilizzatore, la prima legge di Ohm si scrive: iR0 (t) = Sostituendo (2.1.74) in (2.1.72) si ricava la caratteristica del generatore reale di cor- rente: i (t) = i0 (t) − Riportando su uno stesso piano i−v v (t) R0 (2.1.75) la caratteristica del generatore reale di corrente e la caratteristica v (t) = R i (t) del carico R, si ricava il (2.1.76) punto di lavoro Q del carico R che esprime corrente e tensione per il carico R durante il suo funzionamento: 2.1.8.7.2 Resistori in parallelo e legge del partitore di corrente Risolvendo il sistema costituito dalle relazioni in (2.1.62) e (2.1.63) si determinano le espressioni di corrente e tensione del punto di lavoro Q del carico R: iQ (t) = R0 i0 (t) R0 + R 54 (2.1.77) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.1.31: punto di lavoro del carico R vQ (t) = R R0 i0 (t) = R0 + R 1 R 1 1 1 i0 (t) = G + G i0 (t) + R0 0 (2.1.78) Attraverso (2.1.78) si deduce che due resistori in parallelo sono equivalenti ad un resistore avente come resistenza l'inverso della somma delle conduttanze dei due resistori. Rp = 1 G + G0 (2.1.79) La (2.1.79) si estende facilmente al caso di n resistori connessi in parallelo: Rp = 1 G1 + G2 + ... + Gi + ... + Gn (2.1.80) Attraverso (2.1.77) si deduce che in un parallelo, la corrente cha attraversa un carico è una frazione della corrente del generatore ideale di corrente. La (2.1.77) è nota con il nome di legge del partitore di corrente. 2.1.8.7.3 Potenza istantanea assorbita e potenza istantanea generata Consideriamo la caratteristica del resistore lineare tempo-.invariante e del generatore ideale di corrente mostrate in Figura 2.1.26 Figura 2.1.32: resistore lineare tempo invariante Vs generatore ideale di tensione 55 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici La caratteristica del resistore lineare tempo-invariante giace nei quadranti I e III e ciò implica che la potenza istantanea risulta essere sempre non negativa: p (t) = v (t) i (t) ≥ 0 (2.1.81) Visto che (2.1.81) risulta essere concorde con la convenzione dell'utilizzatore istantanea è assorbita dal resistore: p (t) = pass. (t) la potenza . La caratteristica del generatore ideale di tensione giace nei quadranti I e IV se risulta i0 (t) > 0. Questo fatto implica che p (t) = v (t) i (t) ≥ 0 se v (t) ≥ 0 (2.1.82.1) v (t) i (t) < 0 se v (t) < 0 (2.1.82.2) (2.1.82) La potenza in (2.1.82.1) risulta essere concorde con la convenzione del generatore v (t) ≥ 0 la potenza istantanea è generata dal generatore ideale di tensione:p (t) = pgen. (t) ≥ 0; viceversa la potenza in (2.1.82.2) risulta essere discorde con la convenzione del generatore e pertanto per v (t) < 0 la potenza istantanea è assorbita dal generatore ideale di tensione:p (t) = pgen. (t) < 0. e pertanto per 2.1.8.8 Lato alla Thevenin e lato alla Norton Consideriamo la caratteristica del generatore reale di tensione e del generatore reale di corrente mostrate in Figura 2.1.33: Figura 2.1.33: generatore reale di tensione Vs generatore reale di corrente Dal confronto tra le due gure è evidente che il generatore reale di tensione e il generatore reale di corrente sono equivalenti se si pone: v0 (t) = R0 i0 ⇔ i0 = v0 (t) R0 (2.1.83) La formula in (2.1.83) è nota con il nome di formula di conversione Thevenin/Norton lato alla Thevein lato alla Norton o e permette di trasformare un generatore reale di tensione, chiamato bipolo alla Thevenin, in un generatore bipolo alla Norton, e viceversa. o reale di corrente chiamato, 56 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.1.34: Thevenin/Norton 2.2 Problema di campo elettrostatico 2.2.1 Introduzione Supponiamo che tutto lo spazio S3 sia costituito da aria (costante dielettrica ε0 ) e che al suo interno ci sia una nuvola d'aria in cui è distribuita una carica con densità volumica ρ cm/m3 . Supponiamo che nelle vicinanze della nuvola carica ci sia un pezzo di vetro su cui è distribuita una carica con densità volumica ρ1 (costante dielettrica del vetro ε1 ). Supponiamo ancora che nelle vicinanze della nuvola carica e del pezzo di vetro carico vi sia un conduttore carico avente una certa carica Q ottenuta attraverso un processo di carica a causa di una tensione V0 . Supponiamo inne che ci sia pure un conduttore scarico (ciò signica che la carica al suo interno è nulla). Se chiamiamo la frontiera di tutto lo spazio S3 Γ∞ (piano improrpio) è possibile schematizzare quanto detto come mostrato in Figura 2.2.1. Si vuole determinare il campo elettrico ~e in tutto lo spazio S3. In condizioni statiche (nel sistema appena descritto non ci sono cariche in movimento) si ha che la carica nei conduttori si distribuisce nelle loro superci in modo tale che il campo elettrico al loro interno risulti nullo. Quindi in condizioni statiche la carica nei conduttori si distribuisce con densità superciale σ C/m2 . Il problema di campo elettrostatico consiste quindi nel determinare il campo elettrico in tutto lo spazio S3 meno lo spazio occupato dai conduttori dove il campo elettrico è nullo. 57 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.1: problema di campo elettrostatico Il processo attraverso cui si distribuisce la carica sul conduttore, ˛ Q= σ ds (2.2.1) Γc (essendo di tensione Γc la supercie del conduttore carico), avviene attraverso un generatore ideale V0 ; questo processo avviene in un tempo nullo. Consideriamo adesso il conduttore scarico. Anche se ha una carica nulla, poichè esso si trova in condizioni statiche, si ha che gli elettroni al suo interno si distribuiscono sulla supercie per eetto dell'induzione elettrostatica dovuta alle cariche circostanti in modo che il campo elettrico al suo interno sia nullo. In Figura 2.2.1 viene mostrato il processo di carica del conduttore e il fatto che in entrambi i conduttori il campo elettrico è nullo. Supponiamo per semplicità che all'interno dello spazio S3 non ci siano conduttori scarichi. Se così è il problema di campo elettrostatico si risolve attraverso il sistema di equazioni: ~ · d~ = ρ ∇ ∇ ~ × ~e = ~0 d~ = ε~e condizioni al contorno (2.2.2) 2.2.2 Riformulazione del problema di campo elettrostatico Come nel caso del problema di campo di corrente statico esiste un modo che permette di semplicare notevolmente il problema di campo elettrostatico. Si introduce il 58 potenziale 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici scalare elettrico v = v (x, y, z), attraverso la nota formula: ~ ~e = −∇v e si riscrive il problema di campo elettrostatico (2.2.2) come segue: ~ · d~ = ρ ∇ ~ × ~e = ~0 ∇ ~ ~e = −∇v d~ = ε~e condizioni al contorno (2.2.3.1) (2.2.3.2) (2.2.3.3) (2.2.3.4) (2.2.3.5) (2.2.3) Utilizzando la (2.2.3.3), la (2.2.3.2) viene automaticamente soddisfatta in quanto il rotore del gradiente di una funzione scalare è sempre nullo, qualunque sia la funzione scalare v considerata. Sostituendo (2.2.3.3) in (2.2.3.4) si ricava: ~ d~ = −ε∇v (2.2.4) Sostiuendo inoltre (2.2.4) in (2.2.3.1) si ottiene: ~ · −ε∇v ~ ∇ =ρ Pertanto il problema di campo di corrente statico risulta equivalente al seguente: ( ~ · −ε∇v ~ ∇ =ρ (2.2.5.1) (2.2.5) condizioni al contorno (2.2.5.2) L'equazione in (2.2.5.1) prende il nome di Visto che nel dominio di analisi dato, equazione di Poisson. ρ 6= 0 solo nella nuvola carica e nel pezzo di vetro carico, si ha che la soluzione del problema di campo elettrostatico è ovunque arminica tranne che nella nuvola carica e nel pezzo di vetro carico. Se ε è uniforme l'equazione di Poisson si scrive: ∇2 v = − ρ ε (2.2.6) e il problema di campo elettrostatico si semplica come segue: ( ∇2 v = − ρε (2.2.7.1) condizioni al contorno (2.2.7.2) 59 (2.2.7) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.2.3 Le condizioni al contorno Bisogna specicare a questo punto le condizioni al contorno. Poichè il potenziale scalare elettrico v è denito a meno di una costante possiamo porre: v = 0V in Γ∞ (2.2.8) Inoltre dato che il campo elettrico all'interno del conduttore è nullo si ha che il potenziale scalare elettrico v nel conduttore è costante e pari a v = V0 V V0 in Γc (2.2.9) Note le relazioni (2.2.8) e (2.2.9) (condizioni al contorno di tipo Dirichlet), il problema di campo elettrostatico in (2.2.7) si scrive: ρ 2 ∇ v = − ε v = 0 V in Γ∞ v = V0 V in Γc (2.2.10.1) (2.2.10.2) (2.2.10.3) (2.2.10) Si dimostra che esiste ed è unica la soluzione al problema (2.2.10). Una volta trovato ~e, ~e, attraverso la (2.2.3.4) si determina il vettore induzione elettrica d~. Inine nota l'induzione elettrica d~ nel conduttore a potenziale V0 , si conosce pure la densità di carica suprciale σ del conduttore dato che σ = d~ = d (2.2.11) il potenziale scalare elettrico v, utilizzando la (2.2.3.3) si determina il campo elettrico noto il campo elettrico e quindi la carica Q che si distribuisce sul conduttore facendo uso della relazione (2.2.1). 2.2.4 Metodo integrale per la risoluzione del problema di campo elettrostatico Il più semplice problema di campo elettrostatico è quello che prevede tutto lo spazio omogeneo S3 3 . In Figura (2.2.2) è illustrata una situazione in cui tutto lo spazio S è aria (costante dielettrica ρ1 e ε0 ) con all'interno due nuvole con densità di carica rispettivamente ρ2 . La soluzione v del problema di campo elettrostatico può essere espressa mediante un integrale; il potenziale scalare elettrico v in un punto P dello spazio S3 ˆ 1 ρ (P0 ) v (P ) = v (x, y, z) = dP0 = ε0 S 3 4π rP P0 ˆ 1 ρ (x0 , y0 , z0 ) = h i1/2 ε0 S 3 4π (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 La (2.2.12) viene fuori dalla formula del potenziale scalare elettrico carica puntiforme Q nel punto P0 : 60 risulta dato da: (2.2.12) v prodotto da una 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.2: spazio S3 v (P ) = v (x, y, z) = Denendo la Q 4π ε0 rP P0 (2.2.13) funzione di Green : G (P, P0 ) = si capisce che la (2.212) è un ρ (P0 ) l'eccitazione, 1 4π rP P0 (2.2.14) integrale di convoluzione : 1 v (P ) = ε0 essendo omogeneo v (P ) ˆ ρ (P0 ) G (P, P0 ) dP0 (2.2.15) S3 la risposta e G (P, P0 ) la funzione peso che dà una misura dell'eccitazione. Più grande è G (P, P0 ) maggiore sarà il potenziale dovuto a ρ nel punto P. Si osservi che la (2.2.15) è una relazione lineare infatti se si fa riferimento al sistema mostrato in Figura 2.2.2 si osservano due distribuzioni di carica e quindi una densità volumica di ρ1 + ρ2 . Se indichiamo con v1 ρ1 e con v2 quello dovuto v (P ) = v1 (P ) + v2 (P ) carica pari a il potenziale scalare elettrico nel punto dovuto alla densità a che ρ2 , P0 vista la linearità della soluzione si ha Inserendo nel sistema mostrato in Figura 2.2.2 un pezzo di vetro (costante dielettrica ε1 ) il problema elettrostatico da studiare risulta essere non omogeneo. Per un problema del genere non risulta possibile utilizzare la (2.2.15) visto che si dovrebbe utilizzare una funzione di Green diversa da quella in (2.2.14) di cui non si conosce l'espressione. Nel caso del problema di campo elettrostatico non omogeneo bisogna quindi agire per forza risolvendo l'equazione di Poisson con le opportune condizioni al contorno. Se i materiali all'interno dello spazio S3 realizzano una struttura omogenea a tratti come mostrato in Figura 2.2.3 si riesce a trovare la funzione di Green sottoforma di uno svilppo in serie e in questo caso risulta possibile utilizzare il metodo che fa uso dell'integrale. 61 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.3: spazio S 3 riempito Supponiamo che tutto lo spazio S3 con materiale omogeneo a tratti sia riempito di materiale omogeneo (per esempio aria) e supponiamo inoltre che vi sia una nuvoletta carica con densità di carica ρ come mostrato in Figura 2.2.4 Figura 2.2.4: spazio S3 riempito con materiale omogeneo Si vuole determinare il potenziale scalare elettrico Se indichiamo con punto P0 Λ v in un punto P0 dello spazio S3. il volume della nuvoletta carica, il potenziale scalare elettrico nel risulta dato da: 1 v (P ) = ε0 ˆ ρ (P0 ) G (P, P0 ) dP0 (2.2.16) Λ Decomponendo la nuvoletta di carica in n cubetti elementari di spigolo d e baricentro Pi (xi , yi , zi ) è possibile approssimare la (2.2.16) per serie come segue: n d3 X v (P ) ' h 4πε0 i=1 ρ (xi , yi , zi ) (x0 − xi )2 + (y0 − yi )2 + (z0 − zi )2 62 i1/2 (2.2.17) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Esistone dei problemi in cui tutto lo spazio S3 risulta riempito con materiale omogeneo ma che non si possono risolvere utilizzando metodi integrali: uno di questi è quello illustrato in Figura 2.2.5 Figura 2.2.5: Spazio S3 riempito con materiale omogeneo La gura induce ad utilizzare una formula per determinare il potenziale scalare elettrico v del tipo: 1 v (P0 ) = ε0 ˆ ˛ ρ (P ) G (P, P0 ) dP + Λ σ (P ) G (P, P0 ) dP (2.2.18) Γc Tutto però risulta vano perchè del conduttore si conosce soltanto il potenziale scalare elettrico pari a V0 e non la carica Q su di esso distribuita, ne tanto meno la sua densità di carica superciale σ(P0 ). 2.2.5 Dal problema di campo elettrostatico al concetto di capacità Fino ad ora abbiamo visto diversi problemi di campo elettrostatico senza però addentrarci notevolmente nella trattazione vista la complessità dei problemi stessi. Viene trattato adesso un caso particolare di problema di campo elettrostatico con l'intento di denire il concetto di capacità. Supponiamo che lo spazio S3 sia aria (costante dielettrica ε0 ) e che in esso vi sia un dispositivo costituito da due dischi conduttori aventi spessore s raggio R, ortogonali all'asse di simmetria passante per i loro centri, separati da un materiale dielettrico di costante dielettrica ε1 : Il dispositivo così realizzato si chiama allele. capacitore o condensatore a faccie piane e par- I due dischi del capacitore si chiamano armature del capacitore e come adesso vedremo, hanno il compito di accumulare la carica elettrica. Il capacitore mostrato in Figura 2.2.6 si dice che è isolato perchè si trova lontano da una qualsiasi sorgente di campo elettromagnetico, inoltre si dice che è scarico perchè sulle armature non vi è depositata alcuna carica. Non appena cerchiamo di perturbare in qualche modo lo stato di equilibrio del capacitore scarico ed isolato inizia il problema di campo elettrostatico. 63 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.6: condensatore a faccie piane e parallele isolato In Figura 2.2.7 viene mostrato il circuito attraverso cui si porta il capacitore dallo stato di dispositivo isolato e scarico allo stato di dispositivo carico. Come mostrato in gura, le armature del capacitore sono connesse ad un generatore ideale di tensione costante un resistore di resistenza V0 Rf mediante un lo conduttore reale modellizzato attraverso ed un interruttore T in modo che sia possibile aprire e chiudere il circuito così formato. Figura 2.2.7: capacitore connesso al circuito di carica Alla chiusura del tasto T, il capacitore si carica; tale fatto si può spiegare in modo qualitativo. Alla chiusura del tasto T, il generatore ideale di tensione costante una pompa che preleva elettroni dall'armatura collegata al morsetto l'armatura connessa al morsetto morsetto 1 0 1. V 0 funziona come 1 e li deposita sul- Trascorso un certo tempo t, l'armatura connessa al si trova una carica complessiva positiva e l'armatura connessa al morsetto 1 0 si trova una carica complessiva negativa. Il processo di separazione della carica innescato dalla chiusura del tasto T si arresta quando tra le due armature si crea un campo elettrico 64 ~e tale da opporsi ad una ulteriore 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici separazione della carica. Tale campo elettrico risulta essere ortogonale alle armature del capacitore e risulta orientato dal disco carico positivamente al disco carico negativamente. 1 Considerando un qualunque percorso interno al dielettrico che va dal morsetto morsetto 0 1, si determina facilmente la tensione vc (t) al tra le armature del capacitore: ˆ vc (t) = _ 110 ~ ~e · dl (2.2.19) La tensione in (2.2.19) risulta essere chiaramente in contrapposizione con la tensione V0 del generatore ideale. All'istatnte t=0, quando si chiude l'interruttore, la corrente ic risulta massima e pari al valore Mano a mano che trascorre il mantre la tensione vc (t) tende (t) circolante nel circuito 0 v c (t) ai morsetti 1 1 risulta nulla. tempo t, la corrente ic (t) tende asintoticamente a zero asintoticamente alla tensione V0 . V0 Rf , mentre la tensione In Figura 2.2.8 vengono mostrate le curve, seppur qualitative, di corrente e tensione per il capacitore (tali curve saranno ricavate analiticamente nella prossima sezione): Figura 2.2.8: carica del condensatore: corrente e tensione Una volta che il capacitore acquista ai suoi capi la tensione V0 , possiamo aprire l'in- teruttore T: si ottiene un dispositivo ai cui capi si ha una tensione V0 : nel processo di carica del capacitore l'energia elettrica fornita dal generatore ideale di tensione è stata trasformata in energia potenziale (Figura 2.2.9) Per scaricare il capacitore basta collegare i morsetti 1 e 1' attraverso un lo conduttore reale. In questo modo si verica che l'energia potenziale precedentemente accumulata si trasforma in energia cinetica (Figura 2.2.10) Dopo aver capito, qualitativamente, come si carica e si scarica il capacitore, concentriamo l'attenzione sul capacitore completamente carico. La situazione statica che si vuole studiare è ben descritta in Figura 2.2.9: si vuole determinare il campo elettrico ~e inun 3 qualunque punto dello spazio S . Il problema elettrostatico che si vuole caratterizzare è a simmetria assiale e per tale ragione ssiamo un sistema di riferimento in modo tale che l'asse del capacitore coincida con l'asse ~z. Inoltre facciano in modo che il baricentro del capacitore coincida con l'orig- ine del sistema di riferimento. Una rappresentazione per sezione di quanto detto viene mostrato in Figura 2.2.11: 65 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.9: Capacitore carico ed isolato Dato che la d.d.p tra le armature del capacitore è connessa al morsetto 1 sia a potenziale potenziale V0 /2 V0 , supponiamo che l'armatura e che quella connessa al morsetto 1' sia a −V0 /2. Vista la simmetria del problema si ha che: v (r, z) = v (−r, z) (2.2.20) quindi possiamo arontare il problema di campo elettrostatico solo per che per r<0 r > 0, visto la situazione è del tutto analoga. Osserviamo pure che: v (r, −z) = −v (r, z) Secondo (2.2.21) il potenziale scalare elettrico (r, −z) dierisce soltanto per un segno campo elettrostatico solo per Le condizioni − v tra due punti di coordinate S3 (r, z) e , quindi possiamo arontare il problema di z > 0. ( r > 0 (2.2.22.1) z > 0 (2.2.22.2) deniscono pertanto il dominio di analisi elettrostatica dello spazio (2.2.21) (2.2.22) D che risulta essere un quarto meno lo spazio occupato dalla quarta parte dell'armatura connessa al morsetto 1 del capacitore visto che in esso il campo elettrico risulta nullo. In Figura 2.2.12 viene mostrata una sezione del dominio di analisi D La frontiera di detta sezione risulta essere costituita dall'asse r positivo, dall'asse z positivo meno la spessore s dell'armatura, dalla retta impropria Γ∞ , dal contorno Γc della sezione della quarta parte dell'armatura del capacitore. A questo punto appare evidente perchè si è scelto di porre a potenziale matura e a potenziale −V0 /2 l'altra armatura: 66 V0 /2 un'ar- in questo modo il potenziale scalare 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.10: capacitore scarico ed isolato elettrico risulta essere nullo sull'asse r e per continuità uguale al potenziale scelto per la retta impropria Γ∞ . Su Γc il potenziale scalare elettrico è V0 /2 ; in questo modo stiamo specicando due condizioni di tipo Dirichlet: v=0 su asse r e Γ∞ v = V0 /2 su Γc (2.2.23) Sulla rimanente parte della frontiera della sezione di D non è possibile specicare una condizione di tipo Dirichlet. Cerchiamo di capire perchè sull'asse z positivo meno la spessore s non è possibile scrivere una condizione al contorno di tipo Dirichlet. Sappiamo con buona approssimazione che, sull'asse z, partendo dall'origine e dirigendosi verso l'armatura del capacitore, attraversando il dielettrico linearmente. ε1 , il potenziale cresce Nella parte dell'asse che sta al di fuori del capacitore il potenziale deve diminuire e tendere a zero all'innito. Siccome in questa parte di asse z si trova la disomogeneità ca l'andamento del potenziale scalare elettrico v ε0 , nulla si può dire cir- e quindi non è possibile scrivere una condizione al contorno di tipo Dirichlet. Osserviamo che il problema di campo elettrostatico non presenta alcun accumulo di carica sottoforma di densità volumica di carica che si distribuisce con densità σ ρ in quanto l'unica carica presente è quella sulla supercie dell'armatura del capacitore; ciò implica che la soluzione del problema elettrostatico in D e quindi pure in S3 è armonica. Appare chiaro che la formulazione matematica del problema elettrostatico trattato è del tutto simile a quella del problema di campo di corrente statico: occorre quindi specicare una condizione al contorno di tipo Neuman per determinare la soluzione del problema. Per far questo consideriamo due punti, A e B, aventi la stessa ordinata z e ascissa e opposta come mostrato in Figura 2.2.12. 67 Il potenziale scalare elettrico v può avere 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.11: condesatore carico ed isolato in sezione uno qualunque degli andamenti mostrati in Figura 2.2.12; ad ogni modo anche se non sappiamo esattamente quali sono le linee del potenziale scalare elettrico si ha che: ∂ v |r=0 = 0 ∂r (2.2.24) cioè in r=0 tutte le tangenti alle linee del potenziale sono orizzontali. A questo punto come si può ben vedere da Figura 2.2.12, l'asse r e la normale n̂, sono opposti e quindi la (2.2.24) equivale a: ∂ v |r=0 = 0 cioè ∂n ∂ v = 0 su asse z positivo meno spessore s ∂n (2.2.25) Quindi si tratta di risolvere il problema di campo elettrostatico: ~ ε∇v ~ ∇ =0 v=0 v = V20 ∂ ∂n v = 0 in D su asse r positivo e Γ∞ su Γc su asse z positivo meno spessore s (2.2.26) magari mediante un opportuno codice di calcolo numerico. Da un punto di vista molto qualitativo possiamo dire che le superci di livello per il potenziale elettrostatico v sono quelle mostrate in Figura 2.2.13: Noto il potenziale scalare elettrico v, attraverso la 2.2.3.3 si trova il campo elettrico noto il campo elettrica ~e,attraverso la 2.2.3.4 si trova l'induzione elettrica carica Q che si distribuisce con densità σ d~ e ~e, quindi la sull'armatura del capacitore: ˛ Q= σ ds Γc 68 (2.2.27) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.12: sezione del dominio di analisi D Figura 2.2.13: superci di livello Le equazioni in (2.2.26) sono tutte omogenee tranne la terza: v= V0 2 Siccome tutte le equazioni sono lineari si verica che se raddoppia carica Q sull'armatura del capacitore. V0 raddoppia la Il fattore di proporzionalià tra la carica Q dis- tribuita sulla supercie del capacitore e la tensione applicata V0 , si chiama capacità C del capacitore: ˛ Q= σ ds = C V0 Γc 69 (2.2.28) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Se consideriamo le superci di livello a passo p=5 V e indichiamo con d la distanza tra due superci di livello successive si può determinare il modulo del campo elettrico ~e attraverso la relazione: e= Il campo elettrico 5V p = d d (2.2.29) ~e risulta essere sempre in direzione ortogonale alla supercie di livello con verso opposto al verso di crescita del potenziale scalare elettrico v. Noto il modulo del campo elettrico elettrica ~e si conosce pure il modulo del vettore induzione d~: 5V d=ε = d Se è ε1 = 10ε0 ( ε0 ε1 5V d 5V d (2.2.30) si ha che il campo è prevalentemente all'interno del capacitore. Se indichiamo con L la distanza tra le armature del capacitore si trova un'espressione molto qualitativa della carica Q: Q = σπR2 = ε1 V0 πR2 L (2.2.31) La relazione (2.2.28) vale anche nel caso in cui la tensione ai capi del capacitore è lentamente variabile nel tempo, v0 (t); in tal caso si ha: q (t) = C v0 (t) (2.2.32) Derivando rispetto al tempo quest'ultima espressione si ricava la corrente che attraversa il capacitore: i0 (t) = dQ (t) d = C v0 (t) dt dt Figura 2.2.14: capacitore connesso ad una pila 70 (2.2.33) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.15: carica e scarica del capacitore 2.2.6 Circuito del primo ordine RC: carica e scarica di un capacitore Consideriamo il circuito elettrico mostrato in Figura 2.2.15. − l'interruttore T sia aperto; in questo modo la tensione Supponiamo che all'istante t=0 ai capi del capacitore è zero: v0 0− = 0 V (2.2.34) Per t>0 (chiusura dell'interruttore T) si può scrivere la LKT: v0 (t) − V0 + Rf i0 (t) = 0 (2.2.35) Utilizzando la (2.2.33) la (2.2.35) si scrive: v0 (t) − V0 + Rf C Posto τ = Rf C d v0 (t) = 0 dt (2.2.36) e riordinando i termini, la (2.2.36) si scrive: d 1 1 v0 (t) + v0 (t) = V0 dt τ τ (2.2.37) Le equazioni (2.2.34), (2.2.37) costituiscono il problema di Cauchy che permette di determinare la tensione ai capi del capacitore per t>0: ( d dt v0 (t) + τ1 v0 (t) = τ1 V0 v0 (0) = 0 Risoluzione del problema di Cauchy (2.2.38) Determiniamo l'integrale generale della (2.2.37) L'integrale generale della (2.2.37) è la somma tra l'integrale generale dell'omogenea associata alla (2.2.37) e l'integrale particolare della (2.2.37): 71 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici v0 (t) = v0omog. (t) + v0part. (t) (2.2.39) Omogenea associata d 1 v0 (t) + v0 (t) = 0 dt τ Equazione caratteristica λ+ 1 =0 τ λ=− 1 τ Integrale generale omogenea associata t v0omog. (t) = k e− τ Ricerca dell'integrale particolare V0 , (2.2.40) Visto che il termine noto della (2.2.37) è la costante l'integrale particolare va ricercato tra le costanti. Posto v0 (t) = v0part. (t) = cost. , la (2.2.37) si scrive: 1 1 0 + v0part. (t) = V0 τ τ da cui si ricava: v0part. (t) = V0 (2.2.41) Sostituendo (2.2.40) e (2.2.41) in (3.3.39) si ricava l'integrale generale della (2.2.37): t v0 (t) = k e− τ + V0 (2.2.42) Per determinare la costante k si utilizza la condizione iniziale data in (2.2.34) 0 v0 (0) = k e− τ + V0 = 0 k = −V0 (2.2.43) Sostituendo (2.2.43) in (2.2.42) si ricava l'espressione analitica della tensione ai capi del capacitore: t v0 (t) = V0 1 − e− τ La (2.2.44) è l'espressione analitica della tensione Visto che 72 vc (t) (2.2.44) mostrata in Figura 2.2.8. 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici lim v0 (t) = 0 t→0+ e che v 0− = 0 ne segue che la tensione ai capi del capacitore è una funzione continua del tempo. Per determinare la corrente che attraversa il capacitore basta sostituire (2.2.44) in (2.2.33) i0 (t) = C d V0 − t v0 (t) = e τ dt Rf La (2.2.45) è l'espressione analitica della corrente ic (t) (2.2.45) mostrata in Figura 2.2.8. 2.2.7 Generalità sui capacitori I capacitori sono elementi a due morsetti capaci di immagazzinare cariche elettriche. In ogni istante di tempo t, la carica immagazzinata dal capacitore e la tensione ai suoi capi soddisfano ad una relazione denita nel piano V-q, chiamata caratteristica del capacitore. Quello studiato no ad ora è il capacitore lineare tempo invariante. Come nel caso dei resistori, anche per i capacitori possono esserci quattro possibilità. 2.2.7.1 Capacitore lineare tempo-invariante Il capacitore lineare tempo-invariante è caratterizzato dall'equazione caratteristica: q (t) = C v0 (t) La capacità C per un capacitore lineare tempo invariante non dipene nè da t; (2.2.46) v0 nè da dunque nel piano V-q la caratteristica del capacitore lineare tempo-invariante è una retta passante per l'origine di pendenza C: Figura 2.2.16: caratteristica del capacitore lineare tempo-invariante 73 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Derivando rispetto al tempo la (2.2.46) si ottiene l'espressione della corrente che attraversa il capacitore: i (t) = dispositivo a memoria. Si dice che il capacitore è un infatti la corrente i (t), dq (t) d = C v (t) dt dt (2.2.47) Ciò si capisce subito dalla (2.2.47), ad un certo istante di tempo t non dipende solo dalla tensione all'istante t ma anche dagliistanti di tempo immediatamente precedenti. Per convincerci di ciò basta scrivere la (2.2.47) tenendo conto della denizione di derivata: i (t) = La corrente all'istante tensione all'istante t0 t dq (t) d v (t) − v (t0 ) = C v (t) = C lim t→t dt dt t − t0 0 non dipende solo dalla tensione all'istante t0 essendo un'istante di tempo precedente a (2.2.48) t, ma anche dalla t. Osservando la (2.2.48) potrebbe sembrare che il valore della corrente all'istante di tempo t dipenda da un passato estremamente precedente; in realtà invertendo la (2.2.47) appare in modo chiaro che il capacitore è un dispositivo che tiene conto di tutto il passato. Possiamo invertire la (2.2.47) integrando nell'intervallo di tempo ˆ ˆ t t i (τ ) dτ = C t0 t0 ˆ ˆ d v (τ ) dτ = C dτ v(t) v(t0 ) [t0 , t]: dv (τ ) = C [v (τ )]vv(t) t 0 t i (τ ) dτ = C [v (t) − v (t0 )] t0 v (t) = v (t0 ) + ˆ 1 C t i (τ ) dτ (2.2.49) t0 Secondo (2.2.49) la tensione ai capi del capacitore lineare tempo-invariante all'istante di tempo t, dipende dalla tensione all'istante di tempo della corrente i (t), t0 e da [t0 , t]. tutta la storia passata cioè dalla corrente in tutto l'intervallo Quindi per un capacitore lineare tempo-invariante tutto il passato conta per la formazione del presente. Passando al limite per t → t0 , la (2.2.49) fornisce: 1 lim v (t) = v (t0 ) + lim t→t0 C t→t0 ˆ t i (τ ) dτ = v (t0 ) (2.2.50) t0 Secondo (2.2.50) è evidente che la tensione ai capi del capacitore è una funzione continua in t0 . 2.2.7.1.1 Energia immagazzinata da un capacitore lineare tempo-invariante sideriamo il capacitore mostrato in Figura 2.2.17: Si osservi che per esso vale la convenzione dell'utilizzatore come per il resistore. Supponiamo che all'istante di tempo t = 0− 74 esso sia scarico: Con- 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.17: convenzione dell'utilizzatore v 0− = 0 V (2.2.51) Alimentando il capacitore, per esempio come mostrato in Figura 2.2.15, si ha che al tempo t, avrà tensione dall'istante t= v t 0− all'istante ˆ e corrente t=t (t̄) = ˆ t p (t) dt = 0− L'energia immagazzinata dal capacitore vale: ˆ t i (t̄). 0− ˆ =C t v (i) i (t) dt = v (t) C 0− d v (t) dt = dt t 2 1 v (t) dv = Cv t 2 0− (2.2.52) La (2.2.52) fa capire che la grandezza importante è la tensione e non la corrente. Utilizzando la (2.2.46) ponendo t = t è chiaro che la (2.2.52) si può scrivere nelle seguenti forme equivalenti: 2 1 1q t 2 1 (t̄) = Cv t = q t v t = 2 2 2 C (2.2.53) 2.2.7.2 Capacitore lineare tempo-variante Se il capacitore è lineare tempo-variante, la sua caratteristica è una rette passante per l'origine del piano V-q la cui pendenza dipende dal valore assunto dalla capacità che è una funzione del tempo t: q (t) = C (t) v (t) (2.2.54) Derivando rispetto al tempo la (2.2.54) si determina l'espressione della corrente che attraversa il capacitore lineare tempo-variante: i (t) = d d d q (t) = C (t) v (t) + v (t) C (t) dt dt dt 75 (2.2.55) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.18: caratteristica capacitore lineare tempo-variante 2.2.7.2.1 Energia immagazzinata da un capacitore lineare tempo-variante Consid- eriamo un condensatore lineare tempo-variante e supponiamo che all'istante di tempo t = 0− esso sia scarico: v 0− = 0 V (2.2.56) Alimentando il capacitore, per esempio come mostrato in Figura 2.2.15, si ha che al tempo t, avrà tensione dall'istante t= v t 0− all'istante e corrente t=t ˆ i (t̄). vale: ˆ t (t̄) = t v (t) = t p (t) dt = 0− ˆ L'energia immagazzinata dal capacitore 0− v (i) i (t) dt = 0− d d C (t) v (t) + v (t) C (t) dt dt dt (2.2.57) 2.2.7.3 Capacitore non lineare tempo-invariante Il capacitore non lineare tempo-invariante è denito tramite una relazione del tipo: f (q, v) = 0 (2.2.58) La caratteristica pertanto può essere una retta non passante per l'origine o una curva di tipo quadratico come mostrato in Figura 2.2.19: 2.2.7.3.1 Energia immagazzinata da un capacitore non lineare tempo-invariante − L'energia immagazzinata dal capacitore dall'istante t = 0 all'istante t = t vale: ˆ ˆ t (t̄) = t p (t) dt = 0− v (i) i (t) dt = 0− 76 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.2.19: caratteristica del capacitore lineare tempo-invariante ˆ t = v (i) 0− d q (t) dt = dt ˆ q(t) v (q) dq (2.2.59) q(0− ) Si tenga presente che per il capacitore non lineare tempo-invariante NON vale la relazione d i (t) = C dt v (t) 2.2.7.4 Capacitore non lineare tempo-variante Il capacitore non lineare tempo-variante è denito tramite una relazione del tipo: f (q, v, t) = 0 Figura 2.2.20: caratteristica del capacitore non lineare tempo-variante 2.3 Problema di campo magnetostatico 2.3.1 Introduzione Il problema di campo magnetostatico è dato dal seguente sistema: 77 (2.2.60) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici ~ · ~b = 0 ∇ ∇ ~ × ~h = ~j ~b = µ~h condizioni al contorno (2.3.1.1) (2.3.1.2) (2.3.1.3) (2.3.1.4) Esso permette di determinare in tutti i punti dello spazio l'induzione magnetica ~b, nota la densità di corrente S3, (2.3.1) il campo magnetico ~h e ~j . Dato che nei problemi di campo magnetostatico l'unica sorgente è la densità di corrente ~j , dall'equazione di continuità: ~ · ~j + d ρ = 0 ∇ dt si deduce che deve essere: ~ · ~j = 0 ∇ (2.3.2) Illustriamo alcuni tipici problema di campo magnetostatico. Consideriamo un lo di rame di sezione S molto piccola, percorso da una corrente I e supponiamo che lo spazio circostante il lo sia aria. Dal punto di vista magnetico tutto lo spazio presenta materiali omogenei visto che la permeabilità magnetica è µ0 = 4π10−7 H/m. Visto che si è stabilito di scegliere la sezione S del lo di rame molto piccola si ha che la densità di corrente di ~j è ortogonale alla sezione S del lo, in direzione della corrente I e modulo ~ j = I/S . Figura 2.3.1: problema di campo magnetostatico omogeneo Nota la densità di corrente ~j nel lo di rame, attraverso il problema di campo magne- tostatico si determinano in ogni punto dello spazio i campi ~h e ~b. Supponiamo che ci sia un altro lo di rame che sia sorgente del campo magnetico. Immaginiamo che tale lo di rame sia massiccio. Dato che il lo di rame è massiccio per determinare la densità di corrente ~ j è opportuno prima risolvere un problema di campo di corrente statico. Supponiamo di aver trovato la densità di corrente Quindi adesso il problema è trovare i campi ~h nota la densità di corrente nei due li di rame. 78 e ~ b ~j pure nel lo di rame massiccio. in qualunque punto dello spazio S3 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Come nel caso precedente lo spazio è a mezzi omogenei dal punto di vista magnetico visto che ovunque la permeabilità magnetica è µ0 . Figura 2.3.2: problema di campo magnetostatico omogeneo Non è così se in prossimità dei due li di rame si va ad inserire un pezzo di ferro; in questo caso il problema di campo magnetostatico diviene non omogeneo in quanto è stato introdotto un materiale a dierente comportamento magnetico. Figura 2.3.3: problema di campo magnetostatico non omogeneo La permeabilità magnetica dei materiali viene descritta nel piano B-H. Se il materiale è lineare vale la relazione ~b = µ~h e la permeabilità magnetica risulta essere la pendenza di una retta del piano B-H: Viceversa se il materiale è non lineare ed isteretico, come ad esempio il ferro, il legame costitutivo è dato dal ciclo di isteresi. Il problema di campo magnetostatico descritto in Figura 2..3.3 si semplica notevolmente se si cerca di appossimare il comportamento magnetico del ferro mediante una relazione lineare del tipo: ~b = µ~h. Se le correnti elettriche in gioco, in questo caso le correnti che circolano nei due li di rame, sono di intensità tali da non far saturare il ferro, possiamo approssimare la caratteristica del ferro, come nel caso dei materiali lineari, ad una retta passante per l'origine, la cui pendenza è µ,diecimila volte più grande della pendenza rame. 79 µ0 dell'aria e del 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.4: materiale magnetico lineare In questo modo il problema rimane sempre non omogeneo, in quanto ci sono punti dello spazio in cui la permeabilità magnetica è µ0 e punti in cui è µ, ma risulta meno complicato in quanto lineare. 2.3.2 Riformulazione del problema di campo magnetostatico Ci proponiamo di risolvere il problema di trovare i campi ~ h e ~b in tutto lo spazio costituito dai due li di rame percorsi da correnti tali da non fare saturare il pezzo di ferro situato in prossimità di essi; il materiale che separa i li di rame dal pezzo di ferro è aria. Esistono diversi modi per risolvere un problema del genere; qui ci adiamo al metodo che fa uso del potenziale vettore magnetico ~a. L'equazione (2.3.1.1) suggerisce di introdurre una nuova variabile, per l'appunto il potenziale vettore magnetico magnetica ~a, in modo che il rotore di ~a coincida con l'induzione ~b: ~b = ∇ ~ × ~a (2.3.3) Introducendo la (2.3.3), la (2.3.1.1) è automaticamente soddisfatta essendo nulla la divergenza del rotore di un vettore. D'altra parte sappiamo che sono inniti i campi vettoriali ~a tali da soddisfare la condizione data in (2.3.3), infatti si ha che: ~b = ∇ ~ × ~a + ∇ψ ~ essendo ψ una funzione scalare. Per rendere unico il potenziale vettore magnetico dizione sulla divergenza del vettore magnetico ~a ~a occorre specicare pure una con- in accordo con il teorema di Helmoltz. Vedremo tra breve che il problema di campo magnetostatico suggerisce di prendere tale condizione come segue: ~ · ~a = 0 ∇ 80 (2.3.4) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Quindi il potenziale vettore magnetico ~a viene denito mediante le relazioni (2.2.3), (2.2.4). Sostituendo (2.2.3) in (2.3.1.3) si ricava: ~h = 1 ∇ ~ × ~a µ (2.3.5) Sostituendo (2.3.5) in (2.3.1.2) si ricava: ~ × ∇ 1~ ∇ × ~a = ~j µ (2.3.6) Se la permeabilità è costante nell'aria nei due li e nel ferro, la (2.3.6) diventa: ~ × ∇ × ~a = µ~j ∇ (2.3.7) ~ ×∇ ~ × ~a = ∇ ~ ∇ ~ · ~a − ∇2~a ∇ (2.3.8) ~ ∇ ~ · ~a − ∇2~a = µ~j ∇ (2.3.9) Utilizzando l'identità vettoriale: la (2.3.7) diventa: A questo punto è chiaro che la scelta fatta in (2.3.4) è la migliore possibile visto che grazie ad essa la (2.3.9) si semplica come segue: ∇2~a = −µ~j La (2.3.10) prende il nome di (2.3.10) equazione vettoriale di Poisson e in forma scalare si scrive: 2 ∇ ax = −µjx ∇2 ay = −µjy 2 ∇ az = −µjz (2.3.1.1) (2.3.1.2) (2.3.1.3) (2.3.11) Nota l'equazione di Poisson, il problema di campo magnetostatico si scrive: ( ∇2~a = −µ~j (2.3.12.1) condiizioni al contorno (2.3.12.2) (2.3.12) Il problema di campo magnetostatico (2.3.12) si può risolvere con i metodi numerici usando un codice di calcolo. Ricavato il potenziale vettore magnetico (2.3.3) si ricave il vettore induzione magnetica ~b, mediante la relazione (2.3.1.3) si ricava il campo magnetico 81 ~a, mediante la noto il vettore induzione magnetica ~h. ~b 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.3.3 Metodo integrale per la risoluzione del problema di campo magnetostatico Supponiamo di voler determinare i campi ~b ed ~h nel caso omogeneo mostrato in Figura 2.3.5. Figura 2.3.5: problema di campo magnetostatico Il problema di campo magnetostatico nel caso omogeneo risulta matamaticamente analogo, al problema di campo elettrostatico. In Figura 2.3.6 sono messi a confronto il problema di campo elettrostatico e il problema di campo magnetostatico: nel primo caso la sorgente del campo è la densità volumica di carica ρ di una nuvoletta d'aria, nel secondo caso è il vettore densità di corrente lo di rame massiccio. Figura 2.3.6: analogia tra problemi di campo Assumendo nullo il potenziale scalare elettrico v = 0V v all'innito: in Γ∞ l'equazione di Poisson che deriva dal problema di campo elettrostatico 82 ~j in un 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici ∇2 v = − ρ ε0 ammette un'unica soluzione data da v (P ) = 1 ε0 ˆ Ω ρ (P0 ) dP0 4πr (2.3.13) Per analogia matematica, assumendo nullo il potenziale vettore magnetico ~ a all'innito: ax = 0 in Γ∞ ay = 0 in Γ∞ az = 0 in Γ∞ (2.3.14) l'equazione vettoriale di Poisson che deriva dal problema di campo magnetostatico 2 ∇ ax = −µjx ∇2 ay = −µjy 2 ∇ az = −µjz ammette un'unica soluzione data da ´ ax (P ) = µ0 ´Ω ay (P ) = µ0 Ω ´ az (P ) = µ0 Ω jx (P0 ) 4πr dP0 jy (P0 ) 4πr dP0 jz (P0 ) 4πr dP0 (2.3.15) La (2.3.15) in forma compatta si scrive: ˆ ~ j (P0 ) ~a (P ) = µ0 dP0 Ω 4πr La (2.3.16) esprime il potenziale vettore magnetico massiccio di volume Ω (2.3.16) ~a nel caso di un lo di rame caratterizzato da una densità di corrente Noto il potenziale vettore magnetico minare pure l'induzione magnetica ~b (P ) = ∇ ~ × ~a (P ) = ∇ ~ × ~b, ~a ~j . in un punto P dello spazio è possibile deter- nel medesimo punto P, utilizzando la (2.3.3): ! ˆ ˆ ~ j (P0 ) µ0 ~ × µ0 dP0 = ∇ 4π Ω Ω 4πr ~j (P0 ) r Utilizzando le coordinate cartesiane si ha: ~ × ∇ ~j (P0 ) r ! = x̂ ŷ ẑ ∂ ∂x jx (P0 ) r ∂ ∂y jy (P0 ) r ∂ ∂z jz (P0 ) r 83 = ! dP0 (2.3.17) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici = x̂ ∂ jx (P0 ) ∂ jy (P0 ) ∂ jz (P0 ) ∂ jy (P0 ) ∂ jz (P0 ) ∂ jx (P0 ) +ŷ +ẑ − − − ∂y r ∂z r ∂z r ∂x r ∂x r ∂y r (2.3.18) Tenendo conto che ∂ jz (P0 ) 1 ∂ = jz (P0 ) n o1/2 = ∂x r ∂x (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 (x − x0 ) (x − x0 ) − jz (P0 ) n o3/2 = −jz (P0 ) r3 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 (2.3.19) ∂ jx (P0 ) 1 ∂ = jx (P0 ) o1/2 = ∂y r ∂y n 2 2 2 (x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) (y − y0 ) (y − y0 ) − jx (P0 ) n o3/2 = −jz (P0 ) r3 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 (2.3.20) ∂ jy (P0 ) ∂ 1 = jy (P0 ) n o1/2 = ∂z r ∂z 2 2 2 (x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) (z − z0 ) (z − z0 ) − jy (P0 ) n o3/2 = −jy (P0 ) r3 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 (2.3.21) la (2.3.18) diventa: ~ × ∇ ~j (P0 ) r ! =− ~j × r̂ 1~ j × ~r = − 2 3 r r (2.3.22) sostituendo inne (2.3.22) in (2.3.18) si ricava: ~b (P ) = − µ0 4π ˆ ~ j × r̂ dP0 2 Ω r (2.3.23) La (2.3.16) si può particolarizzare al caso di lo di rame non massiccio. Osserviamo innanzitutto che si può scrivere ~ ~jdP0 = ~j dl dS = j dS dl essendo dS l'elemento di sezione del lo massiccio e come ~ j 84 ~ dl un tratto elementare diretto 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.7: problema di campo magnetostatico Fatta questa osservazione l'integrale in (2.3.16) si può sviluppare come segue: ˆ ˛ ~a (P ) = µ0 S C j ~ dldS = µ0 4πr ˛ ˆ j ~ dS dl = µ0 4πr S C ˛ C Sj ~ dl = µ0 4πr ˛ C I ~ dl 4πr ottendo così l'espressione ˛ I ~ dl 4πr ~a (P ) = µ0 C (2.3.24) essendo C la lunghezza del lo di rame non massiccio La (2.3.24) resta valida purchè si assuma che la sezione S del lo di rame sia molto piccola. Il potenziale vettore magnetico ~a in un punto P dello spazio dovuto a N li conduttori non massicci percorsi da corrente è dato da: ~a (P ) = µ0 N X ˛ Ik Ck k=1 Dividendo il k-esimo lo conduttore in una formula approssimata M 1 ~ dl 4πr trattini di lunghezza (2.3.25) 4l possiamo scrivere della (2.3.18): ~a (P ) = µ0 N X Ik k=1 M X 1 ~ 4lj 4πrj j=1 In modo analogo si determina l'espressione del vettore induzione magnetica (2.3.26) ~b in un punto P dovuto a N li conduttori non massicci percorsi da corrente: ~b (P ) = − µ0 4π N X k=1 85 ˛ Ik Ck ~ × r̂ dl r2 (2.3.27) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.3.4 Legge dell'azione elementare Il contributo elementare di potenziale vettore magnetico densità di corrente ~ j che attraversa il cubetto elementare d~a dP0 nel punto P dovuto alla si ricava facilmente dalla (2.3.16): d~a (P ) = µ0 Questo risultato è noto con il nome di ~j (P0 ) dP0 4πr (2.3.28) legge dell'azione elementare ed esprime il fatto che in un qualunque punto P dello spazio il contributo elementare del potenziale vettore magnetico d~a risulta essere parallelo alla densità di corrente ~j che attraversa il cubetto elemetare del lo conduttore massiccio. Figura 2.3.8: legge dell'azione elementare 2.3.5 Strutture ferromagnetiche Ci sone delle situazioni particolari che ci consentono di condurre l'analisi elettromagnetica (cioè trovare i campi) senza risolvere nè equazioni dierenziali, nè equazioni integrali. Ovviamente per far questo bisogna ipotizzare delle situazioni geometriche e siche assai semplici e incominciare a fare delle approssimazioni piuttosto pesanti, e ciò vuol dire che i risultati trovati saranno delle approssimazioni, per esempio del 10-15% della realtà sica. Si possono fare esercizi di campo magnetico, senza bisogno di avere un programma di calcolo di campi magnetici, ma semplicemente risolvendo un circuito elettrico analogo. Vediamo di cosa si tratta. Introduciamo una netica lineare : struttura ferromag- si tratta di un dispositi- vo che lavora nella zona lineare del ciclo di isteresi, dove vale la relazione ~b = µ~h. Le correnti che interessano la struttura devono essere tali da farla lavorare lontano dalla regione di saturazione. Figura 2.3.9: ciclo di isterisi: curva di prima magnetizzazione Supponiamo che tale struttura ferromagnetica lineare sia snella. Una strut- tura ferromagnetica lineare snella è una struttura realizzata rispettando opportune ipote- 86 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici si geometriche: deve essere tale che il raggio medio della sezione dei pezzi costituenti la struttura ferromagnetica sia molto piccolo rispetto alla lunghezza dei pezzi stessi. Tale struttura può essere realizzata intammente in ferro, oppure con più sostanze ferromag- omogenea, nel secondo caso è disomogenea. In entrambi i casi la struttura può presentare un traferro : si tratta netiche, per esempio acciaio e ferro; nel primo caso la struttura è di una breve interruzione della struttura stessa. Una struttura ferromagnetica lineare snella deve rispettare le seguenti ipotesi: l, m >> R 1. essendo R il raggio della sezione S della struttura; δ 2. traferro La molto piccolo; 3. µF e >> µ0 = 4π107 H/m; 4. ~b 6= ~0 5. ~b solo nel ferro e nel traferro; uniforme nella sezione S. struttura ferromagnetica snella è l tubo di usso una materializzazione de Figura 2.3.10: struttura ferromagnetica lineare snella (Figura 2.3.11). Ricordiamo cosa si intende per tubo di usso. Sia P un punto dello spazio;per tale punto passa una ed una sola linea di campo ~b. Poichè deve valere la solenoidalità del campo ~b, ∇ ~ · ~b = 0, la linea di campo passante per il punto P è una linea chiusa. Se P è un punto di una certa supercie bilatera S, si avrà che per ogni punto di detta supercie passerà una ed una sola linea di campo chiusa. L'insieme delle linee di campo passanti per i punti della supercie bilatera costituiscono il tubo di usso. Poichè le lineedi forza del campo ~b nel- la struttura ferromagnetica snella mostrata in Figura 2.3.10 sono tutte incanalate e non sono al suo esterno, si ha che essa è un tubo di usso. Il tubo di usso gode della seguente proprietà: ˆ ΦS ~b = ~b · n̂ dS 6= 0 Figura 2.3.11: tubo di usso (2.3.29) S essendo S una supercie bilatera orientata mediante il versore Figura 2.3.11. Si noti che ΦS ~b = 0 se e solo S è una supercie chiusa. 87 n̂ come mostrato in 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici La struttura di Figura 2.3.10 rimane ancora una struttura ideale in quanto il campo ~b non può esistere se non in corrispondenza di una data sorgente. Possiamo accendere il campo ~b all'interno della struttura snella attraverso la corrente elettrica come mostrato in Figura 2.3.12, applicando opportune bobine. L'obiettivo è dunque trovare i campi ed si ~h ~b in tutti i punti dello spazio. In aria ha ~ b = ~h = 0; dobbiamo vedere dunque cosa succede nella struttura snella. Se S è una generica supercie bilatera ortogonale a ciascun tratto della struttura snella si ha che il usso (2.3.29) si scrive: ˆ ˆ dS = b S b dS = b ΦS ~b = S S ovvero: ΦS ~b = b S essendo ~ b ed (2.3.30) n̂ paralleli e ~b uniforme nel- la sezione S. A questo punto noto il usso Figura 2.3.12: struttura lineare snella con bobine del campo attraverso S e nota la geometria della struttura snella, ovvero la sezione S, è possibile stabilire l'intensità del campo ~b: ΦS ~b b= (2.3.31) S Figura 2.3.13: approssimazione delle linee di campo nel traferro Inne nota l'intensità del campo pure l'intensità del ~b, attraverso l'equazione costitutiva campo ~ h: 88 ~b = µ~h si ricava 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici ΦS ~b h= (2.3.32) µS ~ ~ In questo modo abbiamo spostato il problema dalla ricerca dei campi b ed h alla ricerca del usso ΦS ~b . Nella trattazione che segue si scegli di approssimare le linee di campo in prossimità del traferro come mostrato in Figura 2.3.13. Γ come indicato ˛ ΦΓ ~b = ~b · n̂ dS = 0 Se consideriamo una supercie chiusa in Figura 2.3.14 si ha: (2.3.33) Γ Se il usso ϕ3 , ΦS ~b ϕ1 , ϕ2 , lo si può pensare come la somma di tre contributi di usso: la (2.3.33) si può scrivere come segue: ˛ Γ S3 S2 S1 ~b · n̂ dS = ~b · n̂ dS + ~b · n̂ dS + ~b · n̂ dS + ˆ ˆ ˆ ˆ ~b · n̂ dS = Γ−S1 −S2 −S3 = −ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 0 (2.3.34) ˆ essendo ~b · n̂ dS = 0 Γ−S1 −S2 −S3 dato che Γ − S1 − S2 − S3 è quella parte della supercie di Figura 2.3.14: 89 Γ in cui c'è aria (~ b = ~0). 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Consideriamo a questo punto l'altra equazione integrale, ovvero la legge di Ampere nel caso statico: ˛ ~h · dl ~ = IΓ (2.3.35) Γ Secondo tale relazione la ciruitazione del campo ~ b lungo IΓ concatenata con la linea chiusa Γ Γ eguaglia la corrente elettrica (Figura 2.3.15) Figura 2.3.15: Applichiamo la (2.3.35) alla situazione illustrata in Figura 2.3.16. Figura 2.3.16: circuito ferromagnetico Chiamiamo Γ la linea chiusa cosituita dai tratti Γ1 , Γ2 ; tale linea passa per i centri delle sezioni dei tratti della struttura snella (in questo modo siamo sicuri che la linea chiusa Γ è una linea di campo). 90 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Γ Osserviamo che la linea di campo siccome Γ è percorsa in senso orario , n̂ e la normale n̂, la normale sono concordemente orientate: ortogonale al foglio di questa pagina, risulta entrante nel foglio. Poichè il campo magnetico di campo Γ ~h (o equivalentemente il campo ~b) e il tratto ~ dl della linea sono tra di loro paralli, il primo mebro della (2.3.35) si scrive: ˛ ˆ ˆ ~h · dl ~ = ˆ h dl = Γ h dl + Γ h dl Γ1 Γ2 Tenendo conto della relazione (2.3.32), quest'ultima espressione si scrive: ˛ ˆ ~h · dl ~ = ϕ1 Γ Γ1 1 dl + ϕ2 µS ˆ Γ2 1 dl µS (2.3.36) Le quantità: ˆ R1 = ˆ Γ1 R2 = Γ2 1 1 dl = µS µ1 S 1 1 dl = µS µ1 S = si chiamano ˆ 1 (2l + m) µ1 S ˆ 1 dl + dl = µ0 S δ dl = ˆ Γ1 Γ2 −δ (2.3.37) 1 1 (m − δ) + δ µ1 S µ0 S (2.3.38) riluttanze e dipendono solo dalle caratteristiche geometriche della struttura ferromagnatica. La riluttanza R2 conta di 2 contributi perchè ntantochè ci troviamo nel ferro, la permeabilità magnetica è La riluttanza si misura µ1 , mentre nel traferro è µ0 . −1 . L'inverso della riluttanza in H si chiama permeanza P : R−1 = P e si misura in (2.3.39) H. Utilizzando (2.3.37) e (2.3.38) la (2.3.36) si scrive: ˛ ~h · dl ~ = ϕ1 R1 + ϕ2 R2 (2.3.40) Γ Vediamo chi è il secondo mebro della (2.3.35), ossia la corrente concatenata con la linea chiusa Γ. La corrente interessano la linea Γ). IΓ conta di due contributi (tanti quante sono le bobine che Come mostrato in Figura 2.3.16, chiamiamo ha per orlo la linea chiusa Γ. La normale alla supercie pagina, è orientata rispetto alla direzione di La corrente corrente I1 I1 risulta entrante in Σ, N1 Γ N1 la supercie che Σ, n̂, entrante nel foglio di questa rispettando la regola della mano destra. volte, così come la normale è concordemente orientata con la normale alla bobina di Σ spire è positivo: +N1 I1 91 n̂, ~n. Siccome la il contributo di corrente dovuto 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici La corrente I2 risulta invece uscente da mente orientata con la normale 0 Σ, N2 volte. Siccome la corrente I2 è discorde0 n̂, il contributo di corrente dovuto alla bobina di N2 spire è negativo: 0 −N2 I2 Quindi la corrente concatenata con la linea chiusa vale: 0 IΓ = N1 I1 − N2 I2 Le quantità 0 N1 I1 , N2 I2 si chiamano (2.3.41) forze magnetomotrici. Inne utilizzando (2.3.40) e (2.3.41) la (2.3.35) si scrive: 0 ϕ1 R1 + ϕ2 R2 = N1 I1 − N2 I2 (2.3.42) A questo punto utilizzando nuovamente la (2.3.35) possiamo scrivere una terza equazione nelle incognite ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 Γ se per linea chiusa utilizziamo quella mostrata in Figura 2.3.17 La linea chiusa Γ2 Γ3 e Γ è costituita dai tratti ed orientata con la normale alla n̂ supercie in accordo con la regola della mano destra. In questo caso il primo membro della (2.3.35) si scrive: ˛ ~h · dl ~ = −ϕ2 R2 + ϕ2 R2 (2.3.43) Γ essendo ˆ R3 = Γ 1 1 dl = (2l + m − n) + µS µ1 S + 1 c µ2 S (2.3.44) Figura 2.3.17: circuito ferromagnetico La corrente concatenata con la linea chiusa 0 Γ in questo caso è: 00 IΓ = N2 I2 + N2 I2 (2.3.45) Sostituendo (2.3.43) e (2.3.45) in (2.3.35) si ricava inne: 0 00 − ϕ2 R2 + ϕ3 R3 = N2 I2 + N2 I2 Risolvendo il sistema costituito dalle equazioni (2.3.34) (2.3.42) (2.3.46): 92 (2.3.46) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici −ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 0 0 ϕ1 R1 + ϕ2 R2 = N1 I1 − N2 I2 0 00 −ϕ2 R2 + ϕ2 R3 = N2 I2 + N2 I2 si determinano i ussi ϕ1 , ϕ2 e (2.3.47.1) (2.3.47.2) (2.3.47.3) (2.3.47) ϕ3 . Nel passaggio dal ferro all'aria il campo ~b non cambia in termini di intensità poichè altromenti non sarebbe soddisfatta ~ ~ ¸l'equazione ∇ · b = 0 (o equivalentemente ~ ~ Γ b · dS = 0). Essenzialmente il usso entrante nella supercie chiusa Γ deve essere uguale al usso uscente: ΦS ~b Fe = ΦS ~b 0 ovvero: bF e SF e = b0 S0 (2.3.48) Figura 2.3.18: traferro A questo punto poichè SF e = S0 , dalla (2.3.48) segue che: bF e = b0 (2.3.49) Ovvero l'intensità del campo ~ b, non varia dal passaggio dal ferro all'aria. Questo fatto si esprime pure dicendo che la componente normale del campo ~ b non cambia nel passaggio di una supercie: bn2 = bn2 (2.3.50) Lo stesso discorso non si ripete per il campo ~h, infatti: hF e = bF e b0 1 = = b0 µF e µ0 µr µr cioè: hF e = 1 b0 µr (2.3.51) Figura 2.3.19: Stiamo trovando che l'intensità del campo magnetico all'aria. Poichè la permeabilità magnetica relativa magnetico ~ h 3 nel ferro è 10 ÷ µr ~h cambia nel passaggio dal ferro vale 103 ÷ 104 , 104 meno intenso che nell'aria. 93 si ha che il campo 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Questo fatto si esprime pure dicendo che la componente normale del campo ~h, è dis- continua attraversando una supercie che delimita due mezzi a permeabilità magnetica dierente. Ragioniamo in termini di riluttanza. La riluttanza del tratto Γ2 (2.3.38) si può scrivere come segue: R2 = avendo posto m − n = lF e e 1 1 1 lF e + δ= µ0 µ r S µ0 S µ0 S lF e +δ µr µ1 = µ0 µ r . Attraverso (2.3.52) è evidente che si il traferro ha una lunghezza di e µr = 103 (2.3.52) 1 mm = 10−3 m , anchè la riluttanza del ferro coincida con quella dell'aria, occore che la lunghezza del ferro sia pari a 1 m, cioè lF e = 1 m Concludendo allora si ha che 1 m di ferro ha la stessa riluttanza di 1 mm di aria se µr = 103 . Il circuito ferromagnetico n qui studiato è equivalente a un circuito elettrico puramente resistivo: ciascuna riluttanza gioca il ruolo di una resistenza e ciascuna bobina gioca il ruolo di una forza elettromotrice. Quando si vuole scrivere il circuito elettrico equivalente di un circuito ferromagnetico, bisogna innanzitutto calcolare le riluttanze, che come abbiamo visto dipendono esclusivamente dalla geometria della struttura ferromagnetica; fatto ciò si scrive la topologia del circuito elettrico equivalente. Il circuito ferromagnetico n qui studiato è equivalente ad un circuito elettrico formato da due nodi e tre lati; su ciascun lato troviamo una riluttanza ed una forza magnetomotrice. Si ssano in modo arbitrario i ussi e si determinano le polarità delle forze magnetomotrici utilizzando la regola della mano destra. Inne si ssano arbitrari versi di percorrenza di anello e si scrivono le L.K. Figura 2.3.20: circuito magnetico e circuito elettrico equivalente 94 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici LKI − ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 0 LKT (2.3.53) 0 ϕ1 R1 + ϕ2 R2 − N1 I1 + N2 I2 = 0 00 − ϕ2 R2 + ϕ3 R3 − N I2 − N2 I2 = 0 (2.3.54) (2.3.55) Come mostrato in Figura 2.3.20, i versi dei ussi sono stati presi in modo arbitrario; nel proseguio della trattazione i ussi saranno orientati nella stessa direzione dei versi di spinta delle forze magnetomotrici. Esempio 2.1. Consideriamo il circuito ferromagnetico mostrato in Figura 2.3.21 I dati del problema sono: a = 30 cm N1 = 100 0 b = 40 cm N2 = 50 00 δ = 1 mm N2 = 150 S = 2 cm2 µr = 103 Il circuito ferromagnetico è equivalente a un circuito elettrico formato da tre lati e due nodi. Le riluttanze di lato valgono: R1 = (2a + b) 2 30 10−2 + 40 10−2 1 8 −1 = = 10 H −7 3 −4 µ0 µr S 4π 10 10 2 10 8π (2.3.56) R3 = R1 R2 = (2.3.57) b−δ δ b δ + ' + = µ 0 µr S µ 0 S µ 0 µr S µ0 S = Figura 2.3.21: Circuito ferromagnetico 1 8 1, 4 8 0, 4 8 10 + 10 = 10 8π 8π 8π (2.3.58) Dalla (2.3.58) si vede che RF e = 0, 4 8 −1 10 H 8π R0 = 1 8 −1 10 H 8π ovvero la riluttanza di 1 mm di aria è maggiore della riluttanza di 40 cm di ferro. 95 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Così come la resistenza è ciò che si op- pone al passaggio di corrente innescata da una forza elettromotrice, la riluttanza è ciò che si oppone al usso di campo magnetico prodotto da una forza magnetomotrice. Dopo aver trattato le riluttanze si trattano le bobine. A ciascuna bobina del circuito ferromagnetico corrisponde una forza magnetomotrice data dal prodotto tra la corrente che interessa la bobina e il numero di spire della bobina stessa. A ciascuna bobina bisogna associare una polarità che si determina con la regola della mano destra. Figura 2.3.22: circuito elettrico equivalente Si tratta di orientare le dita del palmo della mano destra lungo la direzione della corrente che interessa la bobina e scegliere come polo positivo quello indicato dalla direzione del pollice. Quindi il circuito elettrico equivalente del circuito ferromagnetico è quello indicato in Figura 2.3.22. I generatori presente che i ussi ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 0 00 N1 I1 , N2 I2 , N2 I2 spingono tutti verso l'alto. Si tenga si possono orientare in modo arbitrario; in genere però è conveniente orientarli concordemente alle forze magnetomotrici come indicato in Figura 2.3.22, infatti in questo modo si è sicuri che per i generatori vale la convenzione dei generatori e per le riluttanze la convenzione dell'utilizzatore. Da una semplice ispezione visiva del circuito elettrico di Figura 2.3.22 si ricava il seguente sistema risolvente ottenuto scrivendo le L.K: 0 R1 ϕ1 − R2 ϕ2 = N1 I1 − N2 I2 0 00 R2 ϕ2 − R3 ϕ3 = N2 I2 − N2 I2 ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 0 (2.3.59) Risolvendo rispetto ai ussi si trova che essi sono delle combinazioni lineari delle correnti che scorrono nelle bobine: ϕ1 = ϕ2 = ϕ = 3 0 00 N2 +1,4N2 2,4N1 I2 3,8R I1 − 3,8R 0 00 2N2 −N2 N1 − 3,8R I1 + 3,8R I2 00 00 2,4N2 −N2 1 − 1,4N I2 3,8R I1 + 3,8R (2.3.60) essendo: R = R1 = R3 R2 = 1, 4R Sostituendo i valori numerici si ricava inne: 96 (2.3.61) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici −5 −5 ϕ1 = 1, 58 10 I1 − 1.71 10 I2 ϕ2 = −6, 61 10−6 I1 − 3, 30 10−6 I2 ϕ3 = −9, 25 10−6 I1 + 2, 05 10−5 I2 (2.3.62) 2.3.6 Coppia di induttori mutuamente accoppiati Consideriamo nuovamente il circuito ferromagnetico mostrato in Figura 2.3.21 e chiudiamo i morsetti 0 2. e 1 e 0 1 mediante un lo di rame; allo stesso modo chiudiamo i morsetti Così facendo si ottiene il circuito ferromagnetico mostrato in Figura 2.3.23. Chiudendo i morsetti N1 della bobina avente 0 1 e 1 l'avvolgimento spire rappresenta una linea chiusa ossia un orlo Γ1 qualunque linea chiusa, una certa supercie bilatera amo l'orlo I1 2 Γ1 n̂ Come SΓ1 . Orienti- come il verso della corrente e la supercie normale Γ1 . sarà l'orlo di SΓ1 attraverso un versore concorde alla corrente I1 per la regola della mano destra. Il usso del ~b campo supercie bilatera SΓ1 attraverso si chiama la usso concatenato con la bobina avente N1 spire: Φ1 := ΦSΓ1 Figura 2.3.23: circuito ferromagnetico ˆ ~b = ~b · n̂ dS (2.3.63) SΓ1 Analogamente per l'altra bobina possiamo scrivere: Φ2 := ΦSΓ2 essendo SΓ1 la supercie bilatera dell'orlo Vediamo a cosa corrisponde il usso Consideriamo l'orlo Γ1 senso di avvolgimento delle 1 0 0 1. ~b · n̂ dS (2.3.64) SΓ2 Γ1 . Φ1 . e supponiamo di poterlo allungare a nostro piacimento no a formare un cerchio su di un piano. al morsetto ˆ ~b = N1 spire Facendo riferimento a Figura 2.3.23 si vede che il è antiorario attraversando la bobina dal morsetto Ora visto che la corrente I1 entra dal morsetto 1 1 ed esce dal morsetto e che l'orlo è orientato come la corrente si ha che quest'ultimo è orientato in senso antiorario. Si noti che la supercie a forma di cerchio continua ad essere SΓ1 . Se indichiamo con S la sezione della struttura ferromagnetica lineare snella, individueremo nella supercie ovvero SΓ1 tante areole di supercie S quante sono le spire della bobina, N1 . 97 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Le areole di supercie S non sono altro che le intersezioni tra SΓ1 e la struttura ferromagnetica lineare snella. E' chiaro che SΓ1 − S è una supercie d'aria dove i campi sono ovviamente nulli. Quindi il usso Φ1 ˆ ~b·n̂ dS = Φ1 = vale: N1 ˆ X SΓ1 b1 dS = +N1 ϕ1 S i=1 Figura 2.3.24: bobina appiattita a forma di (2.3.65) cerchio Φ1 > 0 poichè si è scelto di denire il versore n̂ concorde al campo ~ b (in Figura 2.3.24, n̂ e ~b sono Si osservi che risulta ortogonali uscenti dal foglio di questa pagina). Si osservi che con il simbolo superci S delle N1 b1 ~b ortogonale alle Γ2 su di un piano viene indicato il modulo del campo spire della bobina. Allo stesso modo allunghiamo a nostro piacimento la linea chiusa no a formare un cerchio (Figura 2.3.25); il usso del campo ~ b attraverso la supercie SΓ2 vale: ˆ Φ2 := ΦSΓ2 ~b = ~b · n̂ dS = SΓ2 N2 ˆ X 0 = Φ2 , 00 b2 dS + S i=1 I contributi al usso N2 ˆ X i=1 0 00 b3 dS = N2 ϕ2 + N2 ϕ3 (2.3.66) S sono entrambi positivi poichè ancora una volta si è scelto di denire il versore ~b (in Figura 2.3.25, n̂ concorde al campo n̂ e ~b sono ortogonali uscenti dal foglio di questa pagina) Sostituendo (2.3.60) in (2.3.65) e (2.3.66) si trova facilmente che anche i ussi conatenati con le bobine sono delle combinazioni lineari delle correnti che le Figura 2.3.25: bobina apppiattita a forma di cerchio alimentano: 0 00 Φ1 = 2,4N12 I1 − N1 N2 +1,4N2 I2 3,8R 3,8R 0 2 00 2 0 00 0 00 2 N2 +2,4 N2 −N2 N2 N N +1,4N 1 2 2 Φ = − I + I2 2 1 3,8R 3,8R 98 (2.3.67) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Ponendo 2, 4N12 3, 8R 00 2 0 2 0 00 2 N2 + 2, 4 N2 − N2 N2 L1 = L2 = M12 = M21 = − (2.3.68) (2.3.69) 3, 8R 0 00 N1 N2 + 1, 4N2 (2.3.70) 3, 8R la (2.3.67) si scrive: ( Φ1 = L1 I1 + M12 I2 Φ2 = M21 I1 + L2 I2 Le quantità L1 ed L2 si chiamano (2.3.71) coecienti auto-induttanza bobina 1 e della bobina 2. Le quantità M12 ed M21 si chiamano invece coecienti di rispettivamente della muta-induttanza. Il risultato (2.3.70) è la verica del teorema di reciprocità nel caso della muta-induttanza (il teorema di reciprocità verrà trattato nel capitolo 7). M12 = M21 = M (2.3.72) Il signicato sico delle auto-induttanze e delle mutue-induttanze si intuisce dall'osservazione delle relazioni in (2.3.71). L'auto-induttanza L1 è il usso concatenato con la bobina 1 quando quest'ultima viene alimentata con una corrente di 1 A e la bobina 2 non viene alimentata. Analogamente L'auto-induttanza L2 è il usso concatenato con la bobina 2 quando quest'ultima viene alimentata con una corrente di 1 A e la bobina 1 non viene alimentata. La mutua-induttanza M12 è il usso concatenato con la bobina 1 quando quest'ultima è spenta e sulla bobina 2 scorre una corrente di 1 A. Allo stesso modo M21 è il usso concatenato con la bobina 2 quando quest'ultima è spenta e sulla bobina 2 scorre una corrente di 1 A In altri termini possiamo dire che la muta-induttanza M = M12 = M21 dà una misura di come una bobina accesa inuenza una bobina spenta. Guardando la prima delle equazioni in (2.3.67) è chiaro che la bobina 2 fa diminuire il usso concatenato con la bobina 1. Valgono le seguenti proprietà: 1. I coecienti di auto-induttanza sono sempre positivi; 2. I coecienti di mutua-induttanza possono essere entrambi positivi o entrambi negativi. 99 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici La dimostrazione della prima proprietà è banale: L1 > 0 dato che N12 ed R sono quantità positive; L2 > 0 se risulta: 0 2 00 2 0 00 2 N1 + 2, 4 N2 2N2 N2 > 0 . 0 Quest'ultima è una disequazione di secondo grado nella variabile x= N2 00 : N2 x2 − x + 1, 2 > 0 che risulta vericata ∀x∈ R dato che ha discriminante negativo: 4 = 1 − 4 (1) (1, 2) = −3, 8. Il circuito ferromagnetico di Figura 2.3.23 n qui studiato è un dispositivo molto utilizzato nelle reti elettriche; esso si chiama coppia di induttore mutuamente accoppiati e si denota con il simbolo mostrato in Figura 2.3.26. D'ora in avanti considereremo i coecienti di mutua-induttanza sempre positivi. Il segno dei coecienti di mutua induttanza dipende da diversi fattori quali la geometria, il senso di avvolgimento delle bobine e il verso delle correnti nelle bobine. Per far sapere al circuitista con quali correnti si hanno mutue positive, il progettista fa uso del trassegni. meccanismo dei con- Per esempio per due induttori mutuamente accoppiati si ha la situazione mostrata in Figura 2.3.26. ni • I contrasseg- indicano al circuitista che se le cor- renti sono entranti dai morsetti 1 il coeciente di mutua induttanza e M 2 Figura 2.3.26: Coppia di induttori mutuamente accoppiati 0 è positivo. Consideriamo adesso le tre bobine a due a due mutuamente accoppiate mostrate in Figura 2.3.27. Con le correnti aventi i versi mostrati in gura le espressioni dei ussi concatenati con le bobine sono: Φ1 = L1 I1 + M12 I2 + M13 I3 Φ2 = M12 I1 + L2 I2 − M23 I3 Φ3 = M13 I1 − M23 I2 + L3 I3 Il coeciente di mutua-induttanza I1 e I2 M12 (2.3.73) è preceduto dal segno + poichè le correnti hanno il medesimo comportamento rispetto al contrassegno il contrassegno). 100 • (I1 e I2 lasciano 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.27: bobine a due a due mutuamente accoppiate Il coeciente di mutua-induttanza I1 e I3 M13 è preceduto dal segno + poichè le correnti hanno il medesimo comportamento rispetto al contrassegno ◦ (I1 e I3 entrano dal contrassegno). Il coeciente di mutua-induttanza I3 hanno comportamento discorde e I3 entra dal contrassegno). M23 è preceduto dal segno - poichè le correnti I2 e I (I2 lascia il contrassegno rispetto al contrassegno 2.3.7 Dispositivi a n bipoli e dispositivi n-polari poli accoppiati Un dispositivo a n-bipoli è un componente elettrico dotato di 2n morsetti, ( a due a due ). La corrente che entra in uno dei poli di una coppia è uguale alla corrente uscente dall'altro polo della stessa coppia. Figura 2.3.28: dispositivo a n-bipoli Ciascuna coppia del dispositivo a n-bipoli si chiama porta del dispositivo. Un dispositivo n-polare è anch'esso un componente elettrico dotato di 2n morsetti; per questo dispositivo però non esiste nessun tipo di accoppiamento tra i suoi morsetti. Il più semplice dispositivo n-polare è il tripolo mostrato in Figura 2.3.28. 101 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.29: tripolo Le variabili per il tripolo sono I1 , I2 , V12 , V23 mentre I3 e V13 sono combinazioni lineari delle variabili del tripolo: I3 = I1 + I2 V13 = V12 + V23 2.3.8 Induttore isolato La coppia di induttori mutuamente accoppiati è stata descritta nel caso statico mediante le equazioni in (2.3.71); tali equazini continuano a valere anche nel caso lentamente variabile del tempo: ( Φ1 (t) = L1 i1 (t) + M12 i2 (t) Φ2 (t) = M21 i (t)1 + L2 i2 (t) (2.3.74) Se tra gli induttori non c'è accoppiamento (M=0), questi si diranno isolati e saranno descritti mediante le equazioni: ( Φ1 (t) = L1 i1 (t) Φ2 (t) = L2 i2 (t) (2.3.75) Quindi un induttore isolato di induttanza L è un bipolo per cui vale la relazione: Φ (t) = Li (t) (2.3.76) La (2.3.76) si trova banalmente studiando il problama magnetostatico mostrato in Figura 2.3.31 e approssimando al caso lentamente variabile nel tempo. 102 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.30: induttore isolato In Figura 2.3.31 viene mostrato il circuito elettrico equivalente del problema magnetostatico da cui si ricava: Φ = Nϕ = N N2 N2 NI = I = 4a I = LI R R µS (2.3.77) Quest'ultima nel caso lentamente variabile è la (2.3.76). Figura 2.3.31: circuito ferromagnetico; circuito elettrico equivalente Derivando rispetto al tempo la (2.3.76) si ricava: d d Φ (t) = L i (t) dt dt (2.3.78) Per capire cosa rappresenta in primo membro della (2.3.78) consideriamo il circuito elettrico mostrato in Figura 2.3.32. Se indichiamo con Γ la linea chiusa for- mata dalla bobina di N spire, la resistenza R e il generatore ideale di tensione v0 (t) possiamo scrivere la legge di Faraday: ˛ ~ + d Φ (t) = 0 ~e · dl dt Γ (2.3.79) Guardando il circuito possiamo pure scrivere la L.K.T: Figura 2.3.32: circuito elettrico 103 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici − v0 (t) + vR (t) + vL (t) = (2.3.80) Adesso visto che ˛ ~ = −v0 (t) + vR (t) ~e · dl (2.3.81) Γ dal confronto tra (2.3.79) e (2.3.80) segue che: d Φ (t) = vL (t) dt (2.3.82) Sostituendo (2.3.82) in (2.3.78) si ricava inne: vL (t) = L d i (t) dt Quest'ultima espressione è nota con il nome di legge di lato dell'induttore. (2.3.83) Essa ovvi- amente vale se per l'induttore adottiamo la convenzione dell'utilizzatore come mostrato in Figura 2.3.33. Dalla (2.3.83) si può condurre l'analisi dimensionale che permette di denire l'unità di misura dell'induttanza L: H = [L] = [V[I]][t] = [V ][t] [Q] [t] = V s A V s C s = Ωs = V s2 C 2.3.9 Circuito del primo ordine RL: carica e scarica di un induttore Consideriamo il circuito elettrico mostrato in Figura 2.3.34. Supponiamo che all'istante t=0 Figura 2.3.33: convenzione dell'utilizzatore − l'inter- ruttore T sia aperto; in questo modo la corrente che attraversa l'induttore è zero: i L 0− = 0 V (2.3.84) Per t>0 (chiusura dell'interruttore T) si può scrivere la LKT: vL (t) − V0 + Rf iL (t) = 0 (2.3.85) Utilizzando la (2.3.83) la (2.3.85) si scrive: L Posto τ= d iL (t) − V0 + Rf iL (t) = 0 dt L Rf e riordinando i termini, la (2.3.86) si scrive: 104 (2.3.86) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.34: carica e scarica dell'induttore d 1 1 iL (t) + iL (t) = V0 dt τ L (2.3.87) Le equazioni (2.3.84), (2.3.87) costituiscono il problema di Cauchy che permette di determinare la corrente che attraversa l'induttore per t>0: ( d 1 dt iL (t) + τ iL (t) iL (0− ) = 0 Risoluzione del problema di Cauchy = 1 L V0 (2.3.88) Determiniamo l'integrale generale della (2.3.87) L'integrale generale della (2.3.87) è la somma tra l'integrale generale dell'omogenea associata alla (2.3.87) e l'integrale particolare della (2.3.87): iL (t) = iLomog. (t) + iLpart. (t) (2.3.89) Omogenea associata d 1 iL (t) + iL (t) = 0 dt τ Equazione caratteristica λ+ 1 =0 τ λ=− 1 τ Integrale generale omogenea associata t iLomog. (t) = k e− τ 105 (2.3.90) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Ricerca dell'integrale particolare V0 , Visto che il termine noto della (2.2.37) è la costante l'integrale particolare va ricercato tra le costanti. Posto iL (t) = iLpart. (t) = cost. , la (2.2.37) si scrive: 1 1 0 + ILpart. (t) = V0 τ L da cui si ricava: iLpart. (t) = V0 Rf (2.3.91) Sostituendo (2.3.90) e (2.3.91) in (2.3.89) si ricava l'integrale generale della (2.3.87): t iL (t) = k e− τ + V0 Rf (2.3.92) Per determinare la costante k si utilizza la condizione iniziale data in (2.2.34) 0 iL (0) = k e− τ + k=− V0 =0 Rf V0 Rf (2.3.93) Sostituendo (2.2.43) in (2.2.42) si ricava l'espressione analitica della tensione ai capi del capacitore: iL (t) = t V0 1 − e− τ Rf (2.3.94) Visto che lim iL (t) = 0 t→0+ e che i L 0− = 0 ne segue che la corrente che attraversa l'induttore è una funzione continua del tempo. Per determinare la tensione ai capi dellìinduttore basta sostituire (2.3.94) in (2.3.833) vL (t) = L t d iL (t) = V0 e− τ dt 106 (2.3.95) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.3.10 Generalità sugli induttori Gli induttori sono elementi a due morsetti capaci di immagazzinare usso del campo magnetico. In ogni istante di tempo t, il usso immagazzinato dall'induttore e la corrente che lo attraversa soddisfano ad una relazione denita nel piano I-Φ, chiamata dell'induttore. caratteristica Quello studiato no ad ora è l'induttore lineare tempo-invariante. Come nel caso dei resistori e dei capacitori, anche per gli induttori possono esserci quattro possibilità. 2.3.10.1 Induttore lineare tempo-invariante induttore lineare tempo-invariante L' è caratterizzato dall'equazione caratteristica: Φ (t) = L i (t) (2.3.96) L'induttanza L per un induttore lineare tempo-nvariante non dipene nè da i nè da t; dunque nel piano I-Φ la caratteristica dell'induttore lineare tempo-invariante è una retta passante per l'origine di pendenza L: Figura 2.3.35: caratteristica dell induttore lineare tempo-invariante Derivando rispetto al tempo la (2.3.96) si ottiene l'espressione della tensione ai capi dell'induttore: v (t) = dΦ (t) d = L i (t) dt dt Anche l'induttore, come il capacitore, è un dalla (2.3.97), infatti la tensione v (t), (2.3.97) dispositivo a memoria. Ciò si capisce subito ad un certo istante di tempo t non dipende solo dalla corrente all'istante t ma anche dagli istanti di tempo immediatamente precedenti. Per convincerci di ciò basta scrivere la (2.3.97) tenendo conto della denizione di derivata: v (t) = La tensione all'istante corrente all'istante t0 t dΦ (t) d i (t) − i (t0 ) = L i (t) = L lim t→t dt dt t − t0 0 non dipende solo dalla corrente all'istante essendo t0 un'istante di tempo precedente a 107 t. (2.3.98) t, ma anche dalla 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Osservando la (2.3.98) potrebbe sembrare che il valore della tensione all'istante di tempo t dipenda da un passato estremamente precedente; in realtà invertendo la (2.3.97) appare in modo chiaro che l'induttore è un dispositivo che tiene conto di tutto il passato. Possiamo invertire la (2.3.97) integrando nell'intervallo di tempo ˆ ˆ t t v (τ ) dτ = L t0 ˆ ˆ d i (τ ) dτ = L dτ t0 [t0 , t]: i(t) i(t0 ) i(t) di (τ ) = L [i (τ )]it 0 t v (τ ) dτ = L [i (t) − i (t0 )] t0 1 i (t) = i (t0 ) + L ˆ t v (τ ) dτ (2.3.99) t0 Secondo (2.3.99) la corrente che attraversa l'induttore lineare tempo-invariante all'istante di tempo t, dipende dalla corrente all'istante di tempo t0 e da tutta la storia passata della tensione v (t), cioè dalla tensione in tutto l'intervallo [t0 , t]. Quindi per un induttore lineare tempo-invariante tutto il passato conta per la formazione del presente. Passando al limite per t → t0 , la (2.3.99) fornisce: lim i (t) = i (t0 ) + t→t0 1 lim L t→t0 ˆ t vτ dτ = i (t0 ) (2.3.100) t0 Secondo (2.3.100) è evidente che la corrente che attraversa l'induttore è una funzione continua in t0 . 2.3.10.1.1 Energia immagazzinata da un induttore lineare tempo-invariante Con- sideriamo il circuito mostrato in Figura 2.3.34 e supponiamo che all'istante di tempo t = 0− l'induttore sia scarico: i L 0− = 0 A (2.3.101) L'energia immagazzinata dall'induttore dall'istante ˆ ˆ t (t̄) = 0− 0− ˆ =L ˆ t p (t) dt = t = 0− vL (i) iL (t) dt = all'istante t 0− L iL (t) t=t vale: d iL (t) dt = dt iL (t) 2 1 iL (t) diL = LiL t 2 iL (0− ) (2.3.102) La (2.3.102) fa capire che la grandezza importante è la corrente e non la tensione. Utilizzando la (2.3.76) ponendo t = t è chiaro che la (2.3.102) si può scrivere nelle seguenti forme equivalenti: 2 1 1Φ t 2 1 (t̄) = LiL t = Φ t iL t = 2 2 2 L 108 (2.3.103) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.3.10.2 Induttore lineare tempo-variante Se l'induttore è lineare tempo-variante, la sua caratteristica è una rette passante per l'origine del piano I-Φ la cui pendenza dipende dal valore assunto dall'induttanza che è una funzione del tempo t: Φ (t) = L (t) i (t) (2.3.104) Figura 2.3.36: caratteristica capacitore lineare tempo-variante Derivando rispetto al tempo la (2.3.104) si determina l'espressione della tensione ai capi dell'induttore lineare tempo-variante: v (t) = d d d Φ (t) = L (t) i (t) + i (t) L (t) dt dt dt 2.3.10.2.1 Energia immagazzinata da un induttore lineare tempo-variante (2.3.105) Conside- riamo un induttore lineare tempo-variante e supponiamo che all'istante di tempo t = 0− esso sia scarico: i 0− = 0 A (2.3.106) Alimentando l'induttore, per esempio come mostrato in Figura 2.3.34, si ha che al tempo t, avrà tensione dall'istante t = 0− v t all'istante e corrente t=t ˆ i (t̄). ˆ t (t̄) = t i (t) = 0− t p (t) dt = 0− ˆ L'energia immagazzinata dal capacitore vale: v (i) i (t) dt = 0− d d L (t) i (t) + i (t) L (t) dt dt 109 dt (2.3.107) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici 2.3.10.3 Induttore non lineare tempo-invariante L'induttore non lineare tempo-invariante è denito tramite una relazione del tipo: f (Φ, i) = 0 (2.3.108) La caratteristica pertanto può essere una retta non passante per l'origine o una curva di tipo quadratico come mostrato in Figura 2.2.19: Figura 2.3.37: caratteristica dell'induttore non lineare tempo-invariante 2.3.10.3.1 Energia immagazzinata da un capacitore non lineare tempo-invariante − L'energia immagazzinata dal capacitore dall'istante t = 0 all'istante t = t vale: ˆ ˆ t (t̄) = 0− ˆ t = i (t) 0− t p (t) dt = i (t) v (t) dt = 0− d Φ (t) dt = dt ˆ Φ(t) i (Φ) dΦ (2.3.109) Φ(0− ) Si tenga presente che per l'induttore non lineare tempo-invariante NON vale la relazione d v (t) = L dt i (t) 2.3.10.4 Induttore non lineare tempo-variante Il capacitore non lineare tempo-variante è denito tramite una relazione del tipo: f (Φ, i, t) = 0 110 (2.3.110) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.38: caratteristica dell'induttore non lineare tempo-variante 2.3.11 Generalità sulla coppia di induttori mutuamente accoppiati Consideriamo la coppia di induttori mutuamente accoppiati mostrata in Figura 2.3.39. Le equazioni che caratterizzano il dispositivo sono ( Φ1 (t) = L1 i1 (t) + M i2 (t) Φ2 (t) = M i1 (t) + L2 i2 (t) (2.3.111) Derivando rispetto al tempo le equazioni in (2.3.111) si ottiene: ( v1 (t) = v2 (t) = d dt Φ1 (t) d dt Φ2 (t) d = L1 dt i1 (t) + M d = M dt i1 (t) + L2 d dt i2 (t) d dt i2 (t) (2.3.112) Si osservi che valgono le relazioni in (2.3.112) purchè per le porte del dipositivo valga la convenzione dell'utilizzatore (Figura 2.3.39). Si M si osservi che misura in la mutua-induttanza henry, H, così come l'auto-induttanza L. 2.3.11.0.1 Energia immagazzinata dalla coppia di induttori mutuamente accoppiati Supponiamo che all'istante t=0 ssi abbia: i1 (0) = 0 A i2 (0) = 0 A (2.3.113) Figura 2.3.39: coppia In questo caso non si avrà campo magnetico e di conseguenza il t̄ induttori mutua- dispositivo non avrà accumulato alcuna energia. all'istante di mente accopppiati Se sarà i1 (t̄) 6= 0 A i2 (t̄) 6= 0 A allora il dispositivo avrà accumulato dal tempo 111 t=0 al tempo (2.3.114) t = t̄, l'energia: 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici ˆ ˆ t̄ {v1 (t) i1 (t) + v2 (t) i2 (t)} dt = 0 ˆ t̄ L1 i1 (t) = 0 ˆ t̄ = 0 0 d d d d i1 (t) + M i1 (t) i2 (t) + M i2 (t) i1 (t) + L2 i2 (t) i2 (t) = dt dt dt dt d L1 i1 (t) i1 (t) + M dt ˆ t̄ = L1 0 d dt t̄ {p1 (t) + p2 (t)} dt = ε (t̄) = d d d i1 (t) i2 (t) + i2 (t) i1 (t) + L2 i2 (t) i2 (t) = dt dt dt ˆ t̄ ˆ t̄ 1 2 d d 1 2 i1 (t) dt + M i1 (t) i2 (t) dt + L2 i2 (t) dt = 2 dt 2 0 0 dt 1 1 = L1 i21 (t̄) + M i1 (t̄) i2 (t̄) + L2 i22 (t̄) 2 2 Ovvero: 1 1 ε (t̄) = L1 i21 (t̄) + M i1 (t̄) i2 (t̄) + L2 i22 (t̄) 2 2 (2.3.115) Secondo (2.3.115), l'energia immagazzinata da una coppia di induttori mutuamente accoppiati non è la semplice sovrapposizione delle energie accumulate da due induttori M i1 (t̄) i2 (t̄). (ε (t̄) ≥ 0) e per essere tale la mutua-induttanza tra di loro isolati poichè compare il termine L'energia è una quantità non negativa deve sottostare alla condizione: 0≤M ≤ p L1 L2 (2.3.116) La dimostrazione della (2.3.116) è banale. Visto che i2 (t̄) > 0 la (2.3.115) si può scrivere come segue: ε (t̄) 1 = L1 i2 (t̄) 2 Adesso anchè sia ε (t̄) ≥ 0 i1 (t̄) i2 (t̄) 2 dt + M occorre che sia ε(t̄) i2 (t̄) i1 (t̄) i2 (t̄) ≥0 1 + L2 2 (2.3.117) e cio accade se: 4 = M 2 − L1 L2 ≤ 0 (2.3.118) da cui si ricava la (2.3.116). A seconda dei valori assunti dalla mutua-induttanza M si possono avere due casi particolari: Se è M =0 allora gli induttori sono mutuamente accoppiati ; isolati dall'altro 112 o equivalentemente non sono 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici In tal caso l'energia immagazzinata risulta: 1 1 ε (t̄) = L1 i21 (t̄) + L2 i22 (t̄) 2 2 Se è M= √ L1 L2 allora gli induttori sono (2.3.119) perfettamente accoppiati ; In tal caso l'energia immagazzinata risulta: p 1 1 ε (t̄) = L1 i21 (t̄) + L1 L2 i1 (t̄) i2 (t̄) + L2 i22 (t̄) 2 2 (2.3.120) Di norma per una coppia di induttori mutuamente accoppiati si utilizza il di accoppiament k, così denito: k=√ coeciente M L1 L2 (2.3.121) Tale parametro deve rispettare la condizione: 0≤k≤1 (2.3.122) in accordo con la (2.3.116). Ovviamente: se k=1 gli induttori non sono accoppiati; se k=1 gli induttori sono perfettamente accoppiati. 2.3.12 Trasformatore ideale Un trasformatore ideale è una coppia di induttori mutuamente accoppiati con bobine avvolte in una struttura ferromagnetica lineare snella a permeabilità magnetica innita. In Figura 2.3.40 viene mostrata una coppia di induttori mutuamente accoppiati con accoppiamento perfetto e il corrispondente circuito elettrico equivalente Dalla LKT: N1 I1 + N2 I2 = Rϕ (2.3.123) si determina facilmente il usso del campo magnetico attraverso la sezione S della struttura: ϕ= N1 I1 + N2 I2 R (2.3.124) Figura 2.3.40: coppia di induttori con accop- essendo: piamento R= 4a µS 113 perfetto; circuito elettrico equivalente (2.3.125) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Nota la (2.3.124), è ovvio che i ussi concatenati con le bobine valgono: ( Φ1 = N1 ϕ = Φ2 = N2 ϕ = N12 N1 N2 R I1 + R I2 N22 N1 N2 R I1 + R I2 (2.3.126) Dalle equazioni in (2.3.126) risulta occiamente che: L1 = N12 R L2 = M= N22 R (2.3.127) N1 N2 R (2.3.128) Si vede subito che le espressioni in (2.3.127) e (2.3.128) soddisfano la condizione di accoppiamento perfetto Nell'ipotesi µ = ∞, M= √ L1 L2 . ovviamente da (2.3.125) segue che R=0 e da (2.3.123) segue che: N1 I1 + N2 I2 = 0 (2.3.129) Nel caso lentamente variabile del tempo quest'ultima relazione si scrive: N1 i1 (t) + N2 i2 (t) = 0 Da cui si ricava la prima equazione (2.3.130) del trasformatore ideale: i1 (t) 1 =− i2 (t) t (2.3.131) dove: t= è il N1 N2 (2.3.132) rapporto di trasformazione. Nel caso lentamente variabile del tempo le equazioni in (2.3.126) si scrivono: ( Φ1 (t) = N1 ϕ (t) Φ2 (t) = N2 ϕ (t) (2.3.133) Derivando rispetto al tempo le equazioni in (2.3.133) si ricavano le espressioni delle tensioni ai capi delle bobine: ( v1 (t) = v2 (t) = d dt Φ1 (t) d dt Φ2 (t) d = N1 dt ϕ (t) d = N2 dt ϕ (t) Dividendo membro a membro le equazioni in (2.3.134) si ricava la (2.3.134) seconda equazione del trasformatore: v1 (t) =t v2 (t) 114 (2.3.135) 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici In Figura viene mostrato il simbolo elettrico del trasformatore ideale il cui funzionamento è regolato dalle equazioni in (2.3.132) e (2.3.135). Figura 2.3.41: trasformatore ideale Si osservi che alle porte la tensione e la corrente sono in accordo con la convenzione dell'utilizzatore. 2.3.12.1 Proprietà del trasformatore ideale Il dispositivo descritto è ideale perchè può funzionare anche con correnti e tensioni costanti nel tempo. Il trasformatore ideale assorbe potenza istantanea nulla: p (t) = v1 (t) i1 (t) + v2 (t) i1 (t) = = v1 (t) i1 (t) + v1 (t) (−ti1 (t)) = 0 t (2.3.136) Il trasformatore ideale in ogni istante di tempo non è capace nè di assorbire nè erogare potenza; esso è come una lastra trasparente all'energia transitata, in grado solo di modicare tensione e corrente lasciando inalterata la potenza. Figura 2.3.42: Trasformatore ideale:potenza transitata Il trasformatore ideale ha la caratteristica di riportare alla porta 1, un resistore che sta alla porta 2 come mostrato in Figura 2.3.43. 115 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.43: Resistenza equivalente vista dalla porta 1 La resistenza equivalente resistore di resistenza Req. vista dalla porta 1 quando la porta 2 viene chiusa con un R si ricava banalmente combinando le equazioni (2.3.132) (2.3.135). Dalla (2.3.135) si ricava: v1 (t) = tv2 (t) (2.3.137) i2 (t) = −ti1 (t) (2.3.138) Dalla (2.3.132) si ricava: Osservando Figura 2.3.43 si vede che per il resistore R vale la convenzione del genera- tore e pertanto: v2 (t) = −Ri2 (t) (2.3.139) Sostituendo (2.3.138) in (2.3.139) e (2.3.139) in (2.3.137) si ricava: v1 (t) = t2 Ri1 (t) (2.3.140) da cui segue: Req. = v1 (t) = t2 R i1 (t) (2.3.141) I trasformatori vengono utilizzati per trasportare energia a grandi distanze. Per evidenziare questo fatto si capisce nella rappresentazione di Figura 2.3.42 occorre che la potenza vada da siistra verso destra e ciò è possibile sostituendo alla corrente i2 (t), la corrente −i2 (t) come mostrato in Figura 2.3.44. Per un trasformatore ideale in cui le correnti uiscono da sinistra verso destra, diremo che la potenza entrante p1 (t) nel trasformatore, risulta uguale alla potenza uscente p2 (t): p1 (t) = v1 (t) i1 (t) = v2 (t) i2 (t) = p2 (t) Il trasformatore ideale può essere utilizzato come innalzatore di tensione. 116 (2.3.142) abbassatore di tensione o come 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Figura 2.3.44: trasformatore ideale Nel primo caso si avrà: ( v2 (t) < v1 (t) i2 (t) > i1 (t) (2.3.143) ( v2 (t) > v1 (t) i2 (t) < i1 (t) (2.3.144) nel secondo caso si avrà: purchè venga sempre rispettata la (2.3.142). Figura 2.3.45: alimentazione scorretta di un carico U Immaginiamo di avere un generatore di energia elettrica G ed un certo utente U posto a grande distanza da G. Non è possibile trasportare energia dal generatore G all'utente U come mostrato in Figura 2.3.45 fondamentalmente per due motivi: 1. Il generatore di energia elettrica G eroga una elevata potenza a media tensione, dell'ordine dei 10 kV. Ciò vuol dire che nella linea di trasmissione che collega direttamente G ad U scorrerà una elevata corrente elettrica. Per far scorrere una elevata corrente elettrica occorrerebberodei li conduttori molto grossi; ovviamente in questo modo si avrà un consumo notevole di rame; 2. nella linea in ogni caso si avranno perdite di potenza del tipo: Rlinea i2linea sottofor- ma di calore. Quindi nel caso di elevate correnti sulla linea si avranno forti perdite di energia. 117 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Per ovviare a questi problemi basta collegare in prossimità del generatore G un innalzatore di tensione che porti la media tensione (M.T.) in alta tensione (A.T) e in prossimità dell'utente U un abbassatore di tensione riporti l'A.T. in M.T. (Figura 2.3.46). In questo modo il tratto di linea compreso tra i due trasformatori si potrà realizzare con li conduttori più sottili in quanto la corrente in gioco risulterà notevolmente abbassata. Figura 2.3.46: alimentazione corretta di un carico U Un tipico utente che utilizza la M.T. potrebbe essere un'industria chimica, un'industria meccanica, eccetera. Le comuni abitazioni domestiche utilizzano la bassa tensione (b.t). Per ottenere la b.t. basta utilizzare un trasformatore abbassatore che porti la M.T. in b.t. come mostrato in Figura 2.3.47. Figura 2.3.47: A.T, M.T., b,t. I trasformatori utilizzati nello schema di Figura 2.3.47 li abbiamo supposti ideali. Per essi abbiamo detto che vale la (2.3.142). Nella realtà però succede che per ognuno di essi si avrà: p2 (t) < p1 (t) in quanto per un trasformatore reale, (2.3.145) l'accoppiamento non sarà mai perfetto e non potrà mai essere realizzato con materiali a permeabilità magnetica innita in quanto non esistono. Ad ogni modo nel trasformatore reale si avranno perdite di energia; tali perdite si classicanoin perdite nel rame e perdite nel ferro. Le perdite nel rame possono essere: alla porta 1: R1 i21 W; alla porta 1: R1 i21 W. 118 2 Dall'elettromagnetismo all'elettrotecnica: i dispositivi elettrici Le perdite nel ferro sono dovute: all'isteresi: f Aisteresi Vf erro l'area del ciclo di isteresi e alle correnti parassite: W, essendo Vf erro f la frequenza di lavoro del ferro, Aisteresi il volume; σf erro e2 Vf erro W. Si possono ridurre le perdite per isteresi inserendo piccole quantità di silicio nel ferro; in questo modo si riduce l'area del ciclo di isteresi. Se il campo magnetico all'interno del ferro è variabile nel tempo, cioè l'equazione di Maxwell ~ × ~e = ∇ ∂~ − ∂t b, si avrà un campo elettrico ~e tiipo 6= 0, per ortogonale alla linea σf erro ,vi sarà ~j = σf erro~e che produce perdite di potenze del di campo magnetico e per il fatto che il ferro ha conducibilità elettrica una corrente elettrica parassita di densità ∂~ ∂t b σf erro e2 Vf erro . 119 3 Generatori pilotati e forme d'onda 3.1 Generatori pilotati Un generatore pilotato è un dispositivo con due porte, dove la porta 2 è un generatore di tensione o di corrente e la porta 1 è un cortocircuito o un circuito aperto. La forma d'onda del generatore alla porta 2 è una funzione della tensione ai capi del circuito aperto o una funzione della corrente che attraversa il cortocircuito. Si hanno quattro possibilita e a ogni modo i generatori pilotati vengono rappresentati con un rombo. 3.1.1 Generatore di corrente pilotato in corrente Figura 3.1.1: generatore di corrente pilotato in corrente La corrente alla porta 2 è una funzione della corrente alla porta 1: i2 (t) = h i1 (t) essendo h= (3.1.1) i1 (t) 12 (t) una quantità adimensionale. 3.1.2 Generatore di corrente pilotato in tensione La corrente alla porta 2 è una funzione della tensione alla porta 1: i2 (t) = g v1 (t) essendo g= i2 (t) v1 (t) una quantità avente la dimensione di una conduttanza. 120 (3.1.2) 3 Generatori pilotati e forme d'onda Figura 3.1.2: generatore di corrente pilotato in tensione Figura 3.1.3: generatore di tensione pilotato in corrente 3.1.3 Generatore di tensione pilotato in corrente La tensione alla porta 2 è una funzione della corrente alla porta 1: v2 (t) = r i1 (t) essendo r= (3.1.3) v2 (t) i1 (t) una quantità avente la dimensione di una resistenza. 3.1.4 Generatore di tensione pilotato in tensione Figura 3.1.4: generatore di tensione pilotato in tensione La tensione alla porta 2 è una funzione della tensione alla porta 1: v2 (t) = k v1 (t) essendo k= v2 (t) v1 (t) una quantità adimensionale. 121 (3.1.4) 3 Generatori pilotati e forme d'onda 3.2 Forme d'onda Sia i generatori ideali di tensione che di corrente che tutti i generatori pilotati possono avere una qualunque delle seguenti forme d'onda 3.2.1 Funzione costante Figura 3.2.1: funzione costante ∀t f (t) = k (3.2.1) 3.2.2 Sinusoide o cosinusoide Figura 3.2.2: cosinusoide f (t) = A cos (ωt + ϕ) La costante frequenza A si chiama e la costante ϕ ampiezza della fase. sinusoide mentre la costante (3.2.2) ω si chiama si chiama 3.2.3 Gradino unitario ( 1 se t ≥ 0 u (t) = 0 se t < 0 122 (3.2.3) 3 Generatori pilotati e forme d'onda Figura 3.2.3: gradino unitario Figura 3.2.4: gradino unitario traslato 3.2.3.1 gradino unitario traslato ( 1 u (t − t0 ) = 0 se t ≥ t0 se t < t0 (3.2.4) 3.2.4 Impulso di durata nita Figura 3.2.5: impulso di durata nita p∆ (t) = 0 1 ∆ 0 Si osservi che l'area sottesa da p∆ (t) = se t < 0 se 0 ≤ t ≤ ∆ se t > 0 per qualunque 123 ∆. (3.2.5) 3 Generatori pilotati e forme d'onda 3.2.5 Impulso di Diràc Figura 3.2.6: impulso di Diràc L'impulso di Diràc è una distribuzione e solo in questo ambito la intenderemo come una funzione denita ponendo: ( 0 t 6= 0 δ (t) = lim p∆ (t) = + ∆→0 +∞ t = 0 (3.2.6) Il simbolo 1 accanto al graco della delta di Diràc indica che l'area sottesa da quest'ultima è pari a uno, esattamente come nel caso dell'impulso di durata nita: ˆ +∞ δ (t) dt = 1 (3.2.7) −∞ Questo risultato si dimostra nella teoria delle distribuzioni; ovviamente nell'ambito dell'integrale di Lebesgue si avrebbe un'area sottesa nulla per la delta di Diràc. 3.2.5.1 Impulso di Diràc traslato Figura 3.2.7: impulso di Diràc traslato ( 0 se t 6= t0 δ (t − t0 ) = +∞ se t = t0 3.2.5.2 Proprietà del campionamento ˆ ˆ +∞ +∞ f (t) δ (t − t0 ) dt = −∞ f (t0 ) δ (t) dt = −∞ 124 (3.2.8) 3 Generatori pilotati e forme d'onda ˆ +∞ = f (t0 ) δ (t) dt = f (t0 ) (3.2.9) −∞ Figura 3.2.8: campionamento della funzione f (t) in t0 3.2.5.3 Proprietà della delta di Diràc δ (t) = d u (t) dt (3.2.10) Per dimostrare la (3.2.10) basta osserva la Figura 3.2.9. Figura 3.2.9: composizione di gradini per formare un impulso di durata nita Si vede che si può scrivere: 1 1 u (t) − u (t − ∆) u (t) − u (t − ∆) = ∆ ∆ ∆ + ∆ → 0 la (3.2.11) fornisce la (3.2.10): p∆ (t) = Passando al limite per δ = lim p∆ (t) = lim ∆→0+ ∆→0+ u (t) − u (t − ∆) d = u (t) ∆ dt (3.2.11) (3.2.12) Ovviamente invertendo (3.2.10) si ottiene: ˆ ( 0 u (t) = δ (τ ) dτ = 1 −∞ t 125 se t < 0 se t ≥ 0 (3.2.13) 3 Generatori pilotati e forme d'onda Figura 3.2.10: rampa unitaria 3.2.6 Rampa unitaria ( t r (t) = 0 se t ≥ 0 se t < 0 (3.2.14) Si osservi che la rampa unitaria si ricava integrando il gradino unitario: ˆ ( 0 r (t) = u (τ ) dτ = t −∞ t se t < 0 se t ≥ 0 (3.2.15) 3.2.7 Rampa parabolica Figura 3.2.11: rampa parabolica ( p (t) = t2 2 se t ≥ 0 se t < 0 0 (3.2.16) Si osservi che la rampa parabolica si ricava integrando la rampa unitaria: ˆ t p (t) = r (τ ) dτ = −∞ ( 0 t2 2 se t < 0 se t ≥ 0 3.2.8 Doppietto Si chiama doppietto la derivata prima della delta di Diràc: 126 (3.2.17) 3 Generatori pilotati e forme d'onda Figura 3.2.12: funzione doppietto d δ (t) dt (3.2.18) Il suo graco viene mostrato in Figura 3.2.12. 3.3 Proprietà dei segnali elettrici Le forme d'onda in esame possono essere la tensione in funzione del tempo rente in funzione del tempo i (t). v (t) o la cor- Spesso è possibile usare le stesse tecniche matematiche per ciascuno dei due tipi di forma d'onda e di conseguenza per dare generalità al discorso conviene indicare la forma d'onda semplicemente con w (t) quando l'analisi si applica ad entrambi i casi. Si denisce operatore media temporale, l'espressione: 1 < . >= lim T →∞ T ˆ T 2 [.] dt − T2 (3.3.1) L'operatore media temporale è lineare,infatti si ha che < a w1 (t) + b w (t) >= a < w1 (t) > +b < w2 (t) > Un segnale w (t) si dice periodico di periodo T0 se risulta w (t + T0 ) = w (t) essendo T0 (3.3.2) ∀t (3.3.3) il più piccolo numero positivo che soddisfa tale relazione. Per un segnale periodico l'operatore media temporale si scrive: 1 < . >= T0 ˆ T0 +a 2 − T0 +a 2 127 [.] dt a∈R (3.3.4) 3 Generatori pilotati e forme d'onda 3.3.1 Valore medio o componente continua Il valore medio o componente continua di un segnale w (t) è dato dalla sua media temporale: WDC Se w (t) ˆ 1 < w (t) >= lim T →∞ T è periodico di periodo WDC T0 , T 2 w (t) dt − T2 (3.3.5) il suo valore medio è: 1 < w (t) >= T0 ˆ T0 2 − T0 2 w (t) dt (3.3.6) 3.3.2 Potenza media normalizzata La potenza istantanea p (t) è per denizione il lavoro per unità di tempo: p (t) = L t (3.3.7) Per determinare l'espressione generale della potenza di un elemento a due morsetti basta ricordare la denizione di tensione elettrica e di corrente elettrica. La tensione elettrica ai capi di un elemento circuitale a due morsetti è il lavoro per unità di carica: v (t) = L q (3.3.8) mentre la corrente che attraversa lo stesso dispoditivo è la carica per unità di tempo: i (t) = q t (3.3.9) A questo punto moltiplicando e dividendo il secondo membro di (3.3.7) per la carica q e usando (3.3.8) e (3.3.9) si ottiene: p (t) = Lq Lq = = v (t) i (t) tq q t ovvero: p (t) = v (t) i (t) (3.3.10) Applicando l'operatore media temporale a (3.3.10) si ricava la potenza media del bipolo: P =< p (t) >=< v (t) i (t) > (3.3.11) Se il bipolo è puramente resistivo allora la tensione ai suoi capi e la correntte che lo attraversa sono legati tra di loro mediante la legge di Ohm: v (t) = R i (t) 128 (3.3.12) 3 Generatori pilotati e forme d'onda Combinando (3.3.10) con (3.3.12) si ricavano altre formule equivalenti per la potenza istantanea: p (t) = v (t) i (t) = R i2 (t) = v 2 (t) R (3.3.13) Nota la (3.3.13) è ovvio che la potenza media dissipata dal resistore sipuò scrivere nelle seguenti forme equivalenti: < v 2 (t) > R P =< p (t) >= R < i2 (t) >= Se la resistenza R del bipolo vale 1 zata: Ω, dalla (3.3.14) segue la (3.3.14) potenza media normaliz- P =< p (t) >=< i2 (t) >=< v 2 (t) > Dalla (3.3.15) segue che la potenza media normalizzata di un segnale (3.3.15) w (t) è il valore medio del segnale al quadrato: 1 P =< w (t) >= lim T →∞ T ˆ T 2 2 w2 (t) dt − T2 (3.3.16) Nel caso di segnale periodico la potenza media normalizzata risulta: ˆ 1 P =< w (t) >= T0 2 Si chiama potenza di picco T0 2 − T0 2 w2 (t) dt (3.3.17) il massimo della potenza istantanea: Ppicco = max {v (t) i (t)} (3.3.18) 3.3.3 Energia media normalizzata Si chiama energia media normalizzata l'espressione: ˆ E =< w2 (t) >= lim T 2 T →∞ − T 2 Per un segnale periodico di periodo T0 w2 (t) dt (3.3.19) si ha: ˆ 2 E =< w (t) >= 129 T0 2 T − 20 w2 (t) dt (3.3.20) 3 Generatori pilotati e forme d'onda 3.3.4 Valore ecace Si chiama valore ecace del segnale w (t) la radice quadrata della potenza media nor- malizzata: √ Wef f. = v u ˆ u p P = < w2 (t) > = t lim T 2 T →∞ − T 2 w2 (t) dt (3.3.21) 3.3.5 Segnali di potenza e segnali di energia Grazie alle denizioni date, i segnali si possono classicare in di energia. Un segnale w (t) si dice di potenza segnali di potenza e segnali se è caratterizzato da una potenza media normal- izzata P nita e non nulla: 0 < P < +∞ Un segnale w (t) si dice di energia (3.3.22) se è caratterizzato da una energia media normalizzata E nita e non nulla: 0 < E < +∞ (3.3.23) Proprietà Se un segnale è di potenza allora non è di energia e viceversa. Per vericare quanto detto basta esprimere la potenza media normalizzata in funzione dell'energia media normalizzata e viceversa. Combinando le relazioni in (3.3.16) e (3.3.19) si ricavano le relazioni 1 P = E lim T →+∞ T E=P 1 lim T →+∞ T Dalla prima di queste ultime due relazioni si deduce che potenza media normalizzata nulla. Dalla seconda si deduce invece che normalizzata innita. −1 un segnale di energia w (t) ha un segnale di potenza w (t) ha energia media 130 4 Reti elettriche 4.1 Introduzione Dopo aver introdotto i dispositivi elettrici possiamo occuparci delle reti elettriche sono per l'appunto interconnessioni di dispositivi elettrici. I dispositivi elettrici costituenti le reti elettriche sono connessi tra di loro attraverso dei li a conducibilità innita (p.e.c). Un tratto di lo a conducibilità innita che separa 2 nodi si chiama cortocircuito; se in una rete elettrica un cortocircuito separa i nodi 1 e 2, allora questo si può rappresentare attraverso un unico noFigura 4.1.1: cortocircuito e nodi do; viceversa un nodo può essere sempre pensato come un cortocircuito che separa due nodi (Figura 4.1.1) 4.2 Scrittura delle L.K. Consideriamo la rete elettrica mostrata in Figura 4.2.1. Essa risulta costituita da un generatore ideale di tensione, da un generatore ideale di corrente, da due resistori lineari tempo-invariante, da un capacitore lineare tempo-invariante e da un induttore lineare tempo invariante. Osservando la rete si vede che i nodi 4 e 5 sono connessi tra di loro attraverso un cortocircuito: non cambia nulla nello studio della rete se pensiamo di fondere i nodi 4 e 5. Potrem- mo ridisegnare la rete elettrica fondendo assieme i nodi 4 e 5 ma ciò non cambia nulla nel prosegui dello studio della rete elettrica. Si denisce nodo Figura 4.2.1: rete elettrica quel punto della rete elettrica in cui convergono due o più lati 131 che 4 Reti elettriche elementari. Per lato elementare si intende un tratto di circuito contenente un solo dispositivo elementare. In realtà esiste un certo grado di arbitrarietà quando si denisce un nodo. Per esempio se conveniamo di denire i lati compositi (un lato composito è un bipolo in cui i dispositivi elementari possono essere interconnessi tra di loro in serie e/o in parallelo), possiamo pensare la serie costituita dal generatore ideale di tensione vg (t) e il resistore R1 come un lato e quindi non denire il nodo 1. In Figura 4.2.1 si può vedere che è stata adottata la convenzione secondo cui un nodo è l'interconnessione elementare di due o più lati elementari. Immaginando di fondere il nodo 4 con il nodo 5, allora la rete elettrica mostrata in Figura 4.2.1 risulta essere costituita da N=4 nosi ed L=6 lati. Le incognite per una rete elettrica sono le correnti di lato e le tensioni di lato. Per una rete elettrica costituita da L lati si avranno allora 2L incognite: vk , ik k = 1, 2, ...., L (4.2.1) Per risolvere un problema di 2L incognite occorrono 2L equazioni. Si dimostra che basta scrivere L leggi di Kirccho (LK) ed L leggi di lato (LL) per risolvere il problema di una rete elettrica formata da L lati. Mentre le LK sono equazioni topologiche, ossia equazioni che danno informazioni sul come sono connessi i lati in un circuito, le LL sono equazioni che danno informazioni sul come sono fatti i lati della rete elettrica stessa. Ovviamente le 2L equazioni che servono per risolvere la rete elettrica devono essere tra di loro linearmente indipendenti. Anchè le equazioni possano essere linearmente indipendenti tra di loro basta scrivere: N −1 leggi di Kirccho delle tensioni (LKT), L−N +1 leggi di Kirccho delle correnti (LKI), ed L leggi di lato (LL). Facendo riferimento alla rete elettrica mostrata in Figura 4.2.1 occorre scrivere: N-1=4-1=3 LKT; L-N+1=6-4+1=3 LKI; L=6 LL. 132 4 Reti elettriche Quindi per risolvere la rete elettrica occorre scrivere: LKT + LKI + LL = 12 equazioni. Per scrivere queste 12 equazioni occorre scrivere per ciascun lato la tensione e la corrente. Se ciascun lato è un resistore o un capacitore o un induttore la tensione e la corrente si scriveranno adottando la convenzione dell'utilizzatore. Viceversa per i generatori ideali e per i generatori pilotati, si scriveranno tensione e corrente adottando la convenzione del generatore. La Figura 4.2.2 mostra per ogni elemento circuitale la tensione e la corrente di lato; per i resistori , il capacitore e l'induttore viene adottata la convenzione dell'utilizzatore mentre per i generatori viene adottata la convenzione del generatore. Figura 4.2.2: rete elettrica In base a ciò che è stato detto prima, per la rete mostrata si devono scrivere N-1=3 leggi di Kircchoof delle correnti, quindi occorre scartare un nodo visto che la rete ne presenta 4. Normalmete si scarta il nodo verso cui converge il numero maggiore di lati; nell'esempio considerato viene scartato il nodo 4. Le LKI ai nodi 1,2 e 3 sono: LKI1 −iA (t) + i1 (t) = 0 −i1 (t) + ic (t) + iL (t) = 0 LKI2 −iL (t) − ig (t) + i2 (t) = 0 LKI3 (4.2.2) Seguendo l'orientazione degli anelli I, II e III si scrivono le LKT: −vA (t) + v1 (t) + vc (t) = 0 LKT 1 −vc (t) + vL (t) + vB (t) = 0 LKT 2 −vB (t) + v2 (t) = 0 LKT 3 Inne attraverso una semplice ispezione visiva si scrivono le LL: 133 (4.2.3) 4 Reti elettriche vA (t) = vg (t) iB (t) = ig (t) v (t) = R i (t) 1 1 1 v2 (t) = R2 i2 (t) d vc (t) ic (t) = C dt v (t) = L d i (t) L dt L LL1 vA (t) = vg (t) LL2 iB (t) = ig (t) LL3 v1 (t) − R1 i1 (t) = 0 =⇒ LL4 v2 (t) − R2 i2 (t) = 0 d LL5 vc (t) = 0 ic (t) − C dt d LL6 vL (t) − L dt iL (t) = 0 LL1 LL2 LL3 LL4 LL5 LL6 (4.2.4) Si osservi che tutte le equazioni scritte sono omogenee tranne la LL1 e la LL2. Le equazioni in (4.2.2) (4.2.3) (4.2.4) costituiscono un sistema algebrico dierenziale lineare di 12 equazioni in 12 incognite. Visto che il sistema è in parte dierenziale occorre specicare pure le condizioni sullo stato energetico dei dispositivi a memoria all'istante t=0s; nel caso specico possiamo ssare le condizioni iniziali come segue: ( vc (0) = V0 iL (0) = I0 c.i.1 c.i.2 (4.2.5) Siccome il sistema è algebrico dierenziale lineare possiamo adottare una strategia di risoluzione che prevede di separare le equazioni algebriche da quelle dierenziali. In questo modo otteniamo da un lato un sistema algebrico lineare di 10 equazioni in 12 incognite e dall'altro un sistema dierenziale lineare di 2 equazioni in 4 incognite: vA (t) = vg (t) iB (t) = ig (t) v1 (t) − R1 i1 (t) = 0 v2 (t) − R2 i2 (t) = 0 −i (t) + i (t) = 0 1 A −i1 (t) + ic (t) = −iL (t) −ig (t) + i2 (t) = iL (t) −vA (t) + v1 (t) = −vc (t) vL (t) + vB (t) = vc (t) −v (t) + v (t) = 0 2 B LL1 LL2 LL3 LL4 LKI1 (4.2.6.1) LKI2 LKI3 LKT 1 LKT 2 LKT 3 ( d vc (t) LL5 ic (t) = C dt (4.2.6.2) d vL (t) = L dt iL (t) LL6 equazioni di stato Vedremo alla ne che questa strategia conduce alle elettrico. (4.2.6) del circuito Si tratta di equazioni dierenziali lineari del primo ordine in cui le uniche incognite sono le variabili energetiche presenti nel circuito. Concentriamo l'attenzione sul sistema (4.2.6.1). Quello che si fa è portare a secondo membro la vc (t)e riguardano il contenuto energetico della rete elettrica. la iL (t), cioè le grandezze che In altri termini si assumono le variabili energetiche come funzioni note; in questo modo si ha che il sistema (4.2.6.1) è come se fosse di 10 equazioni in 10 incognite: 134 4 Reti elettriche vA (t) = vg (t) iB (t) = ig (t) v1 (t) − R1 i1 (t) = 0 v2 (t) − R2 i2 (t) = 0 −i (t) + i (t) = 0 1 A −i1 (t) + ic (t) = −iL (t) −ig (t) + i2 (t) = iL (t) −vA (t) + v1 (t) = −vc (t) vL (t) + vB (t) = vc (t) −v (t) + v (t) = 0 2 B LL1 LL2 LL3 LL4 LKI1 LKI2 LKI3 LKT 1 LKT 2 LKT 3 (4.2.7) Fatto ciò possiamo immaginare allora la rete elettrica data, come un circuito resistivo in cui le sorgenti sono i generatori ideali iL (t) vg (t) e ig (t) e i generatori assimilati vc (t) e (Figura 4.2.3). Siccome il sistema (4.2.7) è lineare, quello che si troverà è che qualunque variabile di rete è una combinazione lineare di vg (t) , ig (t) , vc (t) , iL (t). Per esempio per la i1 (t) corrente troveremo: i1 (t) = k1 vg (t)+k2 ig (t)+k3 vc (t)+k4 iL (t) La di strategia determinare analoghe di risoluzione dal grandezze sistema alle prevede (4.2.7) variabili le ener- getiche , ovvero la corrente che attraversa ic (t), e la tensione dell'induttore, vL (t) in modo da in capacitore, ai capi Figura 4.2.3: rete elettrica resistiva poterle utilizzare successivamente per risolvere il sistema dierenziale (4.2.6.2). Attraverso semplici operazioni algebriche dal sistema (4.2.7) si ricavano le seguenti relazioni: ( ic (t) = −iL (t) − R11 vc (t) + R11 vg (t) (4.2.8.1) vL (t) = vc (t) − R2 ig (t) − R2 iL (t) (4.2.8.2) (4.2.8) Le equazioni in (4.2.8) si possono ricavare in maniera veloce dalla rete resistiva mostrata in Figura 4.2.3 senza passare dalla risoluzione del sistema (4.2.7). La (4.2.8.1) si deduce facilmente scrivendo la LKI al nodo 2: −i1 (t) + ic (t) + iL (t) = 0 ⇒ ic (t) = i1 (t) − iL (t) =⇒ 135 4 Reti elettriche =⇒ ic (t) = vg (t) − vc (t) − iL (t) R1 La (4.2.8.2) si deduce facilmente scrivendo la LKT all'anello II: −vc (t) + vL (t) + v2 (t) = 0 ⇒ vL (t) = vc (t) − v2 (t) =⇒ =⇒ vL (t) = vc (t) − R2 i2 (t) =⇒ vL (t) = vc (t) − R2 (iL (t) + ig (t)) Note le equazioni in (4.2.8), il sistema dierenziale dato in (4.2.6.2) si scrive: ( d dt vc (t) d dt iL (t) = − R11C vc (t) − C1 iL (t) + R11C vg (t) = L1 vc (t) − RL2 iL (t) − RL2 ig (t) Le equazioni in (4.2.9) sono le energetiche vc (t) e iL (t) (4.2.9) equazioni di stato del circuito elettrico mentre le variabili variabili di stato. vengono dette Quando si risolve una rete elettrica di solito si incorre nel problema di determinare la condizione iniziale sulla derivata prima della variabile di interesse. La ricerca di tale condizione è ardua e può portare alla scrittura di LK alla rinfusa senza mai arrivare alla conclusione. Pertanto la strategia migliore per la risoluzione di una rete elettrica è quella che conduce alle equazioni di stato che per t=0 s forniscono direttamente la condizione iniziale sulla derivata prima delle variabili di stato: ( d dt vc (t) |t=0 d dt iL (t) |t=0 = − R11C vc (0) − C1 iL (0) + R11C vg (0) (4.2.10.1) = L1 vc (0) − RL2 iL (0) − RL2 ig (0) (4.2.10.2) (4.2.10) 4.3 Regime costante 4.3.1 Equazione dierenziale di ordine minimo per una variabile di rete Abbinando alle equazioni di stato date in (4.2.9) le condizioni iniziali date in (4.2.5) si ottiene il seguente problema dierenziale: d 1 1 1 dt vc (t) = − R1 C vc (t) − C iL (t) + R1 C vg (t) d i (t) = 1 v (t) − R2 i (t) − R2 i (t) dt L L c L L L g vc (0) = V0 i (0) = I 0 L Possiamo risolvere tale sistema in modo scalare. (4.3.1.1) (4.3.1.2) (4.3.1.3) (4.3.1.4) (4.3.1) Basta ricavare da una equazione un'incognita e sostituirla nell'altra equazione; così facendo da due equazioni dierenziali del primo ordine si ricava un'unica equazione dierenziale del secondo ordine nella variabile vc (t) o iL (t). iL (t) dalla Ricavando (4.3.1.1) e sostituendo nella (4.3.1.2) si ricava: 136 4 Reti elettriche d2 vc (t) + dt2 = 1 R2 + R1 C L vc (t). d 1 vc (t) + dt LC R2 1+ R1 vc (t) = 1 d R2 R2 vg (t) + vg (t) + ig (t) R1 C dt R1 LC LC La (4.3.2) prende il nome di di stato equazione dierenziale di ordine minimo (4.3.2) nella variabile Per integrare tale equazione occorre conoscere le condizioni iniziali: vc (0) = V0 (4.3.3) d V0 I0 vg (0) vc (t) t=0 = − − + dt R1 C C R1 C (4.3.4) La condizione (4.3.4) è stata dedotta a partire dall'equazione di stato del capacitore. Se riuscissimo a dedurre la (4.3.2) senza passare dalle equazioni di stato è possibile ricavare la condizione in (4.3.4)? La risposta è SI. Basta studiare il circuito all'istante t = 0 s che viene mostrato in Figura 4.3.1. L'equazione costitutiva del capacitore all'istante t=0 s si scrive: ic (0) = d vc (t) |t=0 da cui si ricava: C dt d 1 vc (t) t=0 = ic (0) dt C (4.3.5) Scrivendo la LKI al nodo 2: −i1 (0) + ic (0) + iL (0) = 0 si ricava: ic (0) = i1 (0) − iL (0) = vg (0) − V0 − I0 R1 (4.3.6) Figura 4.3.1: rete elettrica all'istante t=0 s. Sostituendo (4.3.6) in (4.3.5) si ricava la (4.3.4). Ovviamente per circuiti più complicati è sconsigliata questa strategia. 4.3.1.1 Ordine minimo dell'equazione dierenziale Facendo altre sostituzioni, avremmo potuto ottenere dal sistema algebrico dierenziale lineare, un'altra equazione dierenziale di ordine minimo in qualunque altra variabile di rete. Quindi tutte le variabili di rete soddisfano ad una equazione dierenziale di ordine minimo che in generale potrebbe essere diversa da variabile a variabile; quello che si trova è che pere qualunque variabile di rete, l'equazione dierenziale ha sempre lo stesso ordine n. Per il circuito mostrato in Figura 4.2.1, l'equazione dierenziale per qualunque variabile di rete, è di ordine n = 2. 137 4 Reti elettriche L'ordine minimo dell'equazione differenziale, ossia del circuito elettrico, corrisponde al numero di condizioni iniziali che bisogna specicare per caratterizzare tutto il contenuto energetico della rete elettrica. Nella rete elettrica mostrata in Figura 4.2.1 bisogna specicare quindi la tensione ai capi del capacitore e la corrente che at- Figura 4.3.2: insieme di taglio di lati tutti induttivi traversa l'induttore alll'istante di tempo t=0 s. Applicare la regola per stabilire l'ordine minimo dell'equazione dierenziale non è sempre semplice. Se una rete elettrica presenta un insieme di taglio fatto tutto da lati induttivi, allora una condizione iniziale sul patrimonio energetico di un induttore è combinazione lineare delle altre condizioni iniziali relative ai patrimoni energetici degli altri induttori dell'insieme di taglio. Per esempio se la rete elettrica presenta tre lati induttivi che ipoteticamente possono essere tagliato da una supercie gaussiana, come mostrato in Figura 4.3.2, possiamo scrivere una LKI all'insieme di taglio: i1 (t) + i2 (t) + i3 (t) = 0 (4.3.7) In questo caso per caratterizzare tutto il contenuto energetico dovuto a tali induttori , bastano solo 2 condizioni iniziali sulle correnti ( per esempio le condizioni iniziali i1 (0),i2 (0)), perchè la terza è una combi- nazione lineare delle precedenti (i3 (0) = −i1 (0) − i2 (0)). Quindi per un insieme di taglio fatto tutto da induttori, si esclude una condizione iniziale perchè combinazione lineare delle altre. Un ragionamento analogo vale per gli Figura 4.3.3: anello di capacitori anelli fatti solo da capacitori. Se la rete elettrica presenta un'anello (o maglia) fatta tutta da lati capacitivi, allora una condizione iniziale sul patrimonio energetico di un capacitore è combinazione lineare delle altre condizioni iniziali relative ai patrimoni energetici degli altri capacitori dell'anello. Per esempio se la rete elettrica presenta un anello formato da 4 capacitori come mostrato in Figura 4.3.3, si può scrivere la LKT: v1 (t) + v2 (t) + v3 (t) + v4 (t) = 0 138 (4.3.8) 4 Reti elettriche In questo caso per caratterizzare tutto il contenuto energetico dovuto a tali capacitori, bastano solo 3 condizioni iniziali sulle tensioni ( per esempio le condizioni in- v1 (0),v2 (0) , v3 (0)) perchè la (0) = −v1 (0) − v2 (0) − v3 (0)). iziali (v4 quarta è una combinazione lineare delle precedenti Quindi per un anello fatto tutto da capacitori, si esclude una condizione iniziale perchè combinazione lineare delle altre. n di una rete elettrica si ottiene tramite la seguente In denitiva l'ordine di derivazione formula: n = Nc + NL − Mc − TL essendo Nc (4.3.9) il numero di caapacitori presenti nella rete elettrica, induttori presenti nella rete elettrica, rete elettrica ed inne TL Mc NL il numero di il numero di anelli di capacitori presenti nella il numero di insiemi di taglio di induttori presente nella rete elettrica. 4.3.2 Risoluzione equazioni dierenziali Se indichiamo con y(t) una qualunque variabile della rete elettrica e con xk (t) il k- esimo ingresso che sollecita la rete, possiamo scrivere la forma generale dell'equazione dierenziuale di ordine minimo: n X i=0 E' chiaro che i coecienti G M k XX d i d j ai i y (t) = bk,j j xk (t) dt dt (4.3.10) k=1 j=0 ai relativi all'equazione dierenziale di ordine minimo data in (4.3.2) sono: a2 = 1; a1 = 1 R2 + R1 C L 1 ; a0 = LC R2 1+ R1 Si può osservare che essi dipendono solo dai resistori e dai dispositivi a memoria nonchè dal come essi sono connessi tra di loro e pertanto risultano essere quantità sempre positive. I coecienti ai non dipendono dai generatori della rete che inuenzano soltanto il secondo membro dell'equazione dierenziale di ordine minimo. Siccome il secondo membro della (4.3.10) contiene solo termini noti, esso si può scrivere in forma compatta mediante una funzione n X i=0 ai f (t): d i y (t) = f (t) dti Per integrare la (4.3.11) occorre specicare n-1 condizioni iniziali: 139 (4.3.11) 4 Reti elettriche y (t) |t=0 d dt y (t) |t=0 . . . dn−1 y (t) | t=0 dtn−1 (4.3.12) La (4.3.11) è un'equazione dierenziale di ordine n a coecienti costanti non omogenea. Si dimostra che l'integrale generale della (4.3.11) è: y (t) = yomog. (t) + ypart. (t) dove yomog. (t) è l'integrale generale dell'omogenea associata: n X ai i=0 e ypart. (t) (4.3.13) d i y (t) = 0 dti (4.3.14) è l'integrale particolare della (4.3.11). 4.3.2.1 Ricerca dell'integrale generale dell'omogenea associata Consideriamo l'equazione omogena indicata in (4.3.14). Si scrive l'equazione caratteristica ad essa associata: (P n i i=0 ai λ =0 (4.3.15) λ∈C Siccome l'equazione caratteistica è inquadrata nell'ambito dei numeri complessi, avrà n-radici che possono essere reali o complesse con le relative molteplicità. Visto che i coecienti ai sono numeri reali,le radici della (4.3.15) sono a coppia complesse coniugate, cioè se λ = δ + jω (4.3.16) è una radice dell'equazione caratteristica, lo è pure: λ̄ = δ − jω Se la radice ν λ ha molteplicità ν pure la coniugata (4.3.17) λ̄ avrà molteplicità ν (la molteplicità ν -volte λ, e ν -volte λ̄). indica che l'equazione caratteristica ammette come soluzione, Il numero reale Re {λ} = δ si chiama parte reale del numero complesso 140 λ, mentre il numero reale (4.3.18) 4 Reti elettriche Im {λ} = ω si chiama parte immaginaria del numero complesso (4.3.19) λ. δ = 0, l'equazione caratteristica ammette come soluzioni le radici complesse coniuλ = jω , λ̄ = −jω dette radici immaginarie coniugate. Se ω = 0, l'equazione caratteristica ammette come soluzione la radice reale λ = δ . Se gate Riassumendo l'equazione caratteristica data in (4.3.15) può ammettre radici complesse e coniugate, radici immaginarie e conigute, radici reali. A ciascuna delle radici dell'equazione caratteristica possiamo associare dei termini dell'integrale generale dell'omogenea associata; di seguito viene proposto un elenco di queste possibilità: Se l'equazione caratteristica ammette come soluzione una radice reale λ = δ con molteplicità ν allora l'integrale generale dell'omogenea associata conterrà il seguente pacchetto di ν termini: k1 eδt + k2 t eδt + ...... + kν tν−1 eδt dove k1 , k2 , ......, kν sono ν -costanti (4.3.20) da determinare. nulla λ = 0 con molteplicità ν allora l'integrale generale dell'omogenea associata conterrà il seguente Se l'equazione caratteristica ammette come soluzione una radice pacchetto di ν termini: n1 + n2 t + ...... + nν tν−1 dove n1 , n2 , ......, nν sono ν -costanti (4.3.21) da determinare. Se l'equazione caratteristica ammette come soluzione una coppia di radici immaginari e coniugate λ = jω e λ̄ = −jω con molteplicità ν allora l'integrale generale dell'omogenea associata conterrà il seguente pacchetto di ν termini: h1 cos (ωt + ϕ1 ) + h2 t cos (ωt + ϕ2 ) + ...... + hν tν−1 cos (ωt + ϕν ) dove h1 , h2 , ......, hν , ϕ1 , ϕ2 , ......, ϕν (4.3.22) sono 2ν -costanti da determinare. Se l'equazione caratteristica ammette come soluzione una coppia di radici complesse e coniugate λ = δ + jω e λ̄ = δ − jω con molteplicità ν allora l'integrale generale dell'omogenea associata conterrà il seguente pacchetto di ν termini: p1 eδt cos (ωt + ψ1 ) + p2 t eδt cos (ωt + ψ2 ) + ...... + pν tν−1 eδt cos (ωt + ψν ) dove p1 , p2 , ......, pν , ψ1 , ψ2 , ......, ψν (4.3.23) sono 2ν -costanti da determinare. E' facile vericare che la somma delle varie molteplicità coincide con l'ordine n dell'e- quazione dierenziale di ordine minimo: n= X k 141 νk (4.3.24) 4 Reti elettriche 4.3.2.1.1 Rete elettrica priva di generatori Precedentemente è stato detto che il primo membro dell'equazione dierenziale di ordine minimo dipende solo dalla rete elettrica, mentre il secondo membro dipende dal come la rete viene eccitata: è ovvio allora che azzerando i generatori (il che vuol dire considerare l'equazione omogenea associata) riusciamo a capire chi è realmente la rete elettrica. Un generatore di tensione si annulla sostituendolo con un cortocircuito, men- Figura 4.3.4: rete elettrica priva di generatori tre un generatore di corrente si azzera sostituendolo con un circuito aperto. Quindi la rete elettrica di Figura 4.2.1 priva di eccitazioni è quella mostrata in Figura 4.3.4. A B Figura 4.3.5: A modo corretto; B modo scorretto Analogamente per eccitare una rete elettrica tramite un generatore di tensione basta considerare un lato della rete, tagliarlo in due punti, e inserirvi il generatore di tensione. Per eccitare la rete attraverso un generatore di corrente basta interporre il generatore tra due nodi del circuito. Per esempio un modo corretto di eccitare la rete elettrica di Figura 4.3.4 è quello mostrato in Figura 4.3.5.A, un modo scorretto di eccitare la rete è quello mostrato in Figura 4.3.5.B. Da queste considerazioni si deduce che le reti mostrate in Figura 4.2.1 e Figura 4.3.5.A prive di eccitazioni coincidono con la rete mostrata in Figura 4.3.4; il che vuol dire che se consideriamo per esempio l'equazione dierenziale di ordine minimo relativa alla tensione v1 (t), troveremo per entrambe le reti, un'equazione dierenziale con gli stessi coecienti ai ; tali equazioni dieriranno solamente per il secondo membro in quanto le reti sono dierentemente eccitate. Si capisce inoltre che la topologia della rete elettrica mostrata 142 4 Reti elettriche in Figura 4.3.5.B non è più quella indicata in Figura 4.3.4, e per essa troveremmo altri coecienti ai nell'equazione dierenziale di ordine minimo nella variabile di rete v1 (t). E' bene inteso che qual'ora la rete presentasse generatori pilotati, questi NON si possono azzerare in quanto rappresentano elementi di accoppiamento tra due lati della rete elettrica. Supponiamo che la rete elettrica che si vuole studiare sia priva di generatori pilotati. Una volta azzerati tutti i generatori ideali, qualunque variabile di rete y (t) sarà governata da un'equazione dierenziale omogenea a coecienti costanti tipo quella in (4.3.14). Il suo integrale generale sarà composto da termini additivi tipo quelli indicati in (4.3.20÷23). Siccome ora nella rete elettrica non ci sononè generatori ideali nè generatori pilotati, le uniche fonti di energia sono quelle dovute alle condizioni iniziali sui dispositivi a memoria. Visto che nella rete elettrica sono presenti pure resistori, i quali tensono a sottrarre energia dalla rete trasformandola in calore, il contenuto energetico della rete tenderà ad esaurirsi col tempo t tendente all'innito. Questo in altri termini vuol dire che in assenza di fonti di energia, quali i generatori ideali e i geneatori pilotati, così come per il contenuto energetico della rete, anche per tutte le grandezze di rete avremo un decadimento per t che tende all'innito. Adesso siccome una qualunque grandezza di rete, analiticamente corrisponde all'integrale generale di un'equazione dierenziale omogenea a coecienti costanti, essa potrà contenere solo alxxcuni termini delle relazioni in (4.3.20÷23). Per esempio guardando la (4.3.21), si capisce che se l'equazione caratteristica ammette una radice reale nulla, questa sarà obbligatoriamente con molteplicità 1. Una radice nulla con molteplicità maggiore di 1 darebbe luogo nell'integrale generale dell'omogenea associata ad addendi del tipo: n2 t, n3 t2 , ......, nν tν−1 tutti divergenti per t che tende all'innito e ciò vorrebbe dire che da qualche parte della rete esiste una qualche fonte di energia contrariamente a quanto detto. Guardando la (4.3.22) si capisce che lo stesso discorso si ripete per le radici immaginarie e coniugate; cioè se queste ci sono, obbligatoriamente dovranno essere con molteplicità 1, se no viceversa darebbere luogo a termini additivi nell'integrale generale divergenti per t che tende all'innito. Radici immaginarie complesse sono indice di cattiva modellazione della rete in quanto producono grandezze oscillanti che fanno riscaldare i dispositivi presenti nella rete elettrica. Guardando le relazioni in (4.3.20) e (4.3.23) è chiaro che radici reali e radici complesse e coniugate possono essere ammesse con qualunque molteplicità purchè risultino sempre con parte reale strettamente negativa: Re {λ} = δ < 0 143 (4.3.25) 4 Reti elettriche Nella Figura 4.3.6 riassumiamo le possibili radici con le corrispondenti molteplicità, che possono dare luogo all'integrale generale dell'omogenea associata qual'ora la rete elettrica risultasse priva di generatori pilotati e con i generatori ideali azzerati; in queste condizioni l'integrale generale si chiama evoluzione libera. Figura 4.3.6: radici ammesse per comporre l'integrale generale dell'omogenea 4.3.2.2 Ricerca dell'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo Vogliamo determinare l'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo nel caso generale quando le eccitazioni per la rete sono dei generatori costanti. In questo caso il secondo membro dell'equazione dierenziale di ordine minimo n X ai i=0 d i y (t) = f (t) dti (4.3.26) f (t) = K (4.3.27) è una costante: Si dimostra che se la forzante f (t) è una costante allora anche l'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo è una costante: ypart. (t) = C. Ponendo nella (4.3.25) y(t) = ypart. (t), (4.3.28) e sostituendo (4.3.26) e (4.3.27) si determina il valore della costante C: a0 C = K =⇒ C = 144 K a0 (4.3.29) 4 Reti elettriche Sostituendo (4.3.28) in (4.3.27) si ricava l'espressione dell'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo nel caso in cui la rete viene eccitata con generatori di tensione e di corrente costanti: ypart. (t) = K a0 (4.3.30) 4.3.3 Esempio Consideriamo nuovamente la rete elettica di Figura 4.2.1 che per comodità riportiamo sul foglio di questa pagina: Figura 4.3.7: rete elettrica Per determinare la tensione ai capi del capacitore occorre dunque risolvere il problema di Cauchy che si ottiene mettendo a sistema (4.3.2) (4.3.3) e (4.3.4): 2 R2 1 1 d d v (t) + + v (t) + R1 C L dt c LC 1 + dt2 c R2 d 2 = R11C dt vg (t) + RR vg (t) + LC ig (t) 1 LC vc (0) = V0 d vg (o) V0 I0 dt vc (t) |t=0 − R1 C − C + R1 C R2 R1 vc (t) = (4.3.31.1) (4.3.31.2) (4.3.31) (4.3.31.3) Posto: R1 = R2 = 1Ω, L = 1H, C = 1F il problema di Cauchy si scrive: 2 d d v (t) + 2 dt vc (t) + 2vc (t) = dt2 c = d v (t) + v (t) + i (t) (4.3.32.1) g g dt g vc (0) = V0 (4.3.32.2) d v (t) | t=0 = −V0 − I0 + vg (0) (4.3.32.3) dt c 145 (4.3.32) 4 Reti elettriche Determiniamo l'integrale generale della (4.3.32.1) L'integrale generale della (4.3.32.1) è la somma tra l'integrale generale dell'omogenea associata alla (4.3.32.1) e l'integrale particolare della (4.3.32.1): vc (t) = vcomog. (t) + vcpart. (t) (4.3.33) 4.3.3.1 Ricerca dell'integrale generale dell'omogenea associata Omogenea associata d d2 vc (t) + 2 vc (t) + 2vc (t) = 0 2 dt dt Equazione caratteristica λ2 + 2λ + 2 = 0 λ= −1 ± ( p λ1 = −1 − j 1 − (1)(2) = 1 λ2 = −1 + j Integrale generale omogenea associata vcomog. (t) = k e−t cos (t + ϕ) (4.3.34) 4.3.3.2 Ricerca dell'integrale particolare Supponiamo che la rete si trovi a regime costante e che i generatori ideali abbiano valore: vg (t) = Vg = 9V, ig (t) = Ig = 1A Visto che il termine noto della (4.3.32.1) è la costante Vg + Ig = 10, l'integrale particolare va ricercato tra le costanti. Posto vc (t) = vcpart. (t) = cost. , la (4.3.32.1) si scrive: 2vcpart. (t) = 10 da cui si ricava: vcpart. (t) = 5 4.3.3.2.1 Il signicato sico dell'integrale particolare (4.3.35) Siccome la rete elettrica di Figura 4.3.7 è abbastanza semplice, è possibile dedurre l'integrale particolare dato in (4.3.35) per altra via. Quando il tempo t tende all'innito, cioè a regime, l'evoluzione libera tende a zero e l'integrale generale dell'equazione dierenziale di ordine minimo va a coincidere con l'integrale particolare che in questo caso è costante: 146 4 Reti elettriche vc (t) = vcpart. (t) = Vc = cost. Esaurita l'evoluzione libera tutte le grandezze della rete sono costanti cos' come i generatori. d C dt Vc = 0, Se così è allora dall'equazione costitutiva del capacitore si vede che Ic = e ciò vuol dire che per t che tende all'innito a regime costante il capacitore si comporta come un circuito aperto. Analogamente dall'equazione costitutiva dell'induttore si vede che 0, d VL = L dt IL = il che vuol dire che per t che tende al- l'innito, l'induttore si comporta come un cortocircuito. Pertanto a regime la rete elettrica mostrata in Figura 4.3.7 diventa come indicato in Figura 4.3.8 nell'ipotesi in cui le sorgenti siano generatori ideali costanti. A regime costante la rete elettrica diventa puramente resistiva. vcpart. (t) = Vc resistore R2 . Tale E' ovvio che la tensione è la tensione ai capi del Figura 4.3.8: rete elettrica a regime costante tensione si può pensare come la somma di due contributi: 0 00 vcpart. (t) = Vc = Vc + Vc A (4.3.36) B Figura 4.3.9: A:agisce solo Il contributo 0 Vc Vg , B: agisce solo Vg si ha quando agisce solo il generatore Ig (il generatore di corrente è un circuito aperto) e per determinarlo basta semplicemente applicare la legge del partitore di tensione (Figura 4.3.9.A): 0 Vc = Il contributo 00 Vc R2 9 Vg = V R1 + R2 2 si ha quando agisce solo il generatore cortocircuito). Esso vale (Figura 4.3.9.B): 147 Ig (4.3.37) (il generatore di tensione è un 4 Reti elettriche 00 Vc = R2 I2 = R2 1 R1 Ig = V R1 + R2 2 (4.3.38) Sostituendo (4.3.37) e (4.3.38) in (4.3.36) si ritrova (4.3.35) 4.3.3.3 Determinazione delle costanti e k ϕ mediante le condizioni iniziali Sostituendo (4.3.34) e (4.3.35) in (4.3.33) si ricava l'integrale generale della (4.3.32.1): vc (t) = k e−t cos (t + ϕ) + 5 (4.3.39) Derivando rispetto al tempo quest'ultima espressione si ricava: Per determinare d vc (t) = −k e−t cos (ωt + ϕ) − k e−t sin (ωt + ϕ) dt le costanti k e ϕ si utilizza le condizioni iniziale date (4.3.40) in (4.3.32.2) e (4.3.32.3); supponendo che sia: vc (0) = V0 = 1V, iL (0) = I0 = 1A tali condizioni si scrivono: vc (0) = 1V (4.3.41) d V vc t=0 = −1 − 1 + 9 = 7 dt s (4.3.42) Utilizzando (4.3.41) la (4.3.39) si scrive: k cos ϕ + 5 = 1 (4.3.43) Utilizzando (4.3.42) la (4.3.40) si scrive: − k cos ϕ − k sin ϕ = 7 Risolvendo il sistema costituito dalle equazioni in (4.3.40) e (4.3.41): ( k cos ϕ + k sin ϕ = −7 k cos ϕ + 5 = 1 k e ϕ: ( ( k cos ϕ + k sin ϕ = −7 k cos ϕ = −4 =⇒ =⇒ k cos ϕ = −4 −4 + k sin ϕ = −7 ( ( k cos ϕ = −4 k 2 = 16 + 9 = 25 =⇒ =⇒ =⇒ k sin ϕ = −3 tan ϕ = 34 si determinano le costanti 148 (4.3.44) 4 Reti elettriche ( √ k = 25 = 5 =⇒ ϕ = π + arctan 34 = 3, 78509 Sostituendo inne i valori di k e ϕ (4.3.45) in (4.3.36) si ottiene l'espressione analitica della tensione ai capi del capacitore: vc (t) = 5 e−t cos (t + 3, 78509) + 5 V (4.3.46) vc (t) Figura 4.3.10: tensione 4.3.4 I controlli sulla correttezza dell'equazione dierenziale di ordine minimo E' possibile eettuare dei controlli sulla correttezza della dell'equazione dierenziale di ordine minimo: analisi dimensionale. una prima verica che è possibile eettuare è l' Con riferimento alla (4.3.31.1), siccome d2 v (t) si misura in sV2 , tutti i termini della dt2 c (4.3.2) dovrebbero avere la medesima unità di misura. Osservando che: [R1 C] = s; R2 1 = ; [LC] = s2 L s si vede subito la correttezza dal punto di vista dell'analisi dimensionale della (4.3.2). 149 4 Reti elettriche Se la rete elettrica è priva di generatori pilotati, i coecienti ai devono essere tutti positivi e tutti presenti, cioè devono esserci per tutti gli ordini di derivazione nell'equazione dierenziale di ordine minimo. Quanto detto si può facilmente dimostrare. Consideriamo l'equazione caratteristica n X ai λ i = 0 i=0 Se la rete è priva di generatori pilotati è stato detto che l'equazione caratteristica può ammettere una radice nulla con molteplicità 1, radici immaginarie e coniugate con molteplicità 1, radici reali con qualunque molteplicità purchè strettamente negative e radici complesse e coniugate con qualunque molteplicità purchè abbiano parte reale strettamente negativa. Detto ciò è ovvio che l'equazione caratteristica si può scrivere nella seguente forma fattorizzata: an · λ · (λ − δ1 ) ·ν1 ... · (λ − λp )νp · (λ − jω1 ) · (λ + jω1 ) · ... (λ − jωq ) · (λ + jωq ) · · [λ − (δ1 − jω1 )]µ1 · [λ − (δ1 + jω1 )] ·µ1 ... · [λ − (δs − jωs )] ·µs [λ − (δs + jωs )]µs = = an · λ · (λ − δ1 ) ·ν1 ... · (λ − λp )νp · λ2 + ω12 · ... · λ + ωq2 · · [λ − δ1 + jω1 ] ·µ1 [λ − δ1 − jω1 ] ·µ1 ... · [λ − δs + jωs ] ·µs [λ − δs − jωs ]µs = = an · λ · (λ − δ1 ) ·ν1 ... · (λ − λp )νp · λ2 + ω12 · ... · λ + ωq2 · h iµ1 h iµs · (λ − δ1 )2 + ω12 · ... · (λ − δs )2 + ωs2 = = an · λ · (λ + |δ1 |) ·ν1 ... · (λ + |λp |)νp · λ2 + ω12 · ... · λ + ωq2 · h iµ1 h iµs · (λ + |δ1 |)2 + ω12 · ... · (λ + |δs |)2 + ωs2 =0 ovvero: an · λ · (λ + |δ1 |) ·ν1 ... · (λ + |λp |)νp · λ2 + ω12 · ... · λ + ωq2 · h iµ1 h iµs · (λ + |δ1 |)2 + ω12 · ... · (λ + |δs |)2 + ωs2 =0 150 (4.3.47) 4 Reti elettriche I fattori presenti in (4.3.47) sono tutti polinomi positivi, inoltre la somma dei loro gradi (le molteplicità) è pari a n; da questi fatti segue che sviluppando i prodotti in (4.3.47) ne viene fuori un polinomio di grado n completo avente coecienti positivi. Normalmente l'equazione caratteristica presenta al primo membro un polinomio il cui grado minimo è zero; al più il grado minimo può essere uno e ciò avviene quando l'equazione caratteristica ammentte la radice nulla (cattiva modellazione della rete). Se la potenza minima risulta pari a due, vuol dire che ci sono stati errori nella ricavazione dell'equazione dierenziale di ordine minimo. 4.4 Risposta transitoria e risposta permanente Sappiamo che qualunque variabile di rete y (t) per un circuito lineare tempo-invariante si può scrivere sottoforma di somma di due termini: l'integrale generale dell'omogenea associata yomog. (t) e l'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo ypart. (t): y (t) = yomog. (t) + ypart. (t) (4.4.1) L'integrale generale dell'omogenea associata è una funzione del tempo che dipende dai dispositivi costituenti la rete e dal come sono connessi tra di loro (topologia del circuito), mentre l'integrale particolare è una funzione del tempo che è inuenzata dai generatori che eccitano la rete. Esso va ricercato tra le costanti se i generatori presenti nella rete sono costanti; vedremo in seguito che se i generatori sono sinusoidali allora l'integrale particolare sarà una combinazione lineare di funzioni sinusoidali che si ricaverà con il metodo dei fasori. La (4.4.1) è una prima classicazione della variabile di rete y (t) detta pure risposta. In realtà esistono altri modi per classicare la variabile di rete. Per esempio la risposta y (t) si può scrivere pure come somma di due termini chiamati rispettivamente transitoria ytras. (t) e risposta permanente yperm. (t): y (t) = ytrans. (t) + yperm. (t) risposta (4.4.2) La risposta transitoria risulta nulla per tche tende all'innito: lim ytrans. (t) = 0 (4.4.3) t→+∞ mentre la risposta permanente non si annulla per t che tende all'innito: essa contiene dei termini additivi che possono essere divergenti per t che tende all'innito, costanti oppure sinusoidali; in genere tali termini sono indotti dai generatori ideali. Nel caso particolare in cui l'equazione caratteristica ha tutte le radici con strettamente negativa (nessuna radice sull'asse immaginario): δ<0 allora possiamo dire che tutta la yomog. (t) è sicuramente 151 transitoria : parte reale 4 Reti elettriche yomog. (t) = ytrans. (t) Se i generatori sono costanti o sinusoidali, la ypart. (t) è sicuramente permanente : ypart. (t) = yperm. (t) In generale però se non risulta δ < 0 potrebbe capitare che termini additivi di yomog. (t), sono permanenti, così come se i generatori non sono costanti o sinusoidali, potrebbe capitare che termini additivi di ypart. (t) sono transitori. 4.5 Risposta con stato zero e con ingresso zero La risposta y (t) si può scrivere pure come somma di un termine dovuto solo ai generatori, e uno dovuto solo allo stato energetico iniziale della rete elettrica. Per calcolare la risposta dovuta solo ai generatori si devono considerare nullo il patrimonio energetico iniziale della rete elettrica, mentre per calcolare la risposta dovuta allo stato energetico iniziale della rete si devono azzerare tutti i generatori idealipresenti nella rete. La risposta dovuta solo ai generatori, cioè quella calcolata con lo stato energetico iniziale nullo si chiama risposta con stato zero: yS.Z. (t) La risposta dovuta solo allo stato energetico iniziale della rete, cioè quella calcolata con i generatori ideali azzerati, si chiama risposta con ingresso zero: yI.Z. (t) Sommando questi due contributi si ristabilisce la risposta y (t): y (t) = yS.Z. (t) + yI.Z. (t) (4.5.1) A sua volta la risposta con stato zero si può intendere come la somma di un numero di risposte pari al numero di generatori presenti nella rete elettrica e la risposta con ingresso zero come la somma di un numero di risposte pari al numero di condizioni iniziali sullo stato energetico della rete. Se consideriamo nuovamente la rete elettrica mostrata in Figura 4.3.7 poichè sono presenti 2 generatori, la risposta con stato zero si può intendere come somma di due contributi: quello dovuto al generatore vg (t) e quello dovuto al generatore ig (t). Inoltre poichè sono presenti due dispositivi a memoria, la risposta con ingresso zero si può intendere come somma tra il contributo dovuto alla condizione iniziale sul capacitore e la condizione iniziale sull'induttore. Pertanto per la rete su suddetta la risposta y (t) risulta essere: y (t) = yS.Z.1 (t) + yS.Z.2 (t) + yI.Z.1 (t) + yI.Z.2 152 (4.5.2) 4 Reti elettriche Le classicazioni fatte in (4.4.1), (4.4.2), (4.5.1), (4.5.2) ovviamente sono tutte possibili purchè il circuito elettrico sia lineare. In realtà la distinzione tra ingressi e stato può essere superata in quanto è possibile trasformare le condizioni iniziali sui dispositivia memoria in generatori equivalenti (ve- dremo che questo fatto equivale a soddisfare il teorema di sostituzione). Se teniamo conto dell'equazione costitutiva del capacitore in forma integrale: 1 vc (t) = vc (0) + C ˆ t 0 1 ic (τ ) dτ = V0 + C ˆ t ic (τ ) dτ (4.5.3) 0 possiamo immaginare il capacitore come la serie costituita da un generatore ideale di tensione costante V0 e da un capacitore scarico. Figura 4.5.1: generatore di tensione equivalente Analogamente se teniamo conto dell'equazione costitutiva dell'induttore in forma integrale: 1 iL (t) = iL (0) + L ˆ t 0 1 vL (τ ) dτ = I0 + L ˆ t ic (τ ) dτ (4.5.4) 0 possiamo immaginare l'induttore come il parallelo costituito da un generatore ideale di corrente costante I0 e da un induttore scarico. Figura 4.5.2: generatore di corrente equivalente Fatte queste osservazioni, il circuito elettrico mostrato in Figura 4.3.7 risulta equivalente alla rete mostrata in Figura 4.5.3. 153 4 Reti elettriche Figura 4.5.3: rete elettrica equivalente 4.6 Metodi integrali Fino ad ora abbiamo capito che trovare una variabile direte ( tensione o corrente di lato) equivale a risolvere un problema di Cauchy. Il fatto che le equazioni di Maxwell si presentano sia in forma dierenziale che in forma integrale ci suggerisce che pure per le reti elettriche esiste questa dualità; ossia se una variabile di rete si può determinare mediante la risoluzione di un'equazione dierenziale, si può determinare pure attraverso una relazione integrale. Figura 4.6.1: rete lineare tempo invariante (L.T.I.) Si vuole determinare la generica variabile di y (t) di una rete lineare tempo-invariante attraverso metodi integrali. La rete elettrica può essere vista come un sistema costituito da dispositivi lineari tempo-invariante come ad esempio resistori, capacitori, induttori, induttori mutuamente accoppiati, trasformatori ideali e generatori pilotati, eccitato mediante generatori variabili nel tempo vg (t), ig (t) e da generatori costanti V0 , I0 equivalenti alle condizioni iniziali sullo stato energetico della rete elettrica (Figura 4.6.1). Tanto per chiarire le vg (t), la risposta in uscita sarà y1 (t), se sollecitiamo la rete elettrica con la corrente ig (t), la risposta in uscita sarà y2 (t) e così idee, se sollecitiamo la rete elettrica con la tensione via. 154 4 Reti elettriche Naturalmente se la rete elettrica fosse eccitata da N sorgenti, la risposta y (t) risul- terebbe la sovrapposizione di N risposte. Facendo agire uno alla volta i generatori presenti nella rete elettrica signicherebbe studiare il circuito N-volte e ciò ovviamente è un disastro dal punto di vista computazionale (perchè per risolvere una rete elettrica occorre fare molti calcoli?). Pertanto quando si studia una rete elettrica si cerca di evitare l'uso della sovrapposizione salvo casi molto semplici. Si osservi inoltre che non è detto che sia possibile applicare sempre la sovrapposizione; essa si può applicare soltanto se la rete elettrica trattata è lineare; basta avere in una rete elettrica un dispositivo non lineare (per esempio un diodo) e non si può più applicare la sovrapposizione. In una rete come quella mostrata in Figura 4.6.1, se agissero soltanto i generatori ideali la risposta in uscita sarebbe quella a stato zero; viceersa se agissero soltanto i generatori equivalenti agli stati energetici dei dispositivi a memoria, la risposta in uscita sarebbe quella con ingresso zero. 4.6.1 Integrale di convoluzione e risposta all'impulso Si vuole determinare la risposta con stato zero (tutti i dispositivi a memoria presenti nella rete elettrica scarichi) di una particolare rete elettrica sollecitata da un unico ingresso x (t) come indicato in Figura 4. Figura 4.6.2: rete lineare tempo invariante (L.T.I.) con stato zero (S.Z) Dalla conoscenza della rete elettrica L.T.I. con S.Z. e dalla conoscenza della sollecitazione x (t) è possibile determinare la risposta con stato zero y (t) = yS.Z. (t) (ovvero l'integrale generale dell'omogenea associata se tutte le radici dell'equazione caratteristica sono con parte reale strettamente negativa) a partire da una relazione integrale detta integrale di convoluzione. lecitazione è x (t), Per determinare la risposta con stato zero, quando la sol- quello che si fa, innanzitutto è sollecitare la rete elettrica, anzichè x (t), con una forma d'onda canonica come per esempio la delta di Diràc δ (t): la risposta h (t) in corrispondenza della sollecitazione δ (t) si chiama risposta all'impulso e con rappresenta una evoluzione libera, cioè un segnale che è nullo per t<0 e che tende a zero per t tendente all'innito se la rete elettrica conserva la proprietà di essere L.T.I. con S.Z. (Figura 4.6.3) Nota la risposta all'impulso h (t), mediante l'integrale di convoluzione, si trova la risposta con stato zero: 155 4 Reti elettriche Figura 4.6.3: rete lineare tempo invariante (L.T.I.) con stato zero (S.Z) ˆ t x (τ ) h (t − τ ) dτ y (t) = yS.Z. (t) = (4.6.1) 0 4.6.1.1 Signicato sico dell'integrale di convoluzione Per conscere la risposta y (t) = yS.Z. (t) conoscere tutto il passato signicativo τ al tempo t − τ, all'istante di tempo t,cioè nel della sollecitazione x (t) presente, occorre e la risposta all'impulso cioè a quell'istante di tempo che si ottiene sottraendo al presente tutto il passato Figura 4.6.4: sollecitazione x (τ ) e risposta all'impulso h (t) 4.6.1.2 Dimostrazione dell'integrale di convoluzione Per dare una dimostrazione dell'integrale di convoluzione si parte dall'idea che se eccitiamo la rete elettrica L.T.I con S.Z Figura 4.6.5: risposta all'impulso di durata nita 156 4 Reti elettriche con l'impulso di durata nita τ → +∞ p∆ (τ ), h∆ (τ ) nulla per τ → 0 p∆ (τ ) → δ (t) si avrà che si avrà una risposta e di conseguenza passando al limite per e h∆ (τ ) → h (τ ) Osserviamo na da subito che se l'ingresso è una combinazione lineare di impulsi di durata nita tra di loro traslati, si avrà che la risposta è una combinazione lineare di risposte egualmente tralate con gli stessi coecienti: Figura 4.6.6: risposta all'impulso di durata nita Tale proprietà risulta valida purchè la rete elettrica si L.T.I. Grazie alla proprietà su citata si cerca di scrivere l'ingresso x (t) in una combinazione lineare di implulsi di durata nita. Se si vuole conoscere la risposta τ =t y (τ ) = yS.Z. (τ ) si deve scomporre l'intervallo di osservazione all'ingresso [0, t] x (τ ) all'istante di tempo in N intervalli tutti uguali tra di loro cioè di ampiezza ∆= t N Ovviamente più grande è il numero di intervalli N, tanto migliore sarà l'approssimazione dell'ingresso x (τ ) mediante gli impulsi di durata nita. Figura 4.6.7: ingresso x (τ )scomposto 157 in impulsi di durata nita 4 Reti elettriche Facendo riferimento alla rappresentazione mostrata in Figura 4.6.7 possiamo scrive: x (τ ) = x (0) p4 (τ ) ∆+x (∆) p∆ (τ − ∆) ∆+......+x ((N − 1) ∆) p4 (τ − (N − 1) ∆) ∆ = = N −1 X x (k∆) p∆ (τ − k∆) ∆ (4.6.2) k=0 Per la proprietà vista prima si avrà che la risposta y (τ ) è la seguente combinazione lineare: y (τ ) = N −1 X x (k∆) h∆ (τ − k∆) ∆ k=0 Quest'ultima al tempo τ =t vale: y (t) = N −1 X x (k∆) h∆ (t − k∆) ∆ k=0 Per N → +∞ si avrà che ∆ → dτ , Pn−1 k=0 .∆ → ˆ ´ +∞ 0 (4.6.3) . dτ, k4 → τ e la (4.6.3) si scrive: +∞ x (τ ) h (t − τ ) dτ y (t) = yS.Z. (t) = (4.6.4) 0 Inne poichè nell'intervallo funzione x (τ ) non risulta ]0, +∞[ denita, la da (4.6.4) segue l'integrale di convoluzione dato in (4.6.1). Secondo (4.6.1) si ha che per conoscere la risposta con S.Z all'ingresso x (t) och (t) corre conoscere la risposta all'impulso al tempo t − τ; cioè la risposta all'impulso caratterizza la rete elettrica cos' come i coecienti ai e bj Figura 4.6.8: algoritmi di passaggio dell'equazione dierenziale di ordine minimo. Quindi i coecienti all'impulso h (t) ai e bj dell'equazione dierenziale di ordine minimo e la risposta sono informazioni semanticamente equivalenti, nel senso che entrambe permettono di ricavare l'espressione analitica di una qualunque variabile di rete, anche se sintatticamente dierenti. Siccome entrambe le informazioni permettono di scrivere l'espressione di una qualunque variabile di rete è evidente allora che esistono degli di ricavare dai coecienti all'impulso h (t), ai i coecienti bj la risposta ai e bj : e 158 algoritmi di passaggio che permettono all'impulso h (t) e viceversa dalla risposta 4 Reti elettriche Nella prossima sezione si vedrà come sia possibile ricavare dall'equazione dierenziale di ordine minimo, in una qualunque variabile di rete, la risposta all'impulso mediante il metodo del bilanciamento delle funzioni singolari (B.F.S.). E' possibile ricavare la risposta all'impulso a partire dall'equazione dierenziale di anti-trasformata di Laplace, mentre il passaggio inverso trasformata di Laplace; in Figura 4.6.9 viene schematizzato quanto ordine minimo anche mediante l' è possibile mediante la detto. Figura 4.6.9: algoritmi di passaggio 4.6.1.3 Metodo del bilanciamento delle funzioni singolari Facciamo vedere come ricavare la risposta all'impulso a partire dall'equazione dierenziale di ordine minimo mediante il metodo del bilanciamento delle funzioni singolari. Consideriamo la rete elettrica mostrata in Figura 4.6.10: Figura 4.6.10: rete elettrica a singolo ingresso Si osservi che tale rete è quella mostrata in Figura 4.1.2, priva del generatore ideale di corrente ig (t) . 159 4 Reti elettriche Si tratta di una particolare rete avente una sola eccitazione; siccome si vuole calcolare la risposta all'impulso, tale rete deve essere a S.Z. cioè con contenuto energetico iniziale nullo. Si deve considerare una qualunque variabile di rete e scrivere per essa l'equazione dierenziale di ordine minimo. Se come variabile di rete si prende in esame la tensione ai capi del capacitore, vc (t), il problema si può schematizzare come mostrato in Figura 4.6.11: Figura 4.6.11: rete elettrica a singolo ingresso Nell'ipotesi che tutti i componenti del circuito siano unitari (come mostrato in Figura 4.6.9) l'equazione dierenziale di ordine minimo nella variabile di rete (4.3.32.1) avendo posto vc (t) è l'espressione ig (t) = 0A: d2 d d vc (t) + 2 vc (t) + 2vc (t) = vg (t) + vg (t) dt2 dt dt (4.6.5) Se la rete elettrica viene eccitata mediante l'impulso di Diràc: vg (t) = δ (t) la tensione ai capi del capacitore vc (t) (4.6.6) sarà una delle risposte all'impulso della rete elettrica: vc (t) = h (t) (4.6.7) La delta di Diràc interviene sulla rete elettrica all'istante t=0 s fornendo una quantità nita di energia; si ha la seguente situazione. t = 0− s la delta di Diràc trova la rete elettrica allo stato zero, all'istante di tempo t = 0 s interviene fornendo al circuito una certa quantità di energia + che a partire dall'istante t = 0 s si va scemando facendo ritornare la rete allo stato zero All'istante di tempo per evoluzione libera. Per il fatto che la delta di Diràc è capace di fornire alla rete elettrica una energia nita in un tempo nullo (ciò vuol dire che la potenza fornita dalla delta di Diràc al circuito è innita) si ha che la tensione ai capi del capacitore e la corrente che attraversa l'induttore sono funzioni del tempo discontinue in t=0 s. Se il circuito è eccitato mediante la deltà di Diràc, l'equazione dierenziale di ordine minimo data in (4.6.5) si scrive: 160 4 Reti elettriche d d d2 h (t) + 2 h (t) + 2h (t) = δ (t) + δ (t) 2 dt dt dt (4.6.8) Come prima spiegato, la risposta all'impulso è un'evoluzione libera che inizia all'istante di tempo nullo, ossia all'istante in cui interviene la delta di Diràc. Siccome la risposta integrale generale dell'omogenea all'impulso è un'evoluzione libera per t>0, essa sarà l' associata : h (t) = ke−t cos (t + ϕ) · u (t) (N.B. la presenza di u (t) (4.6.9) marca il fatto che la risposta all'impulso è valida per t>0). A questo punto chi ci assicura che all'istante di tempo t=0 s, la risposta all'impulso possa contenere delle delta di Diràc o addirittura delle sue derivate? Nessuno!! Bisogna quindi ipotizzare che nella risposta all'impulso ci siano pure la delta di Diràc e le sue derivate successive. Per semplicità supponiamo che nella risposta all'impulso compaiono solo la delta di Diràc e la sua derivata prima: 0 h (t) = ke−t cos (t + ϕ) · u (t) + C0 δ (t) + C1 δ (t) (4.6.10) Derivando rispetto al tempo la (4.6.10) si ottiene: 0 0 00 h (t) = −ke−t [cos (t + ϕ) + sin (t + ϕ)] · u (t) + ke−t cos (t + ϕ) δ (t) + C0 δ (t) + C1 δ (t) Applicando la proprietà del campionamento quest'ultima espressione si scrive: 0 0 00 h (t) = −ke−t [cos (t + ϕ) + sin (t + ϕ)] · u (t) + k cos ϕδ (t) + C0 δ (t) + C1 δ (t) (4.6.11) Derivando rispetto al tempo la (4.6.11) si ottiene: 00 h (t) = 2ke−t sin (t + ϕ) · u (t) − ke−t [cos (t + ϕ) + sin (t + ϕ)] δ (t) + 0 00 000 +k cos ϕδ (t) + C0 δ (t) + C1 δ (t) Applicando la proprietà del campionamento quest'ultima espressione si scrive: 00 h (t) = 2ke−t sin (t + ϕ) · u (t) − k (cos ϕ + sin ϕ) δ (t) + 0 00 000 + k cos ϕδ (t) + C0 δ (t) + C1 δ (t) Sostituendo (4.6.10) (4.6.11) e (4.6.12) in (4.6.8) si ottiene: 161 (4.6.12) 4 Reti elettriche 0 00 000 (k cos ϕ − k sin ϕ + 2C0 ) δ (t)+(k cos ϕ + 2C0 + 2C1 ) δ (t)+(c0 + 2C1 ) δ (t)+(C1 ) δ (t) = 0 = δ (t) + δ (t) Applicando il principio di identità dei polinomi a quest'ultima uguaglianza si ricava il sistema risolvente: k cos ϕ − k sin ϕ + 2C0 = 1 k cos ϕ + 2C + 2C = 1 0 1 C0 + 2C1 = 0 C = 0 1 che permette di determinare le costanti k , ϕ, C0 e C1 : k=1 ϕ = 0 C0 = 0 C = 0 1 (4.6.13) Sostituendo (4.6.13) in (4.6.10) si ottiene l'espressione analitica della risposta all'impulso: h (t) = e−t cos t · u (t) Figura 4.6.12: risposta all'impulso (4.6.14) hvc (t) In Figura 4.6.12 viene mostrato il graco della risposta all'impulso data in (4.6.14). Si può osservare che per t=0 s la tensione ai capi del capacitore è discontinua: 162 4 Reti elettriche vc 0− = 0 vc (0+) = vc (0) = 1 V Ciò vuol dire che all'istante t=0 s, il capacitore ha accumulato l'energia: 1 ε (0) = Cvc2 (0) = 1 J 2 (4.6.15) Si può osservare inoltre che per t che tende all'innito la tensione ai capi del capacitore è in evoluzione libera. Vale la seguente REGOLA: Se l'ordine di derivazione n del pri- mo membro dell'equazione dierenziale di ordine minimo è maggiore dell'ordine di derivazione m del secondo membro, allo- ra la risposta all'impulso non conterrà nè delte di Diràc nè derivate della delta di Diràc. Se l'ordine di derivazione mo membro dell'equazione n del pri- dierenziale di ordine minimo è uguale alll'ordine di derivazione m del secondo membro, allo- ra la risposta all'impulso conterrà la delta di Diràc centrata in t=0 s. Se l'ordine di derivazione n del pri- mo membro dell'equazione dierenziale di ordine minimo derivazione m è minore dell'ordine Figura 4.6.13: rete elettrica eccitata mediante impulso di Diràc di del secondo membro, allo- ra la risposta all'impulso conterrà un numero di derivate della delta di Diràc pari a m − n. E' stata così ricavata la risposta all'impulso partendo dall'equazione dierenziale di ordine minimo utilizzando il metodo del bilanciamento delle funzioni singolari; in realtà è possibile arrivare alla risposta all'impulso per altre vie. Per esempio dato che δ (t) = lim p∆ (t) ∆→0 p4 (t) ottenendo ∆ → 0 si ricava la possiamo eccitare la rete elettrica mediante l'impulso di durata nita così la risposta h∆ (t). Nota quest'ultima passando al limite per risposta all'impulso: h (t) = lim h∆ (t) ∆→0 4.6.1.3.1 Le risposte all'impulso per un circuito elettrico Una rete elettrica contiene tante risposte all'impulso quante sono le variabili di rete: per una rete formata da L lati allora ci saranno 2L risposte all'impulso. 163 4 Reti elettriche L'espressione (4.6.14) è una delle risposte all'impulso del circuito mostratoin Figura (4.6.10); essa rappresenta la tensione ai capi del capacitore. Siccome potremmo pure ricavare le risposte all'impulso per le altre variabili di rete è conveniente sostituire nella (4.6.14) ,al simbolo h (t), il simbolo hvc (t): hvc (t) = e−t cos t · u (t) Si vuole adesso determinare la risposta hiL (t) (4.6.16) in quanto l'induttore è un altro dispos- itivo in grado di accumulare energia. osserviamo innanzirurro che sfruttando l'equazione costitutiva del capacitore possiamo ricavare la corrente che lo attraversa: hic (t) = C d hv (t) = −e−t [(cos t + sin t) u (t) − δ (t)] dt c (4.6.17) Considerando il circuito mostrato in Figura 4.6.13 si vede che: hi1 (t) = δ (t) − hvc (t) = δ (t) − hvc (t) R1 (4.6.18) Sostituendo (4.6.16) in (4.6.18) si ottiene: hi1 (t) = δ (t) − e−t cos t · u (t) (4.6.19) Inne scrivendo la LKI al nodo 2 e utilizzando le espressioni trovate in (4.6.17) e (4.6.19) si ottiene l'espressione della risposta hiL (t): hiL (t) = hi1 (t) − hic (t) = δ (t) − e−t cos t · u (t) + e−t cos t · u (t) + e−t sin t · u (t) − e−t δ (t) = δ (t) + e−t sin t · u (t) − e−t δ (t) = = e−t sin t · u (t) In Figura 4.6.14 è riportata la rappresentazione graca della risposta (4.6.20) hiL (t): Si osservi che per t=0 s la corrente che attraversa l'induttore è continua: iL 0− = iL 0+ = iL (0) = 0 A Va detto che in generale ciò non accade se la sollecitazio per il circuito è la delta di Diràc. Ciò vuol dire che all'istante t=0 s, l'induttore non ha accumulato energia: 1 ε (0) = Li2L (0) = 0 J 2 (4.6.21) Dai risultati in (4.6.15), (4.6.21) è evidente che all'istante t=0 s l'energia viene tutta accumulata istantaneamente dal capacitore, mentre l'energia accumulata dall'induttore è nulla. 164 4 Reti elettriche Figura 4.6.14: risposta all'impulso Osservando (4.6.17) si vede che la risposta hiL (t) hiL (t) contiene una delta di Diràc e ciò vuol dire che essa viene fuori da una equazione dierenziale di ordine minimo il cui secondo membro ha lo stesso ordine di derivazione del primo membro, ossia 4.6.1.3.2 Analisi energetica della rete n = m = 2. Per descrivere lo stato energetico della rete elettrica basta predisporre sugli assi di un sistema cartesiano le variabili energetiche hvc (t) e hiL (t); il graco che ne viene fuori si chiama traiettoria di stato del sistema. Per t=0 le relazioni in (4.6.16) e (4.6.20) forniscono: hvC (0) = 1 V Per t = hIL (0) = 0 A π 2 le relazioni in (4.6.16) e (4.6.20) forniscono: hvC (0) = 0 V Per t = +∞ hIL (0) = 0208 A le relazioni in (4.6.16) e (4.6.20) forniscono: hvC (0) = 1 V hIL (0) = 0 A Figura 4.6.15: traiettoria di stato Ne segue che la traiettoria di stato del circuito elettrico analizzato è quella mostrata in Figura 4.6.15. 165 4 Reti elettriche 4.6.2 Integrale di Duhamel e risposta al gradino 4.6.2.1 Risposta al gradino Eccitando la rete elettrica attraverso un gradino unitario si chiama risposta al gradino g (t): u (t), la risposta con stato zero Figura 4.6.16: risposta al gradino h (t) si può scrivere in termini della risposta Facciamo vedere che la risposta all'impulso al gradino g (t). Supponiamo di eccitare la rete elettrica attraverso l'impulso di durata nita p∆ (t), che come sappiamo si può scrivere come combinazione lineare di gradini unitari: p∆ (t) = Se l'eccitazione p∆ (t) 1 1 u (t) − u (t − ∆) ∆ ∆ è una combinazione lineare di gradini, la risposta (4.6.22) h∆ (t) sarà una combinazione lineare di risposte al gradino: h∆ (t) = Passando al limite per h (t) ∆→0 1 1 g (t) − g (t − ∆) ∆ ∆ (4.6.23) quest'ultima espressione fornisce la risposta all'impulso in termini della risposta al gradino g (t): g (t) − g (t − ∆) d = g (t) ∆→0 ∆ dt h (t) = lim h∆ (t) = lim ∆→0 ovvero: d g (t) dt h (t) = (4.6.24) Secondo (4.6.24) la risposta all'impulso è la derivata prima rispetto al tempo della risposta al gradino. Invertendo (4.6.24) si ottiene la risposta al gradino in termini della risposta all'impulso: ˆ t g (t) = h (τ ) dτ 0− 166 (4.6.25) 4 Reti elettriche Le formule in (4.6.24) e (4.6.25) rappresentano rispettivamente gli algoritmi di passaggio dalla risposta al gradino alla risposta all'impulso e dalla risposta all'impulso alla risposta al gradino. In Figura 4.6.17 viene mostrato lo schema logico che mostra gli algoritmi di passaggio dalla risposta al gradino alla risposta all'impulso e viceversa, nonchè gli algoritmi di passaggio dalla risposta al gradino ai coecienti ai , bj dell'equazione dierensiale di ordine minimo, e viceversa. Figura 4.6.17: algoritmi di passaggio Eccitando la rete elettrica mostrata in Figura 4.6.10 con il gradino unitario, u (t), l'equazione dierenziale di ordine minimo relativa alla tensione vc (t) vg (t) = si scrive: d2 d d g (t) + g (t) + 2g (t) = u (t) + u (t) 2 dt dt dt Quest'ultima per la (3.2.10) si scrive: d2 d g (t) + g (t) + 2g (t) = δ (t) + u (t) 2 dt dt (4.6.26) Si trova facilmente che l'integrale generale dell'omogenea associata è: gomog. (t) = ke−t cos (t + ϕ) u (t) (4.6.27) Per t>0 è possibile determinare l'integrale particolare della (4.6.26) poichè per t>0 il gradino non è nulllo (si noti che per t>0 la δ (t) è nulla). Visto che il gradino unitario è una costante l'integrale particolare di (4.6.26) va ricercato tra le costanti; si trova banalmente che 1 gpart. (t) = u (t) 2 167 (4.6.28) 4 Reti elettriche Sommando i contributi in (4.6.27) e (4.6.28) si ricava l'integrale generale della (4.6.26): 1 g (t) = ke−t cos (t + ϕ) u (t) + u (t) 2 (4.6.29) Come per la risposta all'impulso, anche per la risposta al gradino, si applica il metodo delle funzioni singolari. Pertanto supponiamo, per semplicità, che la risposta al gradino (4.6.29) contenga una delta di Diràc: 1 g (t) = ke−t cos (t + ϕ) u (t) + u (t) + C0 δ (t) 2 (4.6.30) Derivando rispetto al tempo la (4.6.30) si ricava: 0 −t g (t) = −ke 1 0 δ (t) + C0 δ (t) [cos (t + ϕ) sin (t + ϕ)] u (t) + k cos ϕ + 2 (4.6.31) Derivando rispetto al tempo la (4.6.31) si ricava: 00 g (t) = 2ke −t 1 0 00 sin (t + ϕ) u (t) − k (cos ϕ + sin ϕ) δ (t) + k cos ϕ + δ (t) + C0 δ (t) 2 (4.6.32) Sostituendo (4.6.30) (4.6.31) e (4.6.32) in (4.6.26) si ottiene: 1 0 00 δ (t)+C0 δ (t) = u (t)+δ (t) u (t)+(k cos ϕ − k sin ϕ + 2C0 + 1) δ (t)+ k cos ϕ + 2C0 + 2 Applicando il principio di identità dei polinomi a quest'ultima uguaglianza si ricava il sistema risolvente: k cos ϕ − k sin ϕ + 2C0 + 1 = 1 k cos ϕ + 2C0 + 21 = 0 C0 = 0 che permette di determinare le costanti k , ϕ e C0 : 1 k cos ϕ = − 2 k sin ϕ = − 12 C0 = 0 Figura 4.6.18: circonfenza goniometrica √ 2 k = 2 ⇒ tan ϕ = 1 C0 = 0 (4.6.33) Per determinare riportati i valori di ϕ dall'equazione tan ϕ = 1, basta k cos ϕ e k sin ϕ. Si capisce che: 168 osservare Figura 4.6.18 dove sono 4 Reti elettriche ϕ=π+ π 5 = π 4 4 (4.6.34) Tenendo conto dei valori dei coecienti trovati la (4.6.30) si scrive: "√ g (t) = # 2 −t 5 1 u (t) e cos t + π + 2 4 2 (4.6.35) Figura 4.6.19: risposta al gradino E' possibile vericare la correttezza della (4.6.35), infatti sostituendola in (4.6.24) ,si dovrebbe ottenere la (4.6.14). Verica della correttezza della (4.6.35) Sostituendo (4.6.35) in (4.6.24) si ha: ( √ ) 2 −t 5 5 − u (t) + e cos t + π + sin t + π 2 4 4 1 √ −t 5 + 2e cos t + + 1 δ (t) 2 4 d h (t) = g (t) = dt Per la proprietà del campionamento quest'ultima espressione si scrive: d h (t) = g (t) = dt ( √ (√ ) ) 5 5 5 1 2 −t 2 − e cos t + π + sin t + π cos + u (t)+ δ (t) = 2 4 4 2 4 2 169 4 Reti elettriche ) √ ! 1 2 − + δ (t) = 2 2 ( √ = (√ ) 5 2 −t 5 2 cos t + π + sin t + π − e u (t) + 2 4 4 2 "√ ( √ #) 2 5 2 5 cos t + π + sin t + π u (t) 2 4 2 4 −t −e = Posto: √ 2 π π = cos = sin 2 4 4 quest'ultima espressione si scrive: h (t) = −t −e π 5 π 5 cos cos t + π + sin sin t + π u (t) 4 4 4 4 Per la formula di sottrazione del coseno, quest'ultima espressione si scrive: h (t) = −t −e cos 5 π −t− π 4 4 u (t) = −e−t cos (−t − π) u (t) = = −e−t cos (t + π) u (t) = −e−t [− cos t] u (t) = = e−t cos t u (t) e con ciò è stata ritrovata la (4.6.14) 4.6.2.2 Integrale di Duhamel Come detto in precedenza, conoscendo la risposta all'impulso la risposta y (t) a qualunque altro ingresso x (t) h (t), è possibile conoscere integrale di convoluzione, utilizzando l' che può essere scritto in una forma più generale rispetto a quella introdotta in (4.6.1): ˆ t+ x (τ ) h (t − τ ) dτ y (t) = yS.Z (t) = (4.6.36) 0− t = 0− In questa forma, l'estremo di integrazione sta ad indicare che nella risposta all'impulso, all'istante t=0 può intervenire una delta di Diràc; analogamente l'estremo di integrazione t = t+ sta ad indicare che nella risposta all'impulso, all'istante t può intervenire una delta di Diràc. Conoscendo la risposta al gradino altro ingresso x (t) g (t), è possibile conoscere la risposta y (t) a qualunque integrale di Duhamel : utilizzando l' ˆ y (t) = yS.Z (t) = t+ 0− d x (τ ) g (t − τ ) dτ dτ 170 (4.6.37) 4 Reti elettriche Sviluppando per parti l'integrale in (4.6.37) è facile vericare che le relazioni in (4.6.36) e (4.6.37) sono equivalenti: ˆ y (t) = yS.Z (t) = t+ 0− ˆ t+ + d d x (τ ) g (t − τ ) dτ = x (τ ) g (t − τ ) dτ = [x (τ ) g (t − τ )]t0− − dτ dτ − 0 ˆ + =x t + g t−t −x 0 − t+ x (τ ) h (t − τ ) (−1) dτ = g (t) − 0− ˆ =x t + t+ 0 − 0 g (t) + x (τ ) h (t − τ ) dτ = 0− ˆ t+ x (τ ) h (t − τ ) dτ = 0− 4.6.2.3 Integrale di Duhamel nel caso di sollecitazione Supponiamo che l'ingresso x (t) x (t) discontinua in t=0 s sia discontinuo in t=0 s e che abbia un andamento del tipo mostrato in Figura 4.6.20: Figura 4.6.20: sollecitazione discontinua in t=0 s Visto che la sollecitazione x (t) presenta una discontinuità, il modo migliore per calco- larne la derivata prima è inquadrarla nelll'ambito delle distribuzioni. La derivata prima x (t) nell'ambito delle distribuzioni risulta uguale alla derivata ordinaria della stessa, ossia quella nel senso delle funzioni più la delta di Diràc concentrata 0 nel punto di discontinuità moltiplicata per il salto della funzione che in questo caso è x (0+ ): d 0 x (t) = x 0+ δ (t) + x (t) u (t) dt (4.6.38) Nel caso di sollecitazioni discontinue l'integrale di Duhamel si scrive: ˆ y (t) = yS.Z (t) = t+ 0 x (τ ) g (t − τ ) dτ 0− 171 (4.6.39) 4 Reti elettriche Utilizzando (4.6.38) la (4.6.39) si scrive: ˆ t+ d + x 0 δ (τ ) + y (t) = yS.Z (t) = x (τ ) u (τ ) g (t − τ ) dτ = dτ 0− ˆ t+ d + x 0 δ (τ ) + = x (τ ) u (τ ) g (t − τ ) dτ = dτ 0− ˆ ˆ t+ + = x 0 t+ g (t − τ ) δ (τ ) dτ + 0− 0− d x (τ ) u (τ ) g (t − τ ) dτ dτ Applicando il teorema del campionamento a quest'ultima espressione si ricava la formula generale dell'integrale di Duhamel: ˆ y (t) = yS.Z. (t) = ˆ ˆ t+ 0− 0− ˆ t+ t+ x 0+ g (t) δ (τ ) dτ + = 0− 0− ˆ =x 0 + t+ x 0+ g (t) δ (τ ) dτ + ˆ t+ g (t) t+ δ (τ ) dτ + 0− ˆ 0− t+ = x 0+ g (t) + 0− d x (τ ) u (τ ) g (t − τ ) dτ = dτ d x (τ ) u (τ ) g (t − τ ) dτ = dτ d x (τ ) u (τ ) g (t − τ ) dτ = dτ d x (τ ) g (t − τ ) dτ dτ ovvero: ˆ + y (t) = yS.Z. (t) = x 0 t+ g (t) + 0− d x (τ ) g (t − τ ) dτ dτ (4.6.40) 4.6.2.4 Signicato sico dell'integrale di Duhamel Supponiamo che la rete elettrica sia eccitata mediante un ingresso x (t) discontinuo in y (t) a partire dalla risposta al g (t). + Il segnale x (t) si può pensare come la somma tra un gradino di ampiezza nita x (0 ): t=0 s e che si voglia calcolare una qualunque risposta gradino x 0+ u (t) che descrive la discontinuità pert=0 s e un insieme di gradini di ampiezza innitesima dx (τ ) del tipo: dx (τ ) u (t − τ ) x (t) da 0 a t (Figura 4.6.21) Quindi la risposta y (t) al tempo t è la sovrapposizione + La risposta al gradino x (0 ) u (t) è ovviamente: che discretizzano 172 di due termini. 4 Reti elettriche Figura 4.6.21: discretizzazione di x (t) y1 (t) = x 0+ g (t) La risposta al gradino elementare dx (τ ) u (t − τ ) (4.6.41) vale invece: dy2 (τ ) = dx (τ ) g (t − τ ) Tenendo conto che il dierenziale della funzione x nel punto (4.6.42) τ vale: 0 dx (τ ) = x (τ ) dτ la (4.6.42) si scrive: 0 dy2 (τ ) = x (τ ) g (t − τ ) dτ ovvero: d x (τ ) g (t − τ ) dτ dτ tipo (4.6.43) per ogni τ ∈ ]0, t] dy2 (τ ) = Sommando tutti i contributi del ˆ ˆ y2 (t+ ) 0− dy2 (τ ) = 0 t (4.6.43) si ottiene: d x (τ ) g (t − τ ) dτ dτ ovvero: ˆ y2 (t) = t+ 0− d x (τ ) g (t − τ ) dτ dτ (4.6.44) Sommando i contributi in (4.6.40) e (4.6.44) si ricompone l'integrale di Duhamel. 173 4 Reti elettriche 4.7 Regime sinusoidale 4.7.1 Ricerca dell'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo (metodo dei fasori) n nella variabile di rete generica x (t): Consideriamo l'equazione dierenziale di ordine minimo y (t) nel caso di rete eccitata con un singolo ingresso n X i=0 m X dj di ai i y (t) = bj j x (t) = f (t) dt dt e supponiamo che l'ingresso (4.7.1) j=0 x (t) sia sinusoidale: x (t) = X cos (ωt + ϕ) (4.7.2) x (t) è un segnale sinusoidale di pulsazione ω anche f (t) è un segnale pulsazione ω : Si dimostra che se sinusoidale di f (t) = m X bj j=0 dj x (t) = F cos (ωt + ψ) dtj (4.7.3) Per dimostrare la (4.7.3) basta vericare le due seguenti proprietà: Proprietà 1 Le derivate successive di un segnale sinusoidale avente pulsazione ω soidali aventi la medesima pulsazione. Si ha facilmente: x (t) = X cos (ωt + ϕ) d π x (t) = −ωX sin (ωt + ϕ) = ωX cos ωt + ϕ + dt 2 d2 π π 2 x (t) = ω X cos ωt + ϕ + + dt2 2 2 . . . . . dm π m x (t) = ω X cos ωt + ϕ + m dtm 2 174 sono segnali sinu- 4 Reti elettriche Proprietà 2 La combinazione lineare di segnali sinusoidali aventi pulsazione ω è un segnale sinusoidale avente la medesima pulsazione. Dimostrazione. Consideriamo i segnali sinusoidali a (t) = A cos (ωt + ϕ) e b (t) = B cos (ωt + ψ) in combinazione lineare: k1 a (t) + k2 b (t) (4.7.4) Applicando la formula di addizione del coseno la (4.7.4) si scrive: k1 a (t) + k2 b (t) = k1 A cos (ωt + ϕ) + k2 B cos (ωt + ψ) = = k1 A cos ωt cos ϕ − k1 A sin ωt sin ϕ + k2 B cos ωt cos ψ − k2 B sin ωt sin ψ = = (k1 A cos ϕ + k2 B cos ψ) cos ωt − (k1 A sin ϕ + k2 B sin ψ) sin ωt (4.7.5) Le quantità m = k1 A cos ϕ + k2 B cos ψ n = − (k1 A sin ϕ + k2 B sin ψ) sono delle costanti rispetto al tempo e permettono di scrivere la (4.7.5) come segue: k1 a (t) + k2 b (t) = m cos ωt + n sin ωt Quest'ultima espressione suggerisce la formula di sottrazione del coseno, infatti ponendo: m = C cos γ n = C sin γ si ha: k1 a (t) + k2 b (t) = C cos γ cos ωt + C sin γ sin ωt = C cos (ωt − γ) e ciò dimostra la proprietà. Consideriamo nuovamente l'equazione dierenziale di ordine minimo n X i=0 ai di y (t) = f (t) dti 175 n: (4.7.6) 4 Reti elettriche Nell'ipotesi in cui la sollecitazione x (t) è un segnale sinusoidale di pulsazione ω, il termine noto f (t) = m X bj j=0 dj x (t) dtj (4.7.7) ω. f (t) è un segnale sinusoidale di pulsazione ω , lo sarà pure l'integrale è dunque un segnale sinusoidale di pulsazione Se il termine noto ypart. (t) particolare Denizione. Sia x (t) che si determina mediante il metodo dei fasori. (Fasore) un segnale sinusoidale di pulsazione ω del tipo: x (t) = X cos (ωt + ϕ) Si chiama fasore associato al segnale sinusoidale x (t), il numero complesso: X Ẋ = √ ejϕ 2 (4.7.8) Ẋ = Xejϕ (4.7.9) Oppure il numero complesso: La notazione in (4.7.8) viene adoperta in Europa, mentre quella in (4.7.9) viene adoperata in USA. In questo testo adopereremo la notazione indicata in (4.7.8). Con riferimento alla (4.7.8), il fasore Ẋ , si può scrivere anche nelle seguenti forme equivalenti: X X X Ẋ = √ ∠ϕ = √ ejϕ = √ {cos ϕ + j sin ϕ} = 2 2 2 n o n o X X = √ cos ϕ + j √ sin ϕ = Re Ẋ + j Im Ẋ 2 2 (4.7.10) Ẋ x (t) . In Figura viene mostrata la rappresentazione nel piano complesso del fasore La quantità Xef f. = X √ si chiama 2 valore ecace del segnale sinusoidale Dato il fasore (4.7.10) è possibile risalire al corrispondente segnale sinusoidale x (t) (4.7.2) mediante la relazione: x (t) = Re n√ 2Ẋejωt o (4.7.11) Infatti sostituendo (4.7.10) in (4.7.11) si ritrova (4.7.2): x (t) = Re n√ 2Ẋe jωt o √ X jϕ jωt = Re 2√ e e 2 n o = Re Xej(ωt+ϕ) = = Re {X cos (ωt + ϕ) + j sin (ωt + ϕ)} = X cos (ωt + ϕ) 176 4 Reti elettriche Figura 4.7.1: rappresentazione graca del fasore Il fasore della derivate successive di x (t) Qui di seguito sono riportate il segnale x (t) e le sue derivate successive no all'ordine m con i corrispondenti fasori X x (t) = X cos (ωt + ϕ) ⇐⇒ Ẋ = √ ejϕ 2 d π X π x (t) = ωX cos ωt + ϕ + ⇐⇒ ω √ ej 2 ejϕ = jω Ẋ dt 2 2 d2 π π X π π 2 x (t) = ω X cos ωt + ϕ + + ⇐⇒ ω 2 √ ej 2 ej 2 ejϕ = (jω)2 Ẋ 2 dt 2 2 2 . . . . . π m dm π m m X √ ej 2 x (t) = ω X cos ωt + ϕ + m ⇐⇒ ω ejϕ = (jω)m Ẋ dtm 2 2 Dai calcoli risulta evidente che un ordine di derivazione sulla funzione un fattore (jω) (4.7.12) x (t) fa comparire nel fasore. Utilizzando la (4.7.12) è possibile scrivere l'equazione dierenziale di ordine minimo n X i=0 n: m X dk di ai i y (t) = bk k x (t) dt dt k=0 nel dominio dei fasori: n X i=0 ai (jω)i Ẏ = m X k=0 177 bk (jω)k Ẋ (4.7.13) 4 Reti elettriche Da quest'ultima espressione si ricava il fasore Ẏ : Pm bk (jω)k Ẋ Ẏ = Pk=0 n i a (jω) i i=0 (4.7.14) a cui corrisponde l'integrale particolare dell'omogenea associata: ypart. (t) = Re n√ 2Ẏ ejωt o (4.7.15) L'espressione in (4.7.13) è un'uguaglianza tra numeri complessi e per essere valida occorre fare vedere che essi sono uguali in parte reali e in parte immaginarie. Per far vedere ciò consideriamo la (4.7.13) e applichiamo ai fasori presenti la (4.7.11): n X n√ ai Re i 2 (jω) Ẏ e jωt o = m X i=0 Re 2 (jω)k Ẋejωt ! i ai (jω) √ ) 2Ẏ e m X ( jωt = Re ! bk Re (jω) √ k ) 2Ẋe mentre per t n X ! i ai (jω) √ ) 2Ẏ m X ( = Re i=0 π , si ha: = 2ω ( Re jωt ∀t (4.7.17) k=0 Visto che la (4.7.17) deve essere valida per ogni t; pertanto per Re (4.7.16) parte reale Re {.} è lineare la (4.7.16) si può scrivere come segue: i=0 ( o ∀t. Tale relazione deve essere valida n X n√ k=0 Visto che l'operatore ( bk Re j n X ! k bk Re (jω) √ t=0 ) si ha: 2Ẋ (4.7.18) k=0 ! ai (jω)i √ ) 2Ẏ ( = Re j i=0 m X ! bk Re (jω)k √ 2Ẋ ) k=0 ovvero: ( Im n X ! i ai (jω) √ ) 2Ẏ ( = Im i=0 m X ! bk Re (jω) k √ ) 2Ẋ (4.7.19) k=0 Secondo (4.7.17) e (4.7.18), i numeri complessi: n X m X √ ai (jω) 2Ẏ , i i=0 bk Re (jω)k √ 2Ẋ k=0 coincidono nella parte reale e nella parte immaginaria e ciò vuol dire che sono uguali: n X i=0 ai (jω) i √ 2Ẏ = m X bk Re (jω)k k=0 Da quest'ultima equazione si deduce la (4.7.13). 178 √ 2Ẋ 4 Reti elettriche 4.7.2 Esempio Consideriamo nuovamente la rete elettica di Figura 4.2.1 che per comodità riportiamo sul foglio di questa pagina: Figura 4.7.2: rete elettrica Sappiamo già che l'equazione dierenziale di ordine minimo nella variabile di rete vc (t) è: d2 d d vc (t) + 2 vc (t) + 2vc (t) = vg (t) + vg (t) + ig (t) 2 dt dt dt (4.7.20) 4.7.2.1 Ricerca dell'integrale particolare Supponiamo che la rete si trovi a regime sinusoidale e che i generatori valgano: √ π vg (t) = 5 2 cos 3t + 3 V 2 √ π A ig (t) = 2 2 cos 3t + 5 2 Per determinare l'integrale particolare si applica il metodo dei fasori. I fasori della tensione e della corrente di eccitazione per la rete sono rispettivamente: π 3 π V̇g = 5ej3 2 = 5 ej 2 = 5 (j)3 = −j5 V (4.7.21) π 5 π I˙g = 2ej5 2 = 2 ej 2 = 2 (j)5 = j2 V (4.7.22) La (4.7.20) nel dominio dei fasori si scrive: (jω)2 V̇c + 2 (jω) V̇c + 2V̇c = (jω) V̇g + V̇g + I˙g Da quest'ultima espressione si ricava il fasore 179 V̇c : (4.7.23) 4 Reti elettriche V̇c = 1 1 + jω V̇g + I˙g 2 2 (2 − ω ) + j2ω (2 − ω ) + j2ω Tenendo conto che i generatori oscillano con pulsazione ω = 3 rad/s, (4.7.24) la (4.7.25) si scrive: V̇c = 1 + j3 1 V̇g + I˙g −7 + j6 −7 + j6 (4.7.25) Sostituendo (4.7.22) e (4.7.23) in (4.7.26) si ottiene: 1 + j3 1 (−j5) + j2 = −7 + j6 −7 + j6 123 69 − = 1, 66ej(−2,63) V +j − 85 85 V̇c = (4.7.26) Nota la (4.7.26) si determina l'integrale particolare: vcpart. (t) = Re n√ o 2V̇c eiωt = 2, 35 cos (3t − 2, 63) V (4.7.27) E' evidente che se una rete elettrica presenta più generatori sinusoidale oscillanti con pulsazione ω, ω , tutte le grandezze di rete saranno sinusoidale oscillanti alla stessa pulsazione una volta esaurito il transitorio. 4.7.3 L.K. nel dominio dei fasori 4.7.3.1 L.K.T. nel dominio dei fasori La LKT nel dominio del tempo X vk (t) = 0 (4.7.28) k nel dominio dei fasori si scrive: X V̇k = 0 (4.7.29) k Dimostrazione. Basta applicare la (4.7.11) alla (4.7.28): X vk (t) = 0 k X Re n√ o 2V̇k eiωt = 0 ∀t k √ 2Re ( X ) V̇k eiωt k 180 = 0 ∀t (4.7.30) 4 Reti elettriche Per t=0 la (4.7.30) si scrive: Re X V̇k = 0 (4.7.31) k Per t= π 2ω la (4.7.30) si scrive: ( ) Re j X V̇k =0 k ovvero: Im ( X ) V̇k =0 (4.7.32) k Visto che valgono le relazioni in (4.7.31) e (4.7.32) segue la tesi (4.7.29). 4.7.3.2 L.K.I. nel dominio dei fasori La LKI nel dominio del tempo X ik (t) = 0 (4.7.33) k nel dominio dei fasori si scrive: X I˙k = 0 (4.7.34) k 4.7.4 L.L. nel dominio dei fasori 4.7.4.1 Resistore lineare tempo-invariante Figura 4.7.3: resistore nel dominio dei fasori v (t) = R i (t) ⇐⇒ V̇ = R I˙ (4.7.35) 4.7.4.2 Capacitore lineare tempo-invariante i (t) = C d v (t) ⇐⇒ I˙ = jωC V̇ dt 181 (4.7.36) 4 Reti elettriche Figura 4.7.4: capacitore nel dominio dei fasori 4.7.4.3 Induttore lineare tempo-invariante Figura 4.7.5: induttore nel dominio dei fasori v (t) = L d i (t) ⇐⇒ V̇ = jωL I˙ dt (4.7.37) 4.7.4.4 Impedenza del bipolo elementare Le relazioni fasoriali presenti in (4.7.35), (4.7.36) e (4.7.37) si possono compattare nella relazione fasoriale: V̇ = Ż I˙ (4.7.38) dove la quantità: Ż = si chiama R 1 jωC 1 −j ωC = jωL = XL = Xc (resistenza) (reattanza capacitiva) (4.7.39) (reattanza induttiva) impedenza del bipolo elementare. Figura 4.7.6: impedenza Si possono pure compattare nella seguente relazione fasoriale: I˙ = Ẏ V̇ 182 (4.7.40) 4 Reti elettriche dove la quantità: 1 R = G 1 = jωC = BC Ẏ = Ż 1 1 jωL = − ωL = BL si chiama conduttanza sucettanza capacitiva suscettanza induttiva (4.7.41) ammettenza. 4.7.4.5 Coppia di induttori mutuamente accoppiati ( d d v1 (t) = L1 dt i1 (t) ± M dt i2 (t) d d v2 (t) = ±M dt i1 (t) + L2 dt i2 (t) ( V̇1 = jωL1 I˙1 ± jωM I˙2 ⇐⇒ V̇2 = ±jωM I˙1 + jωL2 I˙2 (4.7.42) Figura 4.7.7: coppia di induttori mutuamente accoppiati 4.7.4.6 Trasformatore ideale ( v1 (t) = t v2 (t) i1 (t) = − 1t i2 (t) ( V̇1 = t V̇2 ⇐⇒ I˙1 = − 1t I˙2 (4.7.43) Figura 4.7.8: trasformatore ideale 4.7.4.7 Generatore ideale di tensione v (t) = vg (t) ⇐⇒ V̇ = V̇g 183 (4.7.44) 4 Reti elettriche 4.7.4.8 Generatore ideale di corrente i (t) = ig (t) ⇐⇒ I˙ = I˙g (4.7.45) 4.7.5 Impedenza del bipolo composito Estendiamo in questa sezione il concetto di impedenza al caso di un bipolo composito. Per bipolo composito si intende un dispositivo a due morsetti a più componenti elementari. Per esso si può denire l'impedenza solo se risulta passivo. Un bipolo composito si dice passivo se risulta costituito da resistori, capacitori, induttori,induttori mutuamente accoppiati e generatori pilotati (Figura 4.7.9). Ovviamente se il bipolo composito contiene elementi di accoppiamento quali generatori pilotati e induttori mutuamente accoppiati, questi non devono essere accoppiati con grandezze esterne al bipolo in quanto la relazione tensione-corrente ai morsetti 1 e 1' andrebbe a dipendere da grandezze che stanno fuori dal bipolo. Quindi per un bipolo composito passivo, di l'impedenza proporzionalità Ż che è quel lega fattore tensione Figura 4.7.9: bipolo composito passivo e corrente: V̇ = Ż I˙ (4.7.46) L'impedenza di un bipolo composito passivo è un numero complesso avente sia la parte reale che quella immaginaria diversa da zero: n o n o Ż = Re Ż + j Im Ż La parte reale dell'impedenza Ż si chiama (4.7.47) resistenza R, mentre la parte immaginaria si chiama reattanza X: Ż = R + j X (4.7.48) Facciamo attenzione n da adesso che la resistenza R e la reattanza X del bipolo composito passivo sono numeri reali che dipendono dalla pulsazione ω (che è uguale in tutti i generatori che sollecitano il bipolo) e da tutti i dispositivi elementari costituenti il bipolo composito stesso. A chiarimento di quanto detto consideriamo il bipolo composito costituito da un resistore di resistenza R e da un capacitore di capacità C posti in parallelo tra di loro come mostrato in Figura 4.7.10. L'impedenza del bipolo vale: 184 4 Reti elettriche Ż = = 1 R jωC R+ 1 jωC = R jωC 1+jωRC jωC = R = 1 + jωRC 1 − jωRC −ωR2 C R R + j = 1 + jωRC 1 − jωRC 1 + (ωRC)2 1 + (ωRC)2 (4.7.49) Quindi la resistenza del bipolo composito vale: n o Re Ż = R 1 + ω 2 R2 C 2 (4.7.50) n o Im Ż = −ωR2 C 1 + ω 2 R2 C 2 (4.7.51) mantre la reattanza vale: Attraverso (4.7.50) e (4.7.51) è evidente che sia la resistenza che la reattanza del bipolo composito dipendono dalla pulsazione ω. E' evidente pure che NON è vero che la resistenza di un bipolo composito è fatta solo da resistenze e la reattanza è formata solo da capacitori e/o induttori. Questa circostanza si verica per i bipoli compositi banali come quello mostrato in Figura 4.7.11 per cui si ha: Figura 4.7.10: impedenza RC Ż = R + jω (L1 + L2 ) (4.7.52) Figura 4.7.11: impedenza LRL 185 4 Reti elettriche Forma polare dell'impedenza Essendo Ż un numero complesso, questo può anche scriversi in forma polare: Ż = R + j X = Z∠ϕz = Z ejϕz (4.7.53) p Z = Ż = R2 + X 2 (4.7.54) Dove è il modulo del fasore Ż , mentre ϕz = è la fase del fasore Ż arctan X R π 2 − π2 arctan X + π R se R > 0 se R = 0, X > 0 se R = 0, X < 0 se R < 0 (4.7.55) come mostrato in Figura 4.7.12 Figura 4.7.12: rappresentazione polare Valgono le seguenti proprietà Proprietà 1 Se il circuito è RC, allora la parte immaginaria dell'impedenza è negativa, se il circuito è RL, la parte immaginaria è positiva. Se il circuito è RLC non si può stabilire a priori il segno della parte immaginaria del bipolo composito. Proprietà 2 Se nel bipolo composito passivo mancano i generatori pilotati risulta sempre: n o Re Ż > 0 186 4 Reti elettriche L'inverso dell'impedenza di un bipolo composito, come nel caso del bipolo elementare, si chiama ammettenza Ẏ . Così come l'impedenza anche l'ammettenza per un bipolo composito passivo avrà una parte reale e una parte immaginaria diversa da zero: n o n o Ẏ = Re Ẏ + j Im Ẏ La parte reale dell'ammettenza naria si chiama suscettanza B : Ẏ si chiama conduttanza (4.7.56) G, mentre la parte immagi- Ẏ = G + j B Ω, G e B si misurano in siemens. Ẏ = 1/Ż NON implica che G = 1/R e X = 1/X ; (4.7.57) Mentre R e X si misurano in Si osservi che il fatto ciò si prova facilmente: Ẏ = 1 1 R − jX 1 = = = R + jX R + jX R − jX Ż = R2 −X R +j 2 2 +X R + X2 (4.7.58) Dalla (4.7.58) si vede immediatamente che: G= R2 B=− Allo stesso modo sviluppando Ż = 1/Ẏ Ż = R + X2 R2 X + X2 (4.7.59) (4.7.60) si trova: G −B +j 2 G2 + B 2 G + B2 (4.7.61) essendo: R= G2 X=− G + B2 G2 B + B2 (4.7.62) (4.7.63) In Figura 4.7.13 vengono mostrati l'impedenza data in (4.7.48) e l'ammettenza in (4.7.57) nell'iposi in cui R ed X sono positivi; ovviamente per impedenza e ammettenza si devono utilizzare due scale dierenti se vengono riportate su uno stesso piano complesso. 187 4 Reti elettriche Figura 4.7.13: impedenza e ammettenza in rappresentazione polare 4.7.5.1 Impedenze in serie Due o più bipoli si dicono in serie se attraversati dalla stessa corrente: V̇ = V̇1 + V̇2 + ...... + V̇N = = Ż1 I˙ + Ż2 I˙ + ...... + ŻN I˙ = I˙ N X Żk = Żeq. I˙ k=1 V̇ = Żeq. I˙ Figura 4.7.14: bipoli in serie 4.7.5.1.1 Legge del partitore di tensione Żk V̇k = Żk I˙ = V̇ Żeq. ovvero: V̇k = Żk V̇ Ż1 + Ż2 + ...... + ŻN 188 4 Reti elettriche 4.7.5.2 Impedenze in parallelo Due o più bipoli si dicono in parallelo se ai loro capi hanno la stessa tensione: I˙ = I˙1 + I˙2 + ...... + I˙N = = Ẏ1 V̇ + Ẏ2 I˙ + ...... + ẎN V̇ = V̇ N X Ẏk = Ẏeq. I˙ k=1 I˙ = Ẏeq. V̇ Żeq. = 1 1 = = Ẏeq. Ẏ1 + Ẏ2 + ...... + ẎN = 1 Ż1 + 1 Ż2 1 + ...... + 1 ŻN = 1 Ż2 ·Ż3 ·...ŻN +Ż1 ·Ż3 ·...·ŻN +......+Ż1 ·Ż2 ·...·ŻN −1 Ż1 ·Ż2 ·......·ŻN ovvero: Żeq. = Ż1 · Ż2 · ...... · ŻN Ż2 · Ż3 · ... · ŻN + Ż1 · Ż3 · ... · ŻN + ...... + Ż1 · Ż2 · ...ŻN Figura 4.7.15: bipoli in parallelo 189 (4.7.64) 4 Reti elettriche 4.7.5.2.1 Legge del partitore di corrente Ẏk V̇ I˙k = Ẏk V̇ = Ẏeq. ovvero: V̇k = Ẏk V̇ Ẏ1 + Ẏ2 + ...... + ẎN 4.7.6 Rete elettrica nel dominio dei fasori Quando si studia una rete elettrica si può convenire di scriverla nel dominio dei fasori indipendentemente dal regime in cui si trova e scrivere per essa l'espressione fasoriale della variabile di rete di interesse. Nota quest'ultima espressione non solo siamo in grado di ricavare l'integrale particolare nel caso in cui la rete si trovi a regime sinusoidale, ma siamo in grado anche di ricavare l'espressione dell'equazione dierenziale di ordine minimo nella variabile di rete di interesse. Il vantaggio di procedere seguendo questo approccio risiede nel fatto che nella determinazione dell'espressione di una qualunque variabile di rete non si scrivono equazioni dierenziali ma semplicemente equazioni algebriche come nel caso delle reti puramente resistive. Per determinare l'espressione di una qualunque variabile di rete si può procedere, come nel caso dell'analisi della rete nel dominio del tempo, scrivendo le L.k. al ne di scrivere un sistema risolvente nelle variabili di stato. N.B. Si deve sempre ricondurre lo studio di una rete elettrica ad un sistema risolvente nelle variabili di rete per non incorrere successivamente nel problemna di determinare le condizioni iniziali sulle derivate della variabile di interesse. Non far ciò signicherebbe scrivere LK in maniera scriteriata (perdendo solo tempo) al ne di determinare tali condizioni iniziali. Vediamo quanto detto attraverso lo studio della solita rete introdotta in Figura 4.1.2. Tale rete viene riproposta nel dominio dei fasori in Figura 4.7.3 Si vuole determinare come al solito l'espressione analitica della tensione vc (t) ai capi del capacitore. Per far ciò si procede dapprima determinando il sistema risolvente nelle variabili di stato V̇c e I˙L . Avendo denito N=4 nodi la rete risulta avere L=6 lati e pertanto occorre scrivere N-1=3 LKI ed L-N+1=4 LKT: 190 4 Reti elettriche Figura 4.7.16: rete elettrica nel dominio dei fasori −I˙A + I˙1 = 0 −I˙1 + I˙c + I˙L = 0 −I˙ − I˙ + I˙ = 0 g 2 L − V̇ + V̇ + V̇ g 1 c =0 −V̇c + V̇L + V̇B = 0 −V̇ + V̇ = 0 2 B LKI1 LKI2 LKI3 LKT 1 LKT 2 LKT 3 (4.7.65) Inoltre occorre scrivere L=6 LL: V̇A = V̇g V̇1 = R1 I˙1 I˙ = jωC V̇ c c ˙ V̇L = jωL IL I˙B = I˙g V̇ = R I˙ 2 2 2 LL1 LL2 LL3 LL4 LL5 LL6 Le equazioni in (4.7.65) e (4.7.66) si sistemano come si seguito indicato: 191 (4.7.66) 4 Reti elettriche −I˙A + I˙1 = 0 −I˙1 + I˙c + I˙L = 0 −I˙L − I˙g + I˙2 = 0 −V̇g + V̇1 + V̇c = 0 −V̇ + V̇ + V̇ = 0 c L B −V̇B + V̇2 = 0 V̇A = V̇g V̇1 = R1 I˙1 I˙B = I˙g V̇ = R I˙ 2 2 2 LKI1 LKI2 LKI3 LKT 1 LKT 2 (4.7.67.1) LKT 3 LL1 LL2 LL5 LL6 ( I˙c = jωC V̇c V̇L = jωL I˙L LL3 (4.7.67.2) LL4 (4.7.67) Dal sistema (4.7.67.1) si ricavano le grandeze analoghe alle variabili di stato, ossia e I˙c V̇L : ( I˙c = −I˙L − R11 V̇c + R11 V̇g V̇L = V̇c − R2 I˙g − R2 I˙L (4.7.68.1) (4.7.68.2) (4.7.68) Sostituendo (4.7.68) in (4.7.67.2) si ricavano le equazioni di stato nel dominio dei fasori: ( 1 1 jω V̇c = − CR V̇c − C1 I˙L + CR V̇g 1 1 R R 1 jω I˙L = V̇c − 2 I˙L − 2 I˙g L L L (4.7.69.1) (4.7.69.2) Sostituendo i valori numeri si ottiene: ( jω V̇c = −V̇c − I˙L + V̇g jω I˙L = V̇c − I˙L − I˙g (4.7.69.1) (4.7.69.2) (4.7.69) Pertanto trasportando le equazioni in (4.7.69) nel dominio del tempo si ricavano le equazioni di stato che per t=0 forniscono le condizioni iniziali sulle derivate delle variabili di stato. Ricavando fasore I˙L dalla (4.7.69.1) e sostituendo in (4.7.69.2) si ricava un'equazione nel V̇c : (jω)2 V̇c + 2 (jω) V̇c + 2V̇c = jω V̇g + V̇g + I˙g (4.7.70) e con ciò stiamo ritrovando la (4.7.23) che nel caso di rete a regime sinusoidale conduce all'integrale particolare. Si osservi che trasportando la (4.7.70) nel dominio del tempo si ricava l'equazione dierenziale di ordine minimo. Nota quest'ultima è possibile ricavare l'integrale generale dell'omogenea associata nonchè l'integrale particolare nel caso di rete a regime costante. 192 4 Reti elettriche 4.7.7 Potenza in regime sinusoidale 4.7.7.1 La potenza media o attiva o reale P Consideriamo un bipolo, cioè una parte di una rete più complicata, contenente resistori, capacitori, induttori, induttori mutuamente accoppiati, generatori pilotati e pure generatori ideali come mostrato in Figura 4.7.17. Si noti che per detto bipolo continua a valere la convenzione dell'utilizzatore anche se contiene generatori ideali. Se indichiamo con v (t) = V cos (ωt + ϕV ) (4.7.71) e Figura 4.7.17: bipolo composito contenente generatori ideali i (t) = I cos (ωt + ϕI ) (4.7.72) la tensione e la corrente del bipolo nell'ipotesi di regime sinusoidale, si ha che la potenza istantanea vale: p (t) = v (t) i (t) = V I cos (ωt + ϕV ) cos (ωt + ϕI ) = =V I = 1 1 cos (ϕV − ϕI ) + cos (2ωt + ϕV + ϕI ) = 2 2 VI VI cos (ϕV − ϕI ) + cos (2ωt + ϕV + ϕI ) = 2 2 = P + p0 (t) (4.7.73) Secondo (4.7.73) la potenza istantanea assorbita dal bipolo composito è la somma tra un contributo costante: P = VI cos (ϕV − ϕI ) 2 (4.7.74) e un contributo uttuante di pulsazione doppia rispetto a quella della tensione e della corrente: p0 (t) = VI cos (2ωt + ϕV + ϕI ) 2 (4.7.75) In Figura 4.7.18 vengono mostrati i graci di tensione, corrente, potenza istantanea, potenza costante e potenza uttuante del bipolo composito assumendo i valori: V = 10 V, I = 5 A, ω = 5 rad/s, ϕV = 0 rad, ϕI = 193 π rad 3 4 Reti elettriche Figura 4.7.18: rappresentazione graca Si osservi che per alcuni valori di t, la potenza istantanea è negativa e ciò vuol dire che il bipolo composito sta restituendo potenza alla rimanente parte della rete complessiva. Per determinare l' tempo t1 e energia, bisogna integrare la potenza istantanea p (t) tra 2 istanti di t2 : ˆ t2 ε (t2 − t1 ) = p (t) dt (4.7.76) t1 Se teniamo conto che la tensione di rete è a 50 Hz si avrà che il periodo T della tensione è 0,02 s e ciò vuol dire che il periodo della potenza istantanea è T/2= 0.01 s; quindi si capisce che la potenza tra due generici istanti di tempo t1 e t2 , quando il tempo è dell'ordine di T/2 non ha sigmicato. Si dà signicato invece alla potenza istantanea in un intervallo di tempo pari a nT con n intero: ˆ t1 +nT ε (nT ) = p (t) dt t1 Sostituendo (4.7.73) in (4.7.77) si ricava: ˆ ˆ t1 +nT t1 +nT {p0 (t) + P } dt = p (t) dt = ε (nT ) = t1 t1 ˆ ˆ t1 +nT = t1 +nT p0 (t) dt + t1 P dt = t1 ˆ t1 +nT =0+P dt = n T P t1 194 (4.7.77) 4 Reti elettriche ovvero: ε (nT ) = n T VI cos (ϕV − ϕI ) 2 (4.7.78) Signicato sico della potenza costante P Dalla teoria dei segnali si sa che il valore medio di un segnale p (t) periodico di periodo T è per denizione: 1 hp (t)i = T ˆ T /2 p (t) dt (4.7.79) −T /2 Sostituendo (4.7.73) in (4.7.79) si determina il valore medio della potenza istantanea del bipolo composito: hp (t)i = 1 T ˆ T /2 {p0 (t) + P } dt = −T /2 1 P T ˆ T /2 dt = −T /2 1 PT =P T (4.7.80) La (4.7.80) conduce al signicato sico di P: il contributo di potenza costante P è il valore medio della potenza istantanea p (t). Il valore medio P della potenza istanta- potenza media potenza reale o potenza attiva. nea p (t) si chiama pure o Non è dicile provare che la potenza media si può esprimere anche come prodotto scalare tra fasori: P = V̇ · I˙ (4.7.81) essendo Figura 4.7.19: fasori della tensione e della corrente del bipolo composito V V̇ = √ ejϕV 2 (4.7.82) I I˙ = √ ejϕI 2 (4.7.83) Sostituendo (4.7.82) e (4.7.83) in (4.7.81) si ricompone la (4.7.74): P = V √ ejϕV 2 I jϕI V I VI · √ e = √ √ cos (ϕV − ϕI ) = cos (ϕV − ϕI ) 2 2 2 2 Si noti che tutte le formule trovate valgono in generale perchè si riferiscono a un bipolo composito che può contenere pure generatori ideali. 195 4 Reti elettriche Se il bipolo composito è passivo come indicato in Figura 4.7.20 è possibile denire il concetto di impedenza e quindi scrivere la relazione: Figura 4.7.20: bipolo composito passivo V̇ = Ż I˙ (4.7.84) Ż = Z ejϕZ (4.7.85) essendo Sostituendo (4.7.82), (4.7.83) e (4.7.85) in (4.7.85) si ottiene: V I √ ejϕV = Z ejϕZ √ ejϕI 2 2 Vef f. ejϕV = Z Ief f. ej(ϕZ +ϕI ) Uguagliando i moduli e le fasi, l'equazione complessa in (4.7.86) equivale alle seguenti equazioni reali: ( Vef f. = Z Ief f. ϕV = ϕZ + ϕI =⇒ ϕV − ϕI = ϕZ (4.7.86.1) (4.7.86) Sostituendo (4.7.87) in (4.7.74) si ottiene: P = Vef f. Ief f. cos ϕZ (4.7.87) Ovviamente combinando (4.7.86.1) e (4.7.87) si ricavano le seguenti altre forme per la potenza media: 2 2 P = Vef f. Ief f. cos ϕZ = ZIef f. cos ϕZ = R Ief f (4.7.88) L'ultima uguaglianza in (4.7.88) si capisce osservando Figura 4.7.21. Si possono avere altre forme equivalenti se si decide di combinare (4.7.87) con Vef f. Z : 196 Ief f. = 4 Reti elettriche Figura 4.7.21: rappresentazione nel piano complesso P = Vef f. Ief f. cos ϕZ = = 2 Vef f. Z Z Z cos ϕZ = 2 Vef f. Z2 R= 2 Vef f. R2 Z cos ϕZ = R 2 V 2 = GVef f. + X 2 ef f. (4.7.89) Figura 4.7.22: rappresentazione nel piano complesso ϕY = −ϕZ , ammettenza Ẏ : Come mostrato in Figura 4.7.22 si ha che può esprimere pure in termini di pertanto la potenza media si P = Vef f. Ief f. cos ϕY Tenedo conto che Ief f. = Y Vef f (4.7.90) è chiaro che da (4.7.90) seguono le relazioni: 2 2 P = Vef f. Y cos ϕY = Vef f. G (4.7.91) L'ultima uguaglianza in (4.7.91) si capisce osservando Figura 4.7.22. Si possono avere altre forme equivalenti se si decide di combinare (4.7.91) con Ief f. Y : 197 Vef f. = 4 Reti elettriche P = Vef f. Ief f. cos ϕY = = 2 Ief f. Y Y Y cos ϕY = 2 Ief f. Y 2 G= 2 Ief f. Y G2 cos ϕY = G 2 I 2 = R Ief f. + B 2 ef f. (4.7.92) 4.7.7.2 La potenza reattiva Q Per analogia matematica si va a denire la Q= potenza reattiva Q : VI sin (ϕV − ϕI ) 2 La potenza reattiva, così come la potenza attiva, si misura in watt. (4.7.93) In realtà però, nell'uso tecnico la potenza reattiva si misura in VAR (Volt-Ampère-Reattivo), proprio per evidenziare il fatto che la potenza reattiva Q è una potenza ttizia. La (4.7.93) si può esprimere pure utilizzando i valori ecaci ed è di carattere generale: Q = Vef f Ief f sin (ϕV − ϕI ) (4.7.94) Essa rimane valida anche per i bipoli compositi contenenti i generatori ideali. Per i bipoli compositi passivi la potenze reattiva si scrive in una delle formi equivalenti: 2 Q = Vef f. Ief f. sin ϕZ = Z Ief f Ief f. sin ϕZ = X Ief f. = =− B2 B I2 + G2 ef f. Q = Vef f. Ief f. sin ϕZ = Vef f. = 4.7.7.3 La potenza complesa R2 2 Vef Vef f. Z f. sin ϕZ =X = Z Z Z2 X 2 V 2 = −B Vef f. + X 2 ef f. (4.7.96) Ȧ Avendo denito la potenza attiva P e la potenza reattiva Q, sipuò denire la complessa Ȧ: Ȧ = P + jQ La potenza complessa si misura in VA (Volt-Ampere). Sostituendo (4.7.74) e (4.7.93) in (4.7.97) si ottiene: Ȧ = P + jQ = (4.7.95) VI VI cos (ϕV − ϕI ) + j sin (ϕV − ϕI ) = 2 2 198 potenza (4.7.97) 4 Reti elettriche = VI V I j(ϕV −ϕI ) {cos (ϕV − ϕI ) + j sin (ϕV − ϕI )} = e = 2 2 V I √ ejϕV √ ej(−ϕI ) = V̇ I˙∗ 2 2 ovvero: Ȧ = V̇ I˙∗ (4.7.98) Ovviamente le relazioni in (4.7.97) e (4.7.98) valgono nel caso generale di bipolo composito contenente generatori ideali. 4.7.7.3.1 La potenza apparente A. Il modulo della potenza complessa si chiama potenza apparente A: A= p P 2 + Q2 = V I (4.7.99) La potenza apparente si misura come quella complessa, ovvero in VA. 4.7.7.4 Rifasamento In Figura 4.7.23 viene mostrato un problema di utenza domenstica. L'Enel fornisce all'utente la tensione √ vg (t) = 220 2 cos (100πt) Il fasore della tensione di rete è ovviamete: V̇g = 220∠0 Figura 4.7.23: problema di utenza domestica Il dispositivo che dà una misura dell'energia fornita dall'Enel all'utente domestico è il contatore ; tale dispositivo non fa altro che integrare la potenza media. A monte di un contatore, in un impianto domestico, vi è sempre un interruttore bipolare, il cui compito è di aprire e chiudere contemporaneamente il neutro e la fase. Supponiamo di accendere una stufa elettrica (impedenza puramente resistiva). R0 = 220π Ω è l'impedenza della stufa elettrica, la corrente da essa assorbita sarà: 199 Se 4 Reti elettriche Vg V̇g 1 = ∠0 = ' 0, 32∠0 A I˙0 = R0 R0 π Tale corrente è in fase con la tensione di alimentazione V̇g , come si può osservare in Figura 4.7.24: Figura 4.7.24: rappresentazione graca Pertanto la potenza media assorbita è: P0 = Vg I0 cos 0 = 70, 03 W Accendendo pure una lavatrice,di impedenza Ż1 = R1 + jωL1 = 100π + j100π Ω, su di essa passerà la corrente: V̇g Vg ∠0 Vg I˙1 = = ∠ − ϕZ1 = = Z1 Z1 ∠ϕZ1 Z1 √ 100π 2 π π 220 ∠ − arctan = ∠ − ' 0, 45∠ − A =q 100π π 4 4 (100π)2 + (100π)2 Secondo quest'ultima relazione è evidente che la corrente tensione di rete V̇g I˙1 è in ritardo rispetto alla di un angolo di 45° come mostrato in Figura 4.7.25: La corrente totale assorbita dai dispositivi accesi dall'utente è: √ 1 2 π 0 ˙ I = I0 + I1 = ∠0 + ∠− = π π 4 √ n π π o 1 2 = {cos 0 + j sin 0} + cos − + j sin − = π π 4 4 √ (√ √ ) 1 2 2 2 1 1 1 −j = + −j = = + π π 2 2 π π π 200 4 Reti elettriche Figura 4.7.25: √ 2 5 1 1 = +j − = ' 0, 71∠ − 0, 46 A ∠ − arctan π π π 2 Secondo quest'ultima relazione è evidente che la corrente tensione di rete V̇g 0 I˙1 è in ritardo rispetto alla di un angolo di circa 26°,56 come mostrato in Figura 4.7.25. La potenza media assorbita dai due utilizzatori accesi è dunque: √ 0 0 P = Vg I cos 0 − ϕI 0 = 220 5 cos (arctan (1/2)) = 5 √ √ 5 5 440 220 2 = ' 140, 06 W 5 π π Si immagini inne che sia stata accesa una lampadina di impedenza j100π Ω. Ż2 = jωL2 = Su di essa passerà la corrente: V̇g Vg ∠0 Vg I˙2 = = = ∠ − ϕZ2 = Z2 Z2 ∠ϕZ2 Z2 220 100π 11 1 π π = ∠ − ' 0, 70∠ − A =q ∠ − arctan 0 5 π 2 2 (0)2 + (100π)2 La corrente totale assorbita dai dispositivi accesi dall'utente è: 0 I˙ = I˙0 + I˙1 + I˙2 = I˙ + I˙2 = √ 5 1 11 1 π = ∠ − arctan + ∠− = π 2 5 π 2 √ = π π o 5 11 n {cos (− arctan (1/2)) + j sin (− arctan (1/2))} + cos − + j sin − = π 5π 2 2 201 4 Reti elettriche √ ( √ √ ) 11 5 2 5 5 + = −j {0 − j} = π 5 5 5π 1 11 2 16 2 = +j − = = −j −j π π 5π π 5π √ 2 89 ∠ arctan (5/8) − π/2 ' 1, 20∠ − 1, 01 A 5π La potenza media assorbita dai tre utilizzatori accesi è dunque: √ 2 89 cos (arctan (5/8) − π/2) = P = Vg I cos (0 − ϕI ) = 220 5π √ √ 2 89 5 89 440 = 220 = ' 140, 06 W 5π 89 π Figura 4.7.26: Stiamo trovando che a fronte di una maggiore corrente utilizzata, la potenza media assorbita dagli utilizzatori è sempre la stessa. L'aumento di corrente è a discapito della linea dell'Enel. La lampadina ad escandescenza non produce un aumento della potenza media, infatti confrontanto delle correnti rispetto a V̇g , rimane sempre la stessa, 0 I1 cos −ϕI 0 I˙ e 0 I˙ le proiezioni . In altri termini accendendo o spegnendo la lampadina, la potenza media assorbita è sempre la stessa; la lampadina accesa però produce un aumento della potenza reattiva che èdannosa per la rete elettrica dell' Enel. Mentre l'utente introduce utilizatori di tipo induttivo, l' Enel gradirebbe che utilizzasse dispositivi resistivi di modo che la corrente assorbita risulti in fase con la tensione V̇g . E' possibile far diminuire la potenza reattiva inserendo un capacitore; il fenomeno descritto si chiama rifasamento. 202 4 Reti elettriche Ai grandi utenti (industrie), l'Enel ore contratti diversi rispetto agli utenti domestici. Le industrie utilizzano elevate correnti per far funzionare le loro macchine, facendo aumentare la potenza reattiva. In questi casi, l'Enel, oltre a fare pagare la potenza attiva P, si fa pagare anche la potenza reattiva Q; di contro il grande utente per far fronte a questo problema, di tasca sua, costruisce un impianto di rifasamento cosi da pagare bollette meno salate. 203 5 Circuiti del secondo ordine RLC a regime costante Esistono circuiti elettrici molto semplici che si possono risolvere in modo veloce utilizzando semplicemente le L.K. Di seguito vengono proposti 2 esempi. 5.1 Esempio 1. Circuito RLC serie Dato il circuito elettrico mostrato in Figura 5.1.1 si vogliono determinare le espressioni analitiche della corrente che attraversa l'induttore e della tensione ai capi del capacitore assumendo: R = 1Ω L = 1H C = 1F vg (t) = Vg = 1V vc (0− ) = 0V iL (0− ) = 0A Figura 5.1.1: Circuito RLC serie Per t>0 l'interruttore T è chiuso e si può scrivere la LKT per l'anello I mostrato in Figura 5.1.1: − vg (t) + Ric (t) + vL (t) + vc (t) = 0 (5.1.1) Tenendo conto che: ic (t) = C d vc (t) = iL (t) dt 204 (5.1.2) 5 Circuiti del secondo ordine RLC a regime costante vL (t) = L d iL (t) dt (5.1.3) la (5.1.1) si scrive: −vg (t) + RC d d vc (t) + L iL (t) + vc (t) = 0 dt dt ovvero: −vg (t) + RC d d2 vc (t) + LC 2 vc (t) + vc (t) = 0 dt dt Riordinando i termini quest'ultima espressione si scrive: LC d2 d vc (t) + RC vc (t) + vc (t) = vg (t) dt2 dt Per integrare la (5.1.4) occorrono le condizioni iniziali: vc (0+ ) (5.1.4) e d dt vc (t) |t=0+ . La prima si ricava dai dati del problema visto che la tensione ai capi del capacitore è una funzione continua del tempo: vc 0+ = vc 0− = 0V (5.1.5) Per ricavare la seconda basta porre t=0 in (5.1.2) e sfruttare il fatto che la corrente che attraversa l'induttore è una funzione continua del tempo: d 1 1 vc (t) |t=0+ = iL 0+ = iL 0− = 0 d C C (5.1.6) Si tratta dunque di risolvere il seguente problema di Cauchy: d d2 LC dt2 vc (t) + RC dt vc (t) + vc (t) = vg (t) vc (0+ ) = 0 d dt vc (t) |t=0+ = 0 (5.1.7) che sostituendo i valori numerici diventa: 2 d d dt2 vc (t) + dt vc (t) + vc (t) = Vg vc (0+ ) = 0 d dt vc (t) |t=0+ = 0 Risoluzione del problema di Cauchy (5.1.8.1) (5.1.8.2) (5.1.8.3) (5.1.8) Determiniamo l'integrale generale della (5.1.8.1) L'integrale generale della (5.1.8.1) è la somma tra l'integrale generale dell'omogenea associata alla (5.1.8.1) e l'integrale particolare della (5.1.8.1): vc (t) = vcomog. (t) + vcpart. (t) 205 (5.1.9) 5 Circuiti del secondo ordine RLC a regime costante Omogenea associata d 2 d vc (t) + vc (t) + vc (t) = 0 2 dt dt Equazione caratteristica λ2 + λ + 1 = 0 λ= −1 ± p 1 − 4 (1) (1) = 2 ( √ − 12 + i 23 − 12 − i √ (5.1.10) 3 2 Integrale generale omogenea associata √ vcomog. (t) = k e Ricerca dell'integrale particolare Vg , − 2t cos 3 t+ϕ 2 ! (5.1.11) Visto che il termine noto della (5.1.8.1) è la costante l'integrale particolare va ricercato tra le costanti. Posto vc (t) = vcpart. (t) = cost. , la (5.1.8.1) si scrive: 0 + +0 + vcpart. (t) = Vg da cui si ricava: vcpart. (t) = Vg = 1V (5.1.12) Sostituendo (5.1.11) e (5.1.12) in (5.1.9) si ricava l'integrale generale della (5.1.8.1): √ vc (t) = k e − 2t cos ! 3 t+ϕ +1 2 (5.1.13) Derivando rispetto al tempo la (5.1.13) si ricava: √ ! √ 3 3 −t t+ϕ −k e 2 sin 2 2 t d k vc (t) = − e− 2 cos dt 2 Per determinare le costante k e ϕ √ 3 t+ϕ 2 ! (5.1.14) si utilizzano la condizione iniziale data in (5.1.8.2) e (5.1.8.3); utilizzando (5.1.8.2) la (5.1.13) fornisce k cos ϕ + 1 = 0 (5.1.15) Utilizzando (5.1.8.3) la (5.1.14) fornisce: ovvero: √ k k cos ϕ + 3 sin ϕ = 0 2 2 √ k cos ϕ + 3k sin ϕ = 0 206 (5.1.16) 5 Circuiti del secondo ordine RLC a regime costante Risolvendo il sistema costituito dalle equazioni (5.1.15) e (5.1.16) ( k cos ϕ − 1 = 0 √ k cos ϕ + 3k sin ϕ = 0 si determinano le costanti k e (5.1.17) ϕ: ( ( k cos ϕ = 1 k cos ϕ = 1 √ √ =⇒ =⇒ k cos ϕ + 3k sin ϕ = 0 k sin ϕ = − 33 √ √ ϕ = arctan − 3 = − π tan ϕ = − 3 3 6 3 √ 2 =⇒ q =⇒ √ k = 4 = √2 = 2 3 k 2 = 1 + − 3 3 3 3 3 (5.1.18) Sostituendo i valori (5.1.18) in (5.1.13) si determina l'espressione analitica della tensione ai capi del capacitore: 2√ − t vc (t) = 3 e 2 cos 3 √ 3 π t− 2 6 ! +1 (5.1.19) Sostituendo inne (5.1.19) in (5.1.2) si determina pure l'espressione analitica della corrente che attraversa l'induttore: √ d 3 −t e 2 cos iL (t) = C vc (t) = − dt 3 √ π 3 t− 2 6 √ ! −e − 2t sin π 3 t− 2 6 ! (5.1.20) 5.2 Esempio 2. Circuito RLC parallelo Dato il circuito elettrico mostrato in Figura 5.1.1 si vogliono determinare le espressioni analitiche della corrente che attraversa l'induttore e della tensione ai capi del capacitore assumendo: R = 1Ω L = 1H C = 1F vg (t) = Vg = 1V vc (0− ) = 0V iL (0− ) = 0A Per t>0 l'interruttore T è chiuso e si può scrivere la LKT per l'anello I: vg (t) − vL (t) − Rig (t) = 0 (5.2.1) ig (t) = iC (t) + iL (t) (5.2.2) e la LKI al nodo A: Sostituendo (5.2.2) in (5.2.1) si ottiene: vg (t) − vL (t) − RiC (t) − RiL (t) = 0 207 (5.2.3) 5 Circuiti del secondo ordine RLC a regime costante Figura 5.2.1: Circuito RLC parallelo Tenendo conto che: ic (t) = C d d vC (t) = C vL (t) dt dt (5.2.4) la (5.2.4) si scrive: vg (t) − vL (t) − RC d vL (t) − RiL (t) = 0 dt (5.2.5) Inne tenedo conto che: vL (t) = L d iL (t) dt (5.2.6) si ottiene l'equazione dierenziale di ordine minimo nella variabile di stato d2 1 d 1 1 iL (t) + iL (t) + iL (t) = vg (t) dt2 RC dt LC RLC iL (t): (5.2.7) Le condizioni iniziali sono: iL 0+ = iL 0− = 0A 1 1 d iL (t) t=0+ = vL 0+ = vC 0+ = 0 dt L L Si tratta di risolvere quindi il seguente Problema di Cauchy: 2 d d dt2 iL (t) + dt iL (t) + iL (t) = Vg iL (0+ ) = 0 d dt iL (t) |t=0+ = 0 208 (5.2.8.1) (5.2.8.2) (5.2.8.3) (5.2.8) 5 Circuiti del secondo ordine RLC a regime costante dove la (5.2.8.1) è stata ricavata dalla (5.2.7) sostituendo i valori numerici. La soluzione del problema di Cauchy (5.2.8) è √ 2√ − t iL (t) = 3 e 2 cos 3 π 3 t− 2 6 ! +1 (5.2.9) Sostituendo inne (5.2.9) in (5.2.6) si ricava l'espressione analitica della tensione ai capi dell'induttore nonchè la tensione ai capi del capacitore: √ d 3 −t vc (t) = vL (t) = L iL (t) = − e 2 cos dt 3 √ 209 3 π t− 2 6 √ ! −e − 2t sin 3 π t− 2 6 ! (5.2.10) 6 Circuiti del secondo ordine RLC a regime sinusoidale Viene analizzate nel seguito la prima rete vista nel capitolo precedente supponendo che il generatore di tensione sia sinusoidale. 6.1 Esempio. Circuito RLC serie Dato il circuito elettrico mostrato in Figura 6.1.1 si vogliono determinare le espressioni analitiche della corrente che attraversa l'induttore e della tensione ai capi del capacitore assumendo: R = 1Ω L = 1H C = 1F vg (t) = Vg = 1V vc (0− ) = 0V iL (0− ) = 0A nell'ipotesi di regime sinusoidale: π vg (t) = 3 cos 5t + 4 Figura 6.1.1: Circuito RLC serie Sappiamo già che la tensione ai capi del capacitore si determina risolvendo il seguente problema di Cauchy: 2 d d dt2 vc (t) + dt vc (t) + vc (t) = Vg vc (0+ ) = 0 d dt vc (t) |t=0+ = 0 210 (6.1.1.1) (6.1.1.2) (6.1.1.3) (6.1.1) 6 Circuiti del secondo ordine RLC a regime sinusoidale Sappiamo pure che l' integrale generale dell'omogenea associata √ vcomog. (t) = k e − 2t cos 3 t+ϕ 2 è: ! (6.1.2) Ora visto che la sorgente per il circuito è un generatore sinusoidale, per determinare l'integrale particolare occorre fare uso del metodo dei fasori. Ricerca dell'integrale particolare (metodo dei fasori) Il fasore della tensione 3 π V̇g = √ ej 4 2 La pulsazione della tensione vg (t) vg (t) è: (6.1.3) è: ω = 5 rad/s (6.1.4) La (6.1.1.1) nel dominio dei fasori si scrive: (jω)2 V̇c + (jω) V̇c + V̇c = V̇g da cui si ricava il fasore della tensione ai capi del capacitore: V̇c = V̇g 2 (jω) + (jω) + 1 (6.1.5) Sostituendo (6.1.3) e (6.1.4) in (6.1.5) si ricava: √ 1 2 2 jπ 1 2 1+j √ e 4 = √ (1 + j) V̇c = = = 0, 05768 e−j2,1508 2 −24 + j5 2 2 −24 + j5 (j5) + (j5) + 1 2 (6.1.6) La (6.1.6) nel dominio del tempo restituisce l'integrale particolare: vcpart. (t) = Re n√ o o n 2 · 0.05768 e−j2,1508 ej5t = Re 0, 0816 ej(5t−2,1508) = = 0, 0816 Re {cos (5t − 2, 1508) + j sin (5t − 2, 1508)} = 0, 0816 cos (5t − 2, 1508) (6.1.7) Sommando (6.1.2) e (6.1.7) si ricava l'integrale generale della (6.1.1.1): √ vc (t) = k e − 2t cos ! 3 t + ϕ + 0, 0816 cos (5t − 2, 1508) 2 Derivando rispetto al tempo la (5.1.13) si ricava: 211 (6.1.8) 6 Circuiti del secondo ordine RLC a regime sinusoidale t d k vc (t) = − e− 2 cos dt 2 √ ! √ 3 3 −t t + ϕ −k e 2 sin 2 2 √ ! 3 t + ϕ − 0.4079 sin (5t − 3, 1508) 2 (6.1.9) Per determinare le costante k e ϕ si utilizzano la condizione iniziale data in (6.1.1.2) e (6.1.1.3); utilizzando (6.1.1.2) la (6.1.8) fornisce: k cos ϕ + 0, 0447 = 0 (6.1.10) Utilizzando (6.1.1.3) la (6.1.9) fornisce: − √ k k cos ϕ − 3 sin ϕ − 0, 0038 = 0 2 2 ovvero: k cos ϕ + √ 3k sin ϕ + 0, 0076 = 0 (6.1.11) Risolvendo il sistema costituito dalle equazioni (6.1.10) e (6.1.11) ( k cos ϕ + 0, 0447 = 0 √ k cos ϕ + 3k sin ϕ + 0, 0076 = 0 si determinano le costanti k e ϕ: ( k cos ϕ = −0, 0447 √ k cos ϕ + 3k sin ϕ = −0, 0076 =⇒ tan ϕ = −0, 4792 k 2 = (−0, 0447)2 + (6.1.12) 0,0371 √ 3 2 ( k cos ϕ = −0, 0447 =⇒ √ k sin ϕ = 0,0371 3 =⇒ ( ϕ = arctan (−0, 4792) = −0, 45 =⇒ √ k = 0, 002457 = 0, 05 (6.1.13) Sostituendo i valori (6.1.13) in (6.1.8) si determina l'espressione analitica della tensione ai capi del capacitore: √ vc (t) = 0, 05 e − 2t cos ! 3 t − 0, 45 + 0, 0816 cos (5t − 2, 1508) 2 212 (6.1.14) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Scrivere le LK non è l'unico modo che consente di ottenere il sistema risolvente nelle variabili di stato per un circuito elettrico. Risolvere una rete elettrica mediante la stesura delle LK è il modo più lento che possa esistere. L'obiettivo principale del circuitista è quello di scrivere nella maniera più rapida possibile il sistema risolvente nelle variabili di stato e per far ciò si avvale dei delle reti elettriche. metodi di analisi I metodi di analisi delle reti elettriche sono: il metodo dei potenziali ai nodi il metodo degli insiemi di taglio il metodo delle correnti di anello il metodo delle correnti di maglia il metodo delle equazioni di stato Il metodo degli insiemi di taglio è una generalizzazione del metodo dei potenziali ai nodi, mentre il metodo delle correnti di maglia è una generalizzazione del metodo delle correnti di anello. Tutti i metodi di analisi si basano sulla riscrittura delle LK attraverso delle incognite ausiliarie, in modo da rendere automaticamente soddisfatte le LKT oppure le LKC. In conseguenza di ciò si riesce a scrivere un sistema risolvente nella sole incognite ausiliarie. Note queste ultime si deducono poi tutte le altreincognite di rete. Se si fa attenzione, il discorso è del tutto simile a quello impostato per risolvere il prblema di campo di corrente statico. In quel caso si introduceva come variabile ausiliaria, ~ in modo ra rendere ~e = −∇v ~ automaticamente soddisfatta l'equazione ∇ × ~ e = 0. In conseguenza di ciò si riusciva a scrivere una sola equazione nella variabile v . Ricavata da quest'ultima equazione, il potenziale scalare elettricov , si riuscivano a determinare poi i campi ~ e e ~j risolvendo così il potenziale scalare elettrico v, mediante la nota formula completamente il problema. Vedremo con degli esempi che applicare il metodo di analisi vuol dire non preoccuparsi più di andare a scrivere per ciascun la tensione e la corrente. 213 7 Metodi di analisi delle reti elettriche 7.1 Metodo dei potenziali ai nodi 7.1.1 Il concetto di grafo Bisogna innanzitutto introdurre il concetto di grafo. Da un punto di vista matematico, il grafo è una terna costituita da un insieme di nodi N, un insieme di lati L, e da una legge ordinata di nodi dell'insieme N f che fa corrispondere a ciascun lato una coppia in cui il primo nodo è quello di partenza e il secondo nodo è quello di arrivo (in conseguenza di ciò i lati si dicono orientati): G = {N , L, f : L → N × N } (7.1.1) Un grafo può essere rappresentato in tre diversi modi: disegno, tabella, matrice. Se indichiamo con N la cardinalità dei nodi dell'insieme dell'insieme L, N e con L la cardinalità quello rappresentato in Figura 7.1.1 è un grafo formato da N=3 nodi e L=5 lati. Figura 7.1.1: grafo rappresentato mediante un disegno La legge f : L → N ×N per esempio permette di dire che al lato 1 corrisponde la coppia ordinata di nodi (2,1) essendo 2 il nodo di partenza e 1 il nodo di arrivo; al lato 3 corrisponde la coppia ordinata (3,1) e così via. Figura 7.1.2: grafo rappresentato mediante una tabella 214 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Il grafo di Figura 4.7.1 può essere rappresentato anche attraverso una tabella come indicato in Figura 7.1.2. 7.1.1.1 La matrice di incidenza totale nodi-lati Un altro modo per rappresentare il grafo è la a11 a21 [Atot. ] = matrice di incidenza totale [Atot. ]: a12 a22 aN 1 aN 2 ... ... a1L ... ... a2L . . . . ... ... aN L (7.1.2) La matrice di incidenza totale ha un numero di righe pari al numero di nodi e un N × L. numero di colonne pari al numero di lati; quindi si tratta di una matrice indichiamo con i-esimo e j aij il generico elemento della matrice di incidenza totale, i Se sarà il nodo sarà il lato j-esimo. Il generico elemento aij della matrice di incidenza è costruito mediante la regola mostrata in Figura 7.1.3: Figura 7.1.3: regola per la costruzione della matrice Atot. Quindi la matrice di incidenza totale del grafo mostrato in Figura 7.1.1 è: −1 1 −1 0 0 0 0 1 1 [Atot. ] = 1 0 −1 1 −1 −1 Osserviamo che la matrice di incidenza totale è per costruzione tale che ciascuna colonna presenta un 1, un -1 e tutti gli altri elementi 0. In questo moto risulta che la somma degli elementi per ciascuna colonna è 0. Ciò vuol dire che le righe della matrice di incidenza totale sono linearmente dipendenti. 215 7 Metodi di analisi delle reti elettriche La matrice di incidenza totale può essere utilizzata per scrivere le LKC, infatti si ha che: [Atot. ] [i] [0] = N ×L L×1 (7.1.3) N ×1 Per il caso specico del grafo mostrato in Figura 7.1.1 si ha: −1 1 −1 0 0 1 0 0 1 1 0 −1 1 −1 −1 i1 i2 i3 i4 i5 0 = 0 ⇒ 0 3×1 3×5 5×1 LKC1 −i1 + i2 − i3 = 0 ⇒ i1 + i4 + i5 = 0 LKC2 −i2 + i3 − i4 − i5 = 0 LKC3 Le LKC trovate valgono per il grafo mostrato in Figura 7.1.1 se si decide di orientare le correnti di lato come sono orientati i lati del grafo (Figura 7.1.4). 7.1.1.1.1 matrice di incidenza nodi-lati Con il sistema in (7.1.3) si ottengono N LKC. Come sappiamo nella risoluzioni delle reti elettriche mediante le LK si scrivono N-1 leggi di Kirchoo delle cor- Figura 7.1.4: grafo renti. Quindi dal sistema in (7.1.3) occorre scartare un'equazione. D'altro canto questo fatto viene sugger- ito dalla matrice di incidenza totale che presenta N righe linearmente dipendenti. Si noti che eliminando una riga dalla matrice di incidenza totale, non si ha perdita di informazione, infatti la riga eliminata si può sempre ottenere come combinazione lineare delle altre righe. Eliminando la terza riga dalla matrice di incidenza totale relativa al grafo mostrato in Figura 7.1.1 si ottiene la cosiddetta nodi-lati: [A] = matrice di incidenza ridotta [A] o matrice di incidenza −1 1 −1 0 0 0 −1 1 −1 −1 216 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Come detto prima, non c'è perdita di informazione, infatti la riga eliminata si può ripristinare se teniasmo conto che per ciascuna colonna della matrice di incidenza totale la somma degli elementi deve fare 0. Nell'esempio la riga eliminata è evidentemente: 0 −1 1 −1 −1 Uguagliando a zero il prodotto tra la matrice di incidenza nodi-lati e il vettore colonna delle correnti di lato si ricavano N-1 LKC linearmente indipendenti: [A. ] [i] [0] = (N − 1) × L L × 1 (7.1.4) (N − 1) × 1 7.1.2 Descrizione del metodo Sulla matrice di incidenza nodi-lati si basa il metodo dei potenziali ai nodi. Supponiamo di avere una rete elettrica formata da N nodi ed L lati; si avranno allora 2L incognite: le tensioni e le correnti di lato: vk , ik k = 1, 2, ...., L A questo punto si deniscono altre incognite, ossia i e fanno tutti riferimento al nodo di riferimento eh (7.1.5) potenziali di nodo. Essi sono N-1 posto al potenziale nullo (0 V): h = 1, 2, ...., N − 1 (7.1.6) A livello circuitale, il nodo di riferimento (0 V), si realizza portando a massa il nodo che fa riferimento alla riga eliminata dalla matrice di incidenza totale. Visto che per il la matrice di incidenza totale del grafo di Figura 7.1.1 è stata eliminata la terza riga, va posto a massa il nodo 3 come indicato in Figura 7.1.4. Figura 7.1.5: grafo con nodo 3 posto a 0 V Il problema così posta risulta costituito da 2L+N-1 incognite e per tanto servono 2L+N-1 equazioni. N-1 equazioni sono le LKC date in (7.1.4). Serve pertanto scrivere altre 2L equazioni; di queste 2L equazioni, L sono le cosiddette delle tensioni ( LKT ∗ ) pseudo leggi di Kirchho che esprimono le tensioni di lato in termini dei potenziali ai nodi. Facendo riferminto a Figura 7.1.5 si ha: 217 7 Metodi di analisi delle reti elettriche v1 v2 v3 v4 v5 Le LKT ∗ = e2 − e1 = e1 − 0 = 0 − e1 = e2 − 0 = e2 − 0 LKT ∗ 1 LKT ∗ 2 LKT ∗ 3 LKT ∗ 4 LKT ∗ 5 si possono pure esprimere in termini della matrice di incidenza nodi-lati, cioè vale la relazione: [A. ]T [e] [v] = L × (N − 1) (N − 1) × 1 Ovviamente le (7.1.7) L×1 LKT ∗ sono semanticamente delle LKT ma non lo sono sintatticamente. Attraverso di esse le LKT sono automaticamente soddisfatte e questo fatto lo si può provare immediatamente: dal grafo di Figura 7.1.5 si consideri per esempio la seguente LKT: v1 + v2 − v4 = 0 Tale equazione è automaticamente soddisfatta dalle LKT ∗ , infatti si ha: e2 − e1 + e1 − 0 − (e2 − 0) = 0 Le altre L equazioni che si possono scrivere per risolvere il problema avente 2L+N-1 incognite sono le leggi di lato (LL) alla Norton. Proposizione. Quando si applica il metodo dei potenziali ai nodi bisogna ipotizzare che ciascun lato sia alla Norton. Come mostrato in Figura 7.1.6 ciascun lato di una rete elettrica può presentarsi alla Thevenin o alla Norton. Si ossrvi che per i lati mostrati in Figura 7.1.6 è stata utilizzata la convenzione dell'utilizzatore. Per il lato Thevenin vale la relazione: vk (t) = vgk (t) + Rk igk (t) (7.1.8) Per il lato Norton vale la relazione: ik (t) = −igk (t) + Gk vk (t) 218 (7.1.9) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.1.6: lato Thevenin; lato Norton 7.1.2.1 Trasformazione Thevenin-Norton Esistono delle formule di passaggio che permettono di ottenere un lato Thevenin da un lato Norton e viceversa. Anchè si possono ricavare tali formule è occorre imporre l'equivalenza tra (7.1.8) e (7.1.9). Pertanto dall (7.1.9) si ricava vk (t): vk (t) = Rk igk (t) + Rk igk (t) (7.1.10) e quindi uguagliando (7.1.8) e (7.1.10): vgk (t) + Rk igk (t) = Rk igk (t) + Rk igk (t) si ottiene la formula di passaggio N orton → T hevenin: vgk (t) = Rk igk (t) e la formula di passaggio (7.1.11) T hevenin → N orton: igk (t) = 1 vg (t) Rk k (7.1.12) Si osservi che le formule di passaggio hanno senso solo se: Rk 6= 0 Per una rete elettrica aventi L lati di tipo Norton valgono le relazioni: 219 (7.1.13) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche i1 = G1 v1 − ig1 i2 = G2 v2 − ig2 . . iL = GL vl − igL che si possono compattare in forma matriciale come segue: [i] = [G] [v] − [ig ] L×1L×LL×1L×1 (7.1.14) dove [G] = è la G1 0 . . . . 0 0 G2 0 . . . 0 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0 GL matrice delle conduttanze di lato (7.1.15) (nel caso più generale matrice delle ammettenze di lato). L'insieme delle equazioni date in (7.1.4), (7.1.7) e (7.1.14) costituisce il sistema risolvente di 2L+N-1 equazioni in 2L+N-1 incognite: (7.1.16.1) [A] [i] = [0] T [v] = [A] [e] (7.1.16.2) [i] = [G] [v] − [ig ] (7.1.16.3) N − 1 LKC L LKT ∗ L LL (7.1.16) Moltiplicando a sinistra tutti i termini della (7.1.16.3) si ottiene: [A] [i] = [A] [G] [v] − [A] [ig ] (7.1.17) Per la (7.1.16.1), la (7.1.17) si scrive: [A] [G] [v] − [A] [ig ] = [0] (7.1.18) Per la (7.1.16.2) la (7.1.18) si scrive: [A] [G] [A]T [e] − [A] [ig ] = [0] ovvero: [A] [G] [A]T [e] = [A] [ig ] Visto che [A], [G] e [ig ] (7.1.19) sono quantità note, è evidente che (7.1.19) è un sistema risolvente nelle sole N-1 incognite eh . 220 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Denendo la matrice delle conduttanze di nodi : [GN ] = [A] [G] [A]T e il (7.1.20) vettore colonna dei generatori di nodi : [igN ] = [A] [ig ] (7.1.21) la (7.1.19) si può scrivere ancora in forma più compatta, come segue: [GN ] [e] = [igN ] (7.1.22) eh , noti i potenziali ai nodi, attraverso ∗ leLKT si trovano le tensioni di lato vk , note le tensioni di lato, attraverso le LL si trovano Risolvendo (7.1.22) si trovano i potenziali ai nodi le cprrenti di lato ik . Proposizione. Se nella rete elettrica non ci sono generatori pilotati, allora la matrice delle conduttanze di nodi è simmetrica. Il metodo proposto sembrerebbe pazzesco, ma in realtà è molto semplice dato che la matrice delle conduttanze di nodi e il vettore colonna dei generatori di nodi, si possono scrivere di getto guardando semplicemente il circuito, se nella rete elettrica non ci sono generatori pilotati. 7.1.2.2 Regole di ispezione visiva 7.1.2.2.1 Matrice delle conduttanze di nodi [GN ] I termini che si trovanno sulla diagonale principale valgono gii = X Li ⊆ L Gk (7.1.23) k∈Li essendo Li l'insieme dei lati che auiscono al nodo i indipendentemente dal verso associato al lato l, mentre i termini che stanno fuori dalla diagonale principale, valgono: gij = gji = − X Li ∩ L j ⊆ L Gk (7.1.24) k∈Li ∩Lj essendo Li ∩ Lj l'insieme di tutti i lati che collegano direttamente il nodo 7.1.2.2.2 Vettore colonna dei generatori di nodi [igN ] i al nodo j. I termini che si trovanno sulla diagonale principale valgono igNi = X ±igk Li ⊆ L (7.1.25) k∈Li Vale il segno + se la corrente del generatore la corrente del generatore i gk esce dal nodo igk entra nel nodo i, vale il segno - se i. Il metodo dei potenziali ai nodi vale nel dominio del tempo, nel dominio dei fasori, nel dominio di Laplace e anche nel dominio di Fourier. 221 7 Metodi di analisi delle reti elettriche 7.1.2.2.3 Consiglio Se la rete elettrica presenta induttori mutuamente accoppiati è SCONSIGLIATO il metodo dei potenziali ai nodi (vedremo che conviene utilizzare il metodo delle correnti di anello o di maglia). 7.1.2.3 Esempio1 Consideriamo la rete elettrica nel dominio dei fasori mostrata in Figura 7.1.7: Figura 7.1.7: rete elettrica nel dominio dei fasori Quando si applica il metodo dei potenziali ai nodi occorre che tutti i lati della rete siano alla Norton. Con riferimento al circuito mostrato in Figura 7.1.7 si immagina soltanto di trasformare il lato Thevenin costituito da V̇g ed R1 in lato alla Norton. In questo modo risulta evidente che i nodi veri del circuito sono tre. Per applicare il metodo si pone a massa il nodo verso coi auiscono in maggior numero i lati della rete e si indicano i potenziali di nodo degli altri nodi. Visto che la rete è inquadrata nel dominio dei fasori è ovvio che i potenziali di nodo sono dei fasori e la matrice di conduttanze di nodi è in realta la matrice delle ammettenze dei nodi. In Figura 7.1.8 viene mostrata la rete avendo denito come nodo di riferimento il nodo 3, e i potenziali di nodo Ė1 ed Ė2 . Applicando le regole di ispezione visiva si ha immediatamente il sistema risolvente: " 1 R1 + iωC + 1 − jωL 1 jωL 1 − jωL 1 1 R2 + jωL # Ė1 Ė2 "" = V̇g R1 ## I˙g Possiamo immediatamente provare la correttezza del metodo visto che lo abbiamo applicato alla solita rete che no ad ora abbiamo studiato. Scrivendo una semplice LKT ∗ possiamo trovare l'espressione del fasore della tensione ai capi del capacitore: V̇c = Ė1 − 0̇ = Ė1 Per determinare il fasore V̇c occorre dunque ricavare temente trovato: 222 Ė1 dal sistema risolvente preceen- 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.1.8: rete elettrica nel dominio dei fasori 1 1 1 R1 + jωC+ jωL Ė1− jωL Ė2 − 1 Ė1 + 1 + 1 Ė2 = I˙g jωL R2 jωL = V̇g R1 1 + jω + 1 Ė1 − 1 Ė2 = V̇g jω jω =⇒ 1 1 ˙ − Ė1 + 1 + jω jω Ė2 = Ig (moltiplicando entrambe le equazioni per jω ) ( =⇒ 1 + jω + (jω)2 Ė1 − Ė2 = jω V̇g −Ė1 + (1 + jω) Ė2 = jω I˙g (moltiplicando la prima equazione per =⇒ (1 + jω)) i (h 1 + jω + (jω)2 (1 + jω) Ė1 − (1 + jω) Ė2 = jω (1 + jω) V̇g =⇒ −Ė1 + (1 + jω) Ė2 = jω I˙g Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene: i o h i nh 1 + jω + (jω)2 (1 + jω) − 1 Ė1 = jω (1 + jω) V̇g + I˙g =⇒ n o h i =⇒ (1 + jω)2 + (jω)2 (1 + jω) − 1 Ė1 = jω (1 + jω) V̇g + I˙g =⇒ n o h i =⇒ 1 + 2 (jω) + (jω)2 + (jω)2 + (jω)3 − 1 Ė1 = jω (1 + jω) V̇g + I˙g =⇒ n o h i =⇒ 2 (jω) + 2 (jω)2 + (jω)3 Ė1 = jω (1 + jω) V̇g + I˙g =⇒ n o =⇒ 2 + 2 (jω) + (jω)2 Ė1 = (1 + jω) V̇g + I˙g 223 =⇒ 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Tenendo conto che V̇c = Ė1 è ovvio che con quest'ultima equazione stiamo ritrovando (4.7.23) vericando così la correttezza del metodo dei potenziali ai nodi. 7.1.2.4 Teorema di Millman Il metodo dei potenziali ai nodi per una rete avente solo due nodi è noto con il nome di Teorema di Millman e conduce alla scrittura di una equazione in una sola incognita, ossia il potenziale di nodo. Possiamo vedere un'applicazione molto semplice. Consideriamo la rete elettrica precedente privandola del generatore di corrente I˙g : Figura 7.1.9: rete elettrica a due nodi Si ha immediatamente la formula: 1 1 + jωC + R1 R2 + jωL Ė1 = V˙g R1 Sostituendo i valori numerici e riordinando i termini si trova: h i (jω)2 + 2 (jω) + 2 Ė = (1 + jω) V˙g 7.1.2.5 Metodo dei potenziali ai nodi modicato Cosa succede se la rete presenta un lato contenente solo un generatore ideale di tensione? E' possibile applicare ugualmente il metodo dei potenziali ai nodi? LA RISPOSTA è SI!! Quando ci si trova un circuito in cui un generatore ideale di tensione sitrova tra due punti distinti del circuito dovremmo essere contenti perchè in realtà abbiamo un'incognita in meno. 224 Figura 7.1.10: 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Quando ci si trova in una situazione del genere bisogna avere l'umiltà di scrivere il sistema risolvente in forma scalare (e quindi non di getto se non si è esperti!!). Consideriamo la stessa rete elettrica che per comodità riportiamo in Figura ; nessuno ci obblioga a pensare che la serie costituita dal generatore ideale di tensione e il resistore R1 V̇g è un unico lato. possiamo pensare che essi costituiscano due lati distinti. Così facendo il generatore V̇g collega due distinti punti del circuito (Figura 7.1.10). Applichiamo il metodo del potenziale ai nodi. Colleghiamo il nodo 4 a massa e chiamiamo Ė1 il potenziale al nodo 1, Ė2 il potenziale al nodo 2. Il potenziale al nodo 3 non è incognito, ma è un valore noto, ovvero seguente V̇g . Quest'ultimo fatto viene fuori scrivendo la LKT ∗ : V̇g = Ė3 − 0̇ = Ė3 Si osservi in Figura 7.1.11 che per ciascun nodo è stato costruito un insieme di taglio supponendo per ciascuno di essi, tutte le correnti uscenti. Figura 7.1.11: All'insieme di taglio 1 si ha la LKC: Ė1 − 0̇ 1 jωC + Ė1 − Ė2 Ė1 − V̇g + =0 jωL R1 (7.1.26) All'insieme di taglio 2 si ha la LKC: Ė2 − Ė1 Ė2 − 0̇ + − I˙g = 0 jωL R2 225 (7.1.27) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Inne all'insieme di taglio 3 si ha la LKC: V̇g − Ė1 − I˙ = 0 R1 (7.1.28) Osserviamo che in quest'ultima equazione e soltanto in quest'ultima, compare una nuova incognita, ossia I˙. Quello che si fa è dunque risolvere il sistema costituito dalle equazioni in (7.1.26) e (7.1.27) determinando così i potenziali ai nodi la corrente I˙, Ė1 , e Ė2 . Se poi si vuole conoscere pure si utilizza la (7.1.28). 7.1.2.6 Esempio2 Consideriamo la rete elettrica mostrata in Figura 7.1.12. Figura 7.1.12: Ė1 , il potenziale al nodo 1. ∗ Per determinare il potenziale al nodo 2 si scrive la LKT relativa al lato costituito dal E' stato posto a massa il nodo 3 ed è stato chiamato generatore ideale di tensione: V̇g = Ė2 − Ė1 Da quest'ultima relazione si vede immediatamente che il potenziale al nodo 2 è: Ė2 = V̇g + Ė1 Quindi il potenziale incognito è solo quello presente al nodo 1 perchè quello al nodo 2 si ottiene sommando V̇g a Ė1 . 226 7 Metodi di analisi delle reti elettriche E' possibile scrivere il sistema risolvente relativo al circuito di Figura 7.1.12 in 2 modi, indicati nel seguito. 7.1.2.6.1 Modo poco furbo Si possono scrivere le LKC agli insiemi di taglio 1 e 2 indicati in Figura 7.1.13. Facendo così occorre introdurre nuova incognita, ossia la corrente una I˙, che attraversa il generatore ideale di tensione V̇g . Si tratta dunque di risolvere il sistema nelle incognite Ė1 R1 +jωL Ė1 , I˙: + Ė1 1 jωC + I˙ = 0 =⇒ Ė1 +V̇g − I˙ − I˙ = 0 g R2 ⇒ Ė1 + V̇g Ė1 Ė1 + + +−I˙ = 0 R1 + jωL 1/jωC R2 (7.1.29) Figura 7.1.13: 7.1.2.6.2 Modo furbo Basta scrivere la LKC all'insiemi di taglio indicato in Figura 7.1.14. L'insieme di taglio non taglia la corrente I˙, quindi si ha facilmente che: Ė1 + V̇g Ė1 − 0̇ Ė1 + + − I˙ = 0 R1 + jωL 1/jωC R2 (7.1.30) esattamente come in (7.1.29). 7.2 Metodo delle correnti di anello 7.2.1 Elementi di teoria dei gra: il concetto di anello Il metodo delle correnti di anello si applica solo a reti planari. Una rete elettrica si dice planare quando può essere disegnata su un foglio di carta evitando che ci siano sovrapposizioni in punti che non sono nodi. circuito si dice non planare. 227 In caso contrario il 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.1.14: In sostanza il circuito planare è un circuito 2D, mentre il circuito non planare è un circuito 3D: quindi un circuito planare è piùsemplice. Per un circuito planare possiamo denire il concetto di anello. L'anello è un percosrso chiuso all'interno del circuito in modo tale che non ci siano altri lati del circuito al proprio interno. Figura 7.2.1: denizione di anello Proposizione. Se la rete elettrica è planare il numero di anelli è dato da Na = L − N + 1 (7.2.1) essendo L il numerodi lati ed N il numero di nodi della rete. Dimostrazione. La (7.2.1) si dimostra per induzione. Consideriamo un circuito formato da un solo anello come mostrato in Figura 7.2.2; per esso il numero di lati L coincide con il numero 228 7 Metodi di analisi delle reti elettriche di nodi N. Come chiarisce la Figura 7.2.2, se N=5 è il numero di nodi allora L=5 è il numero di lati (si noti che in gura i nodi sono stati indicati con i numeri romani). Il numero di lati coincide con il numero di nodi per un circuito formato da un solo anello: L=N (7.2.2) Infatti sostituendo (7.2.2) in (7.2.1), si ottiene N1 = 1. Visto che la dimostrazione viene fatta per induzione occorre supporre che nel Figura 7.2.2: circuito caso di una rete elettrica planare complicata risulti: formato da un solo anello Na = L − N + 1 (7.2.3) e che tale relazione continui a valere anche aggiungendo un anello. Conosderiamo allora la rete elettrica planare mostrata in Figura 7.2.3 avente lati ed N =6 L = 10 nodi: Figura 7.2.3: rete elettrica planare Aggiungendo ad essa 0 L =4 lati ed 0 N =3 nodi si ottiene la rete elettrica precedente con un anello in più: Figura 7.2.4: rete con un anello in più La relazione tra i nuovi nodi e i nuovi lati introdotti è: 229 7 Metodi di analisi delle reti elettriche 0 0 L =N +1 (7.2.4) Il numero di anelli della rete mostrata in Figura 7.2.4 è ovviamente: 0 0 Na+1 = Na + 1 = L + L − N + N + 1 da cui si ricava: 0 0 Na = L + L − N + N (7.2.5) Andando a sostituire (7.2.4) in (7.2.5) si ottiene l'ipotesi in (7.2.3). Proposizione. Il numero di anelli denizione di nodo. Na in una rete elettrica planare non dipende dalla Figura 7.2.5: arbitrarietà nella denizione di nodo Come sappiamo c'è una certa arbitrarietà nella denizione di nodo. Se intendiamo per lato un tratto di circuito contenente un solo dispositivo elementare, per la rete mostrata in Figura 7.2.5.A si avrà N =3 ed L = 5. In questo caso il numero di anelli vale: Na = L − N + 1 = 3 Denendo invece pure i lati compositi come mostrato in Figura 7.2.5.B si avrà ed L = 6, ma ancora una volta anello esterno Denendo l' N =4 Na = 3. come il persorso chiuso all'esterno della rete, la formula che esprime il numero di anelli di un circuito si scrive: Na = L − N + 2 (7.2.6) Come sappiamo il grafo è una rappresentazione topologica orientata della rete elettrica: ciascun lato del grafo è orientato come la corrente che scorre nel lato della rete. A questo punto si possono orientare pure gli anelli del grafo, per esempio tutti in senso orario come mostrato in Figura 7.2.7: oppure dato che l'orientazione degli anelli è del tutto arbitraria si può pensare di orientare tutti gli anelli interni in senso orario e l'anello esterno in senso antiorario come mostrato in Figura 7.2.8: 230 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.2.6: anello esterno Figura 7.2.7: anelli orientati in senso orario 7.2.1.1 La matrice di incidenza totale anelli-lati Con gli anelli (compreso quello esterno) è possibile costruire la anelli-lati. Na = L − N + 2 (L − N + 2) × L. Poichè il numero di anelli è matrice è di ordine m11 m21 [Mtot. ] = e il numero di lati è m12 m22 m(N −L+2)1 m(N −L+2)2 Il generico elemento mij matrice di incidenza totale L, ... ... m1L ... ... m2L . . . . ... ... m(N −L+2)L si ha che tale (7.2.7) della matrice di incidenza totale anelli-lati è costruito mediante la regola mostrata in Figura 7.2.9: Consideriamo il grafo mostrato in Figura 7.2.10. Visto che si ha N =3 ed L=5 si ha che Na = 4 in accordo con (7.2.6). Seguendo la regola mostrata in Figura 7.2.9 si ha che la matrice di incidenza totale anelli-lati di ordine 4 × 5, vale: 231 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.2.8: anello esterno orientato in senso antiorario Figura 7.2.9: regola per la costruzione della matrice Mtot. 1 1 0 −1 0 0 −1 1 0 0 [Mtot. ] = 0 0 0 1 −1 −1 0 −1 0 1 Si osservi che tale matrice ha le righe linearmente dipendenti, infatti la somma degli elementi di ciascuna colonna è nulla esattamente come avveniva con la matrice 7.2.1.1.1 Matrice di incidenza anelli-lati [Atot. ] . Quello che si fa è eliminare la riga che fa riferimento all'anello esterno, pochè combinazione lineare delle altre righe. Così facendo ovviamente non si ha perdita di informazione perchè in qualsiasi momento risulta possibile ripristinare la riga eliminata dato che deve essere composta da elementi tali che se sommati per colonna devono restituire zero come prima osservato. Eliminando quindi la riga riferita all'anello esterno dalla matrice matrice di incidenza anelli-lati: [M ] di ordine (L − N + 1) × L. 232 [Mtot. ] si ricava la 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.2.10: grafo Uguagliando a zero il prodotto tra la matrice di incidenza anelli-lati e il vettore colonna delle tensioni di lato si ricavano L−N +1 [M ] LKT: [v] [0] = (L − N + 1) × L L × 1 (7.2.8) (L − N + 1) × 1 Per Il grafo di Figura 7.2.11, il sistema di equazioni in (7.2.28) si scrive: 1 1 0 −1 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 1 −1 v1 v2 v3 v4 v5 = 0 0 0 0 0 ⇒ v1 + v2 − v4 = 0 LKT 1 ⇒ −v2 + v3 = 0 LKT 2 v4 − v5 == LKT 3 In Figura 7.2.11 viene riportato il grafo precedente avendo specicato le tensioni e le correnti di lato Si può osservare che le equazioni precedentemente trovate sono corrette. 7.2.2 Descrizione del metodo Sulla matrice di incidenza anelli-lati si basa il metodo de lle correnti di anello . Supponiamo di avere una rete elettrica formata da N nodi ed L lati; si avranno allora 2L incognite: le tensioni e le correnti di lato: vk , ik k = 1, 2, ...., L A questo punto si deniscono altre incognite, ossia L-N+1, ossia tante quanti sono gli anelli della rete: 233 le correnti di anello. (7.2.9) Esse sono 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.2.11: grafo jh h = 1, 2, ...., L − N + 1 (7.2.10) Le correnti di anello sono semplicemente correnti matematiche , quindi di nessun signicato sico. Ciascuna corrente di anello può coincidere con una corrente di lato o al limite può essere la sovrapposizione di due correnti di lato. Il problema così posto risulta costituito da 2L-N+1 incognite e per tanto servono 3LN+1 equazioni. L-N+1 equazioni sono le LKT date in (7.2.28). Serve pertanto scrivere altre 2L equazioni; di queste 2L equazioni, L sono le cosiddette delle correnti (LKC ∗ ) pseudo leggi di Kirchho che legano le correnti di lato alle correnti di anello. Facendo riferminto a Figura 7.21 si ha: i1 i2 i3 i4 i5 Le LKT ∗ = j1 = j1 − j2 = j2 = −j1 + j3 = −j3 LKC ∗ 1 LKC ∗ 2 LKC ∗ 3 LKC ∗ 4 LKC ∗ 5 si possono pure esprimere in termini della matrice di incidenza anelli-lati, cioè vale la relazione: [M. ]T [j] [i] = L × (L − N + 1) (L − N + 1) × 1 Ovviamente le (7.2.11) L×1 LKC ∗ sono semanticamente delle LKC ma non lo sono sintatticamente. Attraverso di esse le LKC sono automaticamente soddisfatte e questo fatto lo si può provare immediatamente: dal grafo di Figura 7.2.11 si consideri per esempio la seguente LKC: 234 7 Metodi di analisi delle reti elettriche −i1 + i2 + i3 = 0 Tale equazione è automaticamente soddisfatta dalle LKC ∗ , infatti si ha: −j1 + j1 − j2 + j2 = 0 Le altre L equazioni che si possono scrivere per risolvere il problema avente 3L+N-1 incognite sono le leggi di lato (LL) alla Thevenin. Figura 7.2.12: lato Thevenin Proposizione. Quando si applica il metodo delle correnti di anello ipotizzare che ciascun lato sia alla Thevenin. In Figura 7.2.12 viene mostrato il lato alla Thevenin. Si osservi che per il lato mostrato in gura è stata utilizzata la convenzione dell'utilizzatore. Per il lato Thevenin vale la relazione: vk (t) = vgk (t) + Rk igk (t) (7.2.12) Per una rete formata da L lati si possomo scrivere L equazioni del tipo (7.2.12) che si possono compattare nella seguente forma matriciale: [v] = [R] [i] + [vg ] L×1L×LL×1 (7.2.13) dove [R] = R1 . . . . . 0 0 R2 0 . . . 0 . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0 RL 235 (7.2.14) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche è la matrice delle resistenze di lato (nel caso generale matrice delle impedenze di lato). L'insieme delle equazioni date in (7.2.8), (7.2.11) e (7.2.13) costituisce il sistema risolvente di 2L+N-1 equazioni in 2L+N-1 incognite: (7.2.15.1) [M ] [V ] = [0] T [i] = [M ] [j] (7.2.15.2) [v] = [R] [i] + [vg ] (7.2.15.3) N − 1 LKT L LKC ∗ L LL Moltiplicando a sinistra tutti i termini della (7.2.15.3) per [M ] (7.2.15) si ottiene: [M ] [v] = [M ] [R] [i] + [M ] [vg ] (7.2.16) Per la (7.2.15.1), la (7.2.16) si scrive: [M ] [R] [i] + [M ] [vg ] = [0] (7.2.17) Per la (7.2.15.2) la (7.2.17) si scrive: [M ] [R] [M ]T [j] + [M ] [vg ] = [0] ovvero: [M ] [R] [M ]T [j] = − [M ] [vg ] Visto che [A], [G] e [ig ] sono quantità note, è evidente che (7.1.19) è un sistema risolvente nelle sole N-1 incognite Denendo la eh . matrice delle resistenze di anell o: [RA ] = [M ] [R] [M ]T e il (7.2.18) (7.2.19) vettore colonna dei generatori di anell o: [vgA ] = − [M ] [vg ] (7.2.20) la (7.2.18) si può scrivere ancora in forma più compatta, come segue: [RA ] [j] = [vgA ] Risolvendo (7.2.21) si trovano le correnti di anello traverso leLKC ∗ si trovano le correnti di lato LL si trovano le tensioni di lato ik , (7.2.21) jh , note le correnti di anello, at- note le correnti di lato, attraverso le vk . Proposizione. Se nella rete elettrica non ci sono generatori pilotati, allora la matrice delle conduttanze di nodi è simmetrica. La matrice delle resistenze di anello e il vettore colonna dei generatori di anello, si possono scrivere di getto guardando semplicemente il circuito, se nella rete elettrica non ci sono generatori pilotati e induttori mutuamente accoppiati. 236 7 Metodi di analisi delle reti elettriche 7.2.2.1 Regole di ispezione visiva 7.2.2.1.1 Matrice delle resistenze di anello [RA ] I termini che si trovanno sulla diagonale principale valgono rii = X Rk (7.2.22) k∈i essendo i l'anello i-esimo, mentre i termini che stanno fuori dalla diagonale principale, valgono: rij = rji = ± X Rk (7.2.23) k∈i ∩j essendo i l'anello i-esimo e essendo j l 'anello j-esimo. Il segno + va messo quando le correnti nell'anello i e nell'anello j sono concordi all'intersezione: Figura 7.2.13: correnti concordi Il segno - va messo quando le correnti nell'anello i e nell'anello j sono discordi all'intersezione: Figura 7.2.14: correnti discordi 7.2.2.1.2 Vettore colonna dei generatori di anello [vgA ] Il vettore colonna presenta gli elementi: vgAi = X ±vgk k∈i Vale il segno + se il generatore vale il segno - se il generatore vgk vgk ji : ji : agevola la corrente di anello ostacola la corrente di anello 237 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.2.15: correnti discordi Figura 7.2.16: coorenti discordi Il metodo delle correnti di anello vale nel dominio del tempo, nel dominio dei fasori, nel dominio di Laplace e anche nel dominio di Fourier esattamente come il metodo dei potenziali ai nodi. 7.2.2.2 Esempio1 Consideriamo la rete elettrica nel dominio dei fasori mostrata in Figura 7.2.17: Figura 7.2.17: rete elettrica nel dominio dei fasori Quando si applica il metodo dei potenziali ai nodi occorre che tutti i lati della rete siano alla Thevenin. Con riferimento al circuito mostrato in Figura 7.2.17 si immagina 238 7 Metodi di analisi delle reti elettriche soltanto di trasformare il lato Norton costituito da I˙g ed R2 in lato alla Thevenin (Figura 7.2.18). Figura 7.2.18: rete elettrica nel dominio dei fasori In questo modo risulta evidente che gli anelli veri del circuito sono due e non tre. Visto che la rete è inquadrata nel dominio dei fasori è ovvio che le correnti di anello sono dei fasori e la matrice delle resistenze di anello è in realta la matrice delle impedenze di anello. Applicando le regole di ispezione visiva si ha immediatamente il sistema risolvente: " 1 R1 + jωC 1 − jωC 1 − jCL 1 R2 + jωC + jωL # J˙1 J˙2 = V̇g −R2 I˙g 7.2.2.3 Metodo delle correnti di anello modicato Cosa succede se la rete presenta un lato contenente solo un generatore ideale di corrente? E' possibile applicare ugualmente il metodo delle correnti di anello? LA RISPOSTA è SI!! Si può operare come descritto di seguito 239 7 Metodi di analisi delle reti elettriche 7.2.2.3.1 Modo poco furbo Si individuano gli anelli I,II e III come indicato in Figura 7.2.19. Il sistema risolvente che si ottiene: 1 R1 + jωC − 1 jωC 0 risulta 4 1 − jCL 0 1 0 jωC + jωL 0 R2 costituito incognite. Per da 3 rendere V̇g J˙1 J˙2 = −V̇ V̇ J˙3 equazioni in determinato il sistema occorre introdurre una nuova equazioni per la presenza dell'incognita V̇ (tensione ai capi del generatore ideale di corrente). Questa equazione è la V̇ . LKC ∗ contenente Figura 7.2.19: Dal circuito mostrato in Figura 7.2.19 si vede che tale equazione è: V̇ = J˙3 − J˙2 R2 Questo modo di operare è il peggiore che possa esistere (anche se corretto) perchè per risolvere un circuito del secondo ordine richiede la risoluzione di un sistema 2×2 4 × 4 anzichè . 7.2.2.3.2 Modo furbo Visto che il resistore di resistenza R2 e il generatore ideale di corrente I˙g sono in parallelo tra di loro, li possiamo invertire di posizione come mostrato in Figura 7.2.20: Figura 7.2.20: Scriviamo il sistema risolvente in forma scalare. La LKT all'anello I è 240 7 Metodi di analisi delle reti elettriche −V̇g + R1 J˙1 + 1 ˙ J1 − J˙2 = 0 jωC La LKT all'anello II è 1 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ J2 − J1 + jωLJ2 + R2 J2 + Ig = 0 jωC La LKT all'anello III è −V̇ + R2 J˙2 + I˙g = 0 Si osservi che l'incognita V̇ , questa volta, gura soltanto nella terza equazione. PEr- tanto il circuito si risolve facendo sistema tra le prime due equazioni. -Quanto vale la potenza media assorbita da R2 ? Si ha ovviamente che 2 P2 = R2 I˙2 Resta da capire allora chi è la corrente Figura 7.2.19 viene da dire conto della corrente I˙g . I˙2 = J˙3 . I˙2 . Dovremmo scrivere una LKC ∗ . Guardando In realtà non è così perchè non stiamo tenendo Guardando il circuito mostrato in Figura 7.2.20 è chiaro che deve essere: I˙2 = I˙g + J˙2 Per essere sicuri di non sbagliare a scrivere una pseudo leggo di Kirchho delle correnti è evidente che occorre andare a scrivere la matrice di incidenza anelli-lati e risolvere il sistema dato in (7.2.11) in caso di dubbio. 7.2.3 Rete elettrica con coppia di induttori mutuamente accoppiati Figura 7.2.21: 241 7 Metodi di analisi delle reti elettriche In Figura 7.2.21 viene riportata una rete elettrica nel dominio dei fasori avente una coppia di induttori mutuaente accoppiati. PEr la presenza degli induttori mutuamente accoppiati non si scrive di getto il sistema risolvente. Le LKT agli anelli I e II sono: −V̇g + R1 J˙1 + jωL1 J˙1 − J˙2 + jωM J˙2 = 0 LKT I jωL2 J˙2 − jωM J˙2 − J˙1 + R2 J2 +˙ ˙Ig + jωL1 J˙2 − J˙1 − jωM J˙2 = 0 LKT 2 Cerchiamo di capire i segni che precedono i termini in LKTI. Percorrendo il senso dell'anello I si incontra il segno -generatore, quindi nella LKT1 va messo −V̇g . Assumendo positiva la corrente J˙1 − J˙2 , allora l'auto-reattanza jωL1 deve essere preceduta dal segno +. Per decidere ilsegno della mutua-reattanza to delle correnti J˙1 − J˙2 J˙1 − J˙2 e J˙2 jωM , occorre vedere il comportamen- rispetto ai contrassegni. , essa avrà lo stesso senso di percorrenza di J˙1 , Assunta positiva la corrente pertanto visto che J˙1 e J˙2 han- no lo stesso comportamento rispetto ai contrassegni (entrambe entranti dai contrassegni), la mutua-reattanza jωM deve avere segno +. 7.3 Criterio per la scelta del metodo Quando si analizza una rete elettrica bisogna scegliere il metodo di analisi da utilizzare. Ovviamente il metodo migliore è sempre quello che permette di scrivere il minor numero di equazioni per il sistema risolvente. Nel caso del metodo dei potenziali ai nodi il sistema risolvente è costituito da N-1 equazioni: [GN ] [e] = [igN ] (7.3.1) Nel caso del metodo delle correnti di anello il sistema risolvente è invece costituito da L-N+1 equazioni: [RA ] [j] = [vgA ] (7.3.2) Pertanto una volta denito il numero di nodi N e quindi di lati L, si vanno a valutare i numeri N-1 ed L-N+1 e quello più piccolo decide il metodo da utilizzare. Se risulta N-1 minore di L-N+1 si utilizza il metodo dei potenziali ai nodi. In caso contrario si utilizza il metodo delle correnti di anello. 242 7 Metodi di analisi delle reti elettriche 7.4 Metodo degli insiemi di taglio 7.4.1 Elementi di teoria dei gra: il concetto di albero e di insieme di taglio fondamentale Dato un grafo: G = {N , L, f : L → N × N } si chiama (7.4.1) albero un sottografo formato da N nosi ed L = N − 1 lati tali da non formare 0 percorsi chiusi: n o 0 0 A = N, L , g : L → N × N ⊆ G I lati che non appartengono all'albero si chiamano corde. lati di coalbero (7.4.2) o semplicemente Quindi se N-1 sono i lati d'albero, allora L-N+1 sono le corde; è ovvio allora che a ciascun grafo corrispondono più alberi. Per esempio al grafo di Figura 7.4.1 Figura 7.4.1: grafo con N=5 nodi ed L=9 lati corrispondono gli alberi mostrati in Figura 7.4.2 Consideriamo l'albero B di Figura 7.4.2, evidenziando pure i lati di coalbero come mostrato in Figura 7.4.3. Si può osservare che i lati del grafo sono stati numerati indicando prima i lati di coalbero e poi quelli di albero anche se questa scelta è in realtà del tutto arbitraria. Si chiama insieme di taglio fondamentale quella supercie gaussiana che taglia asclu- sivamente un solo lato d'albero. Siccome ilati d'albero sono N-1, saranno N-1 gli insiemi di taglio fondamentali. L'albero mostrat in Figura 7.4.3 è formato da 4 lati e pertanto avrà 4 insiemi di taglio fondamentali come mostrato in Figura 7.4.4 Si osservi che non è detto che un insieme di taglio fondamentale coincide sempre con un insieme di taglio al nodo (l'insieme di taglio fondamentale 4 NON coincide con l'insieme di taglio al nodo 4). 243 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.4.2: albero: N=5 nodi, N-1=4 lati Figura 7.4.3: albero: N=5 nodi, N-1=4 lati; coalbero: N=5 nodi; L-N+1=5 A questo punto possiamo denire la matrice di incidenza insiemi di taglio-lati. Visto chegli insiemi di taglio fondamentale sono N-1 ed i lati sono L, la matrice di incidenza insiemi di taglio-lati è dimensionalmente [A] = a11 a21 a12 a22 a(N −1)1 a(N −1)2 Il generico elemento aij (N − 1) × L: ... ... a1L ... ... a2L . . . . ... ... a(N −1)L (7.4.3) della matrice di incidenza insiemi di taglio-lati è costruito mediante la regola mostrata in Figura 7.4.5: Asserzione. Di volata in volta conviene scegliere il versore normale all'insieme di taglio concordemente al verso del lato d'albero interessato dall'insieme di taglio stesso. 244 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.4.4: albero: N=5 nodi, N-1=4 lati; coalbero: N=5 nodi; L-N+1=5 Figura 7.4.5: regola per la costruzione della matrice A 7.4.1.1 La matrice di incidenza insiemi di taglio-lati Attraverso la matrice di incidenza insiemi di taglio-lati, si possono scrivere N-1 LKC linearmente indipendenti: [A. ] [i] = [0] (7.4.4) Questo fatto si può provare subito utilizzando il grafo mostrato in Figua 7.4.4. matrice di incidenza insiemi di taglio-lati è: −1 1 [A] = 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 −1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 −1 1 0 0 0 Sostituendo quest'ultima espressione in (7.4.4) si ottiene: 245 0 0 0 1 1 0 0 0 La 7 Metodi di analisi delle reti elettriche −1 1 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 −1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −i1 − i4 + i9 = 0 i + i − i + i = 0 1 2 5 6 i + i + i = 0 2 3 7 i − i + i + i = 0 1 3 4 8 Queste ultime relazioni sono le LKC agli insiemi di taglio fondamentali indicati in Figura 7.4.6 Figura 7.4.6: albero: N=5 nodi, N-1=4 lati; coalbero: N=5 nodi; L-N+1=5 Denendo le tensioni dei lati d'albero: eh h = 1, 2, ...., N − 1 (7.4.5) attraverso la matrice di incidenza insiemi di taglio-lati, si possono ricavare le relazioni che legano le tensioni di lato della rete alle tensioni dei lati d'albero, cioè le [A. ]T [e] = [v] LKT ∗ : (7.4.6) Con riferimento al grafo mostrato in Figura 7.4.7, le tensioni dei lati d'albero sono: 246 7 Metodi di analisi delle reti elettriche e1 e2 e3 e4 = v9 = v6 = v7 = v8 Pertanto la (7.4.6) si scrive: v1 −1 1 0 1 v2 0 1 1 0 v3 0 0 1 −1 e 1 −1 0 0 1 e2 v4 = v5 ⇒ 0 −1 0 0 e3 v6 0 1 0 0 e4 v7 0 0 1 0 v8 0 0 0 1 v9 1 0 0 0 −e + e2 + e4 = v1 1 e2 + e3 = v2 e3 − e4 = v3 −e1 + e4 = v4 =⇒ −e2 = v5 e2 = v6 e3 = v7 → tensioni dei lati d0 albero e4 = v8 e1 = v9 Attraverso le LKT + , le LKT risultano automaticamente soddisfatte. Questo fatto si prova subito, considerando per esempio la segunte LKT: v1 − v4 − v6 = 0 e andando a sostituire le LKT ∗ precedentemente trovate: (e1 + e2 + e4 ) − (e1 + e4 ) − (e2 ) = 0 Avendo introdotto come incognite ausiliarie le N-1 tensioni dei lati d'albero, si hanno 2L+N-1 incognite considerando le tensioni e le correnti di lato. Servono quindi 2l+N-1 equazioni per risolvere la rete elettrica. Attraverso (7.4.4) e (7.4.6) si hanno L+N-1 equazioni; le altre equazioni sono le leggi di lato, nell'ipotesi che tutti i lati della rete siano alla Norton. Quindi le L equazioni mancanti sono: [i] = [G] [v] − [ig ] 247 (7.4.7) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche L'insieme delle equazioni date in (7.4.4), (7.4.6) e (7.4.7) costituisce il sistema risolvente di 2L+N-1 equazioni in 2L+N-1 incognite: (7.4.8.1) [A] [i] = [0] T [v] = [A] [e] (7.4.8.2) [i] = [G] [v] − [ig ] (7.4.8.3) N − 1 LKC L LKT ∗ L LL (7.4.8) Moltiplicando a sinistra tutti i termini della (7.4.8.3) si ottiene: [A] [i] = [A] [G] [v] − [A] [ig ] (7.4.9) Per la (7.4.8.1), la (7.4.9) si scrive: [A] [G] [v] − [A] [ig ] = [0] (7.4.10) Per la (7.4.8.2) la (7.4.10) si scrive: [A] [G] [A]T [e] − [A] [ig ] = [0] ovvero: [A] [G] [A]T [e] = [A] [ig ] Visto che [A], [G] e [ig ] sono quantità note, è evidente che (7.4.11) è un sistema risolvente nelle sole N-1 incognite Denendo la (7.4.11) eh . matrice delle conduttanze di taglio: [GT ] = [A] [G] [A]T e il (7.4.12) vettore colonna dei generatori degli insiemi di taglio : [igT ] = [A] [ig ] (7.4.13) la (7.4.11) si può scrivere ancora in forma più compatta, come segue: [GT ] [e] = [igT ] Risolvendo (7.2.14) si trovano le tensioni dei lati d'albero traverso leLKT ∗ si trovano le tensioni di lato LL si trovano le correnti di lato ik . vk , (7.4.14) eh , noti queste ultime, at- note le tensioni di lato, attraverso le Si osservi che il metodo degli insiemi di taglio non introduce alcuna novità rispetto al metodo dei potenziali ai nodi pertanto questo metodo viene accantonato preferendogli il metodo dei potenziali ai nodi che tra l'altro risulta molto più semplice da applicare. 248 7 Metodi di analisi delle reti elettriche 7.5 Metodo delle correnti di maglia 7.5.1 Elementi di teoria dei gra: il concetto di maglia Noto il grafo di una rete elettrica, possiamo considerare un suo qualsiasi albero. In Figura 7.5.1 viene mostrato un grafo avente N=4 nodi ed L=6 lati. Viene mostrato pure uno dei suoi possibili alberi. Si osservi che i lati del grafo sono stati numerati indicando prima quellli di coalbero e poi quelli di albero. Figura 7.5.1: albero: N=4 nodi, N-1=3 lati; coalbero: N=4 nodi; L-N+1=3 Si denisce maglia fondamentale quel percorso chiuso che si ottiene aggiungendo al- l'albero un lato di coalbero. Visto che i lati sono L-N+1, ci saranno L-N+1 maglie fondamentali. Nel caso specico del grafo mostrato in Figura 7.5.1, si hanno L-N+1=6-4+1=3 maglie fondamentali come indicato in Figura 7.5.2. A ciascuna maglia si può associare una corrente di maglia che si può orientare in modo del tutto arbitrario, oppure è possibile preferire di orientarla in modo tale che risulti concorde con la corrente del lato di coalbero corrispondente ( Figura 7.5.2) 7.5.1.1 La matrice di incidenza maglie fondamentali-lati Per una rete elettrica formata da N nodi ed L lati si denisce matrice di incidenza maglie fondamentali-lati, la matrice (L − N + 1) × L: m11 m21 [M ] = m12 m22 m(N −1)1 m(N −1)2 dove il generico elemeto mij ... ... m1L ... ... m2L . . . . ... ... m(N −1)L (7.5.1) è costruito mediante la regola descritta in Figura 7.5.3: Seguendo la regola, si ha che la matrice di incidenza maglie fondamentali-lati vale: 249 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.5.2: albero: N=4 nodi, N-1=3 lati; coalbero: N=4 nodi; L-N+1=3 Figura 7.5.3: regola per determinare il generico elemento di [M ] 1 0 0 1 −1 −1 1 1 [M ] = 0 1 0 0 0 0 1 −1 −1 0 Si osservi che la scelta fatta relativamente all'orientazione delle correnti di maglia ha prodotto in [M ] la sottomatrice identità: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Attraverso [M ] si ricavano le LKT e le LKT ∗ , 250 esattamente come nel caso del metodo 7 Metodi di analisi delle reti elettriche delle correnti di maglia: LKT LKT + [M ] [v] = [0] (7.5.2) [i] = [M ]T [j] (7.5.3) Così come con il metodo delle correnti di anello, anche con il metodo delle correnti di maglia, i lati del circuito devono essere alla Thevenin; quindi le L leggi di lato sono: [v] = [R] [i] + [vg ] LL (7.5.4) Combinando opportunamente le equazioni matriciali in () () () si ttiene il sistema risolvente di 3L-N+1 equazioni in altrettante incognite: [RM ] [j] = [vgM ] (7.5.5) [RM ] = [M ] [R] [M ]T (7.5.6) dove è la matrice delle resistenze di maglia (di impedenze di maglia nel caso generale) e [vgM ] = − [M ] [vg ] è il vettore colonna dei generatori di maglia. Le regole di ispezione visiva per determinare ricavare [RA ] (7.5.7) [RM ] sono analoghe a quelle viste per col metodo delle correnti di anello. 7.6 Esempi 7.6.1 Esempio 1. Metodo delle correnti di maglia Si consideri la rete elettrica mostrata in Figura 7.6.1 Cominciamo a denire i nodi della rete elettrica. Come si sa, quando si vanno a denire i nodi c'è sempre un certo grado di arbitrarietà. Se indichiamo i nodi come indicato in Figura 7.6.1, si tratta di studiare una rete elettrica formata da N=5 nodi ed L= 7 lati. Applichiamo il metodo delle correnti di maglia. La rete è formata da N-1=4 lati d'albero ed L-N+1=3 lati di coalbero. Quando la rete elettrica presenta, come nel caso mostrato in Figura 7.6.1, lati alla Norton che non si possono trasformare alla Theven e induttori mutuamente accoppiati, è molto utile seguire le seguenti regole: Regola 1 Qualora la rete elettrica presentasse induttori mutuamente accoppiati si deve fare in modo che su ciascun induttore circoli una sola corrente di maglia; ciò vuol dire considerare l'induttore come lato di coalbero. 251 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.6.1: rete elettrica nel dominio dei fasori Regola 2 Qualora la rete presentasse lati Norton che non si possono trasformare in lati Thevenin, si deve fare in modo che su ciascun lato Norton circoli una sola corrente di maglia; ciò vuol dire considerare i lati alla Norton non ytasformabili alla Thevenin come lati di coalbero. Utilizzando queste due regole possiamo ridisegnare il circuito come mostrato in Figura 7.6.2: viene evidenziato in rosso i lati di albero (R1 , R2 , R3 , C ). Figura 7.6.2: rete elettrica nel dominio dei fasori La rete elettrica presenta 3 lati di coalbero e quindi 3 maglie fondamentali: Individuate le maglie fondamentali, si scrive il sistema risolvente. Ovviamente la presenza degli induttori mutuamente accoppiati suggerisce di scrivere il sistema risolvente 252 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.6.3: rete elettrica nel dominio dei fasori in forma scalare: ˙1 − J˙2 − I˙g + 1 J˙1 − J˙2 − I˙g + jωL1 − jωM J˙2 = 0 R J 1 jωC R J˙ + R J˙ + I˙ + 1 J˙ + I˙ − J˙ + R J˙ + I˙ − J˙ + 2 g 1 2 2 3 2 g 1 2 g 1 jωC ˙ ˙ +jωL2 J2 −jωM J1 = V̇g R I˙ + R I˙ + J˙ − J˙ + 1 I˙ + J˙ − J˙ + R I˙ + J˙ = V̇ 0 g 1 g 2 Si osservi che l'incognita 1 V̇ jωC g 2 1 3 g LKT I LKT II LKT III 2 gura soltanto nella LKT III e pertanto il sistema risolvente risulta composto dalla LKT I e dalla LKT II. Tale sistema viene di seguito scritto in forma matriciale: " 1 R1 + jωC + jωL1 1 −R1 − jωC − jωM 1 jωC −R1 − − jωM 1 R1 + R2 + R3 + jωC + jωL2 # J˙1 J˙2 = R1 + − R1 + 1 jωC Si osservi che nel sistema risolvente non gura da nessuna parte il resistore trova in serie al generatore ideale di corrente I˙g . I˙g + R3 I˙g + V̇g 1 jωC R0 che si Con ciò stiamo trovando la seguente regola: Regola 3 La serie costituita da un generatore ideale di corrente I˙g ed una impedenza Ż equivale al solo generatore ideale di corrente I˙g : Dualmente si ha la seguente regola: 253 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.6.4: generatore ideale di corrente in serie con una impedenza Regola 4 Il parallelo costituita da un generatore ideale di tensione V̇g ed una impedenza Ż equivale al solo generatore ideale di tensione V̇g : Figura 7.6.5: generatore ideale di tensione in parallelo con una impedenza 7.6.2 Esempio 2. Metodo delle correnti di anello Risolviamo l'esercizio visto nella sezione precedente, applicando il metodo delle correnti di anello. Come in precedenza sono stati deniti N=5 nodi e L=7 lati, pertanto la rete elettrica presenta un numero di anelli pari a Na = L − N + 1 = 3. Tali anelli sono rappresentati in Figura 7.6.6. La presenza degli induttori mutuamente accoppiati suggerisce di scrivere il sistema risolvente in forma scalare: 1 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ R J + J + jωL J + J 1 1 1 1 2 − jωM J3 = 0 jωC 1 R3 J˙2 + R0 J˙2 − J˙3 + jωL1 J˙2 + J˙1 − jωM J˙3 = V̇ R2 J˙3 + R0 J˙3 − J˙2 + jωL2 + J˙3 − jωM J˙1 + J˙3 = V̇g − V̇ LKT I LKT II LKT III Così facendo è stato scritto un sistema di 3 equazioni in 4 incognie e pertanto serve na quarta equazione che non sia combinazione lineare delle precedenti. Tale equazione va ricercata tra le LKC ∗ ;osservando il circuito si trova facilmente la seguente 254 LKC ∗ : 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.6.6: rete elettrica nel dominio dei fasori I˙g = J˙2 − J˙3 LKC ∗ Si tratta dunque di risolvere un sistema molto più complicato rispetto a quella che è in realtà la comlplessità del circuito. La rete proposta essendo un circuito del secondo ordine va risolto con un sistema 2×2 e non 4 × 4. Quindi anche se il metodo delle correnti di anello conduce alla soluzione, in questo caso si ricorre al metodo delle correnti di maglia essendo quello che conduce alla soluzione in modo più veloce. 7.6.3 Esempio 3. Metodo dei potenziali ai nodi Si consideri la rete elettrica mostrata in Figura 7.6.7 Figura 7.6.7: rete elettrica nel dominio dei fasori 255 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Cominciamo a denire i nodi della rete elettrica. Se indichiamo i nodi come indicato in Figura 7.6.7, si tratta di studiare una rete elettrica formata da N=3 nodi ed L= 5 lati. Applichiamo il metodo dei potenziali ai nodi. Come mostrato in Figura 7.6.7 si è preferito di portare a massa il nodo 3 ed di iindicare con Ė2 Ė1 il potenziale al nodo 1 e con il potenziale al nodo 2. In presenza di generatori pilotati non conviene scrivere di getto il sistema risolvente, pertanto come indicato in gura si considerano gli insimi di taglio ai nodi e si scrivono le LKC: Ė1 −V̇g + R1 Ė1 1 jωC + Ė2 −Ė1 − g V̇ + c jωL Ė1 −Ė2 jωL Ė2 R2 = 0 LKC1 =0 LKC2 La corrente del generatore pilotato dipende dalla tensione ai capi del capacitore, bisogno pertanto esprimerla in termini dei potenziali ai nodi e per far ciò si deve scrivere la seguente LKT ∗ : V̇c = Ė1 − 0̇ = Ė1 LKT ∗ Quindi il sistema risolvente si scrive: Ė1 −V̇g + R1 Ė1 1 jωC + Ė2 −Ė1 − g Ė + 1 jωL Ė1 −Ė2 jωL Ė2 R2 = 0 LKC1 =0 LKC2 Riordinando i termini e scrivendo in forma matriciale si ottiene inne: " 1 R1 1 + jωC + jωL 1 −g − jωL 1 − jωL 1 1 jωL + R2 # Ė1 Ė2 = 1 R1 V̇g 0 Si osservi che in presenza di generatori pilotati si perde la simmetria nella matrice delle impedenze di anello. 7.6.4 Esempio 4. Metodo delle correnti di maglia Risolviamo l'esercizio visto nella sezione precedente, applicando il metodo delle correnti di maglia. Come in precedenza sono stati deniti N=3 nodi ed L=5 lati, pertanto la rete elettrica presenta N −1 = 2 lati d'albero e L-N+1=3 lati di coalbero e quindi 3 maglie fondamentali. In presenza di generatori pilotati è conveniente fare uso della seguente regola: Regola 5 In presenza di generatori pilotati si fa in modo che essi siano interessati da una sola corrente di maglia; in altri termini ciò vuol dire considerarli come lati di coalbero. In Figura 7.6.8 sono state indicate le maglie seguendo la regola appena data. 256 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.6.8: rete elettrica nel dominio dei fasori La presenza del generatore pilotato suggerisce di scrivere il sistema risolvente in forma scalare: 1 ˙ ˙ ˙ R J + J − J LKT 1 1 1 2 − V̇g = 0 jωC 1 1 J˙2 − J˙1 + jωLJ˙2 = 0 LKT 2 R2 J˙2 + g V̇c + jωC R2 g V̇c + J˙2 − V̇ = 0 LKT 3 La LKT3 si può subito scartare perchè l'incognita Nella LKT2 gura la variabile di pilotaggio seguente LKC ∗ V̇c V̇ gura in essa soltanto. che si può esprimere attraverso la (vedi Figura 7.6.8): jωC V̇c = J˙1 − J˙2 Pertanto il sistema risolvente si scrive: R1 J˙1 + J˙1 − J˙2 − V̇g = 0 R2 J˙2 + R2 g 1 J˙1 − J˙2 + 1 J˙2 − J˙1 + jωLJ˙2 = V̇ jωC jωC 1 jωC LKT 1 LKT 2 Riordinando i termini e scrivendo in forma matriciale si ottiene inne: " 1 R1 + jωC R2 g 1 jωC − jωC 1 − jωC R2 g 1 R2 − jωC + jωC + jωL # J˙1 J˙2 = V̇g 0 7.6.5 Esempio 5. Metodo dei potenziali ai nodi In precedenza è stato detto che per una rete elettrica avente induttori mutuamente accoppiati si preferisce utilizzare il metodo delle correnti di anello o di maglia, tuttavia in questa sezione si fa vedere come operare su una rete elettrica avente induttori mutuamente accoppiati con il metodo dei potenziali ai nodi. Consideriamo la rete elettrica mostrata in Figura 7.6.9. N=3 nodi e quindi L=5 lati. 257 Per essa sono stati deniti 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.6.9: rete elettrica con induttori mutuamente accoppiati Si osservi che si è scelto di porre a massa il nodo 3 e di indicare con al nodo 1 e con Ė2 Ė1 il potenziale il potenziale al nodo 2. Scrivendo le LKT agli insiemi di taglio si ricava il sistema risolvente: ( Ė1 −V̇g R1 + I˙2 + I˙1 = 0 LKT 1 Ė2 −I˙1 − I˙g + R =0 LKT 2 2 In (7.6.1) compaiono le correnti I˙1 e I˙2 , (7.6.1) che attraversano gli induttori. Si capisce che occorre esprimere tali correnti in termini dei potenziali ai nodi. Per far ciò basta scrivere le equzioni che caratterizzano una coppia di induttori mutuamente accoppiati. Facendo riferimento a Figura 7.6.9 si ha che ( V̇1 = jωL1 I˙1 − jωM I˙2 V̇2 = −jωM I˙1 + jωL2 Utilizzando le seguenti (7.6.2) LKT ∗ V̇1 = Ė1 − Ė2 V̇2 = Ė1 − 0̇ = Ė1 le equazioni in (7.6.2) si scrivono: ( Ė1 − Ė2 = jωL1 I˙1 − jωM I˙2 Ė1 = −jωM I˙1 + jωL2 Quest'ultimo in forma matriciale si scrive: Ė1 − Ė2 Ė1 = jωL1 −jωM −jωM jωL2 Se tra gli induttori non c'è accoppiamento perfetto: 258 I˙1 I˙2 (7.6.3) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche L1 L2 − M 2 6= 0 il sistema in (7.6.3) si può invertire,permettendo cosi di ricavare le espressioni delle correnti che attraversano gli induttori in funzione dei porenziali ai nodi: I˙1 I˙2 I˙1 I˙2 1 = 2 (jω) (L1 L2 − M 2 ) jωL2 jωM jωM jωL1 Ė1 − Ė2 Ė1 ovvero: 1 = (jω) (L1 L2 − M 2 ) L2 M M L1 Ė1 − Ė2 Ė1 (7.6.4) Il sistema in (7.6.4), in forma scalare si scrive: ( I˙1 = I˙2 = L2 +M Ė jω(L1 L2 −M 2 ) 1 L1 +M Ė jω(L1 L2 −M 2 ) 1 + + −L2 Ė jω(L1 L2 −M 2 )2 2 −M Ė jω(L1 L2 −M 2 ) 2 (7.6.5) Sostituendo (7.6.5) in (7.6.1) si ottiene il sistema risolvente in termini dei potenziali ai nodi: h i L1 +L2 +2M jω(L1 L2 −M 2 ) − L2 +M 2 Ė1 + jω(L1 L2 −M ) 1 R1 + V̇ g Ė1 − jω(LL12L+M 2 Ė2 = R 1 2 −M ) i h L2 1 Ė = I˙g + 2 R2 jω(L1 L2 −M 2 ) Si osservi che in assenza di generatori pilotati la matrice delle ammetenze sta risultando simmetrica. 7.6.6 Esempio 6. Metodo delle correnti di maglia Si consideri la rete elettrica mostrata in Figura 7.6.10. Figura 7.6.10: rete elettrica nel dominio dei fasori Siccome R1 è in parallelo ad un generatore ideale di tensione ed R0 è in serie ad un generatore ideale di corrente, la rete data è equivalente a quella mostrata in Figura 7.6.11. Nella gura vengono evidenziate le maglie fondamentali. Per esse si scrivono le seguenti LKT: 259 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.6.11: rete elettrica nel dominio dei fasori R2 J˙ + jωL1 J˙ − jωM J˙ + αI˙1 + jωL2 J˙ + αI˙1 − jωM J˙ = V̇g jωL2 αI˙1 + J˙ − jωM J˙1 − V̇ = 0 Visto che l'incognita V̇ LKT 1 LKT 2 gura solo in LKT2, si può escludere quest'ultima equazione. Per quanto riguarda la prima resta da esprimere la variabile di pilotaggio in termini delle correnti di maglia mediante una LKT ∗ .Dal circuito si vede subito che I˙1 = J˙; quindi la LKT1 si scrive: [R2 + jω (L1 + (1 + α) L2 − (2 + α) M )] J˙ = V̇g 7.7 Metodo delle equazioni di stato Il metodo delle equazioni di stato si basa sul concetto di albero proprio. Si chiama albero proprio, l'albero di un grafo che contiene tutti i capacitori e nessun induttore. Consideriamo la rete elettrica mostrata in Figura 7.7.1. Denendo i nodi come indicato in gura, si tratta di studiare una rete elettrica avente N=3 nodi ed L=5 lati. Questo metodo esige che per ciascun lato si esplicano tensioni e correnti con le opportune convenzioni dell'utilizzatore e del generatore. Pertanto il grafo relatvo alla rete elettrica data è quello mostrato in Figura 7.7.2 Un qualunque albero associato al grafo di Figura 7.7.2 avrà N=3 nodi ed L=N-1. Tra tutti gli alberi del grafo possiamo determinare l'albero proprio che in questo caso deve contenere il capacitore di capacità C e non deve contenere l'induttore di induttanza L (Figura 7.7.3). Una volta noto l'albero proprio associato alla rete elettrica, si vanno a costruire gli insiemi di taglio associati ai lati d'albero capacitivi e le maglie fondamentali associate ai lati di coalbero induttivi. Relativamente all'albero propiro indicato nella gura precedente è possibile individuare un insieme di taglio e una maglia come mostrato in Figura 7.7.4 260 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.7.1: rete elettrica nel dominio del tempo Figura 7.7.2: grafo della rete elettrica: N=3, L=5 Individuati nella rete elettrica gli insiemi di taglio associati ai lati capacitivi e le maglie associate ai lati induttivi si vanno a scrivere le corrispondenti LK. In Figura 7.7.5 viene riproposta la rete elettrica di partenza avendone evidenziato l'insieme di taglio associato al capacitore di capacità C e la maglia fondamentale associata all'induttore di induttanza L. Le LK all'insieme di taglio e alla maglia fondamentale sono: ( −i1 (t) + iL (t) + ic (t) = 0 LKC −vc (t) + vL (t) + v2 (t) = 0 LKT Utilizzando le equazioni costitutive dei dispositivi a memoria d ic (t) = C dt vc (t) d vL (t) = L dt iL (t) e riordinando i termini, le LK precedenti si scrivono: ( d dt vc (t) d dt iL (t) = = 1 C i1 (t) − 1 L vc (t) − 261 1 C iL (t) 1 L v2 (t) LKC LKT (7.7.1) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.7.3: albero proprio Figura 7.7.4: insieme di taglio e maglia fondamentale In quest'ultimo sistema igurano le variabili stato nè ingressi; esse vengono dette i1 (t) e variabili intruse. v2 (t) che non sono nè variabili di Tali variabili sono sempre esprimibili come combinazione lineare degli ingressi e delle variabili energetiche della rete. vc (t) e iL (t) sono note in ogni istante di tempo, allora possiamo vc (t), e all'inideale di corrente etichettato con iL (t) come indicato in Figura Se le variabili di stato sostituire al capacitore un generatore ideale di tensione etichettato con duttore un generatore 7.7.6. Studiando la rete mostrata in Figura 7.7.6 (mediante uno dei metodi di analisi precedenti) si determinano le variabili intruse. In casi molto semplici come quello di Figura 7.7.6 è eccessivo scomodare uno dei metodo di analisi studiati in precedenza visto che: ( v (t)−v (t) i1 (t) = g R1 c = R11 vg (t) − R11 vc (t) v2 (t) = R2 i2 (t) = R2 (iL (t) + ig (t)) = R2 iL (t) + R2 ig (t) (7.7.2) Sostituendo inne, (7.7.2) in (7.7.1) si determinano le espressioni delle equazioni di stato: ( d dt vc (t) d dt iL (t) = − R11C vc (t) − C1 iL (t) + R11C vg (t) = L1 vc (t) − RL2 iL (t) − RL2 ig (t) 262 (7.7.3) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Figura 7.7.5: rete elettrica Figura 7.7.6: rete elettrica Esattamente come in (4.2.9). 7.8 Tecniche di integrazione numerica Sappiamo che una rete elettrica si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni dierenziali nelle variabili di stato, con le opportune condizioni iniziali. E' stato visto come risolvere un problema del genere con ingressi costanti e sinusoidali. Quando gli ingressi per il sistema sono complicati, il problema si può risolvere per via numerica attraverso formule ricorsive. Bisogna innanzitutto suddividere l'intervallo di osservazione ampiezza 263 [0, t] in N intervallini di 7 Metodi di analisi delle reti elettriche ∆= t N e per i tempi t0 = 0; t1 = ∆; t2 = 2∆; ...; tk = k∆; tk+1 = (k + 1) ∆; ...; tN = N ∆ , detti istanti di campionamento, andare a valutare gli ingressi del sistema. I valori degli ingressi in corrispondenza degli istanti di campionamento si chiamano campioni degli ingressi. Determineremo adesso delle formule ricorsive che ci permettono di determinare i valori assunti dalle variabili di stato in corrispondenza degli istanti di campionamento. Consideriamo il seguente problema dierenziale d dt [x (t)] = [A] [x (t)] + [B] [u (t)] (7.8.1.1) [x (0)] = [X0 ] dove [x (t)] (7.8.1) (7.8.1.2) [B] è il vettore degli ingressi. [0, t] si ottiene: ˆ t ˆ t ˆ t d [u (τ )] dτ [x (τ )] dτ + [B] [x (τ )] dτ = [A] 0 0 0 dτ # "ˆ ˆ t ˆ t x(t) x (τ ) dτ + [B] u (τ ) dτ dx (τ ) dτ = [A] è il vettore delle variabili di stato e Integrando (7.8.1.1) nell'intervallo 0 x(0) 0 ovvero: ˆ t [x (t)] − [X0 ] = [A] ˆ t x (τ ) dτ + [B] u (τ ) dτ 0 Si osservi che τ (7.8.2) 0 è semplicemente una variabile di appoggio che viene utilizzata solo per non fare confusione con la variabile di integrazione t. Valutiamo la (7.8.2) in due istanti di tempo successivi, ˆ k∆ [x (tk )] − [X0 ] = [A] tk = ˆ u (τ ) dτ (7.8.3) 0 # (k+1)∆ [x (tk+1 )] − [X0 ] = [A] tk+1 : k∆ x (τ ) dτ + [B] 0 "ˆ e "ˆ x (τ ) dτ + [B] 0 # (k+1)∆ u (τ ) dτ 0 Sottraendo a (7.8.4) la (7.8.3) si ottiene: "ˆ ˆ (k+1)∆ [x (tk+1 )] − [x (tk )] = [A] x (τ ) dτ − 0 # x (τ dτ ) + 0 264 k∆ (7.8.4) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche "ˆ ˆ (k+1)∆ u (τ ) dτ − + [B] u (τ ) dτ = 0 "ˆ 0 ˆ k∆ = [A] x (τ ) dτ + k∆ 0 ˆ ˆ (k+1)∆ # k∆ u (τ ) dτ − u (τ ) dτ + x (τ dτ ) 0 k∆ 0 # k∆ x (τ ) dτ − k∆ + [B] ˆ (k+1)∆ x (τ ) dτ + 0 "ˆ # k∆ Ovvero: "ˆ [x (tk+1 )] − [x (tk )] = [A] "ˆ # (k+1)∆ x (τ ) dτ + [B] k∆ # (k+1)∆ x (τ ) dτ (7.8.5) k∆ In base a come si approssimano gli integrali in (7.5.8) si hanno dierenti tecniche di discretizzazione del problema dierenziale. 7.8.1 Metodo delle dierenze all'indietro Approssimando gli integrali in (7.8.5) con dei rettangoli di base ∆ e altezza x ((k + 1) ∆) = x (tk+1 ), u ((k + 1) ∆) = u (tk+1 ), ´ (k+1)∆ k∆ ´ (k+1)∆ x (τ ) dτ = ∆x (tk+1 ) k∆ u (τ ) dτ = ∆u (tk+1 ) la (7.8.5) fornisce la relazione: [x (tk+1 )] − [x (tk )] = ∆ [A] [x (tk+1 )] + ∆ [B] [u (tk+1 )] che può essere posta anche come segue: 1 1 [I] − [A] [x (tk+1 )] = [x (tk )] + [B] [u (tk+1 )] ∆ ∆ La (7.8.6) è una formula ricorsiva che permette di conoscere il vettore di stato l'istante di tempo tk+1 [u (t)] all'istante di tempo trasformazione di Eulero all'indietro o metodo delle dierenze all'indietro. Per k=0, la (7.8.6) fornisce il vettore dei campioni di stato [x (t1 )]: 1 1 [I] − [A] [x (t1 )] = [X0 ] + [B] [u (t1 )] ∆ ∆ Per k=1, la (7.8.6) fornisce: 1 1 [I] − [A] [x (t2 )] = [x (t1 )] + [B] [u (t2 )] ∆ ∆ 265 [x] al- [x (t)] all'istante precedente tk tk+1 . Essa è nota con il nome di conoscendo il vettore degli stati e il vettore degli ingressi (7.8.6) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche e così via per calcolare gli altri campioni del vettore di stato. Ovviamente maggiore è N, più la soluzione approssimata si avvicna alla soluzione esatta. 7.8.1.1 Esempio (rete elettrica a regime costante) Consideriamo la rete elettrica mostrata in Figura 7.8.1 Figura 7.8.1: rete elettrica nel dominio dei fasori Sappiamo che ad essa corrisponde il seguente sistema dierenziale nelle variabili di stato vc (t) e iL (t): d dt vc (t) = −vc (t) − iL (t) + vg (t) d i (t) = v (t) − i (t) − i (t) c g L dt L vc (0) = 1 i (0) = 1 L che in forma matriciale si scrive: # " #" # " #" # " vc (t) −1 −1 vc (t) 1 0 vg (t) d = + (7.8.7.1) 1 −1 iL (t) 0 −1 ig (t) dt iL (t) # " # " 1 v (0) c = iL(0) 1 (7.8.7) (7.8.7.2) Confrontando (7.8.7) con (7.8.1) si vede subito che: −1 −1 1 −1 vc (t) [x (t)] = iL (t) [A] = 266 1 0 0 −1 vg (t) [u (t)] = ig (t) [B] = (7.8.8) (7.8.9) 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Note le matrici in (7.8.8) e i vettori in (7.8.9), la formula ricorsiva in (7.8.6) si scrive: 1 ∆ +1 1 ∆ −1 1 vc (tk+1 ) +1 iL (tk+1 ) = 1 ∆ vc (tk ) 1 0 + 0 −1 iL (tk ) vg (tk+1 ) ig (tk+1 ) (7.8.10) Supponendo che sia ∆= 10−3 s, vg (tk+1 ) = 9 V, ig (tk+1 ) = 1 A ∀k (ingressi costanti), il sistema in (7.810) diventa: 1001 1 vc (tk+1 ) 1001 vc (tk ) = 103 −1 iL (tk+1 ) 9 + (7.8.11) −1 iL (tk ) Premoltiplicando entrambi i membri di (7.8.11) per la matrice 1001 −1 1 −1 = 1001 1001 1002002 1 − 1002002 1 1002002 1001 1002002 Il sistema in (7.8.11) si scrive: vc (tk+1 ) = 103 iL (tk+1 ) 1001 1002002 1 − 1002002 1 1002002 1001 1002002 vc (tk ) + iL (tk ) 1001 1002002 1 1002002 1 1002002 1001 1002002 9 −1 ovvero vc (tk+1 ) 0, 999 −0, 000998 = iL (tk+1 ) vc (tk ) 0, 999 0, 008992 + 0, 000998 iL (tk ) −0, 00099 Quest'ultimo in forma scalare si scrive vc (tk+1 ) = 0, 999vc (tk ) − 0, 000998iL (tk ) + 0, 008992 (7.8.12) iL (tk+1 ) = 0, 000998vc (tk ) + 0, 999iL (tk ) − 0, 00099 Qui di seguito viene proposto il codice MATLAB che implementa il sistema di equazioni in (7.8.12) 267 7 Metodi di analisi delle reti elettriche Codice MATLAB a=0.999; b=0.000998; c=0.008992; d=-0.00099; t=[0:0.001:10]; l=length(t); v=zeros(1,l); i=zeros(1,l); v(1)=1; i(1)=1; for k=1:(l-1) v(k+1)=a*v(k)-b*i(k)+c; i(k+1)=b*v(k)+a*i(k)+d; end plot(t,v) Una volta lanciato il programma in ambiente MATLAB comparirà il graco della tensione vc (t) che viene mostrato in Figura 7.8.2 Figura 7.8.2: tensione vc (t) Si osservi che stiamo ritrovando lo stesso graco incontrato in Figura 4.3.10 a verica della correttezza del metodo di integrazione numerica. 268 7 Metodi di analisi delle reti elettriche 7.8.2 Metodo delle dierenze all'avanti Approssimando gli integrali in (7.8.5) con dei rettangoli di base ∆ e altezza x (k∆) = x (tk ), u (k∆) = u (tk ), ´ (k+1)∆ k∆ ´ (k+1)∆ x (τ ) dτ = ∆x (tk ) k∆ u (τ ) dτ = ∆u (tk ) la (7.8.5) fornisce la relazione: [x (tk+1 )] − [x (tk )] = ∆ [A] [x (tk )] + ∆ [B] [u (tk )] che può essere posta anche come segue: 1 [x (tk+1 )] = ∆ 1 [I] + [A] [x (tk )] + [B] [u (tk+1 )] ∆ (7.8.13) La (7.8.6) è una formula ricorsiva che permette di conoscere il vettore di stato l'istante di tempo tk+1 [x] al- [x (t)] all'istante precedente tk tk+1 .Essa è nota con il nome di conoscendo il vettore degli stati e il vettore degli ingressi [u (t)] all'istante di tempo trasformazione di Eulero all'avanti o metodo delle dierenze all'avanti. 7.8.3 Metodo di Crank-Nicholson Approssimando gli integrali in (7.8.5) come segue: ´ (k+1)∆ k∆ x (τ ) dτ = ∆ x(tk )+x(tk+1 ) 2 ´ (k+1)∆ k∆ u (τ ) dτ = ∆ u (tk ) + u (tk+1 ) 2 la (7.8.5) fornisce la relazione: u (tk ) + u (tk+1 ) x (tk ) + x (tk+1 ) + ∆ [B] [x (tk+1 )] − [x (tk )] = ∆ [A] 2 2 che può essere posta anche come segue: 2 2 I − [A] [x (tk+1 )] = [I] + [A] [x (tk )] + [B] [u (tk ) + u (tk+1 )] ∆ ∆ (7.8.14) La (7.8.14) è una formula ricorsiva per determinare il vettore delle variabili di stato ed è nota con il nome di Trasformazione di Tustin o metodo di Crank-Nicholson. 269 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale 8.1 Introduzione In questo capitolo viene arontato lo studio delle reti elettriche aventi generatori caratterizzati da forme d'onda periodica ma non sinusoidale. analisi armonica. Per studiare queste reti occorre preliminarmente condurre l' Si tratta di un procedimento basato sulla serie di Fourier che consente di approssimare il generatore periodico non sinusoidale alla somma tra un generatore costante e una combinazione lineare di N generatori sinusoidali oscillanti a frequenze multiplo di una certa frequenza f0 detta frequenza della forma d'onda fondamentale : f1 = k1 f0 f2 = k2 f0 . . fi = ki f0 . . f = k f N N 0 (8.1.1) ki ∈ N Ovviamente l'approssimazione è tanto migliore quanto più grande è N. Se risulta possibile scrivere ciascuna frequenza rete elettrica è in fi regime periodico non sinusoidale. come multiplo di f0 , si dirà che la Se indichiamo con T0 = il periodo della 1 f0 forma d'onda fondamentale, da (7.9.1) segue che 270 (8.1.2) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale T1 = Tk10 T2 = Tk20 . . Ti = Tk0i . . T = T0 N kN (8.1.3) ki ∈ N sono i periodi delle forme d'onda dei generatori sinusoidali presenti nella rete elettrica. Ovviamente si ha che tali periodi sono tutti più piccoli del periodo T0 della forma d'onda fondamentale. Una volta condotta l'analisi armonica viene semplice calcolare l'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo, infatti basta applicare il principio di sovrapposizione degli eetti facendo agire uno alla volta gli N+1 generatori che approssimano il generatore periodico non sinusoidale. Ovviamente in presenza di più generatori periodici non sinusoidali, si conduce l'analisi armonica per ogni generatore e poi quando si applica la sovrapposizione degli eetti, si fanno agire per volta i generatori che oscillano alla stessa frequenza. 8.2 Analisi armonica: serie di Fourier 8.2.1 Funzioni ortogonali e funzioni ortonormali Sia {ϕn (t)} con n = 1, 2, ..., ∞ un insieme di funzioni denite nell'intervallo I = [a, b]. Tali funzioni sono in generale complesse di variabile reale. Si dice che le funzioni ˆ b ϕn (t) costituiscono un insieme ϕn (t) ϕ∗m (t) dt a ( 0 = kn ortogonale in I se succede che se n 6= m = kn δnm se n = m (8.2.1) essendo δnm ( 0 se n 6= m = 1 se n = m δnm si chiamano delta di Kronecker. Se le costanti kn sono 1, le funzioni {ϕn (t)} si dicono ortonormali. ∗ Con il simbolo ϕm è stata indicata la coniugata della funzione ϕm . Le funzioni 271 (8.2.2) tutte uguali a 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Esempio Consideriamo le funzioni esponenziali complesse : n o j2πn Tt 0 {ϕn (t)} = e I = [0, T0 ] . denite nell'intervallo I, infatti per n 6= m Tali funzioni costituiscono un insieme ortogonale in si ha: ˆ T0 j2πn Tt e 0 e −j2πm Tt 0 ˆ T0 j2π(n−m) Tt dt = 0 = (8.2.3) e 0 dt = 0 h n o i 1 1 j2π(n−m) Tt T0 0 e = ej2π(n−m) − 1 = 0 j2π (n − m) j2π (n − m) 0 mentre per n=m si ha: ˆ T0 j2πn Tt e 0 e −j2πm Tt 0 ˆ dt = T0 0 0 Consideriamo le funzioni esponenziali complesse : {ϕn (t)} = denite nell'intervallo ortonormali in I, infatti ˆ T0 dt = I = [0, T0 ]. per n 6= m si 1 j2πn Tt 0 √ e T0 (8.2.4) Tali funzioni costituiscono un insieme di funzioni ha: ˆ T0 1 1 j2πn Tt 1 −j2πm Tt j2π(n−m) Tt 0 0 0 dt = √ e √ e dt = e T0 0 T0 T0 0 i h n o 1 1 1 1 j2π(n−m) Tt T0 0 = e = ej2π(n−m) − 1 = 0 T0 j2π (n − m) T0 j2π (n − m) 0 mentre per T0 n=m si ha: ˆ T0 0 1 j2πn Tt 1 −j2πm Tt 0 √ 0 dt = √ e e T0 T0 ˆ T0 0 1 dt = 1 T0 8.2.2 Insieme completo di funzioni Una successione di funzioni Cauchy {ϕn (t)} con n = 1, 2, ..., ∞ denite in I = [a, b] si dice di se ∀ε > 0∃ν ∈ N : ∀k, h > ν ⇒ kϕk (t) − ϕh (t)k < ε Le funzioni ϕn (t) con n = 1, 2, ..., ∞ denite in I = [a, b], si dice che costituiscono un insieme completo in I se ogni successione di Cauchy risulta convergente. Si dimostra che le funzioni 272 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale esponenziali complesse armoniche sinusoidali di Bessel di Legendre sono funzioni di insiemi completi. 8.2.3 Teorema della rappresentazione dei segnali su base ortogonale Sia f (t) un segnale elettrico denito nell'intervallo I funzioni denite nell'intervallo I = [a, b] e sia {ϕn (t)} un insieme di ortogonale e completo in I. Allora si ha che +∞ X f (t) = an ϕn (t) (8.2.5) f (t) ϕ∗n dt (8.2.6) n=−∞ essendo ˆ 1 an = kn b a Dimostrazione. Anchè sia valida la (8.2.5) basta trovare i coecienti ´b an . Applicando l'operatore ∗ a [.] ϕm (t) dt alla (8.2.5) si ricava: ˆ ˆ b f (t) ϕ∗m (t) dt a an ϕn (t) ϕ∗m (t) dt = a n=−∞ = ˆ ∞ X b an ϕn (t) ϕ∗m (t) dt a n=−∞ Visto che ∞ X b = {ϕn (t)} è un insieme di funzioni ortogonale in I, ´b a ϕn (t) ϕ∗m (t) dt = kn δnm , quest'ultima espressione si scrive: ˆ b a Inne poichè ∞ X f (t) ϕ∗m (t) dt = an kn δnm n=−∞ {ϕn (t)} è anche un insieme di funzioni completo in I, la serie deve essere convergente: ˆ b f (t) ϕ∗m (t) dt ∞ X = a an kn δnm = am km n=−∞ Da quest'ultima espressione si ricava la tesi: am = 1 km ˆ b f (t) ϕ∗m (t) dt a 273 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale 8.2.4 Serie di Fourier Utilizzando l'insieme delle funzioni complesse n o j2πn Tt 0 {ϕn (t)} = e denite nell'intervallo I I = [a, a + T0 ], un segnale f (t) (8.2.7) denito nel medesimo intervallo si può rappresentare su base ortogonale in virtù del teorema precedente: +∞ X f (t) = cn e j2πn Tt (8.2.8) 0 n=−∞ essendo 1 cn = T0 ˆ a+T0 f (t) e −j2πn Tt 0 dt (8.2.9) a f (t) non è un segnale periodico di periodo T0 , la (8.2.8) vale solo per ogni istante t dell'intervallo I = [a, a + T0 ]. Se f (t) è un segnale periodico di periodo T0 , la (8.2.8) vale per ogni istante di tempo t e la costante reale a può essere qualunque: per esempio si può porre uguale a 0 oppure T uguale a − 0 . In questo caso si suole dire che sul segnale f (t) viene compiuta un'analisi 2 Se di tempo armonica. La frequenza f0 = è detta 1 T0 (8.2.10) armonica fondamentale, mentre la frequenza fn = nf0 = n è detta armonica n-esima. C 0 è il valore medio Il coeciente del segnale ˆ 1 C0 = T0 1 T0 f (t): a+T0 f (t) dt a Proprietà Se f (t) è reale (cioè f (t) = f (t)∗ ) allora c−n = c∗n Dimostrazione. ˆ a+T0 1 j2πn Tt 0 dt = c−n f (t) e dt = f (t)∗ e T0 a a ˆ a+T0 ∗ ˆ a+T0 n o 1 1 −j2πn Tt ∗ −j2πn Tt 0 0 dt = f (t) e dt = f (t) e = c∗n T0 a T0 a 1 = T0 ˆ a+T0 (8.2.11) j2πn Tt 0 274 (8.2.12) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale {c−n }∗ = cn Se f (t) è reale allora Se f (t) è reale e pari allora Se f (t) è reale e dispari allora teorema di Parseval: ˆ 1 T0 cn è reale cn a+T0 è immaginario puro +∞ X 2 cn |f (t)|2 dt = a (8.2.13) n=−∞ Dimostrazione Si deve tener conto che f (t) è una funzione complessa di variabile reale e quindi |f (t)|2 = f (t) f (t)∗ 1 T0 (si scrivono ˆ a+T0 a f (t) ed f (t)∗ 1 |f (t)| dt = T0 ˆ a+T0 2 f (t) f (t)∗ dt = a in serie di Fourier; per non confondere i due sviluppi in serie si usano due indici dierenti) 1 = T0 ˆ +∞ X a+T0 a +∞ X j2πn Tt cn e 0 n=−∞ −j2πm Tt c∗m e 0 dt = m=−∞ ˆ a+T0 +∞ +∞ +∞ +∞ 1 X X 1 X X j2π(n−m) Tt ∗ 0 = dt = cn cm e cn c∗m T0 δnm = T0 n=−∞ m=−∞ T0 n=−∞ m=−∞ a (per n=m si ha che la delta di = Kronecker +∞ X +∞ X vale uno,δnm cn c∗n = +∞ X = 1) |cn |2 n=−∞ n=−∞ n=−∞ 8.2.4.1 Forma trigonometrica o cartesiana della seirie di Fourier La forma trigonometrica o cartesiana della serie di Fourier si determina manipolando la (8.2.8): f (t) = +∞ X j2πn Tt cn e 0 = n=−∞ +∞ n +∞ n o o X X j2πn Tt j2πn Tt −j2πn Tt 2πn Tt 0 0 0 + cn e 0 = C0 + c−n e + cn e = C0 + c∗n e = n=1 n=1 +∞ nh i o X j2πn Tt ∗ 2πn t 0 = C0 + cn e + cn e T0 = n=1 275 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Tenendo conto che la somma tra 2 numeri complessi e coniugati è uguale a due volte + jb) + (a − jb) = 2a), la parte reale ((a f (t) = C0 + +∞ nh X j2πn Tt cn e i∗ quest'ultima espressione si scrive: j2πn Tt + cn e 0 o 0 = c0 + 2 n=1 = C0 + 2 +∞ X n=1 +∞ X o n j2πn Tt 0 = Re cn e n=1 t t + j sin 2πn = Re {Re {cn } + j Im {cn }} cos 2πn T0 T0 +∞ X t t Re {cn } cos 2πn − Im {cn } sin 2πn + T0 T0 n=1 t t + Im {cn } cos 2πn = +j Re {cn } sin 2πn T0 T0 = C0 + 2 = C0 + 2 Re +∞ X n=1 t t Re {cn } cos 2πn − Im {cn } sin 2πn T0 T0 Ovvero: f (t) = C0 + +∞ X n=1 X +∞ t t 2Re {cn } cos 2πn + −2Im {cn } sin 2πn T0 T0 Resta da capire chi sono 1 cn = T0 ˆ a+T0 f (t) e 1 = T0 Re {cn } ˆ a a+T0 Im {cn }. e 1 0 dt = T0 −j2πn Tt a (8.2.14) n=1 ˆ t f (t) cos 2πn T0 a+T0 a Esplicitando (8.2.9) si ha: t t f (t) cos 2πn − j sin 2πn = T0 T0 1 dt − j T0 ˆ a+T0 a t f (t) sin 2πn T0 dt Da quest'ultima espressione si vede subito che: ˆ a+T0 t f (t) cos 2πn dt = an T0 a ˆ a+T0 t 2 − 2Im {cn } = f (t) sin 2πn dt = bn T0 a T0 2 2Re {cn } = T0 (8.2.15) (8.2.16) sostituendo (8.2.15) e (8.2.16) in (8.2.14) si ottiene: f (t) = C0 + +∞ X n=1 X +∞ t t an cos 2πn + bn sin 2πn T0 T0 n=1 276 (8.2.17) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Posto an = Cn cos ϕn e bn = Cn sin ϕn la (8.2.17) si può scrivere come segue: +∞ X t t + Cn sin ϕn sin 2πn = f (t) = C0 + Cn cos ϕn cos 2πn T0 T0 n=1 = C0 + +∞ X n=1 t Cn cos 2πn − ϕn T0 Secondo (8.2.18) è evidente che un segnale la somma tra una costante frequenze C0 f (t) (8.2.18) periodico di periodo T0 risulta essere e una combinazione lineare di segnali sinusoidali aventi fn = nf0 = n T10 . In Figura 8.2.1 viene riportata una circonferenza goniometrica di raggio possono ricavare le relazioni esistenti tra i coecienti an , bn e Figura 8.2.1: circonferenza goniometrica di raggio Cn2 = a2n + b2n ϕn = arctan bn an Cn da cui si Cn : Ck (8.2.19) (8.2.20) 8.2.5 Rappresentazione spettrale dei segnali periodici non sinusoidali f (t) un segnale periodico F (f (t)) (f ) è a righe: Sia di periodo F (f (t)) (t) = T0 , +∞ X n=1 essendo: 277 allora si ha che il suo spettro bilatero cn δ (f − nf0 ) (8.2.21) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale 1 cn = T0 ˆ a+T0 f (t) e −j2πn Tt 0 dt (8.2.22) a f0 = 1 T0 (8.2.23) Dimostrazione. Visto che f (t) è un segnale periodico di periodo T0 , si può sviluppare in serie di Fourier: +∞ X f (t) = cn e j2πn Tt 0 n=−∞ essendo 1 cn = T0 ˆ a+T0 f (t) e −j2πn Tt 0 dt a Applicando la trasformata di Fourier si ottiene la tesi ˆ +∞ X +∞ F (f (t)) (f ) = j2πn Tt cn e 0 dt = −∞ n=−∞ F (f (t)) = ˆ +∞ X +∞ cn e j2πn Tt 0 dt = −∞ n=−∞ +∞ X cn δ (f − nf0 ) −∞ Teorema Sia f (t) un segnale periodico di periodo f (t) = +∞ X T0 rappresentato da allora i coecienti cn ej2πnf0 t n=−∞ n=1 con +∞ X h (t − nT0 ) = ( f (t) per |t| < T0 /2 h (t) = 0 altrove cn sono dati da: cn = f0 F (h (t)) (nf0 ) 8.2.6 Energia media normalizzata di un segnale periodico non sinusoidale Secondo (3.3.20) l'energia media normalizzata di un segnale ˆ 2 E =< f (t) >= 278 T0 2 T − 20 f 2 (t) dt f (t) è data da: 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Tenendo conto del teorema di Parseval dato in (8.2.13) nel caso in cui si scegli la costante reale a pari a − T20 , è ovvio che l'energia media normalizzata si può scrivere come segue: ˆ T0 2 2 E =< f (t) >= T − 20 f (t) dt = T0 |cn |2 = n=−∞ ( C02 + 2 = T0 +∞ X 2 +∞ X ) |cn |2 (8.2.24) n=1 La (8.2.21) si può ulteriormente manipolare; basta scrivere cn in forma cartesiana e utilizzare i risultati in (8.2.15) e (8.2.16): 1 1 cn = Re {cn } + j Im {cn } = an − j bn 2 2 Da quest'ultima espressione si ricava facilmente il modulo al quadrato di 1 1 |cn |2 = a2n + b2n 4 4 cn : (8.2.25) Sostituendo (8.2.22) in (8.2.21) si ottiene: +∞ ( 1X 2 an + b2n + 2 C02 E = T0 ) (8.2.26) n=1 Utilizzando (8.2.20) si ottiene: +∞ ( C02 E = T0 1X 2 Cn + 2 ) (8.2.27) n=1 Denendo i coecienti Cn Cnef f. = √ 2 (8.2.28) La (8.2.37) si scrive: ( E = T0 C02 + +∞ X ) Cn2ef f. (8.2.29) n=1 Il risultato in (8.2.29) è noto con il nome di Teorema di Pitagora. Dividendo l'energiamedia normalizzata per il periodo T0 si ottiene il quadrato del valore ecace del segnale f (t): 2 Fef f. 1 = T0 ˆ T0 2 − T0 2 2 f (t) dt = C02 + +∞ X n=1 279 Cn2ef f. (8.2.30) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale 8.2.7 Valore ecace di un segnale periodico non sinusoidale Dopo aver introdotto l'analisi armonica, in questa sezione viene approfondito il concetto di valore ecace. Si consideri un resistore di resistenza R attraversato da una corrente i (t): Figura 8.2.2: resistore lineare tempo invariante Se i (t) è una corrente costante nell'intervallo di tempo [0, T0 ] I0 , l'energia dissipata dal resistore per eeto jolule è data da: εT = R I02 T0 (8.2.31) Se lo stesso resistore è attraversato da una corrente i (t) periodica di periodo T0 , l'energia dissipata per eetto joule nello stesso intervallo di tempo è: ˆ T0 εT = R i2 (t) dt (8.2.32) 0 Uguagliando le relazioni in (2.2.31) e (2.2.32) si trova una formula per caratterizzare il valore ecace della corrente i (t) periodicadi periodo ˆ R I02 T0 T0 =R T0 : i2 (t) dt ⇒ 0 s Ief f. = I0 = Ief f. I0 che Il valore ecace corrente costante di una corrente 1 T0 i (t) ˆ T0 i2 (t) dt periodica di periodo uendo sulla stesso resistore di resistenza stesso eetto joule nello stesso intrervallo di tempo T0 . Esempio 1 Consideriamo la corrente elettrica sinusoidale t i (t) = I cos 2π + ϕ T0 periodica di periodo T0 . Utilizzano (8.2.33) si trova il suo valore ecace: 280 (8.2.33) 0 T0 è quel valore R0 , produrrebbe di lo 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale s Ief f. = I0 = 1 T0 ˆ T0 0 s ˆ T0 t t I 2 2 2 cos 2π + ϕ dt I cos 2π + ϕ dt = √ T0 T0 T0 0 (8.2.34) Si tratta di risolvere il seguente integrale denito: ˆ 0 T0 t cos 2π + ϕ dt T0 2 Integrando per parti si ha: ˆ ˆ t T0 t 2π T0 t t 2 cos 2π + ϕ dt = sin 2π + ϕ cos 2π + ϕ + sin 2π + ϕ dt = T0 2π T0 T0 T0 2π T0 2 ˆ T0 t t t 2 = 1 − cos 2π + ϕ dt = sin 2π + ϕ cos 2π + ϕ + 2π T0 T0 T0 ˆ ˆ T0 t t t 2 = sin 2π + ϕ cos 2π + ϕ + 1 dt − cos 2π + ϕ dt 2π T0 T0 T0 ˆ Ovvero: ˆ t t t T0 t 2 sin 2π + ϕ cos 2π + ϕ + t − cos 2π + ϕ dt dt = cos 2π T0 2π T0 T0 T0 2 Trasportando al primo membro l'integrare presente al secondo membro e dividendo tutti i termini dell'equazione per 2 si ottiene l'integrale indenito: ˆ t t t t T0 cos 2π sin 2π + ϕ cos 2π + ϕ + dt = T0 4π T0 T0 2 2 Inne applicando la formula di Laibnitz si ottiene il valore dell'integrale denito ˆ T0 cos 2 0 = t 2π T0 T0 T0 T0 t t t dt = sin 2π + ϕ cos 2π + ϕ + = 4π T0 T0 2 0 0 T0 T0 T0 sin (2π + ϕ) cos (2π + ϕ) − sin ϕ cos ϕ + −0= 4π 4π 2 = T0 T0 T0 T0 sin ϕ cos ϕ − sin ϕ cos ϕ + = 4π 4π 2 2 (8.2.35) Sostituendo (8.2.35) in (8.2.34) si ottiene inne: Ief f. I = I0 = √ T0 r T0 I =√ 2 2 (8.2.36) e con ciò resta provato che il valore ecace di una grandezza sinusoidale risulta uguale al suo valore massimo diviso la radice quadrata di due. 281 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Esempio 2 Si consideri il segnale di tensione v (t) mostrato in Figura 8.2.3 Figura 8.2.3: onda quadra di periodo T T . Il suo valore ecace risulta: v v r r u ˆ T u ˆ A u1 u1 2 2 1 2 A t t 2 2 = V0 = V A=V v (t) dt = V dt = T −T T −A T T Si tratta si un'onda quadra di periodo Vef f. 2 Si osservi che se è A= 2 T 2 allora V Vef f. = V0 = √ 2 se è A= T 3 allora V Vef f. = V0 = √ 3 8.3 Risposta a regime periodico non sinusoidale Consideriamo la rete elettrica a regime periodico non sinusoidaale mostrata in Figura 8.3.1. Figura 8.3.1: rete elettrica a regime periodico non sinusoidale Si vuole determinare la tensione a regime ai capi di 282 R2 . 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale La presenza del generatore periodico non sinusoidale imponone di condurre l'analisi armonica. Visto che il segnale vg (t) è periodico di periodo T, esso in serie di Fourier si scrive: vg (t) = V0 + +∞ X n=1 X +∞ t t an cos 2πn bn sin 2πn + T T (8.3.1) n=1 dove: 1 V0 = T ˆ 1 = V T 2 an = T = ˆ − T4 T 2 − T2 1 vg (t) dt = T T V V dt = [t]−4 T = T T 4 ˆ T 4 V dt = − T4 T T + 4 4 = V 2 (8.3.2) ˆ T 4 t 2 t vg (t) cos 2πn dt = V cos 2πn dt = T T −T T T 2 − T2 2 T V T 2πn T 4 ˆ 4 ˆ T 4 − T4 T 4 2πn t V t cos 2πn = dt = sin 2πn T T πn T −T 4 π i V h π = sin n − sin − n = πn 2 2 π V sin n =2 πn 2 2 bn = T ˆ T 2 − T2 (8.3.3) ˆ T 4 2 t t dt = dt = vg (t) sin 2πn V sin 2πn T T −T T 4 =− V t cos 2πn nπ T T 4 − T4 = 0 ∀n ∈ N (8.3.4) Sostituendo (8.3.2), (8.3.3) e (8.3.4) in (8.3.1) si ottiene: +∞ π X V t vg (t) = V0 + 2 sin n cos 2πn πn 2 T n=1 Esplicitando alcuni termini la serie in (8.3.5) si scrive: V 2V t 2V t vg (t) = + cos 2π +0− cos 6π + 0+ 2 π T 3π T 2V 2V t t + cos 10π +0− cos 14π + ..... 5π T 7π T 283 (8.3.5) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Inne per rendere tutti i termini positivi, laddove occore si applica la proprietà degli cos α = − cos (α + π): V 2V 2V t t vg (t) = +0+ + cos 2π cos 6π + π + 0+ 2 π T 3π T 2V t t 2V +0+ cos 10π cos 14π + π + ..... + 5π T 7π T (8.3.6) il generatore ideale di tensione vg (t) risulta equivalente a un archi associati Secondo (8.3.6) generatore costante di tensione e un insieme innito numerabile di generatori sinusoidali connessi in serie. Quindi il circuito dato risulta equivalente a quello mostrato in Figura 8.3.2. Figura 8.3.2: rete elettrica a regime periodico non sinusoidale essendo V0 = V 2, vg5 (t) = vg1 (t) = 2V 5π 2V π cos 2π Tt cos 10π Tt , vg2 (t) = 0, vg3 (t) = 2V 3π cos 6π Tt + π , vg4 (t) = 0, e così via. Da quest'ultima successione di funzioni segue che il generico generatore vgn (t) con n pari risulta nullo: vgn (t) = 0 mentre per n dispari vale: 2V t vgn (t) = cos 2πn + ϕn nπ T essendo ( 0 ϕn = π se n = 1, 5, 9, .... se n = 3, 7, 11, .. (8.3.7) (8.3.8) Facendo agire per volta i generatori e applicando la sovrapposizione degli eetti si determina facilmente l'integrale particolare dell'equazione dierenziale di ordine minimo, ovvero la tensione ai capi del resistore di resistenza 284 R2 a regime. 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Se agisce il generatore di tensione costante V0 , si ha che a regime il capacitore è equivalente ad un circuito aperto mentre l'induttore è equivalente ad un cortocircuito come mostrato in Figura 8.3.3: Figura 8.3.3: rete elettrica Si ha facilmente R2 R2 V V0 = R1 + R2 R1 + R2 2 Se agisce il generico generatore sinusoidale vgn (t) con n dispari, si studia la dominio dei fasori. Il fasore corrispondente al generatore vgn (t) è chiaramente: (0) v2 = 2V jϕn e V̇gn = √ 2nπ (8.3.9) rete ne (8.3.10) In Figura 8.3.4 viene mostrata la rete elettrica nel dominio dei fasori Figura 8.3.4: rete elettrica nel dominio dei fasori Guardando il circuito si ha che: V̇c(n) = V̇ (n) = 2 Żp V̇ Ż1 +Żp gn (n) Ż2 V̇ ŻL +Ż2 c (n) ⇒ V̇2 285 = Żp Ż2 V̇gn ŻL + Ż2 Ż1 + Żp (8.3.11) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Essendo Ż1 = R1 , Ż2 = R2 , ŻL = jωL, Żc = Żp = 1 jωC 1 jωC (R2 + jωL) + R2 + jωL = 1 jωC (8.3.12) R2 + jωL 1 + jωR2 C + (jω)2 LC (8.3.13) Sostituendo (8.3.12) e (8.3.13) in (8.3.11) si ottiene: (n) V̇2 = R2 V̇gn R1 LC (jω) + (L + R1 R2 C) jω + R1 + R2 (8.3.14) 2 Inne sostituendo (8.3.10) in (8.3.14) si ottiene: (n) V̇2 = R2 2V jϕn √ e R1 LC (jω) + (L + R1 R2 C) jω + R1 + R2 2nπ (8.3.15) 2 Assumendo che sia R1 = R2 = 1Ω, L = 1H, C = 1F, V = 5V la (8.3.15) si scrive: (n) V̇2 = 1 10 jϕn √ e (jω) + 2jω + 2 2nπ (8.3.16) 2 Dalla (8.3.7) si vede facilmente che la pulsazione ω= ω è: 2π n T (8.3.17) e pertanto la (8.3.16) si scrive: (n) V̇2 = = r 10 jϕn √ = e 2nπ + 2j 2π n + 2 T 1 = j 2π T n 2− 2 1 4π 2 2 n T2 +j 4π T n 10 jϕn e = √ 2nπ 1 2T 2 −4π 2 n2 T2 2 + 4π T n 2 j arctan e 4πn 2T 2 −4π 2 n2 T 10 j √ =p e 4 4 4 2 2 2 4T + 16π n + 16π n (1 − T ) 2nπ Scrivendo la (8.3.18) nel dominio del tempo si ha: 286 n 10 jϕn √ e = 2nπ ϕn −arctan 4πn 2T 2 −4π 2 n2 o (8.3.18) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale (n) v2 (t) = 10T nπ p cos 4T 4 + 16π 4 n4 + 16π 2 n2 (1 − T 2 ) 2πn t + ϕn − arctan T 4πn 2 2T − 4π 2 n2 (8.3.19) Sovrapponendo tutti gli eetti si determina l'espressione della tensione ai capi del resistore R2 : v2 (t) = (0) v2 + +∞ X (n) v2 (t) con n = 1, 3, 5, .. (8.3.20) n=1 che risulta essere un segnale periodico non sinusoidale di periodo T. Proposizione. Per una rete a regime periodico non sinusoidale vale il principio di sovrapposizione delle potenze Si dimostra che per una rete a regime periodico non sinusoidale vale il principio di sovrapposizione delle potenze poichè le sue armoniche godono della proprietà dell'ortogonalità. La potenza attiva dissipata dal resistore R2 per eetto joule è data da: 2 P2 = R2 Ief f. (8.3.21) v2 (t), si può scrivere la corrente i2 (t) in serie di Fourier. 2 corrente ecace, Ief f. , si ottiene sommando al quadrato della Così come fatto con la tensione Pertanto il quadrato della componente continua del segnale, i quadrati dei valori ecaci dei contributi di corrente dovute alle armoniche di i2 (t) per il principio di sovrapposizione delle potenze. Cioè se per esempio è i2 (t) = I0 + +∞ X n=1 t In cos 2πn − ϕn T0 (8.3.22) allora +∞ X I √n I02 + 2 n=1 ( P2 = R2 Nota. ) (8.3.23) Il principio di sovrapposizione delle potenze non vale in generale. Per dimostrare quanto detto si consideri una rete elettrica avente due generatori sinusoidale come indicato in Figura 8.3.5. La potenza istantanea dissipata dal resistore R2 è: p2 (t) = R2 i22 (t) La corrente i2 (t) per il principio di sovrapposizione vale: 287 (8.3.24) 8 Reti elettriche in regime periodico non sinusoidale Figura 8.3.5: rete elettrica 0 00 i2 (t) = i2 (t) + i2 (t) (8.3.25) Quindi sostituendo (8.3.25) in (8.3.24) si ottiene: 0 2 00 p2 (t) = R2 i2 (t) + i2 (t) = 0 2 00 2 0 00 = R2 i2 (t) + R2 i2 (t) + 2R2 i2 (t) i2 (t) In (8.3.26) compare il termine di potenza spurio validità del principio di sovrapposizione delle potenze. 288 0 00 2R2 i2 (t) i2 (t) (8.3.26) che dimostra la non 9 Teoremi sulle reti elettriche In questo capitolo vengono proposti i teoremi delle reti elettriche. Diciamo n da subito che essi non semplicano la complessità di una rete elettrica. Ciò vuol dire che se si applica uno dei teoremi delle reti elettriche ad un circuito del secondo ordine rimarrà sempre un circuito del secondo ordine con la sua complessità. Tuttavia in casi molto semplici, i teoremi sulle reti elettriche possono semplicare la rete dal punto di vista computazionale. La loro utilità è prevalentemente teorica. Di seguito si discuterà dei seguenti teoremi: teorema di sostituzione teorema di sovrapposizione degli eetti teorema di Tellegen teorema di Thevenin/Norton teorema di reciprocità teorema del massimo trasferimento di potenza 9.1 Teorema di sostituzione Supponiamo di avere una rete elettrica che può essere lineare, non lineare con soluzione unica {vk (t) , ik (t)} come mostrato in Figura 9.1.1. Figura 9.1.1: rete elettrica Supponiamo di sostituire al lato k-esimo della rete, un generatore di tensione come mostrato in Figura 9.1.2. Supponiamo inne che quest'ultima rete detta unica. 289 vk (t), rete modicata continui ad avere soluzione 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.1.2: rete elettrica Sotto queste ipotesi si ha che la parte rimanente della rete elettrica non si accorge del cambiamento. Cioè il lato h-esimo ha la stessa tensione e la stessa corrente anche doppo che è stato eettuato il cambiamento. E' evidente che anchè ciò sia possibile, sul lato k-esimo deve scorrere sempre la corrente ik (t). La dimostrazione di tale teorema è banale, infatti basta scrivere tutte le LK della rete di partenza e della rete modicata e far vedere che non cambiano. Si osservi che questo teorema in realtà è stato già applicato durante questo corso. Si pensi per esempio a tutte quelle situazioni in cui il contenuto energetico iniziale di un dispositivo a memoria veniva modellato con un generatore ideale equivalente. 9.2 Sovrapposizione degli eetti Supponiamo di avere una rete elettrica lineare con stato zero che può essere tempo variante o tempo invariante e supponiamo che abbia almeno due sollecitazioni (Figura 9.2.1). Figura 9.2.1: rete elettrica Si osservi che in Figura 9.2.1 sono stati evidenziati la tensione rete e la corrente icc (t) v0 (t) tra due nodi della che attraversa un qualunque cortocircuito della rete. 290 9 Teoremi sulle reti elettriche Supponiamo di fare agire per volta le eccitazioni come mostrato in Figura 9.2.2. Figura 9.2.2: rete elettrica Allora si ha che: 0 00 v0 (t) = v0 (t) + v0 (t) 0 00 icc (t) = icc (t) + icc (t) (9.2.1) (9.2.2) Se i generatori che eccitano la rete elettrica lineare con stato zero hanno la stessa frequenza di oscillazione, allora la sovrapposizione degli eetti si può applicare sia nel dominio del tempo che nel dominio dei fasori; viceversa se i generatori oscillano a frequenze dierenti, la sovrapposizione degli eetti non si può applicare direttamente nel dominio dei fasori. In questo caso quello che si fa è passare dal dominio dei fasori al dominio del tempo e poi applicare la sovrapposizione degli eetti. Il teorema di sovrapposizione degli eetti si può applicare anche nel dominio di Laplace e nel dominio di Fourier. Figura 9.2.3: rete elettrica in presenza di generatori pulsanti a dierente frequenza 9.2.1 Esempio Data la rete elettrica mostrata in Figura 9.2.3, si vuole determinare la risposta a regime vcpart. (t). 291 9 Teoremi sulle reti elettriche L'integrale particolare va ricercato applicando il metodo dei fasori e il teorema di sovrapposizione degli eetti visto che la rete elettrica è in presenza di generatori pulsanti a dierente frequenza. Possiamo studiare la rete a partire dalla conoscenza dell'equazione dierenziale di ordine minimo, tuttavia con il seguente esempio si vuole fare vedere anche come si può scrivere la risposta a regime utilizzando alcune semplici regole, come il partitore di tensione. La rete elettrica nel dominio dei fasori quando agisce soltanto il generatore di tensione ideale vg (t) viene mostrata in Figura 9.2.4. Figura 9.2.4: rete elettrica sollecitata esclusivamente dal generatore di tensione Utilizzando la regola del partitore di tensione si ha: 0 V̇c = Żp V̇g Żp + Ż1 (9.2.3) Tenendo conto che Ż1 = 1 Ω Żc ŻL + Ż2 Żp = Żc + ŻL + Ż2 = 1 jω (jω + 1) 1 jω + jω + 1 = 1 + jω Ω 1 + jω + (jω)2 l'espressione in (9.2.3) si scrive: 0 V̇c = inoltre visto che 1+jω 1+jω+(jω)2 1+jω + 1+jω+(jω)2 ω = 2 rad/s 1 V̇g = 1 + jω V̇g 2 + 2jω + (jω)2 si ha: √ 1 + j2 5∠ arctan 2 V̇c = V̇g = √ V̇g 2 (−1 + j2) 2 5∠π − arctan 2 0 Esplicitando il fasore V̇g si ha: 292 9 Teoremi sulle reti elettriche √ 5 5∠ arctan 2 10 √ ∠0 = √ ∠ − π + 2 arctan 2 V̇c = √ 2 5∠π − arctan 2 2 2 0 (9.2.4) Inne trasportando nel dominio del tempo la (9.2.4) si ottiene: 0 vcpart. (t) = 5 cos (2t + π − 2 arctan 2) (9.2.5) La rete elettrica nel dominio dei fasori quando agisce soltanto il generatore di corrente ideale ig (t) viene mostrata in Figura 9.2.5. Figura 9.2.5: rete elettrica sollecitata esclusivamente dal generatore di tensione Il fasore della tensione ai capi del capacitore quando agisce il generatore di corrente è: 1 ˙ 00 V̇c = Żc I˙c = Ic jω (9.2.6) Occorre quindi determinare il fasore della corrente che interessa il capacitore; quest'ultima si ricava applicando due volte la legge del partitore di corrente: I˙c = Ż2 Ż1 I˙g Ż2 + ŻL + Żp1 Ż1 + Żc Tenendo conto che Ż1 = 1 Ω, Ż2 = 1 Ω, Żc = 1 jω Ω, ŻL = jΩ Ω 1 Żp1 = Ż1 Żc 1 jω = 1 = 1 + jω 1 + jω Ż1 + Żc la (9.2.7) si scrive: Sostituendo (9.2.8) in (9.2.6) si ottiene: V̇c = 1 1 jω 1 + jω + 1 1+jω 293 1 ˙ 1 Ig = 1 + jω (9.2.7) 9 Teoremi sulle reti elettriche = 1 1 + jω + 1 1+jω 1 I˙g = 1 + jω 1 I˙g (1 + jω)2 + 1 = Ovvero: 00 V̇c = Inoltre visto che ω = 1 rad/s si ha: 00 V̇c = Esplicitando il fasore 00 I˙g 1 I˙g (jω) + 2jω + 2 2 1 ˙ 1∠0 Ig = √ I˙g 1 + j2 5∠ arctan 2 si ha: V̇c = √ 1∠0 20 π 20 π √ ∠ = √ √ ∠ − arctan 2 5∠ arctan 2 2 2 2 5 2 (9.2.8) Inne trasportando nel dominio del tempo la (9.2.8) si ottiene: π 20 00 vcpart. (t) = √ cos t − + arctan 2 2 5 (9.2.9) Sovrapponendo i contributi in (9.2.5) e (9.2.9) si ricava la risposta a regime: 20 π vcpart. (t) = 5 cos (2t + π − 2 arctan 2) + √ cos t − + arctan 2 2 5 (9.2.10) Si osservi che la sovrapposizione è stata fatta nel dominio del tempo e non nel dominio dei fasori. 9.3 Teorema di Tellegen Supponiamo di avere due reti elettriche ΠA e ΠB aventi lo stesso grafo G. Supponiamo che per ciascun lato del grafo si adotti la convenzione dell'utilizzatore (Figura 9.3.1). Allora si ha che: L X (A) (t1 ) ik (t2 ) = 0 (9.3.1) (B) (t1 ) ik (t2 ) = 0 (9.3.2) vk (B) k=1 L X vk (A) k=1 Ovviamente gli apici (A) e (B) servono soltanto per distingure la rete ΠB . 294 ΠA dalla rete 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.3.1: rete elettriche aventi lo stesso grafo G Dimostrazione 1. Visto che le reti hanno lo stesso grafo G, ossia le stesse LK, si deve fare vedere che il vettore delle tensioni di una delle due reti, per esempio delle correnti dell'altra rete, (A) v (t1 ) , è ortogonale al vettore (B) i (t2 ) : h iT h i v (A) (t1 ) i(B) (t2 ) = 0 G e denendo i potenziali t1 : h i h i [A]T e(A) (t1 ) = v (A) (t1 ) Ponendo a massa uno dei nodi del grafo scrivere le e le LKC LKT ∗ per la rete per la rete ΠB ΠA (9.3.3) ai nodi si possono al tempo t2 : h i [A] i(B) (t2 ) = [0] (9.3.4) all'istante (9.3.5) Si osservi che nelle espressini in (9.3.4) e (9.3.5) è stata utilizzata la stessa matrice di incidenza nodi lati [A], G. (A) T (B) v (t1 ) i (t2 ) visto che le reti hanno lo stesso grafo Utilizzando le relazioni in (9.3.4) e (9.3.5) il prodotto si scrive: h iT h i n h ioT h i v (A) (t1 ) i(B) (t2 ) = [A]T e(A) (t1 ) i(B) (t2 ) = h iT h i h iT = e(A) (t1 ) [A] i(B) (t2 ) = e(A) (t1 ) [0] = 0 e ciò dimostra la tesi del teorema. Si osservi che è stata utilizzata la proprietà delle matrici secondo cui il trasposto del prodotto tra due matrici risulta uguale al prodotto delle matrici trasposte scambiate di posto. 295 9 Teoremi sulle reti elettriche Dimostrazione 2. Per una rete elettica avente L lati le LKT e LKC sono dei sottospazi di un iperspazio a L dimensioni. Figura 9.3.2: iperspazio a L dimensioni Il teorema si dimostra facendo vedere che i sottospazi LKT ed LKC sono ortogonali tra di loro. Ciò vuol dire che occorre far vedere che il prodotto scalare tra due basi dei suddetti sottospazi risulta nulla. Una base di tensioni è una L-upla di tensioni che soddisfa un sistema di L-N+1 leggi di Kirchho delle tensioni, mentre una base di correnti è una L-upla di correnti che soddisfa un sistema di N-1 leggi di Kirchho delle correnti. Supponiamo per semplicità che sia L=3 e consideriamo il grafo G mostrato in Figura 9.3.3. Si hanno allora L-N+1=2 LKT da cui è possibile ricavare una qualunque basi di tensioni ed N-1=1 LKC da cui è possibile ricavare una qualunque base di correnti. Figura 9.3.3: iperspazio a L dimensioni Una qualunque base di tensioni che soddisfa le LKT ( v1 (t) + v2 (t) = 0 v1 (t) + v3 (t) = 0 è per esempio: (v1 (t) , v2 (t) , v3 (t)) = (10, −10, −10) 296 9 Teoremi sulle reti elettriche mentre una qualunque base di correnti che soddisfa la LKC: −i1 (t) + i2 (t) + i3 (t) = 0 è per esempio: (i1 (t) , i2 (t) , i3 (t)) = (5, 2, 3) Visto che il prodotto scalare tra la base delle tensioni e la base delle correnti sopra scritte risulta: (v1 (t) , v2 (t) , v3 (t)) · (i1 (t) , i2 (t) , i3 (t)) = 10 · 5 − 10 · 2, −10 · 3 = 0 resta provata nuovamente la tesi del teorema di Tellegen. 9.3.1 Teorema della conservazione della potenza istantanea Per qualunque rete elettrica la somma algebrica tra tutte le potenze istantanee di lato risulta identicamente nulla: L X k=1 pk (t) = L X vk (t) ik (t) = 0 (9.3.6) k=1 La (9.3.6) è una diretta conseguenza del teorema di Tellegen; essa si ottiene da (9.3.1) facendo coincidere le due reti, Se per il grafo G ΠA = ΠB = Π, e gli istanti di tempo, t1 = t2 = t. della rete elettrica si decide di distinguere il lati utilizzando sia la convenzione del generatore che la convenzione dell'utilizzatore, la (9.3.6) si scrive: 0 L X (assorbite) pk (t) = (generate) pk (9.3.7) k=L0 +1 k=1 In quest'ultima espressione, L X 0 L rappresenta il numero di lati per i quali vale la conven- zione dell'utilizzatore. Esempio. Consideriamo una qualunque rete elettrica il cui grafo G è quello mostrato in Figura , è immediato vericare la (9.3.6), infatti si ha: 6 X pk (t) = 20 · 10 − 10 · 8 + 10 · 5 − 2 · 15 − 8 · 15 + 10 (−2) = 0 k=1 297 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.3.4: grafo G 9.3.2 Tesi del teorema di Tellegen nel dominio dei fasori Se la rete elettrica si trova a regime sinusoidale, la tesi del teorema di Tellegen si può scrivere nel dominio dei fasori in una delle seguenti forme equivalenti: L X (A) ˙(B) Ik V̇k =0 (9.3.8) k=1 L X n o (B) ∗ I˙k =0 (9.3.9) L n o X (A) ∗ ˙(B) V̇k Ik = 0 (9.3.10) (A) V̇k k=1 k=1 L n o n o X (A) ∗ (B) ∗ V̇k I˙k =0 (9.3.11) k=1 9.3.3 Teorema di Boucherot o della conservazione della potenza I teoremi di Boucherot esprimono la conservazione della potenza nel dominio dei fasori e si ricavano dalle espressioni in (9.3.8), (9.3.9), (9.3.10) e (9.3.11) facendo coincidere le due reti, ΠA = ΠB = Π. ΠA coincide Se la rete con la rete ΠB L X la (9.3.9) si scrive: V̇k n o∗ I˙k = 0 k=1 298 (9.3.12) 9 Teoremi sulle reti elettriche Osservando che elettrica, Ȧk , n o∗ V̇k I˙k è la potenza complessa corrispondente al lato k-esimo della rete la (9.3.12) si scrive: L X Ȧk = 0 (9.3.13) k=1 Tenendo conto inne del fatto che la potenza complessa corrispondente al lato k-esimo si scrive Ȧk = Pk + jQk , la (9.3.13) diventa: L X (Pk + jQk ) = 0 (9.3.14) k=1 da cui si ricavano i teoremi di Boucherot: L X Pk = 0 (9.3.15) Qk = 0 (9.3.16) k=1 L X k=1 La somma algebrica tra tutte le potenze attive risulta identicamente nulla così come la somma algebrica tra tutte le potenze reattive. 9.3.4 Tesi del teorema di Tellegen nel dominio di Laplace Se la rete elettrica si trova a regime sinusoidale, la tesi del teorema di Tellegen si può scrivere anche nel dominio di Laplace in una delle seguenti forme equivalenti: L X (A) (s) Ik (B) (s) Ik Vk (B) (s) = 0 (9.3.17) (A) (s) = 0 (9.3.18) k=1 L X Vk k=1 ˆ essendo T Vk (s) = L (vk (t)) (s) = lim T →∞ 0 vk (t) e−st dt (9.3.19) la trasforma di Laplace della tensione del lato k-esimo e ˆ Ik (s) = L (ik (t)) (s) = lim T →∞ 0 T ik (t) e−st dt (9.3.20) la trasforma di Laplace della corrente del lato k-esimo in accordo con (3.3.34). Ovviamente gli apici (A) e (B) servono soltanto per distingure la rete ΠB . 299 ΠA dalla rete 9 Teoremi sulle reti elettriche Volendo si possono riscrivere i teoremi sulla conservazione della potenza come fatto nel dominio dei fasori. 9.4 Teorema di Thevenin/Norton Consideriamo una rete elettrica costituita da due bipoli compositi Π e Π1 come mostrato in Figura 9.4.1. Figura 9.4.1: rete elettrica Supponiamo che il bipolo composito Π sia una rete lineare tempo invariante oppura anche tempo variante, contenete generatori ideali, generatori pilotati, resistori, capacitori, induttori, induttori mutuamente accoppiati e trasformatori ideali. Ovviamente le grandezze di pilotaggio dei generatori pilotati devono essere grandezze relative al bipolo Π stesso così come gli accoppiamenti negli induttori mutuamente accoppiati e nei trasformatori ideali devono avvenire tra grandezze relative al bipolo Π stesso altrimenti Π non sarebbe più un bipolo. Si osservi che per il bipolo Π, tensione e corrente sono orientate secondo la convenzione dell'utilizzatore. Indichiamo con i (t) la corrente che attraversa il bipolo Π1 , che può essere una rete lineare o non lineare, tempo invariante o tempo variante e con morsetti A e B del bipolo Π. 300 v (t) la tensione tra i 9 Teoremi sulle reti elettriche Tesi di Thevenin E' possibile sostituire al bipolo Π, un bipolo costituito dalla serie tra il zato Π0 , ottenuto dal bipolo Π annullandovi i generatori ideali, e bipolo passiviz- il generatore ideale di v0 (t), essendo v0 (t) la tensione a vuoto tra i morsetti A e B del bipolo Π, senza bipolo Π1 senta il cambiamento (Figura 9.4.2). tensione che il Figura 9.4.2: tesi di Thevenin Il bipolo costituito dalla serie tra il bipolo passivizzato v0 (t) si chiama bipolo Thevenin. Π0 e il generatore di tensione Tesi di Norton E' possibile sostituire al bipolo Π, un bipolo costituito dal paralleo tra il bipolo passivizzato Π0 , ottenuto dal bipolo Π annullandovi i generatori ideali, e il genera ideale di corrente icc (t), essendo icc (t) la corrente che attraversa il cortocircuito tra i morsetti A e B del bipolo Π, senza che il bipolo Π1 senta il cambiamento (Figura 9.4.3). Il bipolo costituito dal parallelo tra il bipolo passivizzato Π0 e il generatore ideale di corrente v0 (t) si chiama bipolo Norton. 301 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.4.3: tesi di Norton Dimostrazione nel dominio del tempo Il teorema di thevenin/Norton vale nel dominio del tempo, nel dominio dei fasori, nel dominio di Laplace, nel dominio di Fourier. Dimostriamo la tesi di Thevenin nel dominio del tempo. In modoanalogo si dimostra latesi di Norton. La dimostrazione si basa sul teorema di sostituzione e sul teorema di sovrapposizione degli eetti. Si consideri la rete di Figura 9.4.1. Siccome il bipolo Π è lineare allora ammette un'unica soluzione e quindi per il teorema di sostituzione è possibile sostituire il bipolo Π1 con un generatore di corrente i (t) ,come mostrato in Figura 9.4.4: Figura 9.4.4: rete elettrica equivalente La tensione tra i morsetti A e B si ottiene applicando il teorema di sovrapposizione degli eetti: 302 9 Teoremi sulle reti elettriche 0 00 v (t) = v (t) + v (t) (9.4.1) Quando agiscono soltanto i generatori ideali presenti all'interno del bipolo Π, la rete da studiare è quella mostrata in Figura 9.4.5: Figura 9.4.5: rete elettrica Chiaramente la tensione tra i morsetti A e B e la tensione a vuoto: 0 v (t) = v0 (t) (9.4.2) Quando agisce soltanto il generatore ideale di corrente i (t), la rete da studiare è quella mostrata in Figura 9.4.6: Figura 9.4.6: rete elettrica Chiaramente la tensione tra i morsetti A e B, passivizzato Π0 . 00 v (t) è la tensione ai capi del bipolo Quindi è chiaro che sostituendo (9.4.2) in (9.4.1) si ottiene la relazione: 00 v (t) = v0 (t) + v (t) da cui segue la tesi di Thevenin (Figura 9.4.7). 303 (9.4.3) 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.4.7: rete elettrica Il teorema di thevenin/Norton è molto importante dal punto di vista teorico ma di scarsa utilità pratica. Per convincersi di questo fatto basta pensare che la rete elettrica di partenza e quelle che si ottengono applicando la tesi di Thevenin o la tesi di Norton hanno tutte la stessa complessità, infatti il numero di elementi a memoria in ogni caso rimane lo stesso. Non si pensi assolutamente al fatto che la complessità di un circuito elettrico dipenda dal numero di generatori presenti nella rete La complessità del circuito dipende dal numero di condizioni iniziali. Dimostrazione nel dominio dei fasori Qui di seguito viene riproposta la rete di Figura 9.4.1 nel dominio dei fasori. Figura 9.4.8: rete elettrica Per i bipoli costituenti la rete elettrica di Figura 9.4.8 si possono scrivere le corrispondenti caratteristiche: ( ȦV̇ + Ḃ I˙ + Ċ = 0̇ (9.4.4.1) ˙ Ȧ1 V̇ + Ḃ1 I1 + Ċ1 = 0̇ (9.4.4.2) 304 (9.4.4) 9 Teoremi sulle reti elettriche con Ȧ, Ḃ , Ċ , Ȧ1 , Ḃ1 , Ċ1 costanti complesse. moltiplicative La coppia tensione corrente V̇ , I˙ deve essere tale da soddisfare contemporaneamente Π è per ipotesi lineare la sua carattteristica è lineare. caratteristica del bipolo Π1 in quanto per quest'ultimo le relazioni in (9.4.4). Siccome la rete Lo stesso discorso non vale per la è un bipolo qualunque. Se è Ȧ 6= 0̇, la (9.4.4.1) si scrive: V̇ = − E' ovvio che il fattore moltiplicativo tensione. Dalla (9.4.5), per I˙ = 0 − Ḃ Ȧ Ḃ ˙ Ċ I− Ȧ Ȧ è un'impedenza mentre il termine − Ċ Ȧ è una si ha che V̇ = V̇0 = − è la (9.4.5) tensione a vuoto tra i morsetti A e B Ċ Ȧ del bipolo (9.4.6) Π (Figura 9.4.9): Figura 9.4.9: rete elettrica Dalla (9.4.5), per Ċ = 0 si ha che Żeq. = è l'impedenza del bipolo Π V̇ Ḃ =− ˙ I Ȧ (9.4.7) se e solo sè il bipolo è passivo (sezione 4.7.5), ovvero privo di generatori ideali (Figura 9.4.10): 305 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.4.10: rete elettrica Sostituendo (9.4.6) e (9.4.7) in (9.4.5) si ha che ˙ I˙ + V̇0 V̇ = Zeq. (9.4.8) ovvero la tesi di Thevenin (Figura 9.4.11). Figura 9.4.11: rete elettrica Se è Ḃ 6= 0̇, la (9.4.4.1) si scrive: Ȧ Ċ I˙ = − V̇ − Ḃ Ḃ E' ovvio che il fattore moltiplicativo corrente. Dalla (9.4.9), per V̇ = 0 Ȧ − Ḃ è un'ammettenza mentre il termine (9.4.9) Ċ − Ḃ è una si ha che Ċ I˙ = I˙cc = − Ḃ 306 (9.4.10) 9 Teoremi sulle reti elettriche è la corrente che attraversa il cortocircuito che collega i morsetti A e B del bipolo Π (Figura 9.4.12): Figura 9.4.12: rete elettrica Dalla (9.4.9), per Ċ = 0 si ha che Ẏeq. = è l'ammettenza del bipolo I˙ Ȧ =− V̇ Ḃ (9.4.11) Π se e solo sè il bipolo è passivo (sezione 4.7.5), ovvero privo di generatori ideali (Figura 9.4.13): Figura 9.4.13: rete elettrica Sostituendo (9.4.10) e (9.4.11) in (9.4.9) si ha che I˙ = Ẏeq. V̇ + I˙cc ovvero la tesi di Norton (Figura 9.4.14). 307 (9.4.12) 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.4.14: rete elettrica Se risulta Ȧ 6= 0̇, Ḃ 6= 0̇, esistono contemporaneamente il bipolo Thevenin e il bipolo Norton. Per determinare le formule di passaggio dal lato Thevenin al lato Norton basta rendere equivalenti le relazioni in (9.4.8) e (9.4.12). Moltiplicando tutti i termini della (9.4.12) per Żeq. , e isolando V̇ , si ottiene: V̇ = Żeq. I˙ − Żeq. I˙cc (9.4.13) Confrontando (9.4.8) con (9.4.13) si ha che deve essere: V̇0 = −Żeq. I˙cc (9.4.14) 1 I˙cc = − V̇0 Żeq. (9.4.15) o equivalentemente: La (9.4.14) è la formula di pasaggio che consente di trasformare il lato Norton mostrato in Figura 9.4.14 nel lato Thevenin mostrato in Figura 9.4.11, mentre la (9.4.15) consente di trasformare il lato Thevenin mostrato in Figura 9.4.11 nel lato Norton mostrato in Figura 9.4.11. Denendo la e la tensione di Thevenin: V̇T h. = V̇0 (9.4.16) I˙N. = −I˙cc (9.4.17) corrente di Norton è chiaro che le relazioni in (9.4.14) e (9.4.15) si scrivono: V̇T h. = Żeq. I˙N. (9.4.18) 1 I˙N. = V̇T h. Żeq. (9.4.19) 308 9 Teoremi sulle reti elettriche Queste due relazioni sono le formule di trasformazione Thevenin/Norton quando il lato Thevenin e il lato Norton sono come indicato in Figura 9.4.15. Figura 9.4.15: trasformazione Thevenin/Norton 9.4.1 Esempio 1 Consideriamo la rete elettrica mostrata in Figura 9.4.16. Figura 9.4.16: rete elettrica Sappiamo già che il fasore della tensione ai capi del capacitore è (vedi relazione in (4.7.24)): V̇c = 1 + jω 1 V̇g + I˙g (2 − ω 2 ) + j2ω (2 − ω 2 ) + j2ω (9.4.20) Si vuole determinare tale relazione applicando il Teorema di Thevenin/Norton tra i nodi 2 e 4. Utilizzando la tesi di Thevenin il circuito dato risulta equivalente al circuito mostrato in Figura 9.4.17. 309 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.4.17: rete elettrica Il fasore V̇c , in quest'ultimo circuito si ricava applicando la legge del partitore di tensione: V̇c = Tenendo conto che Żc = 1 jωC = 1 jω Ω, quest'ultima relazione si scrive: V̇c = L'impedenza equivalente Żeq. Żc V̇T h. Żc + Żeq. 1 V̇T h. 1 + jω Żeq. (9.4.21) si determina dal circuito mostrato in Figura 9.4.18 Figura 9.4.18: rete elettrica Si trova immediatamente che essa risulta essere il parallelo tra da ŻL e Ż2 : 310 Ż1 e la serie costituita 9 Teoremi sulle reti elettriche Ż1 ŻL + Ż2 Żeq. = Tenendo conto cheŻ1 Ż1 + Ż2 + ŻL = R1 = 1 Ω ,Ż2 = R2 = 1 Ω , ŻL = jωL = jω Ω, quest'ultima relazione si scrive: Żeq. = La tensione di Thevenin, V̇T h. , 1 + jω 2 + jω (9.4.22) si determina dal circuito mostrato in Figura 9.4.19 applicando il teorema di sovrapposizione degli eetti. Figura 9.4.19: rete elettrica Quando agisce soltanto V̇g (I˙g è un circuito aperto) si ha: 0 V̇T h. = Ż2 + ŻL V̇g Ż1 + Ż2 + ŻL ovvero: 0 V̇T h. = Quando agisce soltanto I˙g (V̇g 1 + jω V̇g 2 + jω (9.4.23) è un cortocircuito) si ha: 00 V̇T h. = Ż1 I˙ = Ż1 Ż2 I˙g Ż1 + Ż2 + ŻL ovvero: 00 V̇T h. = 1 I˙g 2 + jω Sommando i contributi in (9.4.23) 3 (9.4.24) si ottiene la tensione di Thevenin 311 (9.4.24) V̇T h. : 9 Teoremi sulle reti elettriche 0 V̇T h. = 1 1 + jω V̇g + I˙g 2 + jω 2 + jω (9.4.25) Sostituendo (9.4.22) e (9.4.25) in (9.4.21) si ottiene: 2 + jω V̇c = 2 (jω) + 2jω + 2 1 + jω 1 V̇g + I˙g 2 + jω 2 + jω cioè la (9.4.20). Utilizzando la tesi di Norton il circuito dato in Figura 9.4.16 risulta equivalente al circuito mostrato in Figura 9.4.20. Figura 9.4.20: rete elettrica Il fasore V̇c , in quest'ultimo circuito si ricava applicando la legge di Ohm: V̇c = Tenendo conto che Żc = 1 jωC = 1 jω Ω, quest'ultima relazione si scrive: V̇c = La corrente diNorton, I˙N. , Żc Żeq. ˙ IN Żc + Żeq. Żeq. I˙N. 1 + jω Żeq. (9.4.26) si determina dal circuito mostrato in Figura 9.4.21 appli- cando il teorema di sovrapposizione degli eetti. Quando agisce soltanto V̇g (I˙g è un circuito aperto) si ha: V̇g 0 I˙N. = Ż1 ovvero: 0 I˙N. = V̇g 312 (9.4.27) 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.4.21: rete elettrica Quando agisce soltanto I˙g (V̇g è un cortocircuito) si ha: 00 I˙N. = Ż2 I˙g Ż2 + ŻL ovvero: 00 I˙N. = 1 I˙g 1 + jω Sommando i contributi in (9.4.27) 3 (9.4.28) si ottiene la corrente di Norton 0 I˙N. = V̇g + (9.4.28) I˙N. : 1 I˙g 1 + jω Sostituendo inne (9.4.22) e (9.4.29) in (9.3.26) si ottiene nuovamente (9.4.20). 313 (9.4.29) 9 Teoremi sulle reti elettriche 9.4.2 Esempio 2 Questo esempio vuole dimostrare che il teorema di Thevenin/Norton non è molto utile dal punto di vista applicativo. Si consideri la rete elettrica mostrata in Figura 9.4.22. Figura 9.4.22: rete elettrica Si vuole determinare il fasore corrente I˙, applicando il teorema di Thevenin/Norton tra i nodi A e B. Si osservi innanzitutto che la serie costituita tra il generatore ideale di corrente e l'impedenza Ż I˙g risulta equivalente al solo generatore. Si osservi pure che denendo N=6 nodi si hanno L=9 lati e quindi risulta N-1=5 ed L-N+1=4; pertanto il metodo di analisi migliore per studiare tale rete è quello delle correnti di maglia, tuttavia cerchiamo di risolvere la rete applicando il teorema di ùthevenin/Norton tra i nodi A e B. La tensione di Thevenin, V̇T h. ,si de- termina a partire dal circuito mostratin Figura 9.4.23 L'impedenza equivalente vista dai morsetti A e B, quando tutti i generatori ideali Figura 9.4.23: sono spenti si calcola a partire dal circuito mostrato in Figura 9.4.24. Come si può ben vedere risulta impossibile trovare l'impedenza equivalente cercando di individuare impedenze in serie o in parallelo. Per determinare l'impedenza equivalente, occorre in 314 9 Teoremi sulle reti elettriche questo caso sapere le formule di trasformazione stella-triangolo che ancora non sono state introdotte. Figura 9.4.24: rete elettrica Quindi stiamo trovando che applicare il teorema di Thevenin/Norton implica introdurre ulteriori complicazioni alla risoluzione della rete. Volendo è possibile inserire tra i nodi A e B un generatore di tensione di prova tensione del generatore di prova V̇p , V̇p e trovare Żeq. come I˙p che lo attraversa. e la corrente rapporto tra la Facendo così si è di fronte a un circuito che si deve studiare obbligatoriamente con uno dei noti metodi di analisi. Tanto vale applicare il metodo di analisi direttamente senza perdere tempo cercando di applicare il teorema di Thevenin/Norton con la speranza di semplicare la risoluzione del problema. 9.5 Teorema di reciprocità Si consideri una rete elettrica lineare tempo-invariante fatta solo da resistori, capacitori, induttori, induttori mutuamente accoppiati ed eventualmente trasformatori ideali (Figura 9.5.1). Figura 9.5.1: rete elettrica 315 9 Teoremi sulle reti elettriche Dalla rete elettrica di Figura 9.5.1 si isoli da una parte un cortocircuito di uno qualunque dei lati della rete e da un'altra parte due distinti nodi della rete stessa (Figura 9.5.2). Figura 9.5.2: rete elettrica In questo modo sono state evidenziate due porte per la rete elettrica. La porta 1 si può eccitare solamente in tensione, mentre la porta 2 si può eccitare solamente in corrente. Eccitando la porta 1 del circuito mostrato in Figura 9.5.2 attraverso un generatore ideale di tensione V̇g si ha il circuito mostrato in Figura 9.5.3. Figura 9.5.3: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 9.5.3 si può denire il Ġv (jω) = guadagno di tensione a vuoto: V̇2 V̇g (9.5.1) Eccitando la porta 2 del circuito mostrato in Figura 9.5.2 attraverso un generatore ideale di corrente I˙g si ha il circuito mostrato in Figura 9.5.4. Figura 9.5.4: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 9.5.4 si può denire il cortocircuito: 316 guadagno di corrente di 9 Teoremi sulle reti elettriche I˙1 I˙g (9.5.2) I˙1 V̇2 = = ĠI (jω) V̇g I˙g (9.5.3) ĠI (jω) = Per il teorema di reciprocità si ha che: Ġv (jω) = La (9.5.3) è la prima tesi del teorema di reciprocità. Dalla rete elettrica di Figura 9.5.1 si isolino due distinti cortocircuiti: Figura 9.5.5: rete elettrica Restano così denite due porte che si possono eccitare solamente in tensione. Eccitando la porta 1 del circuito mostrato in Figura 9.5.5 attraverso un generatore ideale di tensione v̇g1 si ha: Figura 9.5.6: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 9.5.6 si può denire la Ẏ21 (jω) = trans-ammettenza: I˙2 V̇g1 (9.5.4) Con il termine trasammettenza si suole indicare un'ammettenza che fa riferimento a grandezze relative a due porte distinte; di contro con il termine autoammettenza si suole indicare un'ammettenza che fa riferimento a grandezze relative ad una stessa porta. Eccitando la porta 2 del circuito mostrato in Figura 9.5.5 attraverso un generatore ideale di tensione V̇g2 si ha: Dallo schema di calcolo di Figura 9.5.7 si può denire la 317 trans-ammettenza: 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.5.7: rete elettrica I˙1 V̇g2 (9.5.5) I˙1 I˙2 = = Ẏ12 (jω) V̇g1 V̇g2 (9.5.6) Ẏ12 (jω) = Per il teorema di reciprocità si ha che: Ẏ21 (jω) = La (9.5.6) è la seconda tesi del teorema di reciprocità. Dalla rete elettrica di Figura 9.5.1 si isolino due distinte coppie di nodi: Figura 9.5.8: rete elettrica Restano così denite due porte che si possono eccitare solamente in corrente. Eccitando la porta 1 del circuito mostrato in Figura 9.5.8 attraverso un generatore ideale di corrente I˙g1 si ha il circuito mostrato in Figura 9.5.9. Figura 9.5.9: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 9.5.9 si può denire la 318 trans-impedenza: 9 Teoremi sulle reti elettriche Ż21 (jω) = V̇2 I˙g1 (9.5.7) Eccitando la porta 2 del circuito mostrato in Figura 9.5.8 attraverso un generatore ideale di corrente I˙g2 si ha il circuito mostrato in Figura 9.5.10. Figura 9.5.10: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 9.5.10 si può denire la trans-impedenza: V̇1 I˙g2 (9.5.8) V̇2 V̇1 = = Ż12 (jω) I˙g1 I˙g2 (9.5.9) Ż12 (jω) = Per il teorema di reciprocità si ha che: Ż21 (jω) = La (9.5.9) è la terza tesi del teorema di reciprocità. Dimostrazione della prima tesi del teorema di reciprocità Si consideri la rete elettrica mostrata in Figura 9.5.2 e si supponga che per ciascun lato di tale rete valga la convenzione dell'utilizzatore (C.U.). (A) l'impedenza Ż1 , e al circuito aperto, l'impedenza Sostituendo al cortocircuito, (A) Ż2 si ottiene il circuito mostrato in Figura 9.5.11. Figura 9.5.11: rete elettrica Analogamente sostituendo al cortocircuito, l'impedenza (B) Ż1 , (B) l'impedenza Ż2 si ottiene il circuito mostrato in Figura 9.5.12. 319 e al circuito aperto 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.5.12: rete elettrica Sono stati ottenuti così due circuiti aventi lo stesso grafo, per i quali è possibile scrivere il teorema di Tellegen. Tenendo conto che per i dispositivi all'interno della rete vale la convenzione dell'utilizzatore e per quelli che chiudono le porte vale la convenzione del generatore, il teorema di Tellegen si scrive in una delle seguenti forme: (A) ˙(B) I1 V̇1 (A) ˙(B) I2 + V̇2 = L X (A) ˙(B) Ik (9.5.10) V̇k (B) ˙(A) Ik (9.5.11) (B) ˙(A) Ik (9.5.12) V̇k k=1 (B) (A) V̇1 I˙1 + (B) (A) V̇2 I˙2 = L X k=1 Visto che L X (A) (B) V̇k I˙k = k=1 L X V̇k k=1 dalle equazioni in (9.5.10) e (9.5.11) segue l'uguaglianza: (A) ˙(B) I1 V̇1 valida (A) (A) (B) (A) ˙(B) I2 + V̇2 (B) ˙(A) I1 = V̇1 (B) ˙(A) I2 + V̇2 (9.5.13) (B) ∀ Ż1 , Ż2 , Ż1 , Ż2 . Facendo coincidere la rete di Figura 9.5.11 con la rete di Figura 9.5.3 e la rete di Figura 9.5.4 con la rete di Figura 9.5.12, la (9.5.13) si scrive: V̇g −I˙1 + V̇2 I˙g = 0 · I˙1 + V̇2 · 0 da cui si ricava la prima tesi del teorema di reciprocità: Ġv (jω) = V̇2 I˙1 = = ĠI (jω) V̇g I˙g Per completare la dimostrazione occorre vericare l'uguaglianza in (9.5.12). Se il lato k-esimo è un resistore di resistenza Rk , (B) (A) (B) V̇k I˙k si ha: (B) (A) (A) V̇k = V̇k I˙k = Rk I˙k Rk 320 (9.5.14) 9 Teoremi sulle reti elettriche e ciò verica la (9.5.12). Se il lato k-esimo è un capacitore di capacità (A) ˙(B) Ik V̇k = Ck , si ha: 1 ˙(A) (B) (B) (A) Ik jωC V̇k = V̇k I˙k jωC e ciò verica la (9.5.12). Se il lato k-esimo è induttore di induttanza (A) ˙(B) Ik V̇k Lk , si ha: (B) (A) (A) 1 V̇ (B) = V̇k I˙k = jωL I˙k jωL e ciò verica la (9.5.12). Se la rete L.T.I contiene una coppia di induttori mutuamente accoppiati di autoinduttanze (A) ˙(B) Ik V̇k Lk ed Lh (A) ˙(B) Ih + V̇h e mutua-induttanzaM , si ha: (A) (A) ˙(B) (A) (A) ˙(B) = jωLk I˙k + jωM I˙h Ik + jωLh I˙h + jωM I˙k Ih = (A) (B) (A) (B) (A) (B) (A) (B) = jωLk I˙k I˙k + jωM I˙h I˙k + jωLh I˙h I˙h + jωM I˙k I˙h = (B) (B) ˙(A) (B) (A) (B) (A) (B) (B) ˙(A) Ih = V̇k I˙k + V̇h I˙h Ik + jωLh I˙h + jωM I˙k = jωLk I˙k + jωM I˙h e ciò verica la (9.5.12). Se la rete L.T.I contiene un trasformatore ideale si ha: (A) (B) V̇1 I˙1 + (A) (B) V̇2 I˙2 = (B) I˙2 − n (A) n V̇2 ! (A) ˙(B) I2 + V̇2 =0 e ciò verica la (9.5.12). Nota. Le tesi del teorema di reciprocità sono soltanto 3 ; verichiamo quanto detto. Supponiamo di eccitare le porte della rete L.T.I in modo errato come mostrato in Figura 9.5.13. A B Figura 9.5.13: modo errato di eccitare le porte di una rete L.T.I Denendo i guadagni 0 Ġv (jω) = V̇2 , V̇g1 00 Ġv (jω) = quarta tesi del teorema di reciprocità: 321 V̇1 , NON E' VERO che vale una V̇g2 9 Teoremi sulle reti elettriche 0 00 Ġv (jω) = Ġv (jω) Per convincerci di questo fatto basta osservare che le reti elettriche mostrate in Figura 9.5.13 prive di eccitazioni sono diverse tra di loro; il chè è assurdo dato che per ipotesi la rete elettrica è sempre la stessa. Figura 9.5.14: Π1 è la rete di Figura 9.5.14.A priva di eccitazioni; Π2 è la rete di Figura 9.5.14.B priva di eccitazioni Il teorema di reciprocità vale ntantochè la rete L.T.I non contiene generatori pilotati. Potrebbe pure succedere però che la rete L.T.I. contiene generatori pilotati e continua a valere il teorema di reciprocità. Ciò vuol dire che il teorema di reciprocità è una condizione suciente ma non necessaria. 9.5.1 Esempio Data la rete elettrica mostrata in Figura 9.5.15 si vuole vericare la prima tesi del teorema di reciprocità. Figura 9.5.15: rete elettrica Azzerando i generatori ideali la rete elettrica data diventa come mostrato in Figura 9.5.16. Si ricordi che azzerare un generatore idealedi tensione vuol dire sostituirlo con un cortocircuito, mentre azzerare un generatore ideale di corrente vuol dire sostituirlo con un circuito aperto. 322 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.5.16: rete elettrica Eccitando la porta 1 della rete con il generatore di tensione V̇g si ottiene la rete elettrica mostrata in Figura 9.5.17. Figura 9.5.17: rete elettrica Si deve esprimere V̇2 in funzione di V̇g . V̇2 = Si ha: Ż2 V̇c Ż2 + Z˙L Żp V̇g Żp + Ż1 Żc Ż2 + ŻL V̇c = Żp = Ż2 + ŻL + Żc Combinando le relazioni in (9.5.15) (9.5.16) e (9.5.17) si ottiene: 323 (9.5.15) (9.5.16) (9.5.17) 9 Teoremi sulle reti elettriche Ż Ż + Ż c 2 L V̇2 Ż2 Ġv = = V̇g Ż2 + ŻL Żc Ż2 + ŻL + Ż1 Ż2 + ŻL + Żc Sostituendo i valori numerici si ha: Ġv = 1 V̇2 = 2 V̇g (jω) + 2jω + 2 Eccitando la porta 2 della rete con il generatore di corrente (9.5.18) I˙g si ottiene la rete elettrica mostrata in Figura 9.5.18. Figura 9.5.18: rete elettrica Si deve esprimere I˙1 in funzione di I˙g . Si ha: I˙1 = Żc I˙L Żc + Z˙1 (9.5.19) I˙L = Ż2 V̇g Ż2 + Ż (9.5.20) Ż = ŻL + Ż1 Żc Ż1 + Żc (9.5.21) Combinando le relazioni in (9.5.19), (9.5.20), (9.5.21) e sostituendo i valori numerici si ottiene: ĠI = 1 I˙1 = 2 ˙ Ig (jω) + 2jω + 2 (9.5.22) Quindi in denitiva resta vericata la prima tesi del teorema di reciprocità: Ġv = ĠI = 1 (jω) + 2jω + 2 2 324 (9.5.23) 9 Teoremi sulle reti elettriche 9.6 Teorema del massimo trasferimento di potenza Il teorema del massimo trasferimento di potenza è un'applicazione del teorema di Thevenin/Norton. Esso si enuncia per le reti lineari tempo-invariente a regime sinusoidale. Si consideri un bipolo Π lineare, cioè costituito da generatori ideali, generatori pilotati, resistori, capacitori, induttori, induttori mutuamente accoppiati e trasformatori ideali. Supponiamo di chiudere il bipolo Π attraverso un'impedenza variabile Ż = R + jX con R > 0e −∞ < X < +∞ (9.6.1) (Figura 9.6.1). Figura 9.6.1: rete elettrica Si avrà una corrente I˙ che attraversa l'impedenza Ż V̇ . Si Π all'impedenza a fronte di una tensione vuole determinare il massimo trasferimento di potenza dal bipolo lineare Ż = R + jX . Per quali valori di R ed X è possibile rendere massima la potenza reale che assorbe l'impedenza Ż dal bipolo lineare Π ? L'espressione della potenza reale assorbita da una impedenza Ż è data da: P = R I2 essendo I il modulo del fasore (9.6.2) I˙. Per determinare l'espressione della potenza reale P bisogna applicare innanzitutto il teorema di Thevenin/Norton alla rete elettrica di Figura 9.6.1: si tratta di sostituire al bipolo Π, il bipolo di Thevenin (Figura 9.6.2) Poichè il fasore I˙ è dato da: I˙ = V̇T h. ˙ Ż + Zeq. la potenza reale data in (9.6.2) si scrive: 2 V̇ VT2h. T h. P = R =R ˙ Ż + Zeq. (R + Req. )2 + (X + Xeq. )2 325 9 Teoremi sulle reti elettriche Figura 9.6.2: rete elettrica Stiamo trovando che la potenza reale è una funzione reale delle variabili reali R ed X: P = P (R, X) = R VT2h. (9.6.3) (R + Req. )2 + (X + Xeq. )2 Si tratta di denire il massimo della funzione P (R, X) denita in: D = {(R, X) ∈ R : R ≥ 0, −∞ ≤ X ≤ +∞} (9.6.4) D è un dominio chiuso e limitato , i punti di massimo vanno ricercati tra i punti della frontiera di D e tra i punti interni a D . Per ogni punto che sta sulla retta R = 0 si ha ovviamente che: Poichè P = P (0, X) = 0 ∀X ∈ R Quindi i punti che stanno sulla retta R=0 non sono candidati punti di massi- mo. Non lo sono anche i punti che stanno sulla retta impropria, infatti anche per essi si ha (un punto sulla retta impropria è un punto per cui sia R che X divergono a +∞): P = =R lim R,X→+∞ P (R, X) = VT2h. 2 2 (R + Req. ) + (X + Xeq. ) =0 Figura 9.6.3: Dominio di denizione per la potenza reale Quindi i punti di massimo vanno ricercati tra i punti interni a gradiente della funzione P = P (R, X) D in cui si annulla il poichè trattasi di una funzione di due variabili. Si possono evitare calcoli complicati se si osserva che per X = −Xeq. 326 (9.6.5) 9 Teoremi sulle reti elettriche la (9.6.3) tende a diventare massimale. Fissando una funzione reale della sola variabile reale X come in (9.6.5), la (9.6.3) diventa R: P = P (R) = R VT2h. (9.6.6) (R + Req. )2 Quindi anzichè andare a trovare i punti per cui si annulla il gradiente della (9.6.3) si vanno a trovare i punti per cui si annulla la derivata prima rispetto a R della (9.6.6): V 2 (−R + Req. ) d P (R) = T h. =0 dR (R + Req. )2 Da quest'ultima espressione si ricava: R = Req. essendo (9.6.7) VT2h. 6= 0. Sostituendo (9.6.5) e (9.6.7) in (9.6.1) si trova l'impedenza per cui si ha il massimo trasferimento di potenza reale dal bipolo Π all'utilizzatore Ż : ∗ Ż = Req. − jXeq. = Zeq. (9.6.8) Attraverso (9.6.8) è evidente che si ha il massimo trasferimento di potenza dal bipolo Π all'utilizzatore quando quest'ultimo ha un'impedenza pari all'impedenza equivalente coniugata del bipolo Π stesso; si suole dire che occorre adattare l'utilizzatore al bipolo Π su base coniugata. Sostituendo (9.6.5) e (9.6.7) in (9.6.3) si ottiene la potenza reale massima assorbita dall'utilizzatore: PM AX = VT2h. 4 Req. (9.6.9) L'espressione trovata in (9.6.9) non è soltanto la potenza reale massima assorbita dal- ∗ , ma è anche la potenza reale massima assorbita dall'impedenza Ż = Zeq. equivalente Zeq. In altri termini la potenza reale massima prodotta dal generatore ideale gen. ∗ di tensione V̇T h. ,PM AX , va al 50% su Żeq. e al 50% su Żeq. , quindi quest'ultima è il ∗ doppio della potenza assorbita dall'utilizzatore Ż = Zeq. : l'impedenza (gen.) PM AX = 2PM AX = VT2h. 2 Req. (9.6.10) Del teorema appena dato, esiste una versione reale. Si tratta di chiudere il bipolo Π, attraverso un resistore di resistenza variabile potenza reale trasferita dal bipolo Π R e determinare al resistore di resistenza R R in modo tale che la sia massima. In questo caso l'espressione della potenza reale assorbita dal resistore risulta: Stiamo trovando che la potenza reale è una funzione reale delle variabili reali R ed X: 327 9 Teoremi sulle reti elettriche P = P (R) = R I 2 = R VT2h. 2 (R + Req. )2 + Xeq. (9.6.11) Si tratta di trovare il punto di massimo per la funzione in (9.6.11), annullandone la derivata prima rispetto a R: n o 2 2 2 − 2R (R + R ) V (R + R ) + X eq. eq. eq. T h. d =0 P (R) = h i2 dR 2 (R + Req. )2 + Xeq. Da quest'ultima espressione si ricava l'equazione: 2 (R + Req. )2 + Xeq. − 2R (R + Req. ) = 0 VT2h. 6= 0 Dalla (9.6.12) si ricava il valore di (9.6.12) R: 2 2 R = Req. + Xeq. = Żeq. (9.6.13) Sostituendo (9.6.13) in (9.6.11) si ottiene l'espressione della potenza reale massima trasferita dal bipolo Π all'utilizzatore PM AX R: 2 + X2 Req. eq. = VT2h. = 2 2 2 2 Req. + Xeq. + Req. + Xeq. = 2 Req. 1 VT2h. 2 + 1 + Xeq. (9.6.14) Inne tenendo conto che: ( P (0) = lim R→0 R ) VT2h. 2 (R + Req. )2 + Xeq. =0 (9.6.15) ( P (+∞) = lim R→+∞ R ) VT2h. 2 (R + Req. )2 + Xeq. =0 (9.6.16) è chiaro che la potenza reale trasferita dal bipolo Π Figura 9.6.4: potenza trasferita dal bipolo all'utilizzatore è carat- all'utilizzatore R terizzata dal graco mostrato in Figura 9.6.4. 328 Π 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Fino ad ora, per studiare una rete elettrica si scelto di operare nel dominio del tempo o nel dominio dei fasori. Tuttavia quando si risolvono le reti elettriche si può scegliere di svolgere l'analisi nel dominio di Laplace. Prima di arontare lo studio di una rete elettrica nel dominio di Laplace è opportuno introdurre alcuni concetti necessari per denire la trasformata di Laplace e l'anti trasformata di Laplace. 10.1 Sommabilità di una funzione in R. Si consideri una funzione w :R → C Si dice che tale funzione è continua in R. sommabile in R se: ˆ +∞ w (t) dt (10.1.1) −∞ risulta nito. Per sommabilità in R di una funzione si può intendere la sommabilità nel senso di Lebesgue, la sommablità in senso improprio oppure la sommabilità in valore principale. Funzione sommabile in sommabile in R R nel senso di Lebesgue. Una funzione w :R → C si dice nel senso di Lebesgue se: ˆ +∞ |w (t)| dt < +∞ (10.1.2) −∞ L'insieme delle funzioni sommabili in R nel senso di Lebesgue si indica con il simbolo L1 (]−∞, +∞[). In tal caso, ˆ +∞ w (t) dt −∞ è l'integrale di Lebesgue della funzione Funzione sommabile in bile in R R w (t) in in senso improprio. ]−∞, +∞[. Una funzione w :R → C si dice somma- in senso improprio se i due limiti presenti nella seguente espressione esistono niti: ∗ ˆ ˆ +∞ w (t) dt = lim −∞ a→−∞ a ˆ 0 w (t) dt + lim 329 b→+∞ 0 b w (t) dt (10.1.3) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace In tal caso, ∗ ˆ +∞ w (t) dt −∞ w (t) è l'integrale in senso improprio della funzione Funzione sommabile in bile in R R in valore principale. in ]−∞, +∞[. Una funzione w:R → C si dice somma- in valore principale se il limite presente nella seguente espressione esiste nito: ˆ ˆ +∞ R w (t) dt = lim V.P. R→∞ −R −∞ w (t) dt (10.1.4) In tal caso, ˆ +∞ V.P. w (t) dt −∞ è l'integrale in valore principale della funzione w (t) in ]−∞, +∞[. Proposizione 1 Valgono le seguenti implicazione nessuna delle quali invertibile Sommabilità Sommabilità Sommabilita nel senso di =⇒ in senso =⇒ in Lebesgue improrpio valore principale In altri termini se una funzione è sommabile secondo Lebesgue, allora l'integrale di Lebesgue, l'integrale in senso improprio e l'integrale in valore principale coincidono: ˆ +∞ ∗ ˆ ˆ +∞ w (t) dt = +∞ w (t) dt = V.P. −∞ −∞ w (t) dt (10.1.5) −∞ Alternativamente se una funzione è sommabile in senso improprio, allora l'integrale improprio e quello in valore principale coincidono: ∗ ˆ ˆ +∞ +∞ w (t) dt = V.P. −∞ w (t) dt −∞ Quanto detto lo si può vericare subito tramite degli esempi. Esempio 1. Si consideri la funzione: ( w (t) = Poichè sin t t 1 per t > 0 per t = 0 sin t =1 t→0 t lim 330 (10.1.6) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace si ha che w (t) è continua in Proviamo che w (t) [0, +∞[. non è sommabile nel senso di Lebesgue in [0, +∞[. [0, +∞[ deve succedere che |w (t)| dt = +∞ la funzione non Anchè la funzione sia sommabile nel senso di Lebesgue in ´ +∞ 0 |w (t)| dt < +∞, viceversa se succede che ´ +∞ 0 [0, +∞[. risulta sommabile nel senso di Lebesgue in Se riuscissimo a fare vedere che che esiste una successione numerica +∞ {Tn } divergente a tale che: ˆ Tn |sin t| dt = +∞ t lim n→+∞ 0 allora per un noto teorema sui limiti che lega la successioni alle funzioni, si avrebbe pure che: ˆ +∞ 0 e ciò equivale a dire che la funzione [0, +∞[. |sin t| dt = +∞ t w (t) non è sommabile nel senso di Lebesgue in Si tratta dunque di trovare la successione numerica {Tn } divergente a +∞. Tale successione non è molto complicata se si osserva che: |sin t| = sin t |sin t| = − sin t |sin t| = sin t . . |sin t| = − sin t se 0 < t < π se π < t < 2π se 2π < t < 3π se (2n − 1) π < t < 2nπ ovvero: Figura 10.1.1: rappresentazione graca A questo punto si capisce che la la successione numerica denita ponendo Tn = 2πn, lim 2πn n→+∞ 0 w (t) divergente a +∞ è pertanto si tratta di provare che: ˆ per poter dire che {Tn } |sin t| dt = +∞ t non è sommabile secondo Lebesgue in Decomponendo l'intervallo [0, 2πn] [0, +∞[. come mostrato in Figura 10.1.1 e applicando la proprietà dell'additività dell'integrale si può scrivere: 331 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace ˆ 2πn 0 |sin t| dt = t ˆ π 0 sin t dt + t ˆ 2π π sin t − dt + ...... + t ˆ 2nπ − (2n−1)π sin t dt t Così facendo è stata trovata la ridotta di una serie. A questo punto basta minorare la ridotta trovata con una ridotta di una serie divergente a +∞. Questa si trova subito, infatti: ˆ π 0 1 ≥ π ˆ π 0 sin t dt + t ˆ 2π π 1 sin t dt + 2π ˆ sin t − dt + ...... + t 2π π = ˆ 2nπ − (2n−1)π 1 − sin t dt + ...... + 2πn ˆ sin t dt ≥ t 2nπ − sin t dt = (2n−1)π 1 1 1 + + ...... + π 2π 2πn In questo modo è stata trovata come minorante la ridotta della serie armonica divergente, pertanto w (t) Proviamo che non è è sommabile secondo Lebesgue in w (t) è sommabile in senso improprio in [0, +∞[. [0, +∞[. Deve succedere che: ˆ T lim T →+∞ 0 sin t dt t esiste nito. Per T>1 possiamo srivere: ˆ T 0 sin t dt = t ˆ 1 0 sin t dt + t ˆ T 1 sin t dt t L'integrale: ˆ 0 1 sin t dt t risulta essere un numero in quanto si tratta di un integrale di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. Si tratta dunque di fare vedere che: ˆ T lim T →+∞ 1 sin t dt t esiste nito. Integrando per parti si ha: ˆ 1 T cos T sin t dt = − + cos 1 − t T 332 ˆ 1 T cos t dt t2 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace A questo punto poichè − cosT T è il prodotto tra due funzioni di cui una è limitata e l'altr< è innitesima si ha che: lim − T →+∞ Si tratta allora di fare vedere che: cos T =0 T ˆ T cos t dt t2 lim T →+∞ 1 esiste nito. Poichè vale la maggiorazione: ˆ T 1 ˆ |cos t| dt ≤ t2 T 1 1 dt = 1 − 2 t T 1 e si ha che 1 1− =1 T →+∞ T lim per il teorema del confronto si ha che ˆ T lim T →+∞ 1 |cos t| dt t2 esite nito e ciò implica che ˆ T cos t dt t2 lim T →+∞ 1 esiste nito. Ciò prova che Esempio 2. w (t) è sommabile in senso improprio in Si consideri la funzione: con t ∈ R w (t) = t Se Proviamo che w (t)fosse [0, +∞[. w (t) non è sommabile in senso improprio in sommabile in senso improprio in ∗ ˆ ]−∞, +∞[: ˆ +∞ w (t) dt = lim a→−∞ a −∞ ]−∞, +∞[. ˆ 0 t dt + lim b→+∞ 0 b t dt in quest'ultima espressione, i due limiti dovrebbero esistere niti. Poichè ˆ 0 t2 a2 = lim − = −∞ a→−∞ a a→−∞ 2 a→−∞ 2 a 2 b ˆ b t b2 lim t dt = lim = lim = +∞ b→+∞ 2 b→+∞ 0 b→+∞ 2 0 lim si ha ovviamente che w (t) 0 t dt = lim non è sommabile in senso improprio in 333 ]−∞, +∞[. 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Sia Proviamo che R > 0, w (t) è sommabile in valore principale in ]−∞, +∞[. dobbiamo fare vedere che ˆ ˆ +∞ V.P. R w (t) dt = lim R→+∞ −R −∞ t dt esiste nito. Si ha facilmente che: ˆ ˆ +∞ R w (t) dt = lim V.P. R→+∞ −R −∞ e ciò dimostra che w (t) t dt = lim R→+∞ t2 2 R = lim −R è sommabile in valore principale in Funzione localmente sommabile in R. R→+∞ R2 R2 − 2 2 =0 ]−∞, +∞[. w (t) una funzione sommabile in R nel senso Sia di Lebesgue , cioè tale che ˆ +∞ |w (t)| dt < +∞ (10.1.7) −∞ Se ∀ [a, b] ⊆R si ha che ˆ b |w (t)| dt < +∞ (10.1.8) a allora w (t) si dice localmente sommabile in R. L'insieme delle funzioni localmente sommabili in R si indica con il simbolo L1loc (]−∞, +∞[). Vale la seguente proposizine. Proposizione 2 w (t)∈ L1 (Ω) allora w (t)∈ L1loc (Ω). 1 detto che w (t)∈ L (Ω). Se è Non vale il viceversa. Cioè se w (t)∈ L1loc (Ω) non Per convincerci di quanto detto si consideri il seguente esempio. Esempio 3. w (t) = t. Si consideri la funzione Visto che: ˆ ˆ 1 1 w (t) dt = 0 si ha ovviamente che sommabile in R t dt = 0 1 2 w (t) è localmente sommabile in R. Tale funzione non è ovviamente nel senso di Lebesgue visto che: ˆ +∞ t dt = +∞ 0 Siamo ora in grado di denire le funzioni trasformabili secondo Laplace, nonchè la trasformata di Laplace. 334 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace 10.2 Trasformata di Laplace 10.2.1 Denizioni L-trasformabile in s0 . Sia w (t) una funzione denita in R e a valori in C, ]−∞, 0[. Sia inoltre w (t) ∈ L1loc ([0, +∞[) ed s0 ∈ C. Si dice che trasformabile secondo Laplace in s0 (o L-trasformabile in s0 ) se Funzione identicamente nulla in w (t) è ˆ T w (t) e−s0 t dt lim T →∞ 0 (10.2.1) esiste nito. Proposizione 3 La funzione w (t) e−s0 t risulta sommabile in [0, T ], cioè w (t) e−s0 t ∈ L1 ([0, T ]). ´T −s0 t dt < +∞. 0 w (t) e [0, T ], si ha che: Dimostrazione. Si tratta di provare che Poichè la funzione e−s0 t è continua in −s t e 0 < max e−s0 t [0.T ] e quindi vale la maggiorazione: w (t) e−s0 t < |w (t)| max e−s0 t [0.T ] Con ciò stiamo trovando che il modulo della funzione della funzione w (t) w (t) e−s0 t si maggiora con il modulo moltipliato per la costante: max e−s0 t [0.T ] Poichè per ipotesi w (t) ∈ L1loc ([0, +∞[), e ciò equivale a dire che in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in ˆ T [0, +∞[, w (t) risulta sommabile si ha che: |w (t)| max e−s0 t dt < +∞ [0,T ] 0 e quindi per il criterio del confronto si ha pure che. ˆ T w (t) e−s0 t dt < +∞ 0 Trasformata di Laplace di w (t) in s. Se w (t) risulta ˆ W (s) = L (w (t)) (s) = lim T →∞ 0 rappresenta la trasformata di Laplace di w (t) 335 in s. T L-trasformabile w (t) e−st dt in s ∈ C,allora (10.2.2) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Osservazione La trasformata di Laplace non richiede che la funzione sia denita in ]−∞, 0[ ; tut- tavia, in vista dell'estenzione della denizione di trasformata di Laplace nel senso delle distribuzioni, è opportuno pensare la funzione denita in tutto In altro modo si dice che la funzione funzione w (t) e−s0 t risulta ∗ w (t) ˆ +∞ ˆ w (t) e−st dt = lim T T →∞ 0 Potrebbe pure succedere che la funzione [0, +∞[; L-trasformabile in s0 ∈ C, se la sommabile in senso improprio in [0, +∞[, cioè se esiste nito: 0 in risulta R e nulla per t ∈ ]−∞, 0[. w (t) e−s0 t w (t) e−st dt risulti (10.2.3) sommabile secondo Lebesgue se ciò avviene si può dare la seguente denizione. L-trasformabile in s0 . Sia w (t) una funzione denita in R e 1 a valori in C, identicamente nulla in ]−∞, 0[. Sia inoltre w (t) ∈ Lloc ([0, +∞[) ed s0 ∈ C. Si dice che w (t) è assolutamente trasformabile secondo Laplace in s0 (o assolutamente L-trasformabile in s0 ) se ˆ +∞ w (t) e−s0 t dt < +∞ (10.2.4) Funzione assolutamente 0 L-trasformabile in s0 è anche L-trasformabile w (t) e−s0 t è sommabile secondo Lebesgue in [0, +∞[, allora risulta sommabile in [0, +∞[ anche in senso improprio. Logicamente non vale il viceversa, cioè se una funzione risulta L-trasformabile in s0 non è detto che sia assolutamente L-trasformabile in s0 . Naturalmente se una funzione è assolutamente in s0 ; in altri termini se la funzione Si dimostra il seguente lemma. Lemma 1 Se w(t) è L-trasformabile in s0 ∈ C, allora è L-trasformabile ∀s ∈ C tale che Re {s} > Re {s0 } Ascissa di convergenza. camente nulla in ]−∞, 0[. Sia w (t) una funzione denita in Sia inoltre w (t) ∈ L1loc ([0, +∞[). R e a valori in C, identi- Consideriamo il seguente insieme numerico I = {s ∈ R : w (t) è L − trasf ormabile in s} (10.2.5) e poniamo: ( inf I %= +∞ 336 se I = 6 0 se I = 0 (10.2.6) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace dove % prende il nome di ascissa di convergenza. Tenendonto del lemma 1 e della denizione di estremo inferiore, vale il seguente teorema. Teorema 1 w (t) una funzione denita in R e a valori in C, identicamente nulla in ]−∞, 0[. Sia w (t) ∈ L1loc ([0, +∞[). Allora w (t) è L-trasformabile nel semipiano Re {s} > % e non è L-trasformabile nel semipiano Re {s} < %; inne nulla si può dire se Re {s} = %. Sia inoltre Dimostrazione. Re {s} > % allora per la proprietà dell'estremo inferiore esiste un ∗ ∗ tale che ϕ < s < Re {s} . Poichè in s la funzione è L-trasformabile, ∗ allora w (t) è L-trasformabile in s ∈ C tale che Re {s} > s Se Figura 10.2.1: semipiano di numero s∗ ∈ I per il lemma 1 L-trasformabilità Si prova un lemma molto simile al lemma 1, che riguarda le funzioni assolutamente L-trasformabili secondo Laplace. Lemma 2 L-trasformabile in s0 ∈ C, allora è assolutamente L-trasformabile Re {s} ≥ Re {s0 } . Se w(t) è assolutamente ∀s ∈ C tale che Ascissa di assoluta convergenza. C, Sia w (t) una funzione denita in R e a valori in w (t) ∈ L1loc ([0, +∞[). Consideriamo il I ∗ = {s ∈ R : w (t) è assolutamente L − trasf ormabile in s} (10.2.7) identicamente nulla in ]−∞, 0[. Sia inoltre seguente insieme numerico e poniamo: ( inf I ∗ %∗ = +∞ 337 se I = 6 0 se I = 0 (10.2.8) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace dove %∗ prende il nome di ascissa di assoluta convergenza. Tenendonto del lemma 2 e della denizione di ascissa di assoluta convergenza, vale il seguente teorema. Teorema 2 w (t) una funzione denita in R e a valori in C, identicamente nulla in ]−∞, 0[. Sia w (t) ∈ L1loc ([0, +∞[). Allora w (t) è assolutamente L-trasformabile nel semipiano Re {s} > %∗ e non è assolutamente L-trasformabile nel semipiano Re {s} < %∗ ; inne ∗ nulla si può dire se Re {s} = % . Sia inoltre A dierenza del teorema 1, per il teorema 2 va detto che se si trova un punto che Re {s} = %∗ in cui la funzione è assolutamente L-trasformabile, allora risulta pure assolutamente L-trasformabile per ogni punto della medesima retta e ancora ∗ se si trova un punto della retta Re {s} = % in cui la funzione non è assolutamente L-trasformabile, allora non lo è per ogni punto della medesima retta. sta sulla retta Si osservi inoltre che dal fatto che l'assoluta trasformabilità implica la trasformabilità e non il viceversa si ha che I∗ ⊆ I e quindi: % ≤ %∗ Figura 10.2.2: semipiano di L-trasformabilità; (10.2.9) semipiano di assoluta L-trasformabilità Proposizione 4 Le funzioni a segno denitivamente costante sono funzioni in cui l'ascissa di convergenza coincide con l'ascissa di assoluta convergenza. 10.2.2 Proprietà della trasformata di Laplace Proprietà 1 (linearità della trasformata di Laplace) Siano date le funzioni w1 (t) 1 ,w2 (t)∈ Lloc ([0, +∞[) identicamente nulle in ]−∞, 0[ L-trasformabili per Re {s} > %1 , Re {s} > %2 rispettivamente e siano λ1 , λ2 ∈ C. Si ha per Re {s} > max (%1 , %2 ) che: 338 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace L (λ1 w1 (t) + λ2 w2 (t)) (s) = λ1 L (w1 (t)) (s) + λ2 L (w2 (t)) (s) (10.2.10) Dimostrazione. ∗ ˆ +∞ L (λ1 w1 (t) + λ2 w2 (t)) (s) = (λ1 w1 (t) + λ2 w2 (t)) e−st dt = 0 ∗ ˆ +∞ ∗ w1 (t) e = λ1 −st ˆ +∞ dt + λ2 w2 (t) e−st dt = 0 0 = λ1 L (w1 (t)) (s) + λ2 L (w2 (t)) (s) Proprietà 2 (formula del cambiamento di scala) ]−∞, 0[ ,L-trasformabile identicamente nulla in w (t)∈ L1loc ([0, +∞[) a > 0. Allora si ha Sia data la funzione per Re {s} > %, e sia che: L (w (a · t)) (s) = s 1 L (w (t)) a a Dimostrazione. Basta eettuare il cambiamento di variabile ∗ ˆ +∞ L (w (a · t)) (s) = ˆ ∗ −st w (a · t) e +∞ dt = 0 0 Proprietà 3 (formula di traslazione rispetto ad s) ]−∞, 0[ ,L-trasformabile identicamente nulla in (10.2.11) a · t = y: s s 1 1 w (y) e− a y dy = L (w (t)) a a a Sia data la funzione per Re {s} > %. Allora si ha che: L eαt w (t) (s) = L (w (t)) (s − α) se Re {s} > % + Re {α} essendo w (t)∈ L1loc ([0, +∞[) (10.2.12) α ∈ C. Dimostrazione. ∗ ˆ +∞ L eαt w (t) (s) = ∗ ˆ eαt w (t) e−st dt = 0 w (t) e−(s−α)t dt = L (w (t)) (s − α) 0 Proprietà 4 (formula di traslazione rispetto a t) identicamente nulla in +∞ ]−∞, 0[ ,L-trasformabile Sia data la funzione per Re {s} > %. Allora si ha che: L (w (t − a) u (t − a)) (s) = e−as L (w (t)) (s) se Re {s} > % ea > 0. 339 w (t)∈ L1loc ([0, +∞[) (10.2.13) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Proprietà 5 (trasformata di Laplace di una funzione periodica di periodo T ) w (t) una funzione periodica di periodo T>0 localmente sommabile in ha che w (t) è L-trasformabile per Re {s} > 0 (0, T ). Sia Allora si e vale la relazione_ 1 L (w (t) u (t)) (s) = 1 − e−sT ˆ T e−sτ w (τ ) dτ (10.2.14) 0 Proprietà 6 (derivata n-esima della trasformata di Laplace) Sia data la funzione w (t)∈ L1loc ([0, +∞[) identicamente nulla in ]−∞, 0[ ,L-trasformabile per Re {s} > %. Allora si ha che w (t) è una funzione derivabile innite volte e vale la formula: Dn (L (w (t)) (s)) = (−1)n L (tn w (t)) (s) (10.2.15) Proprietà 7 (trasformata di Laplace della funzione integrale) Sia data la funzione w (t)∈ L1loc ([0, +∞[) identicamente nulla in ]−∞, 0[ ,L-trasformabile per Re {s} > %. Allora si ha che ˆ L t w (τ ) dτ 0 per 1 (s) = L (w (t)) (s) s (10.2.16) Re {s} > max (0, %). Proprietà 7 (trasformata di Laplace della derivata prima) 0 L w (t) (s) = sL (w (t)) (s) − w 0+ (10.2.17) Proprietà 8 (trasformata di Laplace della derivata seconda) 00 0 L w (t) (s) = s2 L (w (t)) (s) − s w 0+ − w 0+ (10.2.18) Proprietà 9 (teorema del valore iniziale) lim w (t) = lim sL (w (t)) (s) = w (0) s→+∞ t→0 (10.2.19) Proprietà 10 (teorema del valore nale) lim w (t) = lim sL (w (t)) (s) t→+∞ s→0 Proprietà 11 (trasformata di Laplace della convoluzione) 340 (10.2.20) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Convoluzione. f (t) , g (t) ∈ L1loc ([0, +∞[) due funzioni nulle in ]−∞, 0[. f (t) e g (t) la funzione denita ponendo: ( 0 se t ≤ 0 {f (t) ∗ g (t)} (t) = ´ t se t > 0 0 f (τ ) g (t − τ ) dτ Sia convoluzione tra Si dimostra che la convoluzione risulta localmente sommabile in Si chiama (10.2.21) [0, +∞[ f (t) assolutamente L-trasformabile per Re {s} > %∗ e g (t) L-trasformabile per Re {s} > %, allora la convoluzione {f (t) ∗ g (t)} (t) risulta L-trasformabile per Re {s} > max (%∗ , %) e sussiste la formula: Se risulta L ({f (t) ∗ g (t)} (t)) (s) = L (f (t)) (s) L (g (t)) (s) (10.2.22) 10.2.3 Trasformata di Laplace di alcune forme d'onda 10.2.3.1 Trasformata di Laplace del gradino ( 1 se t ≥ 0 u (t) = 0 se t < 0 u (t) La funzione gradino (10.2.23) [0, +∞[, cioè è a segno L-trasformabile o assolutamente L- è sempre positiva nell'intervallo denitivamente costante, quindi dire che trasformabile è la stessa cosa. u (t) è In altri termini il raggio di convergenza coincide con il raggio di assoluta convergenza: % = %∗ . Troviamo i numeri reali s per i quali succede che: ˆ ∗ +∞ L (u (t)) (s) = u (t) e−st dt < +∞ 0 Poichè per s=0 si ha che ∗ ˆ +∞ ∗ u (t) e −s0 ˆ 1 dt = +∞ 0 la funzione u (t) +∞ dt = 0 non risulta trasformabile secondo Laplace in s=0 e quindi neanche per % = %∗ = 0. Per i numeri reali s>0 si ha: ∗ ˆ +∞ ∗ ˆ +∞ −st L (u (t)) (s) = u (t) e dt = 1e−st dt = s<0; pertanto si ha che 0 = Se s∈C 0 e−st −s +∞ = 0 1 < +∞ s si ha che L (u (t)) (s) = purchè sia Re {s} > 0. 341 1 s (10.2.24) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace 10.2.3.1.1 Trasformata di Laplace del gradino traslato. Utilizzando la formula di traslazione data in (10.2.13) e la (10.2.24) si trova la trasformata di Laplace del gradino traslato: L (u (t − a)) (s) = e−as purchè sia 1 s (10.2.25) Re {s} > 0. 10.2.3.2 Trasformata di Laplace della funzione sinusoidale Si vuole determinare la trasformata di Laplace della funzione sinusoidale: w (t) = u (t) sin ωt con ω ∈ C. Utilizzando la formula di Eulero per il seno si ha: eiωt − e−jωt 1 1 L (u (t) sin ωt) (s) = L u (t) (s) = L u (t) ejωt (s)− L u (t) e−jωt (s) 2j 2j 2j Applicando la formula di traslazione rispetto ad s, data in (10.2.12), quest'ultima espressione si scrive: 1 1 L u (t) ejωt (s) − L u (t) e−jωt (s) = 2j 2j 1 1 1 1 1 s + jω − s + jω 1 j2ω − = = 2j s − jω 2j s + jω 2j (s − jω) (s + jω) 2j s2 + ω 2 L (u (t) sin ωt) (s) = Cioè L (u (t) sin ωt) (s) = s2 ω + ω2 (10.2.26) La formula trovata vale se vengono rispettate le condizioni (vedi formula di traslazione rispetto ad s): ( Re {s} > Re {jω} = Re {j (Re {ω} + jIm {ω})} = −Im {ω} Re {s} > Re {−jω} = Re {−j (Re {ω} + Im {ω})} = Im {ω} che sono equivalenti alla condizione: Re {s} > |Im {ω}| 342 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace 10.2.3.3 Trasformata di Laplace della funzione cosinusoidale Allo stesso modo si trova la trasformata di Laplace della funzione cosinusoidale: w (t) = u (t) cos ωt con ω∈C vale: L (u (t) cos ωt) (s) = s2 s + ω2 (10.2.27) per Re {s} > |Im {ω}| 10.2.3.4 Tabella delle trasformate di Laplace di alcune funzioni Qui di seguito viene mostrata una tabella iin cui sono riportate alcune funzioni con le corrispondenti trasformate di Laplace. w (t) = ( 1 t≥0 u (t) = 0 t<0 ku (t) t n t con n ∈ N e−at tn e−at W (s) = L (w (t)) (s) = 1 s k s 1 s2 n! sn+1 1 s+a n! (s+a)n+1 ω s2 +ω 2 s s2 +ω 2 ω (s+a)2 +ω 2 s+a (s+a)2 +ω 2 2ωs (s2 +ω 2 )2 s2 −ω 2 (s2 +ω 2 )2 sin ωt cos ωt e−at sin ωt e−at cos ωt t sin ωt t cos ωt δ (t) 1 sn dn dtn δ (t) Tabella 10.1: tabella delle trasformate di Laplace di alcune funzioni Le ultime due trasforformate si ricavano inquadrando la trasformata di Laplace nell'ambito delle distribuzioni. 343 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace 10.2.4 L.K nel dominio di Laplace 10.2.4.1 L.K.T. nel dominio di Laplace La LKT nel dominio del tempo X vk (t) = 0 k nel dominio di Laplace, si scrive: X Vk (s) = 0 (10.2.28) k essendo: ˆ ∗ +∞ Vk (s) = vk (t) e−st dt (10.2.29) 0 Dimostrazione. Basta applicare la (10.1.4) alla (10.1.23): ! L X k vk (t) (s) = Xˆ +∞ vk (t) e−st dt = X 0 k L (vk (t)) (s) = k X X Vk (s) = 0 k Vk (s) = 0 k 10.2.4.2 L.K.I. nel dominio di Laplace La LKI nel dominio del tempo X ik (t) = 0 (10.2.30) Ik (s) = 0 (10.2.31) k nel dominio di Laplace, si scrive: X k essendo: ∗ ˆ +∞ Ik (s) = ik (t) e−st dt (10.2.32) 0 10.2.5 L.L. nel dominio di Laplace 10.2.5.1 Resistore lineare tempo-invariante v (t) = R i (t) ⇐⇒ V (s) = R I (s) 344 (10.2.33) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Figura 10.2.3: resistore nel dominio di Laplace 10.2.5.2 Capacitore lineare tempo-invariante Applicando la Trasformata di Laplace all'equazione costitutiva del capacitore: i (t) = C d v (t) dt si ottiene: I (s) = sCV (s) − Cv 0+ Quest'ultima si può scrivere come segue: V (s) = v (0+ ) 1 I (s) + sC s (10.2.34) Secondo (10.2.32), il capacitore (carico) nel dominio di Laplace risulta essere equivalente alla serie tra un capacitore scarico di impedenza: Zc (s) = 1 sC (10.2.35) ed un generatore di tensione equivalente: v (0+ ) s (10.2.36) Figura 10.2.4: capacitore nel dominio di Laplace La formula in (10.2.32) suggerisce di trasformare la condizione iniziale sullo stato energetico del capacitore in generatore di tensione equivalente e poi applicare la trasformata di Laplace. 345 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace 10.2.5.3 Induttore lineare tempo-invariante Applicando la Trasformata di Laplace all'equazione costitutiva dell'induttore : v (t) = L d i (t) dt si ottiene: V (s) = sLI (s) − Li 0+ Quest'ultima si può scrivere come segue: I (s) = 1 i (0+ ) I (s) + sL s (10.2.37) Secondo (10.2.33), l'induttore (carico) nel dominio di Laplace risulta essere equivalente al parallelo tra un induttore scarico di ammettenza: YL (s) = 1 sL (10.2.38) ed un generatore di corrente equivalente: i (0+ ) s (10.2.39) Figura 10.2.5: induttore nel dominio di Laplace La formula in (10.2.35) suggerisce di trasformare la condizione iniziale sullo stato energetico dell'induttore in generatore di corrente equivalente e poi applicare la trasformata di Laplace. 10.2.5.4 Impedenza del bipolo elementare Per un bipolo elemetare si può denire nel dominio di Laplace, l'impedenza come segue: Z (s) = R 1 sC = Xc sL = XL (resistenza) (reattanza capacitiva) (reattanza induttiva) 346 (10.2.40) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Figura 10.2.6: impedenza In Figura 10.2.6 viene mostrato il simbolo circuitale per rappresentare l'impedenza per un bipolo. Oppure l'ammettenza: 1 R = G 1 Y (s) = = sC = BC Z (s) 1 sL == BL conduttanza sucettanza capacitiva suscettanza induttiva (10.2.41) 10.2.5.5 Coppia di induttori mutuamente accoppiati Le equazioni costitutive che regolano il funzionamento della coppia di induttori mutuamente accoppiati mostrata in Figura 10.2.7 sono: ( d d i1 (t) + M dt i2 (t) v1 (t) = L1 dt d d v2 (t) = M dt i1 (t) + L2 dt i2 (t) Figura 10.2.7: coppia di induttori mutuamente accoppiati Applicando la trasformata di Laplace a tali equazioni si ottengono le sguenti equazioni ( V1 (s) = sL1 I1 (s) − L1 i1 (0+ ) + sM I2 (s) − M i2 (0+ ) V2 (s) = sM I1 (s) − M i1 (0+ ) + sL2 I2 (s) − L2 i2 (0+ ) (10.2.42) che suggeriscono il circuito mostrato in Figura 10.2.8 Scrivendo le equazioni in (10.2.40) esplicitando le correnti I1 (s) es I2 (s) si ottengono le equazioni I (s) = 1 I (s) = 2 1 sL1 V1 (s) 1 sL2 V2 (s) + + i1 (0+ ) M i2 (0+ ) + sL1 s M i1 (0+ ) i2 (0+ ) + s sL2 347 − − M I2 (s) L1 M I2 (s) L2 (10.2.43) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Figura 10.2.8: coppia di induttori mutuamente accoppiati nel dominio di Laplace che conducono al circuito equivalente mostrato in Figura 10.2.9 Figura 10.2.9: coppia di induttori mutuamente accoppiati nel dominio di Laplace 10.2.5.6 Trasformatore ideale ( v1 (t) = t v2 (t) i1 (t) = − 1t i2 (t) ( V1 (s) = t V2 (s) ⇐⇒ I1 (s) = − 1t I2 (s) (10.2.44) Figura 10.2.10: trasformatore ideale 10.2.5.7 Generatore ideale di tensione v (t) = vg (t) ⇐⇒ V (s) = Vg (s) 348 (10.2.45) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace 10.2.5.8 Generatore ideale di corrente i (t) = ig (t) ⇐⇒ I (s) = Ig (s) (10.2.46) 10.3 Antitrasformata di Laplace 10.3.1 Il problema dell'antitrasformabilità Un problema molto importante dal punto di vista sia puramente matematico che applica- antitrasformazione ; cioè data una funzione W (s) derivabile in un Re {s} > %, dire se esite ed eventualmente determinarla, una funzione w (t) localmente sommabile in [0, +∞[ nulla in ]−∞, 0[ tale che L (w (t)) (s) = W (s). Se ciò accade la funzione w (t) prende il nome di antitrasormata della funzione W(s) e verrà −1 (W (s)) (t): indicata con il simbolo L tivo, è il problema dell' semipiano del tipo w (t) = L−1 (W (s)) (t) (10.3.1) Esisto delle condizioni necessarie ma non sucienti per l'antitrasformabilità. Condizione 1 %. w (t) ∈ L1loc ([0, +∞[) nulla in ]−∞, 0[ L-trasformabile per Re {s} > s0 ∈ C e α ∈ R tali che Re {s0 } > % e 0 < α < π2 . Considerato l'insieme: Sia Siano inoltre Sα = {s ∈ C : |arg (s − s0 ) ≤ α|} si ha che: lim W (s) |Sα = 0 (10.3.2) s→+∞ essendo W (s) = L (w (t)) (s) Con il simbolo W (s) |Sα viene indicata la restrizione della funzione W (s) al semipiano Sα . Si osservi che in particolare si ha che lim W (s) = 0 (10.3.3) s→+∞ Condizione 2 %. Sia inoltre w (t) ∈ L1loc ([0, +∞[) nulla in ]−∞, 0[ L-trasformabile δ > %. Detto Πδ il semipiano denito da Re {s} ≥ δ , cioè: Sia per Re {s} > Πδ = {s ∈ C : Re {s} ≥ δ} si ha che: W (s) |Πδ = 0 s→+∞ s lim 349 (10.3.4) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace essendo W (s) = L (w (t)) (s) Se W (s) non soddisfa le condizioni 1 e 2 allora certamente non risulta antitrasforma- bile. Se vengono rispettate tali condizioni, potrebbe pure succedere che W (s) non sia antitrasformabile. Esempio 1. Si consideri la funzione W (s) = 1. Chiaramente tale funzione non soddisfa le condizoni necessarie 1 e 2 e pertanto non risulta antitrasformabile Si consideri pure la funzione W (s) = sn con n ∈ N. Anche questa funzione non è antitrasformabile perche non soddisfa le condizioni necessarie 1 e 2 . Tuttavia va detto che tali funzioni ammettono antitrasformata di Laplace se vengono inquadrate nell'ambito della teoria delle distribuzioni. Esempio 2. Si consideri la funzione W (s) = e−s denita per Re {s} > 0. Tale funzione soddisfa le condizioni necesssarie, infatti e−s =0 s→+∞ s lim e−s = 0 lim s→+∞ Tuttavia non esiste una funzione tale che L (w (t)) (s) = W (s). w (t) localmente sommabile in [0, +∞[ nulla in ]−∞, 0[ Ciò si prova facilmente per assurdo. Supponiamo esista una funzione w (t) localmente sommabile in [0, +∞[ nulla in ]−∞, 0[ tale che L (w (t)) (s) = W (s) = e−s Se così è allora, derivando rispetto ad s si ottiene: D [L (w (t)) (s)] = D e−s (−1) L (t w (t)) (s) = (−1) e−s ovvero: L (t w (t)) (s) = e−s Con ciò è stato trovato che le funzioni Laplace e ciò vuol dire che w (t) = t w (t) w (t) e t w (t) hanno la stessa trasformata di quasi ovunque in R, cioè w (t) (1 − t) = 0 quasi ovunque in R A questo punto per la legge di annullamento del prodotto dovrebbe essere ciò è assurdo altrimenti si avrebbe: L (w (t)) (s) = W (s) = 0 Si dimostra che vale la relazione: 350 w (t) = 0 e 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace w (t) = L−1 (W (s)) (t) = d 1 = V.P. dt 2πj per Re {s} > %, essendo ˆ x+j∞ x−j∞ e−st L (w (t)) (s) ds q.o. in R s (10.3.5) s = x + jy∈ C. 10.3.2 Proprietà dell'antitrasformata di Laplace Siano F (s) e G (s) due funzioni derivabili in un semipiano Re {s} > %, valgono le seguenti proprietà. Proprietà 1. L−1 (λ1 F (s) + λ2 G (s)) (t) = λ1 L−1 (F (s)) (t) + λ2 L−1 (G (s)) (t) (10.3.6) Proprietà 1. L −1 1 (W (as)) (t) = L−1 (W (s)) a t a a>0 (10.3.7) Proprietà 2. L−1 (W (s − α)) (t) = eαt L−1 (W (s)) (t) α∈C (10.3.8) Proprietà 3. L−1 e−as W (s) (t) = L−1 (W (s)) (t − a) u (t − a) (10.3.9) Proprietà 4. L−1 (F (s) G (s)) (t) = L−1 (F (s)) (t) ∗ L−1 (G (s)) (t) (10.3.10) 10.3.3 Antitrasformata di Laplace delle funzioni razionali fratte Un'importante famiglia di funzioni antitrasformabili è quella delle funzioni razionali fratte del tipo: N (s) a0 sm + a1 sm−1 + ...... + am = D (s) b0 sn + b1 sn−1 + ...... + bn (10.3.11) Si stinguono 2 casi: caso 1: funzione razionale fratta impropria o irregolare (m 351 ≥ n) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace In questo caso la frazione risulta essere propria e si procede eseguendo la divisione tra i polinomi ottenendo così l'uguaglianza: N (s) R (s) = Q (s) + D (s) D (s) A questo punto Q (s) (10.3.12) risulta essere un polinomio del tipo: Q (s) = c0 sp + c1 sp−1 + ...... + cp che è facilmente antitrasformabile facendo uso della tabella delle trasformate di Laplace: L−1 (Q (s)) (t) = c0 L−1 (sp ) (t) + c1 L−1 sp−1 (t) + ...... + cp L−1 (1) (t) = = c0 δ (p) (t) + c1 δ (p−1) (t) + ...... + cp δ (t) Mentre (10.3.13) R(s) D(s) risulta essere una frazione propria, cioè una frazione in cui il grado del polinomio al numeratore risulta minore del grado del polinomio al denominatore. Se si decide di studiare una rete elettrica nel dominio di Laplace, per ritornare nel dominio del tempo, occorre sempre antitrasformare una funzione razionale fratta impropria. caso 2: funzione razionale fratta impropria (m < n) Si dimostra che un funzione razionale fratta propria si può scrivere come somma di frazioni fratte proprie elementari, conosciute come fratti semplici, mediante il principio di identità dei polinomi. I fratti semplici sono le seguenti funzioni razionali fratte: A s+a A (s + a)n s2 (10.3.14) n intero positivo ≥ 2 as + b + ps + q (10.3.15) con p2 − 4q < 0 (10.3.16) L'antitrasformata di Laplace della (10.3.14), secondo la tabella delle trasformate di Laplace vale: −1 L A s+a −1 (t) = AL 1 s+a (t) = Ae−at (10.3.17) L'antitrasformata di Laplace della (10.3.15), secondo la tabella delle trasformate di Laplace vale: −1 L A (s + a)n −1 (t) = AL 352 1 (s + a)n (t) = 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace = A L−1 (n − 1)! (n − 1)! (s + a)n A tn−1 e−at (n − 1)! (t) = (10.3.18) Per antitrasformare la (10.3.16) occorre prima scriverla in una forma più appropriata. Tenendo conto che √ 4q−p2 s2 + ps + q = s2 + ps + 2 p2 4 +q− p2 4 = s+ p 2 2 4q−p2 4 + = s+ p 2 2 + la (10.3.16) si scrive: 2 as + b = s2 + ps + q a s + ab a s + p2 + ab − p2 2 = 2 = √ √ 4q−p2 4q−p2 p 2 p 2 s+ 2 + s+ 2 + 2 2 p 2 b a √ 4q−p2 2 a − a s + p2 1 = 2 + √ 2 √ √ 4q−p2 4q−p2 4q−p2 p 2 p 2 s+ 2 + s+ 2 + 2 2 2 A questo punto utilizzando la tabella delle trasformate di Laplace è chiaro che: −1 L as + b 2 s + ps + q s + p2 √ 2 (t) + 2 4q−p2 s + p2 + 2 (t) = aL−1 + = ae Esempio. − p2 t a b −p √a 2 4q−p2 2 p cos √ −1 L 4q − p2 t 2 ! s+ p 2 2 4q−p2 2 √ + 2 (t) = 4q−p2 2 2b − ap − p +p e 2 sin 4q − p2 p 4q − p2 t 2 ! (10.3.19) Si vuole antitrasformara la funzione: s2 + s + 1 (s + 2) W (s) = 6 s + 4s5 + 8s4 + 10s3 + 8s2 + 4s + 1 Innanziutto occorre scomporre il denominatore: D (s) = s6 + 4s5 + 8s4 + 10s3 + 8s2 + 4s + 1 = (s + 1)2 s2 + s + 1 Quindi si ha: W (s) = s+2 (s + 1) (s2 + s + 1) 2 Applicando il principio di identità dei polinomi 353 2 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace W (s) = Cs + D s+2 A B + 2 = + 2 (s + 1) (s + 1) s +s+1 (s + 1) (s2 + s + 1) 2 (10.3.20) restano da determinare le costanti A, B, C e D come segue: A (s + 1) s2 + s + 1 + B s2 + s + 1 + (Cs + D) (s + 1)2 s+2 = = (s + 1)2 (s2 + s + 1) (s + 1)2 (s2 + s + 1) A s3 + 2s2 + 2s + 1 + B s2 + s + 1 + Cs3 + (2C + D) s2 + (C + 2D) s + D = (s + 1)2 (s2 + s + 1) = = (A + C) s3 + (2A + B + 2C + D) s2 + (2A + B + C + 2D) s + A + B + D (s + 1)2 (s2 + s + 1) Anchè la prima frazione sia identica all'ultima frazione presente in quest'ultima espressione, deve essere: A+C =0 2A + B + 2C + D = 0 2A + B + C + 2D = 1 A + B + D = 2 Risolvendo quest'utlimo sistema si trova: A = B = C= D = 2 1 −2 −1 (10.3.21) 1 2s + 1 2 + − 2 2 (s + 1) (s + 1) s +s+1 (10.3.22) Sostituendo (10.3.21) in (10.3.20) si ottiene: W (s) = Attraverso l'applicazione del principio di identità dei polinomi è stata scomposta la funzione W (s) nella combinazione lineare di fratti semplici. Applicando l'antitrasformata di Laplace all'espressione in (10.3.22) si ha: −1 L (W (s)) (t) = 2L −1 1 (s + 1) (t) + L −1 1 (s + 1)2 (t) − L −1 2s + 1 2 s +s+1 (t) (10.3.23) Utilizzando la tabella delle trasformate di Laplace si ottiene: 354 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace L−1 L L−1 2s + 1 2 s +s+1 −1 2 s+ 2 2 s + 21 + 3 4 1 (s + 1) 1 (s + 1)2 (t) = L−1 ! 1 = L−1 (t) = e−t (10.3.24) (t) = t e−t (10.3.25) 2 s + 12 s2 + s + 14 − ! 1 4 +1 (t) = 1 s+ 2 √ 2 (t) = 2 s + 12 + 23 √ ! 3 t 2 (t) = 2L−1 1 = 2e− 2 t cos (10.3.26) Sostituendo inne (10.3.24), (10.3.25) e (10.3.24) in (10.3.23) si ha: −1 L (W (s)) (t) = 2 e −t −t + te − 12 t − 2e cos √ ! 3 t 2 (10.3.27) 10.4 Risoluzione reti elettriche mediante trasformata di Laplace Consideriamo la rete elettrica mostrata in Figura 10.1.1. Si vuole determinare la tensione ai capi del capacitore vc (t) per t > 0 applicando la trasformata di Laplace. Quando si vuole studiare una rete elettrica mediante la trasformata di Laplace, la prima cosa che si fà è trasformare le condizioni iniziali relative ai dispositivi a memoria in generatori equivalenti come mostrato in Figura 10.1.2. Figura 10.4.1: rete elettica Applicando la trasformata di Laplace si ottiene il circuito nel dominio di Laplace mostrato in Figura 10.4.3. Avendo sostituito le condizioni iniziali relative ai dispositivi a memoria con generatori equivalenti, per determinare una qualunque variabile di rete non serve passare dalla conoscenza delle equazioni di stato perchè non serve trovare le condizioni iniziali sulle 355 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Figura 10.4.2: rete elettrica Figura 10.4.3: rete elettrica derivate delle variabili di rete di interesse. Si otterrà dunque una risposta che è combinazione lineare dei generatori ideali e dei generatori equivalenti; ossia nel caso della rete mostrata in Figura 10.1.3 si troverà come risposta la somma tra 2 risposte con ingresso zero e 2 risposte con stato zero. A questo punto per studiare la rete elettrica di Figura 10.1.3 si può applicare uno dei metodi di analisi noti. Anche se confrontando i numeri N-1 ed L-N+1 si scopre che il metodo dei potenziali ai nodi e il metodo delle correnti di maglia sono equivalenti, conviene utilizzare il metodo dei potenziali ai nodi visto che siamo interessati a determinare una tensione anzichè una corrente. Denendo i potenziali ai nodi E1 (s) ed E2 (s), come mostrato in Figura 10.1.3, si scrive di getto il sistema risolvente: 1 R1 + sC + 1 − sL 1 sL 1 − sL 1 1 R2 + sL E1 (s) E2 (s) = Vg (s) + V0 − Ig (s) + Is0 I0 s R1 ,R2 , L, C quest'ultimo si scrive: − 1s E1 (s) Vg (s) + V0 − Is0 = 1 + 1s E2 (s) Ig (s) + Is0 Sostituendo i valori numerici per 1+s+ − 1s 1 s 356 (10.4.1) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Basta determinare dal sistema risolvente E1 (s), visto che quest'iltimo coincide con la trasformata di Laplace della tensione ai capi del capacitore: E1 (s) = Vc (s) Risolvendo utilizzando il metodo di Cramer si ha: ∆= ∆E1 = 1 1+s+ s 1 1 s2 + 2s + 2 1+ − 2 = s s s (1 + s) 1 (1 + s) 1 Vg (s) + Ig (s) + V0 − I0 s s s s Vc (s) = E1 (s) = = s2 ∆E1 = ∆ (1 + s) 1 (1 + s) 1 Vg (s) + 2 Ig (s) + 2 V0 − 2 I0 + 2s + 2 s + 2s + 2 s + 2s + 2 s + 2s + 2 E' chiaro che la tensione Vc (s) (10.4.2) e la somma tra 2 risposte con ingresso zero e 2 risposte con stato zero come accennato prima. Sostituendo le espressioni analitiche dei generatori ideali e dei generatori equivalenti si ottiene: Vc (s) = (1 + s) 9 1 1 (1 + s) 1 + + − s2 + 2s + 2 s s2 + 2s + 2 s s2 + 2s + 2 s2 + 2s + 2 ossia: Vc (s) = s2 + 9s + 10 s (s2 + 2s + 2) (10.4.3) Per determinare dalla (10.1.3) l'espressione della tensione nel dominio del tempo, occorre applicare l'anti-trasformata di Laplace. Bisogna però scomporre la frazione nel- la variabile s in fratti che si possono antitrasformare in maniera immediata. Quindi innanzitutto occorre scomporre in fratti semplici la funzione razionale fratta: s2 + 9s + 10 A Bs + C = + 2 s (s2 + 2s + 2) s s + 2s + 2 (10.4.4) Applicando il principio di identità dei polinomi si ha: A s2 + 2s + 2 + (Bs + C) s A Bs + C s2 + 9s + 10 = + 2 = = s (s2 + 2s + 2) s s + 2s + 2 s (s2 + 2s + 2) = (A + B) s2 + (2A + C) s + +2A s (s2 + 2s + 2) (10.4.5) Confrontando il primo e il quarto membro dell'espressione in (10.1.5), per avere l'dentità dei polinomi, deve essere: 357 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace A + B = 1 2A + C = 9 2A = 10 (10.4.6) Risolvendo il sistema in (10.1.6) si ottiene facilmente: A = 5 B = −4 C = −1 (10.4.7) Utilizzando i valori in (10.1.7) la (10.1.4) ossia la (10.1.3) si scrive: Vc (s) = −4s − 1 5 + s s2 + 2s + 2 Quest'ultima relazione si può scrivere pure come segue: Vc (s) = = = s 1 5 −4 2 − 2 = s s + 2s + 2 s + 2s + 2 5 s+1−1 1 −4 2 − = s s + 2s + 2 s2 + 2s + 2 5 s+1 4 1 −4 2 + − = s s + 2s + 1 + 1 s2 + 2s + 1 + 1 s2 + 2s + 1 + 1 = 5 s+1 1 −4 +3 2 s (s + 1) + 1 (s + 1)2 + 1 ovvero: Vc (s) = s+1 1 5 −4 +3 2 s (s + 1) + 1 (s + 1)2 + 1 (10.4.8) A questo punto si può dire che la (10.1.8) si può antitrasformare in maniera immediata: vc (t) = L (Vc (s)) (t) = 5 u (t) − 4 e−t cos t + 3 e−t sin t Posto ( K cos ϕ = −4 −K sin ϕ = 3 (10.4.9) (10.4.10) la (10.1.9) si scrive: vc (t) = L (Vc (s)) (t) = 5 u (t) + e−t (k cos ϕ cos t − k sin ϕ sin t) = = 5 u (t) + e−t k cos (t + ϕ) 358 (10.4.11) 10 Reti elettriche nel dominio di Laplace Resta da determinare le quantità k e ϕ dal sistema in (10.1.10); si ha facilmente che: ( √ K = 16 + 9 = 5 ϕ = π + arctan 34 = 3, 78509 (10.4.12) Sostituendo (10.1.12) in (10.1.11) si ottiene inne: vc (t) = 5 u (t) + 5 e−t k cos (t + 3, 78509) V (10.4.13) esattamente come in (4.3.46). La trasformata di Laplace permette di risolvere problemi in transitorio che iniziano al tempo t=0 s.. Questa trasformata non va confusa con la trasformata di Fourier che si applica invece a quelle reti o a quei sistemi che si studiano a partire dal tempo t=-∞. Per esempio la teoria delle telecomunicazioni si basa tutta sulla trasformata di Fourier; infatti per un sistema di telecomunicazioni i transitori non sono di interesse; per essi si studia il regime per segnali non periodici. 359 11 La teoria dei doppi bipoli 11.1 Il doppio bipolo Il doppio bipolo è un dispositivo a 4 morsetti a due a due intteressati da una stessa corrente. In Figura 11.1.1 viene mostrato un doppio bipolo chiuso attraverso due bipoli. Figura 11.1.1: doppio bipolo Il doppio bipolo è quindi un dispositivo a due porte. Come indicato in Figura 11.1.1 la porta 1 è interessata dalla corrente i1 i2 (t). (t) mentre la porta 2 è interessata dalla corrente Si dice che il doppio bipolo mostrato in alto in Figura 11.1.1 è un doppio bipolo per ragioni esterne; cioè qualunque insieme di taglio si considera, la corrente entrante dall'insieme di taglio è uguale a quella uscente (Figura 11.1.2). Figura 11.1.2: doppio bipolo per ragioni interne Π1 morsetti Π2 Se il dispositivo a quattro morsetti un altro dispositivo a quattro mostrato in Figura 11.1.3 viene collegato ad è impossibile dire che tali dispositivi sono dei doppi bipoli per ragioni esterne. Consideriamo per esempio il dispositivo Π2 . La somma delle correnti, all'insieme di taglio I è chiaramente zero per la LKC, ma non esiste alcuna ragione esterna per cui le quattro correnti interessate all'insieme di taglio si annullino a due a due. Pertanto non è un doppio bipolo per ragioni esterne. 360 Π2 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.3: dispositivi a quattro morsetti Tuttavia un dispositivo a quattro morsetti può essere un doppio bipolo per interne. Se per esempio all'interno del dispositivo Π2 ragioni vi è una coppia di induttori mutu- amente accoppiati, come mostrato in Figura 11.1.4, allora esso risulta essere un doppio bipolo per ragioni interne. Figura 11.1.4: Π2 è un doppio bipolo per ragioni interne Si studiano i doppi bipoli perchè la struttura tipica di un sistema di telecomunicazioni è fatta da doppi bipoli tutti in cascata come mostrato in Figura 11.1.5. Ogni dispositivo è un doppio bipolo per costruzione: solo la sorgente e la destinazione sono dei semplici bipolo. Gli studi che si eettuano sui doppi bipoli, prevedono che al loro interno non ci siano sorgenti. Quindi all'interno del doppio bipolo possono esserci resistori, capacitori, in- duttori, induttori mutuamente accoppiati e generatori pilotati: ovviamente induttori mutuamente accoppiati e generatori pilotati devono essere necessariamente accoppiati 361 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.5: Π2 è un doppio bipolo per ragioni interne solo con grandezze interne al doppio bipolo. Siccome tutti i dispositivi all'interno del doppio bipolo sono lineari tempo-invariante, l'analisi può essere arontata nel dominio del tempo, nel dominio dei fasori o nel dominio di Laplace. Nel dominio dei fasori, il doppio bipolo si rappresenta come mostrato in Figura 11.1.6. Figura 11.1.6: rappresentazione del doppio bipolo nel dominio dei fasori Si osservi come per ciascuna porta viene utilizzata la convenzione dell'utilizzatore. Il doppio bipolo lega le grandezze V̇1 , I˙1 , V̇2 , I˙2 in maniera duplice; ci si aspetta pertanto delle relazioni del tipo: ( ȧ11 V̇1 + ȧ12 V̇2 + ḃ11 I˙1 + ḃ12 I˙2 = 0̇ ȧ21 V̇1 + ȧ22 V̇2 + ḃ21 I˙1 + ḃ22 I˙2 = 0̇ (11.1.1) Le equazioni scritte sono omogenee (manca il termine noto), in quanto nel doppio bipolo non sono previsti generatori ideali. Le equazioni in (11.1.1) si possono scrivere in forma matriciale compatta: h ih i h ih i Ȧ V̇ + Ḃ I˙ = 0̇ (11.1.2) essendo: h i ȧ 11 Ȧ = ȧ21 h i ḃ 11 Ḃ = ḃ21 ȧ12 ȧ22 ḃ12 ḃ22 h i V̇ 1 V̇ = V̇2 h i I˙ I˙ = ˙1 I2 La relazione in (11.1.2) è lapiù generale che può caratterizzare un doppio bipolo. ovviamente gli otto coecienti ȧ11 , ȧ12 , ȧ21 , ȧ22 , ḃ11 , ḃ12 , ḃ21 , ḃ22 il doppio bipolo. 362 li determina chi hastudiato 11 La teoria dei doppi bipoli Le matrici h i Ȧ e h i Ḃ specicano completamente il funzionamento del doppio bipolo. Supponiamo di chiudere il doppio bipolo attraverso due bipoli di Thevenin come mostrato in Figura 11.1.7. Figura 11.1.7: doppio bipolo chiuso mediante bipoli Thevenin Le porte del doppio bipolo sono legati ai corrispondenti bipoli di chiusura mediante le relazioni: Se le h i Ȧ e h i Ḃ del doppio bipolo V̇1 = V̇g1 − Ż1 I˙1 (11.1.3) V̇2 = V̇g2 − Ż2 I˙2 (11.1.4) Π sono note, il circuito mostrato in Figura 11.1.7 si risolve completamente tramite il seguente sistema di 4 equazioni in 4 incognite: h i h i h i h i ˙ Ȧ V̇ + Ḃ I = 0̇ V̇1 = V̇g1 − Ż1 I˙1 V̇ = V̇ − Ż I˙ 2 g 2 2 (11.1.5) 2 Si tenga presente che un circuito come quello mostrato in Figura 11.1.7 potrebbe essere una rete molto compliata; per convincersi di ciò basti pensare che il doppio bipolo potrebbe pure essere una rete con 1000 incognite, pertanto rappresentare una rete elettrica mediante un doppio bipolo risulta essere una vera e propria semplicazione. Esistono 7 diversi modi per rappresentare un doppio bipolo. 11.1.1 Rappresentazione del doppio bipolo mediante la matrice delle impedenze e la matrice delle ammettenze 11.1.1.1 Matrice delle impedenze Supponiamo che la matrice la sua inversa h i−1 Ȧ . (11.1.2) per la matrice h i Ȧ sia invertibile. Se la matrice h i Ȧ è invertibile allora esiste Premoltiplicando entrambi i membri dell'equazione matriciale in h i−1 Ȧ si ricava: h i−1 h i h i h i−1 h i h i h i−1 Ȧ Ȧ V̇ + Ȧ Ḃ I˙ = Ȧ 0̇ 363 11 La teoria dei doppi bipoli ovvero: h i−1 h i h i h i Ḃ I˙ V̇ = − Ȧ Denendo la (11.1.6) matrice dele impedenze : h i h i−1 h i Ż 11 Ż12 Ż = − Ȧ Ḃ = Ż21 Ż22 (11.1.7) h i h ih i V̇ = Ż I˙ (11.1.8) la (11.1.6) si scrive: La (11.1.8) è l'equazione matriciale rappresentativa del doppio bipolo che in forma scalare si scrive: ( V̇1 = Ż11 I˙1 + Ż12 I˙2 V̇2 = Ż21 I˙1 + Ż22 I˙2 Ponendo I˙2 = 0̇, si dice che il doppio bipolo ha la porta 2 a vuoto. Sotto questa ipotesi le equazioni in (11.1.9) forniscono i valori di Ż11 si chiama (11.1.9) Ż11 e Ż21 : Ż11 = V̇1 ˙ I˙1 I2 =0̇ (11.1.10) Ż21 = V̇2 ˙ I˙1 I2 =0̇ (11.1.11) auto-impedenza della porta 1, Ż21 si chiama trans-impedenza; queste due impedenze si ricavano dallo schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.8. Figura 11.1.8: schema di calcolo per determinare I˙1 = 0̇, si dice che il doppio bipolo ha la porta 1 a vuoto. equazioni in (11.1.9) forniscono i valori di Ż12 e Ż22 : Ponendo le Ż11 V̇1 ˙ I˙2 I1 =0̇ V̇2 = ˙ I˙2 I1 =0̇ e Ż21 Sotto questa ipotesi Ż12 = (11.1.12) Ż22 (11.1.13) 364 11 La teoria dei doppi bipoli Ż12 si chiama trans-impedenza, Ż22 si chiama auto-impedenza della porta 2; queste due impedenze si ricavano dallo schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.9. Figura 11.1.9: schema di calcolo per determinare 11.1.1.1.1 Esempio. Ż12 e Ż22 Si consideri il doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.10. Figura 11.1.10: doppio bipolo Il doppio bipolo è descrivibile mediante la matrice delle impedenze. La relazione in (11.18) suggerisce di utilizzare il metodo delle correnti di maglia; possiamo quindi eccitare le due porte attraverso due generatori ideali di tensione come mostrato in Figura 11.1.11 Figura 11.1.11: doppio bipolo Con riferimento alle maglie indicate nel circuito è facile scrive di getto il corrispondente sistema risolvente: 365 11 La teoria dei doppi bipoli 1 R1 + jωC 0 1 − jωC 1 0 − jωC R2 R2 R2 R2 + jωL + 1 jωC ˙ I1 V̇1 I˙2 = V̇2 0̇ J˙ Quest'ultimo in forma scalare si scrive: 1 1 ˙ ˙ R + 1 jωC I1 − jωC J = V̇1 R2 I˙2 + R2 J˙ = V̇2 − 1 I˙ + R I˙ + R + jωL + 2 1 2 2 jωC Ricavando J˙ (11.1.14.1) (11.1.14.2) 1 jωC (11.1.14) J˙ = 0̇ (11.1.14.3) da (11.1.14.3) e sostituendo in (11.1.14.1) e (11.1.14.2) si ottiene il sistema nelle incognite I˙1 e I˙2 : R1 + R2 +jωL 2 1+jωCR2 +(jω) LC R2 I˙1 + 1+jωCR2 +(jω)2 LC 2 I˙1 + 1+jωCRR+(jω) I˙2 = V̇1 2 LC 2 1+(jω)2 LC R2 1+jωCR I˙2 = V̇2 +(jω)2 LC (11.1.14.1) (11.1.14.2) (11.1.15) 2 Quest'ultimo sistema conduce alla matrice delle impedenze: h i R1 + Ż = R2 +jωL 1+jωCR2 +(jω)2 LC R2 1+jωCR2 +(jω)2 LC I termini della matrice delle impedenze R2 1+jωCR2 +(jω)2 LC (jω)2 LC R2 1+jωCR 2 2 +(jω) LC h i Ż (11.1.16) si possono ricavare facilmente utilizzando le denizioni date in (11.1.10), (11.1.11), (11.1.12) e (11.1.13). Con riferimento al circuito mostrato in Figura 11.1.12 si possono determinare i termini Ż11 e Ż21 . Si tenga presente che tale circuito non deriva da quello mostrato in Figura 11.1.1 applicando il teorema di sovrapposizione degli eetti. Esso è il caso particolare dello schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.8 Figura 11.1.12: doppio bipolo L'auto-impedenza della porta 1, Ż11 , si ricava in modo molto semplice applicando le regole delle impedenze in parallelo e delle impdenze in serie: 366 11 La teoria dei doppi bipoli 1 V̇1 jωC (R2 + jωL) = R1 + 1 = R1 + jωL + jωC I˙1 Ż11 = = R1 + La trans-impedenza Ż21 R2 + jωL 1 + jωCR1 + (jω)2 LC (11.1.17) si ricava scrivendo la legge di lato per il resistore di resistenzaR2 ed esplicitando la corrente che lo attraversa mediante la legge del partitore di corrente: V̇2 = R2 I˙2 = R2 1 jωC 1 jωC + jωL + R2 I˙1 = R2 1 I˙1 1 + jωCR2 + (jω)2 LC Da quest'ultima relazione segue: Ż21 = R2 V̇2 = ˙ I1 1 + jωCR2 + (jω)2 LC (11.1.18) Con riferimento al circuito mostrato in Figura 11.1.13 si possono determinare inne i termini Ż22 e Ż12 . Anche questo circuito non deriva da quello mostrato in Figura 11.1.1 applicando il teorema di sovrapposizione degli eetti. Esso è il caso particolare dello schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.9 Figura 11.1.13: doppio bipolo L'auto-impedenza della porta 2, Ż22 , si ricava in modo molto semplice applicando le regole delle impedenze in parallelo e delle impdenze in serie: R2 Ż22 = = R2 La trans-impedenza 1 jωC + jωL V̇2 = R2 + jωL + I˙2 1 jωC = 1 + (jω)2 LC 1 + jωCR1 + (jω)2 LC ! (11.1.19) Ż12 si ricava scrivendo la legge di lato per il capacitore ed esplicitando la corrente che lo attraversa mediante la legge del partitore di corrente: 367 11 La teoria dei doppi bipoli V̇1 = 1 ˙ 1 Ic = jωC jωC 1 jωC R2 R2 I˙2 = I˙2 + jωL + R2 1 + jωCR2 + (jω)2 LC Da quest'ultima relazione segue: Ż12 = V̇1 R2 = I˙2 1 + jωCR2 + (jω)2 LC (11.1.20) Si osservi che il doppio bipolo in esame soddisfa la tesi del teorema di reciprocità data in (9.5.9): Ż12 = Ż21 (11.1.21) Questo fatto era del tutto prevedibile visto che nel doppio bipolo non gurano generatori pilotati. Le trans.ammettenze per un doppio bipolo privo di generatori pilotati si possono quindi ricavare applicando il teorema di reciprocità. Visto che i nodi 1-1' e 2-2' del doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.10 sono coppie di nodi distinti del circuito, le porte si possono alimentare soltanto in corrente. Alimentando la porta 1 mediante il generatore ideale di corrente I˙1 si ha il circuito mostrato in Figura 11.1.14.1. Alimentando la porta 2 mediante il generatore ideale di corrente I˙2 si ha il circuito mostrato in Figura 11.1.14.2. 1 2 Figura 11.1.14: doppio bipolo Eseguendo gli stessi passaggi visti in precedenza si scopre che i circuiti mostrati in Figura 11.1.14 conducono alla relazione in 11.1.21. 11.1.1.2 Matrice delle ammettenze Supponiamo che la matrice la sua inversa h i−1 Ḃ . (11.1.2) per la matrice h i Ḃ sia invertibile. Se la matrice h i Ḃ è invertibile allora esiste Premoltiplicando entrambi i membri dell'equazione matriciale in h i−1 Ḃ si ricava: h i−1 h i h i h i−1 h i h i h i−1 Ḃ Ȧ V̇ + Ḃ Ḃ I˙ = Ḃ 0̇ 368 11 La teoria dei doppi bipoli ovvero: h i−1 h i h i h i Ȧ V̇ I˙ = − Ḃ Denendo la matrice dele (11.1.22) ammettenze: h i h i−1 h i Ẏ 11 Ẏ12 Ẏ = − Ḃ Ȧ = Ẏ21 Ẏ22 (11.1.23) h i h ih i I˙ = Ẏ V̇ (11.1.24) la (11.1.22) si scrive: La (11.1.24) è l'equazione matriciale rappresentativa del doppio bipolo che in forma scalare si scrive: ( I˙1 = Ẏ11 V̇1 + Ẏ12 V̇2 I˙2 = Ẏ21 V̇1 + Ẏ22 V̇2 Ponendo V̇2 = 0̇, si dice che il doppio bipolo ha la porta 2 in cortocircuito. Sotto questa ipotesi le equazioni in (11.1.25) forniscono i valori di Ẏ11 si chiama (11.1.25) Ẏ11 e Ẏ21 : I˙1 V̇1 V̇2 =0̇ I˙2 = V̇1 V̇2 =0̇ Ẏ11 = (11.1.26) Ẏ21 (11.1.27) auto-ammettenza della porta 1, Ẏ21 si chiama trans-ammettenza; queste due ammettenze si ricavano dallo schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.15. Figura 11.1.15: schema di calcolo per determinare Ponendo V̇1 = 0̇, Ẏ11 e Ẏ21 si dice che il doppio bipolo ha la porta 1 in cortocircuito. questa ipotesi le equazioni in (11.1.25) forniscono i valori di I˙1 V̇2 V̇1 =0̇ I˙2 = V̇2 V̇1 =0̇ Ẏ12 e Sotto Ẏ22 : Ẏ12 = (11.1.28) Ẏ22 (11.1.29) 369 11 La teoria dei doppi bipoli Ẏ12 si chiama trans-ammettenza, Ẏ22 si chiama auto-ammettenza della porta 2; queste due ammettenze si ricavano dallo schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.16. Figura 11.1.16: schema di calcolo per determinare Ẏ12 e Ẏ22 h i Ż allora esiste h i h i matrici Ȧ e Ḃ sono In generale non è detto che se esiste la matrice delle impedenze pure la matrice delle ammettenze h i Ẏ e viceversa. Solo se le entrambe invertibili allora esistono entrambe le rappresentazioni. Se esistono entrambe le rappresentazioni allora si ha che: h i 1 Ẏ = h i Ż h i 1 Ż = h i Ẏ (11.1.30) Si pensi per esempio alla coppia di induttori mutuamente accoppiati mostrata in Figura 11.1.17 Figura 11.1.17: coppia di induttori mutuamente accoppiati Le equazioni che ne descrivono il funzionamento ( V̇1 = jωL1 I˙1 ± jωM I˙2 V̇2 = ±jωM I˙1 + jωL2 I˙2 (11.1.31) conducono immediatamente alla matrie delle impedenze: h i jωL 1 Ż = ±jωM ±jωM jωL2 (11.1.32) La matrice delle impedenze per il doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.7 esiste sempre; anche quando tra gli induttori c'è accoppiamento perfetto. La sua inversa, ossia la matrice 370 11 La teoria dei doppi bipoli delle ammettenze h i Ẏ non è detto che esista sempre. Basta ricavarne la corrispondente espressione per determinare la condizione che garantisce la sua esistenza. Si ha: h i 1 1 L2 Ẏ = h i = 2) ∓M (jω) (L L − M 1 2 Ż ∓M L1 Da (11.1.33) si capisce facilmente che la matrice delle ammettenze L1 L2 − M 2 6= 0 (11.1.33) h i Ẏ esiste solo sè (11.1.34) ovvero se non c'è accoppiamento perfetto tra gli induttori. Pertanto stiamo vericando che l'esistenza della matrice delle impedenze non implica in generale l'esistenza della matrice delle ammettenze. 11.1.1.2.1 Esempio. Si consideri il doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.10 che per comodità riportiamo in Figura 11.1.18. Figura 11.1.18: doppio bipolo Il doppio bipolo è descrivibile mediante la matrice delle ammettenze. La relazione in (11.1.24) suggerisce di utilizzare il metodo dei potenziali ai nodi; possiamo quindi eccitare le due porte attraverso due generatori ideali di corrente come mostrato in Figura 11.1.19. Figura 11.1.19: doppio bipolo 371 11 La teoria dei doppi bipoli Con riferimento ai potenziali ai nodi indicati nel circuito è facile scrive di getto il corrispondente sistema risolvente: 1 R1 0 − R11 0 1 1 R2 + jωL 1 − jωL 1 R1 − R11 1 − jωL + jωC + 1 jωL V̇1 V̇2 = Ė I˙1 I˙2 0̇ Quest'ultimo in forma scalare si scrive: 1 V̇ − 1 Ė = I˙1 R1 1 R1 1 1 1 Ė = I˙2 R2 + jωL V̇2 − jωL − 1 V̇ − 1 V̇ + 1 + jωC + R1 Ricavando Ė 1 jωL 2 R1 (11.1.35.1) (11.1.35.2) 1 jωL (11.1.35) Ė = 0̇ (11.1.35.3) da (11.1.35.3) e sostituendo in (11.1.35.1) e (11.1.35.2) si ottiene il sistema nelle incognite V̇1 e V̇2 : 1+(jω)2 LC 1 V̇1 − R +jωL+(jω) V̇ = I˙1 2 R1 +jωL+(jω)2 LCR1 LCR1 2 1 R1 +R2 +jω(CR1 R2 +L)+(jω)2 LCR1 1 − V̇ + V̇2 1 2 R1 +jωL+(jω) LCR1 R2 (R1 +jωL+(jω)2 LCR1 ) = I˙2 Quest'ultimo sistema conduce alla matrice delle ammettenze: h i Ẏ = 1+(jω)2 LC R1 +jωL+(jω)2 LCR1 1 R1 +jωL+(jω)2 LCR1 1 R1 +jωL+(jω)2 LCR1 R1 +R2+ jω(CR1 R2 +L)+(jω)2 LCR1 R2 (R1 +jωL+(jω)2 LCR1 ) (11.1.36) Visto che non ci sono generatori pilotati, il doppio bipolo risulta simmetrico e quando il doppio bipolo è espresso mediante la matrice delle ammettenze ciò equivale a dire: Ẏ12 = Ẏ21 (11.1.37) h i I termini della matrice delle ammettenze Ẏ si possono ricavare facilmente utilizzando le denizioni date in (11.1.26), (11.1.27), (11.1.28) e (11.1.29). Con riferimento al circuito mostrato in Figura 11.1.20 si possono determinare i termini Ẏ11 e Ẏ21 . Si tenga presente che tale circuito non deriva da quello mostrato in Figura 11.1.19 applicando il teorema di sovrapposizione degli eetti. Esso è il caso particolare dello schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.15. L'auto-ammettenza della porta 1, Ẏ11 , si ricava in modo molto semplice applicando le regole delle ammettenze in parallelo e delle ammettenze in serie. L'induttore e il capacitore risultano disposti in parallelo e sono caratterizzati dall'impedenza 1 ẎL = jωC + jωL del resistore R1 : = Ẏp = Ẏc + 1+(jω)2 LC . Quest'ultima risulta in serie con l'ammettenza jωL Ẏ11 = I˙1 = V̇1 1 Ẏ1 1 + 1 Ẏp = 372 1 R1 + jωL 1+(jω)2 LC Ẏ1 = 1 R1 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.20: doppio bipolo = 1 + (jω)2 LC R1 + jωL + (jω)2 LCR1 (11.1.38) In modo analogo si possono trovare gli altri termini della matrice delle ammettenze. 11.1.2 Relazioni tra le matrice h i Ż e h i Ẏ 11.1.2.1 Passaggio dalla matrice delle impedenze ammettenze h i Ż alla matrice delle h i Ẏ Supponiamo che per un doppio bipolo esista sia la matrice delle impedenze matrice delle ammettenze Allora si ha che h i Ẏ = h i Ż che la h i Ẏ . 1 [Ż ] h i−1 = Ż . Esplicitando quest'ultima espressione si ha che: −1 h i h i−1 Ż 1 Ż22 −Ż12 11 Ż12 Ẏ = Ż = = Ż21 Ż22 Ż11 Ż22 − Ż12 Ż21 −Ż21 Ż11 (11.1.39) Dall'espressione in (11.1.39) si deducono i termini della matrice delle ammettenze in funzione dei termini della matrice delle impedenze: Ẏ11 = Ż22 Ż11 Ż22 −Ż12 Ż21 Ẏ21 = −Ż21 Ż11 Ż22 −Ż12 Ż21 Ẏ12 = −Ż12 Ż11 Ż22 −Ż12 Ż21 Ẏ22 = Ż11 Ż11 Ż22 −Ż12 Ż21 (11.1.40) Le relazioni in (11.1.40) valgono purchè sia Ż11 Ż22 − Ż12 Ż21 6= 0̇. 373 11 La teoria dei doppi bipoli 11.1.2.2 Passaggio dalla matrice delle ammettenze impedenze h i Ẏ alla matrice delle h i Ż Supponiamo che per un doppio bipolo esista sia la matrice delle impedenze matrice delle ammettenze Allora si ha che h i Ż = h i Ż che la h i Ẏ . 1 [Ẏ ] h i−1 . = Ẏ Esplicitando quest'ultima espressione si ha che: −1 h i h i−1 Ẏ 1 Ẏ22 −Ẏ12 11 Ẏ12 Ż = Ẏ = = Ẏ21 Ẏ22 Ẏ11 Ẏ22 − Ẏ12 Ẏ21 −Ẏ21 Ẏ11 (11.1.41) Dall'espressione in (11.1.41) si deducono i termini della matrice delle impedenze in funzione dei termini della matrice delle ammettenze: Ż11 = Ẏ22 Ẏ11 Ẏ22 −Ẏ12 Ẏ21 Ż21 = −Ẏ21 Ẏ11 Ẏ22 −Ẏ12 Ẏ21 Ż12 = −Ẏ12 Ẏ11 Ẏ22 −Ẏ12 Ẏ21 Ż22 = Ẏ11 Ẏ11 Ẏ22 −Ẏ12 Ẏ21 (11.1.42) Le relazioni in (11.1.42) valgono purchè sia Ẏ11 Ẏ22 − Ẏ12 Ẏ21 6= 0̇. 11.1.3 Rappresentazione del doppio bipolo mediante la matrice ibrida e la matrice ibrida inversa 11.1.3.1 matrice ibrida h i Ȧ Consideriamo come al solito la rappresentazione del doppio bipolo mediante le matrici e h i Ḃ : h ih i h ih i Ȧ V̇ + Ḃ I˙ = 0̇ (11.1.43) Quest'ultima in forma scalare si scrive: ( ȧ11 V̇1 + ȧ12 V̇2 + ḃ11 I˙1 + ḃ12 I˙2 = 0̇ ȧ21 V̇1 + ȧ22 V̇2 + ḃ21 I˙1 + ḃ22 I˙2 = 0̇ (11.1.44) Scrivendo prima la tensione alla porta1 e la corrente alla porta 2 e poi la tensione alla porta 2 e la corrente alla porta 1 si ottiene: ( ȧ11 V̇1 + ḃ12 I˙2 + ȧ12 V̇2 + ḃ11 I˙1 = 0̇ ȧ21 V̇1 + ḃ22 I˙2 + ȧ22 V̇2 + ḃ21 I˙1 = 0̇ (11.1.45) Il sistema di equazioni in (11.1.45) si può scrivere in forma matriciale come segue: ȧ11 ḃ12 ȧ21 ḃ22 V̇1 I˙2 + ȧ12 ḃ11 ȧ22 ḃ21 374 V̇2 I˙1 = 0̇ 0̇ (11.1.46) 11 La teoria dei doppi bipoli Supponiamo che la matrice: ȧ11 ḃ12 ȧ21 ḃ22 sia invertibile. Se così è allora è pure dotata di inversa: ȧ11 ḃ12 ȧ21 ḃ22 −1 (11.1.47) Premoltiplicando entrambi i membri dell'equazione matriciale in (11.1.46) per la matrice inversa data in (11.1.47) si ottiene: V̇1 I˙2 V̇1 I˙2 + ȧ11 ḃ12 ȧ21 ḃ22 −1 ovvero: Denendo la =− ȧ11 ḃ12 ȧ21 ḃ22 ȧ12 ḃ11 ȧ22 ḃ21 −1 V̇2 I˙1 ȧ12 ḃ11 ȧ22 ḃ21 = 0̇ 0̇ V̇2 I˙1 (11.1.48) matrice ibrida: −1 h i ḣ ȧ11 ḃ12 ȧ12 ḃ11 11 ḣ12 Ḣ = =− ḣ21 ḣ22 ȧ21 ḃ22 ȧ22 ḃ21 (11.1.49) la rappresentazione data in (11.1.48) si scrive: V̇1 I˙2 = ḣ11 ḣ12 ḣ21 ḣ22 V̇2 I˙1 (11.1.50) In forma scalare si ha ovviamente: ( V̇1 = ḣ11 V̇2 + ḣ12 I˙1 I˙2 = ḣ21 V̇2 + ḣ22 I˙1 Ponendo V̇2 = 0̇, (11.1.51) si dice che il doppio bipolo ha la porta 2 in cortocircuito. questa ipotesi le equazioni in (11.1.51) forniscono i valori di ḣ12 e Sotto ḣ22 : ḣ12 = V̇1 I˙1 V̇2 =0̇ (11.1.52) ḣ22 = I˙2 I˙1 V̇2 =0̇ (11.1.53) auto-impedenza della porta 1 con la porta 2 cortocircuitata, mentre la quantità ḣ22 è il guadagno di corrente di cortocircuito; queste due quantità si ricavano La quantità ḣ12 è l' dallo schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.21. 375 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.21: schema di calcolo per determinare I˙1 = 0̇, si dice che il doppio bipolo ha la porta 1 a vuoto. equazioni in (11.1.25) forniscono i valori di ḣ11 e ḣ21 : Ponendo le ḣ12 ḣ22 Sotto questa ipotesi V̇1 ˙ V̇2 I1 =0̇ (11.1.54) I˙2 = ˙ V̇2 I1 =0̇ (11.1.55) ḣ11 = ḣ21 e ḣ11 è il guadagno di tensione a vuoto, mentre la quantità ḣ21 è l'autoammettenza della porta 2 con la porta 1 a vuoto; queste due quantità si ricavano dallo La quantità schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.22. Figura 11.1.22: schema di calcolo per 376 determinare ḣ11 e ḣ21 11 La teoria dei doppi bipoli 11.1.3.1.1 Proposizione. izzato dalla matrice ibrida hSiai Π un doppio bipolo privo di generatori pilotati, Ḣ . Allora per il teorema di reciprocità si ha che: − ḣ11 = ḣ22 caratter- (11.1.56) Dimostrazione. La proposizione si dimostra applicando il teorema di reciprocità al bipolo due cortocircuiti della rete Π Π. Isoliamo come mostrato in Figura 11.1.23. Restano così denite 2 porte che si possono eccitare solamente in corrente. Figura 11.1.23: rete elettrica Eccitando la porta 1 del circuito mostrato in Figura 11.1.23 attraverso un generatore ideale di tensione v̇1 si ha: Figura 11.1.24: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 11.1.24 si può denire la Ẏ21 (jω) = I˙2 V̇1 trans-ammettenza: (11.1.57) Visto che il doppio bipolo è rappresentato mediante la matrice ibrida, valgono le relazioni in (11.1.51) che nel caso specico dello schema di Figura 11.1.24, si scrivono ponendo V̇2 = 0̇: ( V̇1 = ḣ12 I˙1 I˙2 = ḣ22 I˙1 (11.1.58) Eseguendo il rapporto tra la seconda e la prima equazione in (11.1.58), si ricava l'espressione della trans-ammettemza Ẏ21 in funzione dei termini della matrice ibrida: 377 11 La teoria dei doppi bipoli Ẏ21 (jω) = ḣ22 I˙2 = V̇1 ḣ12 (11.1.59) Eccitando la porta 2 del circuito mostrato in Figura 11.1.23 attraverso un generatore ideale di tensione V̇2 si ha: Figura 11.1.25: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 11.1.25 si può denire la Ẏ12 (jω) = I˙1 V̇2 trans-ammettenza: (11.1.60) Visto che il doppio bipolo è rappresentato mediante la matrice ibrida, valgono le relazioni in (11.1.51) che nel caso specico dello schema di Figura 11.1.24, si scrivono ponendo V̇1 = 0̇. ( 0̇ = ḣ11 V̇2 + ḣ12 I˙1 I˙2 = ḣ21 V̇2 + ḣ22 I˙1 (11.1.61) Dalla prima delle equazione in (11.1.61), si ricava l'espressione della trans-ammettemza Ẏ12 in funzione dei termini della matrice ibrida: ḣ11 I˙1 =− V̇2 ḣ12 (11.1.62) I˙1 I˙2 = = Ẏ12 (jω) V̇1 V̇2 (11.1.63) Ẏ21 (jω) = Per il teorema di reciprocità si ha che: Ẏ21 (jω) = Sostitundo (11.1.59) e (11.1.62) in (11.1.63) si ottiene la tesi: − ḣ11 = ḣ22 (11.1.64) 11.1.3.2 matrice ibrida inversa h i Ȧ Consideriamo nuovamente la rappresentazione del doppio bipolo mediante le matrici e h i Ḃ 378 11 La teoria dei doppi bipoli h ih i h ih i Ȧ V̇ + Ḃ I˙ = 0̇ (11.1.65) Quest'ultima in forma scalare si scrive: ( ȧ11 V̇1 + ȧ12 V̇2 + ḃ11 I˙1 + ḃ12 I˙2 = 0̇ ȧ21 V̇1 + ȧ22 V̇2 + ḃ21 I˙1 + ḃ22 I˙2 = 0̇ (11.1.66) Scrivendo prima la tensione alla porta 2 e la corrente alla porta 1 e poi la tensione alla porta 1 e la corrente alla porta 2 si ottiene: ( ȧ12 V̇2 + ḃ11 I˙1 + ȧ11 V̇1 + ḃ12 I˙2 = 0̇ ȧ22 V̇2 + ḃ21 I˙1 + ȧ21 V̇1 + ḃ22 I˙2 = 0̇ (11.1.67) Il sistema di equazioni in (11.1.67) si può scrivere in forma matriciale come segue: ȧ12 ḃ11 ȧ22 ḃ21 V̇2 I˙1 ȧ11 ḃ12 ȧ21 ḃ22 + V̇1 I˙2 = 0̇ 0̇ (11.1.68) Supponiamo che la matrice: ȧ12 ḃ11 ȧ22 ḃ21 sia invertibile. Se così è allora è pure dotata di inversa: ȧ12 ḃ11 ȧ22 ḃ21 −1 (11.1.69) Premoltiplicando entrambi i membri dell'equazione matriciale in (11.1.68) per la matrice inversa data in (11.1.69) si ottiene: V̇2 I˙1 V̇2 I˙1 + ȧ12 ḃ11 ȧ22 ḃ21 −1 ovvero: Denendo la =− ȧ12 ḃ11 ȧ22 ḃ21 ȧ11 ḃ12 ȧ21 ḃ22 −1 V̇1 I˙2 ȧ11 ḃ12 ȧ21 ḃ22 0̇ 0̇ = V̇1 I˙2 (11.1.70) matrice ibrida inversa: −1 0 h 0 i ḣ0 ḣ12 ȧ12 ḃ11 ȧ11 ḃ12 11 Ḣ = =− 0 0 ḣ21 ḣ22 ȧ22 ḃ21 ȧ21 ḃ22 (11.1.71) la rappresentazione data in (11.1.70) si scrive: V̇2 I˙1 = 0 0 ḣ11 ḣ12 0 0 ḣ21 ḣ22 In forma scalare si ha ovviamente: 379 V̇1 I˙2 (11.1.72) 11 La teoria dei doppi bipoli ( 0 0 V̇2 = ḣ11 V̇1 + ḣ12 I˙2 0 0 I˙1 = ḣ V̇1 + ḣ I˙2 21 Ponendo V̇1 = 0̇, (11.1.73) 22 si dice che il doppio bipolo ha la porta 1 in cortocircuito. questa ipotesi le equazioni in (11.1.73) forniscono i valori di 0 ḣ12 = 0 ḣ22 = 0 ḣ12 e 0 Sotto ḣ22 : V̇2 I˙2 V̇1 =0̇ (11.1.74) I˙1 I˙2 V̇1 =0̇ (11.1.75) auto-impedenza della porta 2 con la porta 1 cortocircuitata, mentre la quantità ḣ22 è il guadagno di corrente di cortocircuito; queste due quantità si ricavano La quantità 0 0 ḣ12 è l' dallo schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.26. Figura 11.1.26: schema di calcolo per determinare I˙2 = 0̇, si dice che il doppio bipolo ha la porta 2 a vuoto. equazioni in (11.1.73) forniscono i valori di ḣ11 e ḣ21 : Ponendo le ḣ12 0 ḣ11 = 0 ḣ21 = e ḣ22 Sotto questa ipotesi V̇2 ˙ V̇1 I2 =0̇ (11.1.76) I˙1 ˙ V̇1 I2 =0̇ (11.1.77) ḣ11 è il guadagno di tensione a vuoto, mentre la quantità ḣ21 è l'autoammettenza della porta 1 con la porta 2 a vuoto; queste due quantità si ricavano dallo La quantità schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.27. 11.1.3.2.1 Proposizione. Sia Π un doppio h i bipolo privo di generatori pilotati, carat- terizzato dalla matrice ibrida inversa Ḣ 0 . che: 380 Allora per il teorema di reciprocità si ha 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.27: schema di calcolo per 0 determinare ḣ11 e ḣ21 0 0 0 ḣ11 = −ḣ22 (11.1.78) Dimostrazione. La proposizione si dimostra applicando il teorema di reciprocità al bipolo un cortocircuito e un circuito aperto della rete Restano così denite 2 porte: Π Π. Isoliamo come mostrato in Figura 11.1.28. la porta 1 si può eccitare soltanto in tensione mentre la porta 2 si può eccitare solamente inn corrente. Figura 11.1.28: rete elettrica Eccitando la porta 1 del circuito mostrato in Figura 11.1.28 attraverso un generatore ideale di tensione v̇1 si ha: Figura 11.1.29: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 11.1.29 si può denire il ĠV (jω) = V2 V̇1 guadagno di tensione: (11.1.79) Visto che il doppio bipolo è rappresentato mediante la matrice ibrida inversa, valgono le relazioni in (11.1.73) che nel caso specico dello schema di Figura 11.1.29, si scrivono ponendo I˙2 = 0̇. 381 11 La teoria dei doppi bipoli ( 0 V̇2 = ḣ11 V̇1 0 I˙1 = ḣ V̇1 (11.1.80) 21 Dalla prima delle equazione in (11.1.80), si ricava l'espressione del guadagno di tensione ĠV in funzione dei termini della matrice ibrida inversa: ĠV (jω) = V̇2 0 = ḣ11 V̇1 (11.1.81) Eccitando la porta 2 del circuito mostrato in Figura 11.1.28 attraverso un generatore ideale di corrente I˙2 si ha: Figura 11.1.30: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 11.1.30 si può il ĠI (jω) = − guadagno di corrente: I˙1 I˙2 N.B. Il segno - è dovuto al fatto che la corrente (11.1.82) I˙1 è opposta nello schema di calcolo usato per dimostrare il teorema di reciprocità. Visto che il doppio bipolo è rappresentato mediante la matrice ibrida inversa, valgono le relazioni in (11.1.73) che nel caso specico dello schema di Figura 11.1.24, si scrivono ponendo V̇1 = 0̇. ( 0 V̇2 = ḣ12 I˙2 0 I˙1 = ḣ22 I˙2 (11.1.83) Dalla seconda delle equazione in (11.1.83), si ricava l'espressione del guadagno dio corrente ĠI in funzione dei termini della matrice ibrida inversa: I˙1 0 = −ḣ22 ˙ I2 (11.1.84) V̇2 I˙1 = = ĠV (jω) ˙ I2 V̇1 (11.1.85) ĠI (jω) = − Per il teorema di reciprocità si ha che: ĠI (jω) = − Sostitundo (11.1.81) e (11.1.83) in (11.1.85) si ottiene la tesi: 382 11 La teoria dei doppi bipoli 0 0 ḣ11 = −ḣ22 11.1.4 Relazioni tra le matrice h i Ḣ 11.1.4.1 Passaggio dalla matrice ibrida e h Ḣ h i Ḣ 0 (11.1.86) i alla matrice ibrida inversa Supponiamo che per un doppio bipolo esista sia la matrice ibrida h 0i ibrida inversa Ḣ . h 0i Allora si ha che Ḣ = h Ḣ 0 i 1 [Ḣ ] h i−1 . = Ḣ h i Ḣ h Ḣ 0 i che la matrice Esplicitando quest'ultima espressione si ha che: −1 h i−1 ḣ 1 ḣ22 −ḣ12 11 ḣ12 = = = Ḣ ḣ21 ḣ22 ḣ11 ḣ22 − ḣ12 ḣ21 −ḣ21 ḣ11 (11.1.87) Dall'espressione in (11.1.87) si deducono i termini della matrice ibrida inversa in funzione dei termini della matrice ibrida: 0 ḣ22 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 0 −ḣ21 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 ḣ11 = 0 −ḣ12 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 0 ḣ11 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 ḣ12 = (11.1.88) ḣ21 = ḣ22 = Le relazioni in (11.1.88) valgono purchè sia ḣ11 ḣ22 − ḣ12 ḣ21 6= 0̇. 11.1.4.2 Passaggio dalla matrice ibrida inversa h Ḣ 0 i alla matrice ibrida Supponiamo che per un doppio bipolo esista sia la matrice ibrida h 0i ibrida inversa Ḣ . h i Allora si ha che Ḣ = 1 [Ḣ 0 ] h 0 i−1 . = Ḣ h i Ḣ h i Ḣ che la matrice Esplicitando quest'ultima espressione si ha che: −1 0 0 0 h i h 0 i−1 ḣ0 1 ḣ12 ḣ22 −ḣ12 11 Ḣ = Ḣ = = 0 0 0 0 0 0 0 0 ḣ21 h22 ḣ11 ḣ22 − ḣ12 ḣ21 −ḣ21 ḣ11 (11.1.89) Dall'espressione in (11.1.89) si deducono i termini della matrice ibrida in funzione dei termini della matrice ibrida inversa: ḣ11 = 0 ḣ22 0 0 0 0 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 ḣ21 = −ḣ21 0 0 0 0 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 ḣ12 = 0 −ḣ12 0 0 0 0 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 ḣ22 = ḣ11 0 0 0 0 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 (11.1.90) 0 0 383 11 La teoria dei doppi bipoli Le relazioni in (11.1.42) valgono purchè sia 11.1.5 Relazioni tra le matrici 0 0 0 0 ḣ11 ḣ22 − ḣ12 ḣ21 6= 0̇. h i h i Ḣ , Ż e h i Ẏ 11.1.5.1 Passaggio dalla matrice delle impedenze h i Ż alla matrice ibrida h i Ḣ Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro dell'equazione in (11.1.54) per I˙2 si ottiene: ḣ11 = V̇1 I˙2 V̇2 I˙2 V˙1 I˙1 =0̇ = I˙2 V̇2 I˙2 I˙1 =0̇ I˙1 =0̇ Quest'ultima, tenendo conto delle relazioni in (11.1.12) e (11.1.13), si scrive: ḣ11 = Ż12 Ż22 (11.1.91) Tenendo conto della relazione in (11.1.26), la (11.1.52) si scrive: ḣ12 = Utilizzando l'espressione di Ẏ11 1 Ẏ11 (11.1.92) data in (11.1.40) è ovvio che la (11.1.92) conduce alla relazione: ḣ12 = Ż11 Ż22 − Ż12 Ż21 Ż12 Ż21 = Ż11 − Ż22 Ż22 (11.1.93) Tenendo conto della relazione in (11.1.13), la (11.1.55) si scrive: ḣ21 = 1 Ż22 (11.1.94) Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro dell'equazione in (11.1.53) per V̇1 si ottiene: ḣ22 = I˙2 V̇1 I˙1 V̇1 V̇2 =0̇ = I˙2 V̇1 V̇2 =0̇ I˙1 V̇1 V̇2 =0̇ Quest'ultima, tenendo conto delle relazioni in (11.1.26) e (11.1.27), si scrive: ḣ22 = Inne utilizzando le espressioni di Ẏ21 e Ẏ21 Ẏ11 Ẏ11 conduce alla relazione: 384 (11.1.95) date in (11.1.40) è ovvio che la (11.1.95) 11 La teoria dei doppi bipoli ḣ22 = − Ż21 Ż22 (11.1.96) Riassumendo sono state ricavate le formule di passaggio: ḣ11 = Ż12 Ż22 ḣ21 = 1 Ż22 ḣ12 = Ż11 Ż22 −Ż12 Ż21 Ż22 (11.1.97) ḣ22 = Ż21 − Ż 22 11.1.5.2 Passaggio dalla matrice delle ammettenze Utilizzando le espressioni di Ż12 e Ż22 h i Ẏ alla matrice ibrida h i Ḣ date in (11.1.42) è ovvio che la (11.1.91) conduce alla relazione: ḣ11 = − Utilizzando l'espressione di Ż22 ḣ21 = Ẏ12 Ẏ11 (11.1.98) data in (11.1.42), la (11.1.94) si scrive: Ẏ11 Ẏ22 − Ẏ12 Ẏ21 Ẏ12 Ẏ21 = Ẏ22 − Ẏ11 Ẏ11 (11.1.99) Riassumendo sono state ricavate le formule di passaggio: ḣ11 = − ẎẎ12 11 ḣ12 = 1 Ẏ11 ḣ22 = Ẏ21 Ẏ11 (11.1.100) ḣ21 = Ẏ11 Ẏ22 −Ẏ12 Ẏ21 Ẏ11 11.1.5.3 Passaggio dalla matrice ibrida h i Ḣ alla matrice delle impedenze h i Ż Invertendo (11.1.94) si trova immediatamente che: Ż22 = 1 ḣ21 (11.1.101) Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro dell'equazione in (11.1.12) per V̇2 si ottiene: Ż12 = V̇1 V̇2 I˙2 V̇2 I˙1 =0̇ = V̇1 V̇2 I˙1 =0̇ I˙2 V̇2 I˙1 =0̇ Quest'ultima, tenendo conto delle relazioni in (11.1.54) e (11.1.55), si scrive: Ż12 = ḣ11 ḣ21 385 (11.1.102) 11 La teoria dei doppi bipoli Dalla (11.1.96) si ricava: Ż21 = −Ż22 ḣ22 (11.1.103) Sostituendo (11.1.101) in (11.1.103) si ottiene: Ż21 = − ḣ22 ḣ21 (11.1.104) Ż12 Ż21 Ż22 (11.1.105) Invertendo la (11.1.93) si ha: Ż11 = ḣ12 + Inne sostituendo (1.11.101), (1.11.102), (1.11.104) in (11.1.105) si ha: Ż11 = ḣ12 − ḣ21 ḣ12 ḣ21 − ḣ11 ḣ22 ḣ11 ḣ22 = ḣ21 ḣ21 ḣ21 ovvero: Ż11 = − ḣ11 ḣ22 − ḣ12 ḣ21 ḣ21 (11.1.106) Riassumendo sono state ricavate le formule di passaggio: Ż11 = − ḣ11 ḣ22ḣ−ḣ12 ḣ21 21 Ż12 = ḣ11 ḣ21 Ż22 = 1 ḣ21 (11.1.107) Ż21 = − ḣḣ22 21 11.1.5.4 Passaggio dalla matrice ibrida h i Ḣ alla matrice delle ammettenze h i Ẏ Invertendo (11.1.92) si trova immediatamente che: Ẏ11 = 1 ḣ12 (11.1.108) Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro dell'equazione in (11.1.27) per I˙1 si ottiene: Ẏ21 = I˙2 I˙1 V̇1 I˙1 V̇2 =0̇ = I˙2 I˙1 V̇2 =0̇ V̇1 I˙1 I˙2 =0̇ Quest'ultima, tenendo conto delle relazioni in (11.1.52) e (11.1.53), si scrive: Ẏ21 = ḣ22 ḣ12 Dalla (11.1.98) si ricava: 386 (11.1.109) 11 La teoria dei doppi bipoli Ẏ12 = −Ẏ11 ḣ11 (11.1.110) Sostituendo (11.1.108) in (11.1.110) si ottiene: Ẏ12 = − ḣ11 ḣ12 (11.1.111) Invertendo la (11.1.99) si ha: Ẏ22 = ḣ21 + Ẏ12 Ẏ21 Ẏ11 (11.1.112) Inne sostituendo (1.11.108), (1.11.109), (1.11.111) in (11.1.112) si ha: Ẏ22 = ḣ21 − ḣ12 ḣ11 ḣ22 ḣ12 ḣ21 − ḣ11 ḣ22 = ḣ12 ḣ12 ḣ12 ovvero: Ẏ22 = − ḣ11 ḣ22 − ḣ12 ḣ21 ḣ12 (11.1.113) Riassumendo sono state ricavate le formule di passaggio: Ẏ11 = 1 ḣ12 Ẏ21 = ḣ22 ḣ12 Ẏ12 = − ḣḣ11 12 (11.1.114) Ẏ22 = − ḣ11 ḣ22ḣ−ḣ12 ḣ21 12 11.1.6 Rappresentazione del doppio bipolo mediante la matrice di trasmissione e la matrice di trasmissione inversa 11.1.6.1 matrice di trasmissione diretta Fino ad ora abbiamo rappresentato il doppio bipolo utilizzando per ciascuna porta la convenzione dell'utilizzatore: Figura 11.1.31: doppio bipolo con porte che utilizzano la convenzione dell'utilizzatore I doppi bipoli descritti attraverso la matrice di trasmissione, che essa sia diretta o inversa, prevedono che la corrente uisca da sinistra verso destra come mostrato in Figura 11.1.32: 387 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.32: doppio bipolo con corrente che scorre da sinistra verso destra La matrice di trasmissione diretta, lega tensione e corrente alla porta 1 con tensione e corrente alla porta 2; in altri termini permette di scrivere la tensione e la corrente alla porta 1 in funzione della tensione e della corrente alla porta 2 per un doppio bipolo come quello mostrato in Figura 1.11.32. Per determinare la matrice di trasmissione diretta nuovamente la rappresenh i hscriviamo i Ȧ e Ḃ h ih i h ih i Ȧ V̇ + Ḃ I˙ = 0̇ tazione del doppio bipolo mediante le matrici (11.1.115) Quest'ultima in forma scalare si scrive: ( ȧ11 V̇1 + ȧ12 V̇2 + ḃ11 I˙1 + ḃ12 I˙2 = 0̇ ȧ21 V̇1 + ȧ22 V̇2 + ḃ21 I˙1 + ḃ22 I˙2 = 0̇ (11.1.116) Scrivendo prima tensione e corrente alla porta 1 e poi tensione e corrente alla porta 2 si ottiene: ( ȧ11 V̇1 + ḃ11 I˙1 + ȧ12 V̇2 + ḃ12 I˙2 = 0̇ ȧ21 V̇1 + ḃ21 I˙1 + ȧ22 V̇2 + ḃ22 I˙2 = 0̇ (11.1.117) Il sistema di equazioni in (11.1.67) si può scrivere in forma matriciale come segue: ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 V̇1 I˙1 + ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 V̇2 I˙2 = 0̇ 0̇ (11.1.118) L'espressione trovata in (11.1.118) rappresenta il doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.31. Il sistema di equazioni che rappresenta il doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.32, si I˙2 ottiene da (11.1.118) sostituendo semplicemente ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 V̇1 I˙1 + ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 −I˙2 : V̇2 0̇ = 0̇ −I˙2 con Supponiamo che la matrice: ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 sia invertibile. Se così è allora è pure dotata di inversa: 388 (11.1.119) 11 La teoria dei doppi bipoli ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 −1 (11.1.120) Premoltiplicando entrambi i membri dell'equazione matriciale in (11.1.119) per la matrice inversa data in (11.1.120) si ottiene: V̇1 I˙1 + −1 ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 ovvero: Denendo la V̇1 I˙1 =− ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 −1 ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 V̇2 −I˙2 V̇2 −I˙2 = 0̇ 0̇ (11.1.121) matrice di trasmissione diretta: −1 h i Ȧ Ḃ ȧ12 ḃ12 ȧ11 ḃ11 =− Ṫ = Ċ Ḋ ȧ22 ḃ22 ȧ21 ḃ21 (11.1.122) la rappresentazione data in (11.1.121) si scrive: V̇1 I˙1 = Ȧ Ḃ Ċ Ḋ V̇2 −I˙2 (11.1.123) Quest'ultimo in forma scalare si scrive: ( V̇1 = ȦV̇2 − Ḃ I˙2 I˙1 = Ċ V̇2 − ḊI˙2 Ponendo V̇2 = 0̇, (11.1.124) si dice che il doppio bipolo ha la porta 2 in cortocircuito. questa ipotesi le equazioni in (11.1.124) forniscono i valori di Ḃ e Sotto Ḋ: V̇1 −I˙2 V̇2 =0̇ I˙1 Ḋ = −I˙2 V̇2 =0̇ Ḃ = (11.1.125) (11.1.126) La quantità Ḃ è la trans-impedenza di cortocircuito, mentre la quantità Ḋ è l'attenuazione di corrente in cortocircuito; queste due quantità si ricavano dallo schema di calcolo mostrato in Figura 11.1.33. Ponendo −I˙2 = 0̇, si dice che il doppio bipolo ha la porta 2 a vuoto. ipotesi le equazioni in (11.1.73) forniscono i valori di Ȧ = V̇1 ˙ V̇2 −I2 =0̇ 389 Ȧ e Sotto questa Ċ : (11.1.127) 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.33: schema di calcolo per determinare Ċ = Ḃ e Ḋ I˙1 ˙ V̇2 −I2 =0̇ (11.1.128) 'attenuazione di tensione a vuoto, mentre la quantità Ċ è la transammettenza a vuoto; queste due quantità si ricavano dallo schema di calcolo mostrato in La quantità Ȧ è l Figura 11.1.34. Figura 11.1.34: schema di calcolo per 390 determinare Ȧ e Ċ 11 La teoria dei doppi bipoli 11.1.6.1.1 Proposizione. izzato dalla matrice di Π un doppio hbipolo privo di generatori pilotati, caratteri trasmissione diretta Ṫ . Allora per il teorema di reciprocità si Sia ha che: h i det Ṫ = ȦḊ − Ḃ Ċ = 1 (11.1.129) Dimostrazione. La proposizione si dimostra applicando il teorema di reciprocità al bipolo due cortocircuiti della rete Π Π. Isoliamo come mostrato in Figura 11.1.35. Restano così denite 2 porte che si possono eccitare solamente in corrente. Figura 11.1.35: rete elettrica Eccitando la porta 1 del circuito mostrato in Figura 11.1.35 attraverso un generatore ideale di tensione v̇1 si ha: Figura 11.1.36: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 11.1.24 si può denire la Ẏ21 (jω) = −I˙2 V̇1 trans-ammettenza: (11.1.130) Visto che il doppio bipolo è rappresentato mediante la matrice di trasmissione diretta, valgono le relazioni in (11.1.124) che nel caso specico dello schema di Figura 11.1.36, si scrivono ponendo V̇2 = 0̇: ( V̇1 = −Ḃ I˙2 I˙1 = −ḊI˙2 (11.1.131) Dalla prima delle equazioni in (11.1.131), si ricava l'espressione della trans-ammettemza Ẏ21 in funzione dei termini di trasmissione diretta: 391 11 La teoria dei doppi bipoli Ẏ21 (jω) = 1 −I˙2 = V̇1 Ḃ (11.1.132) Eccitando la porta 2 del circuito mostrato in Figura 11.1.35 attraverso un generatore ideale di tensione V̇2 si ha: Figura 11.1.37: rete elettrica Dallo schema di calcolo di Figura 11.1.25 si può denire la Ẏ12 (jω) = − trans-ammettenza: I˙1 V̇2 (11.1.133) Visto che il doppio bipolo è rappresentato mediante la matrice di trasmissione diretta, valgono le relazioni in (11.1.124) che nel caso specico dello schema di Figura 11.1.37, si scrivono ponendo V̇1 = 0̇. ( 0̇ = ȦV̇2 − Ḃ I˙2 I˙1 = Ċ V̇2 − ḊI˙2 Ricavando I˙2 (11.1.134) dalla prima equazione e sostituendo nella seconda, si ricava l'espressione della trans-ammettemza Ẏ12 in funzione dei termini della matrice di trasmissione diretta: I˙1 ȦḊ − Ḃ Ċ = V̇2 Ḃ (11.1.135) I˙2 I˙1 =− = Ẏ12 (jω) V̇1 V̇2 (11.1.136) Ẏ21 (jω) = − Per il teorema di reciprocità si ha che: Ẏ21 (jω) = − Sostitundo (11.1.132) e (11.1.135) in (11.1.136) si ottiene la tesi: ȦḊ − Ḃ Ċ = 1 11.1.6.2 matrice di trasmissione inversa Per il doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.38 sappiamo che le equazioni che ne descrivono il funzionamento sono: 392 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.38: doppio bipolo con corrente che scorre da sinistra verso destra ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 V̇1 I˙1 ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 + V̇2 −I˙2 0̇ 0̇ = (11.1.137) Supponiamo che la matrice: ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 sia invertibile. Se così è allora è pure dotata di inversa: −1 ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 (11.1.138) Premoltiplicando entrambi i membri dell'equazione matriciale in (11.1.137) per la matrice inversa data in (11.1.138) si ottiene: ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 −1 ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 −1 ovvero: Denendo la V̇2 −I˙2 = V̇1 I˙1 + V̇2 −I˙2 ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 = V̇1 I˙1 0̇ 0̇ (11.1.139) matrice di trasmissione inversa: h i Ȧ0 Ṫ = 0 Ċ 0 Ḃ 0 Ḋ =− ȧ12 ḃ12 ȧ22 ḃ22 −1 ȧ11 ḃ11 ȧ21 ḃ21 (11.1.140) la rappresentazione data in (11.1.140) si scrive: V̇2 −I˙2 = 0 Ȧ 0 Ċ 0 Ḃ 0 Ḋ V̇1 I˙1 (11.1.141) Quest'ultimo in forma scalare si scrive: ( 0 0 V̇2 = Ȧ V̇1 + Ḃ I˙1 0 0 −I˙2 = Ċ V̇1 + Ḋ I˙1 393 (11.1.142) 11 La teoria dei doppi bipoli Ponendo V̇1 = 0̇, si dice che il doppio bipolo ha la porta 1 in cortocircuito. questa ipotesi le equazioni in (11.1.142) forniscono i valori di 0 Ḃ = 0 Ḋ = Ḃ 0 e Ḋ 0 Sotto : V̇2 I˙1 V̇1 =0̇ (11.1.143) −I˙2 I˙1 V̇1 =0̇ (11.1.144) a trans-impedenza di cortocircuito, mentre la quantità Ḋ è l'attenuazione di corrente in cortocircuito; queste due quantità si ricavano dallo schema di calcolo La quantità Ḃ 0 èl mostrato in Figura 11.1.39. Figura 11.1.39: schema di calcolo per determinare 0 I˙1 = 0̇, si dice che il doppio bipolo ha la porta 1 a vuoto. 0 0 equazioni in (11.1.142) forniscono i valori di Ȧ e Ċ : ( 0 0 V̇2 = Ȧ V̇1 + Ḃ I˙1 0 0 −I˙2 = Ċ V̇1 + Ḋ I˙1 Ponendo le Ḃ 0 Ḋ 0 Sotto questa ipotesi (11.1.145) V̇2 ˙ V̇1 I1 =0̇ (11.1.146) −I˙2 ˙ V̇1 I1 =0̇ (11.1.147) Ȧ = Ċ = e 'attenuazione di tensione a vuoto, mentre la quantità Ċ è la transammettenza a vuoto; queste due quantità si ricavano dallo schema di calcolo mostrato in La quantità Ȧ è l Figura 11.1.40. 394 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.1.40: schema di calcolo per 11.1.6.2.1 Proposizione. izzato dalla matrice di determinare Ȧ e Ċ Π un doppio hbipolo i privo di generatori pilotati, carattertrasmissione inversa Ṫ . Allora per il teorema di reciprocità si Sia ha che: h 0i 0 0 0 0 det Ṫ = Ȧ Ḋ − Ḃ Ċ = 1 (11.1.148) La (11.1.148) si dimostra come nel caso della matrice di trasmissione diretta. 11.1.7 Relazioni tra le matrice h i Ṫ e h i 0 Ṫ 11.1.7.1 Passaggio dalla matrice di trasmissione diretta trasmissione inversa h i Ṫ alla matrice di h 0i Ṫ Supponiamo che per un doppio bipolo esista sia la matrice di trasmissione diretta che la matrice di trasmissione inversa Allora si ha che h Ṫ i 0 = h 0 i h i−1 Ṫ = Ṫ 1 h Ṫ h i−1 = Ṫ . 0 i h i Ṫ . Esplicitando quest'ultima espressione si ha che: [Ṫ ] −1 1 Ḋ −Ḃ Ȧ Ḃ = = Ċ Ḋ ȦḊ − Ḃ Ċ −Ċ Ȧ (11.1.149) Dall'espressione in (11.1.149) si deducono i termini della matrice di trasmissione inversa in funzione dei termini della matrice di trasmissione diretta: 0 Ḋ ȦḊ−Ḃ Ċ Ḃ = 0 −Ḃ ȦḊ−Ḃ Ċ 0 −Ċ ȦḊ−Ḃ Ċ Ḋ = 0 Ȧ ȦḊ−Ḃ Ċ Ȧ = (11.1.150) Ċ = Le relazioni in (11.1.150) valgono purchè sia ȦḊ − Ḃ Ċ 6= 0̇. 395 11 La teoria dei doppi bipoli 11.1.7.2 Passaggio dalla matrice di trasmissione inversa h 0i Ṫ alla matrice diretta h i Ṫ Supponiamo che per un doppio bipolo esista sia la matrice di trasmissione diretta h che la matrice di trasmissione inversa Allora si ha che h i Ṫ = h i h 0 i−1 Ṫ = Ṫ 1 [Ṫ 0 ] 0 Ȧ = 0 Ċ Ṫ h 0 i−1 . = Ṫ 0 Ḃ 0 Ḋ −1 0 i h i Ṫ . Esplicitando quest'ultima espressione si ha che: 1 = 0 0 Ȧ Ḋ − Ḃ 0 Ċ 0 0 Ḋ 0 −Ċ −Ḃ 0 Ȧ 0 (11.1.151) Dall'espressione in (11.1.151) si deducono i termini della matrice di trasmissione diretta in funzione dei termini della matrice di trasmissione inversa: 0 Ȧ = Ḋ Ȧ0 Ḋ0 −Ḃ 0 Ċ 0 Ċ = −Ċ Ȧ0 Ḋ0 −Ḃ 0 Ċ 0 0 Ḃ = −Ḃ Ȧ0 Ḋ0 −Ḃ 0 Ċ 0 Ḋ = Ȧ Ȧ0 Ḋ0 −Ḃ 0 Ċ 0 (11.1.152) 0 0 Le relazioni in (11.1.152) valgono purchè sia 11.1.8 Relazioni tra le matrici 0 0 0 h i h i Ṫ , Ż e h i Ẏ 11.1.8.1 Passaggio dalla matrice delle impedenze diretta 0 Ȧ Ḋ − Ḃ Ċ 6= 0̇. h i Ż alla matrice di trasmissione h i Ṫ Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro dell'equazione in (11.1.146) per I˙2 si ottiene: Ȧ = V̇2 I˙2 V̇1 I˙2 V˙2 I˙1 =0̇ = I˙2 V̇1 I˙2 I˙1 =0̇ I˙1 =0̇ Quest'ultima, tenendo conto delle relazioni in (11.1.12) e (11.1.13), si scrive: Ȧ = Ż22 Ż12 (11.1.153) Tenendo conto della relazione in (11.1.28), la (11.1.143) si scrive: Ḃ = Utilizzando l'espressione di Ẏ12 1 Ẏ12 (11.1.154) data in (11.1.40) è ovvio che la (11.1.154) conduce alla relazione: 396 11 La teoria dei doppi bipoli Ḃ = − Ż11 Ż22 Ż11 Ż22 − Ż12 Ż21 = Ż21 − Ż12 Ż12 (11.1.155) Tenendo conto della relazione in (11.1.12), la (11.1.147) si scrive: Ċ = − 1 Ż12 (11.1.156) Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro dell'equazione in (11.1.144) per V̇2 si ottiene: −I˙2 V̇2 I˙1 V̇2 Ḋ = V̇1 =0̇ = −I˙2 V̇2 V̇1 =0̇ I˙1 V̇2 V̇1 =0̇ Quest'ultima, tenendo conto delle relazioni in (11.1.28) e (11.1.29), si scrive: Ḋ = Inne utilizzando le espressioni di Ẏ22 e −Ẏ22 Ẏ12 Ẏ12 (11.1.157) date in (11.1.40) è ovvio che la (11.1.157) conduce alla relazione: Ḋ = Ż11 Ż12 (11.1.158) Riassumendo sono state ricavate le formule di passaggio: Ȧ = Ż22 Ż12 Ḃ = − Ż11 Ż22Ż−Ż12 Ż21 12 (11.1.159) − Ż1 12 C= Ḋ = Ż11 − Ż 12 11.1.8.2 Passaggio dalla matrice delle ammettenze alla matrice di h i Ṫ trasmissione diretta Utilizzando le espressioni di h i Ẏ Ż22 e Ż12 date in (11.1.42) è ovvio che la (11.1.153) conduce alla relazione: Ȧ = − Utilizzando l'espressione di Ż12 Ċ = Ẏ11 Ẏ12 (11.1.160) data in (11.1.42), la (11.1.156) si scrive: Ẏ11 Ẏ22 − Ẏ12 Ẏ21 Ẏ11 Ẏ22 = − Ẏ21 Ẏ12 Ẏ12 Riassumendo sono state ricavate le formule di passaggio: 397 (11.1.161) 11 La teoria dei doppi bipoli Ȧ = − ẎẎ11 Ḃ = 12 1 Ẏ12 (11.1.162) C= Ẏ11 Ẏ22 −Ẏ12 Ẏ21 Ẏ12 Ḋ = − ẎẎ22 12 11.1.8.3 Passaggio dalla matrice di trasmissione diretta impedenze h i Ṫ alla matrice delle h i Ż Invertendo (11.1.156) si trova immediatamente che: Ż12 = − 1 Ċ (11.1.163) Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro dell'equazione in (11.1.13) per V̇1 si ottiene: Ż22 = V̇2 V̇1 I˙2 V̇1 V̇2 V̇1 I˙1 =0̇ I˙2 V̇1 I˙1 =0̇ I˙1 =0̇ = Quest'ultima, tenendo conto delle relazioni in (11.1.146) e (11.1.147), si scrive: Ż22 = − Ȧ Ċ (11.1.164) Dalla (11.1.158) si ricava: Ż11 = Ż12 Ḋ (11.1.165) Sostituendo (11.1.163) in (11.1.165) si ottiene: Ż11 = − Ḋ C (11.1.166) Invertendo la (11.1.155) si ha: Ż21 = Ḃ + Ż11 Ż22 Ż12 (11.1.167) Inne sostituendo (1.11.163), (1.11.164), (1.11.166) in (11.1.167) si ha: Ż21 = Ḃ Ċ − ȦḊ Ċ (11.1.168) Riassumendo sono state ricavate le formule di passaggio: Ż11 = − Ḋ Ċ Ż12 = − Ċ1 (11.1.169) Ż21 = Ḃ Ċ − ȦḊ− Ċ 398 Ż22 = Ȧ − Ċ 11 La teoria dei doppi bipoli 11.1.8.4 Passaggio dalla matrice di trasmissione diretta ammettenze h i Ṫ alla matrice delle h i Ẏ Invertendo (11.1.154) si trova immediatamente che: Ẏ12 = 1 Ḃ (11.1.170) Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro dell'equazione in (11.1.29) per I˙1 si ottiene: Ẏ22 = I˙2 I˙1 V̇2 I˙1 I˙2 I˙1 V̇1 =0̇ V̇1 =0̇ = V̇2 I˙1 V̇1 =0̇ Quest'ultima, tenendo conto delle relazioni in (11.1.143) e (11.1.144), si scrive: Ẏ22 = −Ḋ Ḃ (11.1.171) Dalla (11.1.160) si ricava: Ẏ11 = −Ẏ12 Ȧ (11.1.172) Sostituendo (11.1.170) in (11.1.172) si ottiene: Ẏ11 = − Ȧ Ḃ (11.1.173) Invertendo la (11.1.161) si ha: Ẏ11 Ẏ22 − Ċ Ẏ12 Ẏ21 = (11.1.174) Inne sostituendo (1.11.170), (1.11.171), (1.11.173) in (11.1.112) si ha: Ẏ21 = ȦḊ − Ḃ Ċ = Ċ (11.1.175) Riassumendo sono state ricavate le formule di passaggio: Ȧ Ẏ11 = − Ḃ Ẏ12 = 1 Ḃ (11.1.176) Ẏ21 = ȦḊ−Ḃ Ċ Ċ 399 Ẏ22 = − Ḋ Ḃ 11 La teoria dei doppi bipoli 11.1.9 Simmetria di un doppio bipolo Un doppio bipolo si dice simmetrico se scambiando la porta 1 con la porta 2 rimane inalterato Per vedere cosa implica la proprietà di simmetria nelle varie matrici che caratterizzano il doppio bipolo basta scambiare 1 con 2 ed imporre un'uguaglianza tra relazioni 11.1.9.1 Matrice delle impedenze Un bipolo caratterizzato dalla matrice delle impedenze h i Ż è descritto mediante il sistema di equazioni: V̇1 V̇2 = Ż11 Ż12 Ż21 Ż22 I˙1 I˙2 I˙2 I˙1 (11.1.177) Scambiando 1 con 2 il sistema in (11.1.177) si scrive: V̇2 V̇1 = Ż22 Ż21 Ż12 Ż11 (11.1.178) Anchè il doppio bipolo sia simmetrico deve risultare: ( Ż11 = Ż22 Ż12 = Ż21 ⇐ condizione di reciprocità (11.1.179) Secondo (11.1.179) è evidente che un doppio bipolo simmetrico è un doppio bipolo reciproco per cui vale la relazione Ż11 = Ż22 . Quindi se un doppio bipolo è simmettrico allora è senz'altro reciproco. Ciò vuol dire che se il doppio bipolo è simmetrico, anche se contiene generatori pilotati, risulta reciproco. 11.1.9.2 Matrice delle ammettenze Un bipolo caratterizzato dalla matrice delle ammettenze h i Ẏ è descritto mediante il sistema di equazioni: I˙1 I˙2 = Ẏ11 Ẏ12 Ẏ21 Ẏ22 V̇1 V̇2 V̇2 V̇1 (11.1.180) Scambiando 1 con 2 il sistema in (11.1.180) si scrive: I˙2 I˙1 = Ẏ22 Ẏ21 Ẏ12 Ẏ11 (11.1.181) Anchè il doppio bipolo sia simmetrico deve risultare: ( Ẏ11 = Ẏ22 Ẏ12 = Ẏ21 ⇐ condizione di reciprocità 400 (11.1.182) 11 La teoria dei doppi bipoli Secondo (11.1.182) è evidente che un doppio bipolo simmetrico è un doppio bipolo reciproco per cui vale la relazione Ẏ11 = Ẏ22 . 11.1.9.3 Matrice ibrida Un bipolo caratterizzato dalla matrice ibrida h i Ḣ è descritto mediante il sistema di equazioni: V̇1 I˙2 = ḣ11 ḣ12 ḣ21 ḣ22 V̇2 I˙1 (11.1.183) Scambiando 1 con 2 il sistema in (11.1.183) conduce alle equazioni che descrivono il doppio bipolo mediante la matrice ibrida inversa V̇2 I˙1 = h 0 0 ḣ11 ḣ12 0 0 ḣ21 ḣ22 i 0 Ḣ : V̇1 I˙2 (11.1.184) Anchè il doppio bipolo sia simmetrico deve risultare: 0 h i 0 h i ḣ 0 ḣ11 ḣ12 11 ḣ12 Ḣ = = = Ḣ 0 0 ḣ21 ḣ22 ḣ21 ḣ22 (11.1.185) Tenendo conto che valgono le relazioni, in 11.1.88 che per comodità riportiamo qui di seguito, 0 ḣ22 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 ḣ12 = 0 −ḣ21 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 ḣ22 = ḣ11 = ḣ21 = 0 −ḣ12 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 0 ḣ11 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 è chiaro che il sistema in (11.1.185) conduce alle seguenti uguaglianze: ḣ11 = ḣ22 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 (11.1.190) ḣ12 = −ḣ12 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 (11.1.191) ḣ21 = −ḣ21 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 (11.1.192) ḣ22 = ḣ11 ḣ11 ḣ22 −ḣ12 ḣ21 (11.1.193) Imponendo la condizione ḣ11 ḣ22 − ḣ12 ḣ21 = −1 le equazioni in (11.1.191) e (11.1.192) diventano delle identità mentre le equazioni in (11.1.190) e (11.1.193) conducono alla condizione di reciprocità ḣ11 = −ḣ22 . Quindi un doppio bipolo è simmetrico se risulta: ḣ11 ḣ22 − ḣ12 ḣ21 = −1 (11.1.186) e se è simmetrico è anche reciproco: ḣ11 = −ḣ22 401 (11.1.187) 11 La teoria dei doppi bipoli 11.1.9.4 Rappresentazione mediante la matrice di trasmissione diretta Un bipolo caratterizzato dalla matrice di trasmissione diretta h i Ṫ è descritto mediante il sistema di equazioni: V̇1 I˙1 = Ȧ Ḃ Ċ Ḋ V̇2 −I˙2 (11.1.188) Scambiando 1 con 2 il sistema in (11.1.192) conduce alle equazioni che descrivono il doppio bipolo mediante la matrice di trasmissione inversa V̇2 −I˙2 = 0 Ȧ 0 Ċ 0 Ḃ 0 Ḋ V̇1 I˙1 h Ṫ 0 i : (11.1.189) Tenendo conto che valgono le relazioni, in 11.1.150 che per comodità riportiamo qui di seguito, 0 Ḋ ȦḊ−Ḃ Ċ Ḃ = 0 −Ḃ ȦḊ−Ḃ Ċ 0 −Ċ ȦḊ−Ḃ Ċ 0 Ȧ ȦḊ−Ḃ Ċ Ȧ = (11.1.190) Ċ = Ḋ = è chiaro che il sistema in (11.1.193) si scrive: ( Ḋ Ḃ V̇2 = ȦḊ− V̇ − ȦḊ− I˙ Ḃ Ċ 1 Ḃ Ċ 1 Ȧ Ċ V̇ + ȦḊ− I˙ −I˙2 = − ȦḊ− Ḃ Ċ 1 Ḃ Ċ 1 (11.1.195.1) (11.1.195.2) (11.1.191) Le equazioni in (11.1.195) descrivono il doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.41 dove si vede che la corrente scorre da sinistra verso destra. Per imporre la simmetria occorre però che la corrente uisca da destra verso sinistra; pertanto serve invertire i sensi delle correnti I˙1 e I˙2 . Figura 11.1.41: doppio bipolo con corrente che scorre da destra verso sinistra Invertendo la corrente I˙2 (ciò equivale a moltiplicare la (11.1.195.2) per -1) il sistema in (11.1.195) si scrive: ( V̇2 = I˙2 = Ḋ Ḃ V̇ − ȦḊ− I˙ ȦḊ−Ḃ Ċ 1 Ḃ Ċ 1 Ċ Ȧ V̇ − ȦḊ− I˙ ȦḊ−Ḃ Ċ 1 Ḃ Ċ 1 402 (11.1.192) 11 La teoria dei doppi bipoli Invertendo la corrente I˙1 (ciò equivale a sostituire I˙1 con −I˙1 ), il sistema di equazioni in (11.1.196) si scrive: ( V̇2 = I˙2 = Ḋ Ḃ V̇ + ȦḊ− I˙ ȦḊ−Ḃ Ċ 1 Ḃ Ċ 1 Ċ Ȧ V̇ + ȦḊ− I˙ ȦḊ−Ḃ Ċ 1 Ḃ Ċ 1 (11.1.193) Le equazioni in (11.1.196) descrivono il doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.42 dove le correnti vanno da destra verso sinistra. Figura 11.1.42: doppio bipolo con corrente che scorre da sinistra verso destra Il sistema in (11.1.197) in forma matriciale si scrive: V̇2 I˙2 " = Ḋ ḊȦ−Ḃ Ċ Ċ ḊȦ−Ḃ Ċ Ḃ ḊȦ−Ḃ Ċ Ȧ ḊȦ−Ḃ Ċ # V̇1 I˙1 (11.1.194) La simmetria diventa una proprietà per il doppio bipolo descritto mediante la matrice di trasmissione se viene imposta l'uguaglianza tra le matrici contenute nelle rappresentazioni date in (11.1.192) e (11.1.198): Ȧ Ḃ Ċ Ḋ " = Ḋ ḊȦ−Ḃ Ċ Ċ ḊȦ−Ḃ Ċ Ḃ ḊȦ−Ḃ Ċ Ȧ ḊȦ−Ḃ Ċ # (11.1.195) L'uguaglianza matriciale in (11.1.195) è garantita soltanto se: ( ȦḊ − Ḃ Ċ = 1 ⇐ condizione di reciprocità Ȧ = Ḋ Ancora una volta è stato vericato che la simmetria implica la reciprocità. 403 (11.1.196) 11 La teoria dei doppi bipoli 11.2 Impedenza in un doppio bipolo 11.2.1 Impedenza a vuoto Si denisce impedenza a vuoto primaria Ż01 l'impedenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 non è connessa ad alcun carico come mostrato in Figura 11.2.1: Figura 11.2.1: impedenza a vuoto primaria Essa coincide con il termine Ż11 della matrice delle impedenze: Ż01 = Ż11 Si denisce (11.2.1) impedenza a vuoto secondaria Ż02 l'impedenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 non è connessa ad alcun carico come mostrato in Figura 11.2.2: Figura 11.2.2: impedenza a vuoto secondaria Essa coincide con il termine Ż22 della matrice delle impedenze: Ż02 = Ż22 404 (11.2.2) 11 La teoria dei doppi bipoli 11.2.2 Impedenza iterativa Si denisce impedenza iterativa primaria Żit.1 l'impedenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è chiusa attraverso il carico Żit.1 come mostrato in Figura 11.2.3: Figura 11.2.3: impedenza iterativa primaria Si denisce impedenza iterativa secondariaŻit.2 l'impedenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è chiusa attraverso il carico Żit.2 come mostrato in Figura 11.2.4 Figura 11.2.4: impedenza iterativa secondaria 11.2.3 Impedenza di cortocircuito Si denisce impedenza di cortocircuito primaria Żcc1 l'impedenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è chisa attraverso un cortocircuito come mostrato in Figura 11.2.5: Figura 11.2.5: impedenza a vuoto primaria Essa coincide con l'inverso del termine Ẏ11 della matrice delle ammettenze: Żcc1 = Si denisce 1 Ẏ11 impedenza di cortocircuito secondaria Żcc2 (11.2.3) l'impedenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è chisa attraverso un cortocircuito come mostrato in Figura 11.2.6: 405 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.2.6: impedenza a vuoto primaria Essa coincide con l'inverso del termine Ẏ22 della matrice delle ammettenze: Żcc2 = 1 Ẏ22 (11.2.4) 11.2.4 Impedenza immagine Le impedenze immagine vanno denite a coppia. Żim.1 , Żim.2 sono denite nella seguente maniera: 1 quando la porta 2 è chiusa attraverso il carico La coppia di impedenze immagine Żim.1 Żim.2 , è l'impedenza vista dalla porta mentre dalla porta 2 quando la porta 1 è chiusa attraverso il carico Żim.2 è l'impedenza vista Żim.1 . L'immagine mostrata in Figura 11.2.7 chiarisce il signicato delle impedenze immagine. Figura 11.2.7: impedenze immagine 11.2.5 Impedenza caratteristica Se il doppio bipolo è simmetrico allora Żit.1 = Żit.2 = Żim.1 = Żim.2 = Ż0 si chiama impedenza caratteristica (11.2.5) del doppio bipolo. 11.2.6 Espressioni analitiche delle impedenze del doppio bipolo In questa sezione si vuole determinare l'espressione analitica per ciascuna impedenza denita precedentemente. Tutte le impedenze del doppio bipolo si possono ricavare da una qualunque delle rappresentazioni del doppio bipolo (matrice delle impedenze, matrice delle ammettenze..). 406 11 La teoria dei doppi bipoli Qui si determiano le espressioni delle impedenze del doppio bipolo attraverso la matrice delle impedenze. In maniera immediata si hanno le espressioni delle impedenze a vuoto: Ż01 = Ż11 (11.2.6) Ż02 = Ż22 (11.2.7) come osservato in precedenza. Per determinare le altre impedenze si consideri lo schema di calcolo mostrato in Figura 11.2.8: Figura 11.2.8: schema di calcolo Per esso valgono le relazioni: ˙ ˙ V̇1 = Ż11 I1 + Ż12 I2 V̇2 = Ż21 I˙1 + Ż22 I˙2 V̇2 = −Ż2 I˙2 Risolvedo il sistema in (11.2.8) rispetto a V̇1 = V̇1 , (11.2.8) si trova la relazione: Ż11 Ż22 + Ż11 Ż2 − Ż12 Ż21 ˙ I1 Ż22 + Ż2 da cui si ricava l'espressione dell'impedenza vista dalla porta 1: Ż1 = essendo h i det Ż V̇1 = I˙1 h i det Ż + Ż11 Ż2 (11.2.9) Ż22 + Ż2 il determinate della matrice delle impedenze h i Ż . E' facile controllare l'esattezza della (11.2.9): passando al limite per +∞(porta Ż2 che tente a 2 a vuoto) si ha che: Ż1 = Ż11 = Ż01 In modo analogo, si trova per lo schema di calcolo mostrato in Figura 11.2.9: una relazione simile alla (11.2.9) per l'impedenza vista dalla porta 2: 407 (11.2.10) 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.2.9: schema di calcolo Ż2 = V̇2 = I˙2 h i det Ż + Ż22 Ż1 Ż11 + Ż1 (11.2.11) Si osservi che la (11.2.11) si può ricavare a partire dalla (11.2.9) scambiando semplicemente 1 con 2. passando al limite per Ż1 che tente a +∞(porta 1 a vuoto) si ha che: Ż2 = Ż22 = Ż02 Se Ż2 = 0̇, allora vuol dire che la porta 2 è chiusa attraverso un cortocircuito e la (11.2.9) fornisce l' impedenza di cortocircuito primaria : h i det Ż Żcc1 = Se Ż1 = 0̇, (11.2.12) = Ż22 1 Ẏ11 (11.2.13) allora vuol dire che la porta 1 è chiusa attraverso un cortocircuito e la (11.2.11) fornisce l' impedenze di cortocircuito secondaria: h i det Ż Żcc2 = Ż11 = 1 Ẏ22 (11.2.14) Tenendo conto delle relazioni in (11.2.6) e (11.2.7), le relazioni in (11.2.12) e (11.2.13) permettono di scrivere la relazione h i det Ż = Ż01 Żcc2 = Ż02 Żcc1 che conduce all'espressione: Ż01 Żcc1 = Ż02 Żcc2 Posto: Ż1 = Ż2 = Żit.1 , la (11.2.9) si scrive: h i det Ż + Ż11 Żit.1 Żit.1 = Ż22 + Żit.1 408 (11.2.15) 11 La teoria dei doppi bipoli Manipolando quest'ultima espressione si ricava la relazione: h i 2 Żit.1 + Ż22 − Ż11 Żit.1 − det Ż = 0 (11.2.16) impedenza iterativa La radice con parte reale positiva dell'equazione in (11.2.16) è l' primaria.Posto: Ż1 = Ż2 = Żit.2 , la (11.2.9) si scrive: h i det Ż + Ż22 Żit.2 Żit.2 = Ż11 + Żit.2 Manipolando quest'ultima espressione si ricava la relazione: h i 2 Żit.2 + Ż11 − Ż22 Żit.2 − det Ż = 0 (11.2.17) impedenza iterativa La radice con parte reale positiva dell'equazione in (11.2.16) è l' secondaria. Ponendo Ż1 , Ż2 = Żim.1 , Żim.2 le relazioni Żim.1 = det[Ż ]+Ż11 Żim.2 Ż22 +Żim.2 det[Ż ]+Ż22 Żim.1 Ż = im.2 Ż11 +Żim.1 in (11.2.9) e(11.2.11) scrivono: (11.2.18.1) (11.2.18) (11.2.18.2) Żim.1 , Żim.2 il sistema in (11.2.18) si ottiene h i Żim.1 Ż22 + Żim.1 Ż2 = det Ż + Ż11 Żim.2 h i ⇒ Żim.2 Ż11 + Żim.2 Żim.1 = det Ż + Ż22 Żim.1 Risolvendo rispetto a ⇒ Żim.1 Ż22 − Żim.2 Ż11 = Ż11 Żim.2 − Ż22 Żim.1 ⇒ ⇒ 2Żim.1 Ż22 = 2Ż11 Żim.2 ovvero: Żim.1 Ż11 = Żim.2 Ż22 Tenendo conto anche delle relazioni precedenti è ovvio che quest'ultima relazione si può completare come segue: Ż11 Ż01 Żcc1 Żim.1 = = = Żim.2 Ż22 Ż02 Żcc2 (11.2.19) Da quest'ultima relazione si ricava facilmente che: Żim.1 = Ż11 Żim.2 Ż22 409 (11.2.20) 11 La teoria dei doppi bipoli Sostituendo (11.2.20) in (11.2.18.1) si ottine inne l'espressione analitica dell'impedenza immagine Żim.2 : Ż11 Żim.2 = Ż22 ⇒ h i det Ż + Ż11 Żim.2 Ż22 + Żim.2 ⇒ h i Ż11 2 Żim.2 + Ż11 Żim.2 = det Ż + Ż11 Żim.2 ⇒ Ż22 ⇒ h i Ż11 2 Żim.2 = det Ż Ż22 ovvero: s h i Ż 22 det Ż Ż11 Żim.2 = La (11.2.21) si può scrivere in altre forme, infatti tenendo conto che Ż22 = Ż02 (11.2.21) det[Ż ] Ż11 = Żcc2 e che si ha: q Żim.2 = Żcc2 Ż02 (11.2.22) L'altra impedenza immegine si ricava inne scambiando 1 con 2 in (11.2.22): q Żim.1 = Żcc1 Ż01 (11.2.23) 11.3 Il quadripo composito e il doppio bipolo composito Due doppi bipoli si possono connettere tra di loro in 5 dierenti modi: 1. interconnessione serie-serie; 2. interconnessione parallelo-parallelo; 3. interconnessione serie-parallelo; 4. interconnessione parallelo-serie; 5. interconnessione a cascata. La strutttura che si realizza collegando 2 doppi bipoli è in generale un quadripolo composito. 11.3.1 Interconnessione serie-serie Due doppi bipoli sono in interconnessione serie-serie se collegati come mostrato in Figura 11.3.1: 410 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.3.1: interconnessione serie-serie 11.3.2 interconnessione parallelo-parallelo Due doppi bipoli sono in interconnessione parallelo-parallelo se collegati come mostrato in Figura 11.3.2: Figura 11.3.2: interconnessione parallelo-parallelo 11.3.3 Interconnessione serie-parallelo Due doppi bipoli sono in interconnessione serie-parallelo se collegati come mostrato in Figura 11.3.3: 411 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.3.3: interconnessione serie-parallelo 11.3.4 Interconnessione parallelo-serie Due doppi bipoli sono in interconnessione parallelo-serie se collegati come mostrato in Figura 11.3.4: Figura 11.3.4: interconnessione serie-parallelo 11.3.5 Interconnessione cascata Due doppi bipoli sono in interconnessione a cascata se collegati come mostrato in Figura 11.3.5: Figura 11.3.5: interconnessione a cascata 11.3.6 Il doppio bipolo composito Per un quadripolo del tipo1 o del tipo 2 o del tipo 3 o del tipo 4, non è possibile dare in generale una rappresentazione analitica. 412 In altri termini un quadripolo composito 11 La teoria dei doppi bipoli non è detto che sia un doppio bipolo composito. Si può dare una rappresentazione analitica per il quadripolo composito se dopo l'interconnessione dei due doppi bipoli, questi continuano ad essere dei doppi bipoli e in tal caso la struttura complissiva è un doppio bipolo composito. Consideriamo il doppio bipolo composito serie-serie mostrato in Figura 11.3.6. Figura 11.3.6: interconnessione serie-serie Scrivendo la LKC all'insieme di taglio si ha ovviamente che 0 0 − I˙1R − I˙2R + I˙1R + I˙2R = 0̇ (11.3.1) Ma la (11.3.1) non implica che le correnti si annullano a 2 a 2 come segue: ( 0 −I˙1R + I˙1R = 0̇ −I˙2R + I˙2R = 0̇ (11.3.2) ovvero non implica che R ed S siano dei doppi bipoli dopo la loro connessione. Tuttavia potrebbe succedere che uno tra R ed S sia un doppio bipolo per ragioni interne. In tal caso lo è anche l'altro. In questa circostanza i doppi bipoli R ed S realizzano un doppio bipolo composito. Per un doppio bipolo composito serie-serie si trova che: h i h i h i Ż = ŻR + ŻS (11.3.3) Per un doppio bipolo composito parallelo-parallelo si trova che: h i h i h i Ẏ = ẎR + ẎS (11.3.4) Per un doppio bipolo composito serie-parallelo si trova che: h i h i h i Ḣ = ḢR + ḢS (11.3.5) Per un doppio bipolo composito parallelo-serie si trova che: h 0i h 0 i h 0 i Ḣ = ḢR + ḢS 413 (11.3.6) 11 La teoria dei doppi bipoli Contrariamente ai casi precedenti se due doppi bipoli sono connessi in cascata, allora il quadripolo composito è un doppio bipolo composito. In questo caso si trova che: h i h i h i Ṫ = ṪR · ṪS (11.3.7) Visto che le interconnessioni a cascata sono molto importanti nell'ambito delle telecomunicazioni dimostriamo la 11.3.7. Consideriamo l'interconnessione a cascata mostrata in Figura 11.3.7 dove vengono esplicitate tensioni e correnti alle porte. Figura 11.3.7: interconnessione a cascata Il doppio bipolo R è caratterizzato dalla rappresentazione analitica: V̇1R I˙1R i V̇ 2R = ṪR −I˙2R h (11.3.8) mentre il doppio bipolo S è caratterizzato dalla rappresentazione analitica: V̇1S I˙1 S h i V̇ 2S = ṪS −I˙2S (11.3.9) Dallo schema mostrato in Figura 11.3.7 risulta che: V̇2R −I˙2R = V̇1S I˙1S (11.3.10) La (11.3.10) consente di sostituire (11.3.9) in (11.3.8), ottenendo così la tesi: V̇1R I˙1 R h i h i V̇ 2S = ṪR ṪS −I˙2S ovvero: h i h i h i Ṫ = ṪR · ṪS (11.3.11) 11.3.7 Trasformazione stella-triangolo I circuiti elettrici possono presentare impedenze connesse in serie oppure connesse in parallelo. In realtà esisto altre possibilità; esistono delle situszioni in cui le impedenze 414 11 La teoria dei doppi bipoli non risultano connesse nè in serie nè in parallelo; in questi casi le impedenze possono formare una stella oppure un triangolo. Tre impedenze costituiscono una stella se tutte e tre hanno solo un morsetto a comune come mostrato in Figura 11.3.8.1. Il morsetto a comune si chiama centro stella O. Si noti che in Figura 11.3.8.1 viene mostrato il simbolo di stella. Tre impedenze costituiscono una triangolo se prese a due a due hanno solo un morsetto a come mostrato in Figura 11.3.8.2. I morsetti a comune sono i tre vertici di un triangolo i cui lati sono le impedenze. Si noti che in Figura 11.3.8.2 viene mostrato il simbolo di stella. Figura 11.3.8: 1 stella; 2 triangolo Una stella oppure un triangolo si può rappresentare usando la sintassi sei doppi bipoli; in Figura 11.3.9.1 viene mostrata una stella di impedenze, mentre in Figura 11.3.9.2 viene mostrato un triangolo di impedenze. Esistono delle formule di passaggio stella-triangolo e triangolo-stella. Queste formule si possono ricavare uguagliando la matrice delle impedenze del doppio bipolo a stella e del doppio bipolo a triangolo. Chiudendo le porte del doppio bipolo a stella mediante i generatori ideali di tensione si ottiene il circuito mostrato in Figura 11.3.10: Applicando il metodo delle correnti alle maglie è facile scrivere di getto il sistema I˙1 e I˙2 : Ż1 + Ż3 Ż3 I˙1 V̇1 = Ż3 Ż2 + Ż3 I˙2 V̇2 risolvente nelle incognite (11.3.12) Da quest'ultimo sistema è evidente che la matrice delle impedenze del doppio bipolo a stella è data da: 415 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.3.9: 1 doppio bipolo a stella; 2 doppio bipolo a triangolo Figura 11.3.10: 1 doppio bipolo a stella h i Ż + Ż Ż3 1 3 Żf = Ż3 Ż2 + Ż3 (11.3.13) Chiudendo le porte del doppio bipolo a triangolo mediante i generatori ideali di tensione si ottiene il circuito mostrato in Figura 11.3.11: Applicando il metodo delle correnti alle maglie è facile scrivere di getto il sistema risolvente nelle incognite I˙1 e I˙2 : Ż31 0̇ −Ż31 0̇ Ż32 Ż23 −Ż31 Ż23 Ż31 + Ż12 + Ż23 Ricavando J˙ I˙1 V̇1 I˙2 = V̇2 0̇ J˙ (11.3.14) dalal terza equazione e sostituendo nelle prime due equazioni si ricava il sistema risolvente nelle incognite I˙1 e I˙2 : 416 11 La teoria dei doppi bipoli Figura 11.3.11: 1 doppio bipolo a triangolo 1 Ż12 + Ż23 + Ż31 Ż31 Ż12 + Ż23 Ż31 Ż23 Ż31 Ż23 Ż23 Ż12 + Ż31 I˙1 I˙2 = V̇1 V̇2 (11.3.15) Da quest'ultimo sistema è evidente che la matrice delle impedenze del doppio bipolo a triangolo è data da: h i Ż4 = 1 Ż12 + Ż23 + Ż31 Ż31 Ż12 + Ż23 Ż31 Ż23 Ż31 Ż23 Ż23 Ż12 + Ż31 (11.3.16) Uguagliando la matrice delle impedenze del doppio bipolo a stella con la matrice delle impedenze del doppio bipolo a triangolo: h Ż4 i Ż31 Ż12 + Ż23 Ż31 Ż23 1 = = Ż12 + Ż23 + Ż31 Ż31 Ż23 Ż23 Ż12 + Ż31 = si ottegono le Ż1 + Ż3 Ż3 Ż3 Ż2 + Ż3 h i = Żf formule di passaggio triangolo stella (4 −→ f). (4 −→ f) Ż12 Ż31 Ż = 1 Ż12 +Ż23 +Ż31 12 Ż23 Ż2 = Ż Ż 12 +Ż23 +Ż31 Ż = Ż31 Ż23 3 Ż +Ż +Ż Formule di passaggio stella-triangolo 12 23 31 Utilizzando le relazioni in (11.3.17), è facile vericare che: 417 (11.3.17) 11 La teoria dei doppi bipoli Ż1 Ż2 + Ż2 Ż3 + Ż3 Ż1 = Ż1 Ż23 da cui si ricava che: Ż23 = Ż2 + Ż3 + Utilizzando le permutazioni cicliche Ż2 Ż3 Ż1 1 −→ 2 −→ 3 −→ 1, (11.3.18) dalla (11.3.18) si ricavano le altre espressioni delle impedenze del triangolo: Ż31 = Ż3 + Ż1 + Ż3 Ż1 Ż2 (11.3.19) Ż12 = Ż1 + Ż2 + Ż1 Ż2 Ż3 (11.3.20) Formule di passaggio stella-triangolo Quindi le le (f −→ 4) formule di passaggio stella-triangolo (f −→ 4) sono : Ż12 = Ż1 + Ż2 + Ż23 = Ż2 + Ż3 + Ż = Ż + Ż + 31 3 1 Ż1 Ż2 Ż3 Ż2 Ż3 Ż1 (11.3.21) Ż3 Ż1 Ż2 Formule di passaggio nel caso di stella equilibrata e triangolo equilibrato Una stella si dice equilibrata se risulta: Ż1 = Ż2 = Ż3 = Żf Un triangolo si dice equilibrato (11.3.22) se risulta: Ż12 = Ż23 = Ż31 = Ż4 (11.3.23) Utilizzando (11.3.22) e (11.3.23) le formule date in (11.3.17) e (11.3.21) forniscono le espressioni: Ż4 = 3 Żf (11.3.24) 1 Żf 3 (11.3.25) Żf = 418 11 La teoria dei doppi bipoli Esempio Si vuole determinare la resistenza equivalente vista dai nodi A e B del circuito mostrato in Figura 11.3.12 Figura 11.3.12: circuito elettrico: Ż1 = Ż2 = 10Ω, Ż3 = Ż4 = Ż5 = Ż4 = j 12Ω Guardando il circuito dai nodi A e B non si riesce ad individuare nè resistenze in serie nè in parallelo; tuttavia è possibile notare 2 triangoli di cui uno equilibrato. Trasformando il triangolo equilibrato di vertici B, C e D in stella equilibrata di impedenze Żf = Ż4 3 = j 4Ω si ottiene il circuito equivalente mostrato in Figura 11.3.13: Figura 11.3.13: circuito elettrico: Ż1 = Ż2 = 10Ω, Żf = j 4Ω A questo punto l'impedenza equivalente vista dai nodi A e B si può determinare facilmente in quando è evidente che risulta essere la combinazione di impedenze in serie e in parallelo: 419 11 La teoria dei doppi bipoli Żeq. = Ż1 + Żf Ż2 + Żf Ż1 + Ż2 + 2 Żf + Żf (11.3.26) Sostituendo i valori numerici, l'espressione in (11.3.26) fornisce: Żeq. = = (10 + j 4Ω)2 84 + 80 j 21 + 21 j +j4= +j4= +j4= 20 + j 8 20 + j 8 5+j2 21 + 20 j 5 − j 2 145 + 58 j +j4= + j 4 = 5 + j6 Ω 5+j2 5−j2 29 (11.3.27) Possiamo vericare l'esattezza dell'espressione trovata applicando uno dei metodi di analisi studiati. Chiudendo il bipolo mostrato in Figura 11.3.12 attraverso un generatore di prova V̇p si ottiene il circuito mostrato in Figura 11.3.14; è chiato che: Żeq. = Figura 11.3.14: circuito elettrico: V̇p I˙p (11.3.28) Ż1 = Ż2 = Ż = 10Ω, Ż3 = Ż4 = Ż5 = Ż4 = j 12Ω Applicando il metodo delle correnti di maglia si trova di getto il sistema risolvente: Ż + Ż4 Ż Ż4 Ż 2 Ż + Ż4 −Ż4 Ż4 −Ż4 3 Ż4 In forma scalare si ha: 420 i̇p V̇p J˙1 = 0̇ 0̇ J˙2 (11.3.29) 11 La teoria dei doppi bipoli Ż + Ż I˙p + Ż J˙1 + Ż4 J˙2 = V̇p (11.3.30.1) 4 ˙p + 2 Ż + Ż4 J˙1 − Ż4 J˙2 = 0̇ (11.3.30.2) Ż I Ż4 I˙p − Ż4 J˙1 − Ż4 J˙2 = 0̇ (11.3.30.3) (11.3.30) Dalla (11.3.30.3) si ricava immediatamente che: J˙1 = I˙p + 3 J˙2 (11.3.31) Sostituendo (11.3.31) in (11.3.30.1) e (11.3.30.2) si ricava: ( 2 Ż + Ż4 I˙p + 3 Ż + Ż4 J˙2 = V̇p I˙p + 2 J˙2 = 0̇ (11.3.32.1) (11.3.32) (11.3.32.2) Dalla (11.3.32.2) si ricava che: 1 J˙2 = − I˙p 2 (11.3.33) Sostituendo inne (11.3.33) in (11.3.33.2) si ha: 1 1 Ż + Ż4 I˙p = V̇p 2 2 ovvero: Żeq. = V̇p 1 1 = Ż + Ż4 = 5 + j6 Ω 2 2 I˙p Esattamente come in (11.3.27). 421 (11.3.34) 12 Linee di trasmissione 12.1 Introduzione Una linea di trasmissione è un sistema di conduttori molto estesi, idealmente di lunghezza innita, paralleli tra di loro, interposti in un materiale isolante. La linea di trasmissione collega una sorgente ad un carico molto lontano dalla sorgente al ne di trasportare energia oppure informazione. Essa può essere biconduttore oppure multiconduttore ; si dice biconduttore se risulta costituita da due soli conduttori, si dice multiconduttore se risulta costituita da più di due conduttori. uniforme : Una linea di trasmissione può anche essere uniforme oppure non si dice uniforme se il materiale interposto tra i conduttori risulta omogeneo, cioè se i suoi parametri costitutivi ε (costante dielettrica), µ (permeabilità magnetica), σ (conducibilità elettrica) sono costanti per tutta la lunghezza della linea di trasmissione; si dice non uniforme se i parametri costitutivi ε, µ e σ variano da punto a punto lungo la linea di trasmissione. Per semplicità ci occuperemo soltanto delle linee di trasmissione uniformi biconduttori e uniformi multiconduttori. 12.2 Linea di trasmissione biconduttore Come mostrato in Figura 12.1.1 una linea di trasmissione uniforme biconduttore (d'ora in avanti semplicemente linea di trasmissione) viene indicata con due segmenti paralleli ed in grassetto in modo da collegare una sorgente ad un carico. Figura 12.2.1: simbolo circuitale linea di trasmissione biconduttore In Figura 12.2.1 vengono mostrati alcuni esempi di linea di trasmissione uniforme biconduttore. Vogliamo determinare un modello matematico zare la linea di trasmissione. attraverso cui sia possibile caratteriz- Questo modello deve essere, nei limiti consentiti, il più SEMPLICE, ACCURATO e GENERALE possibile. Per determinare il modello matematico della linea di trasmissione possiamo pensare di utilizzare le equazioni di Maxwell 422 12 Linee di trasmissione Figura 12.2.2: esempi di linee di trasmissione che sono le più generali e accurate che regolano i sistemi dal punto di vista elettromagnetico. Se utilizzassimo le equazioni di Maxwell, il modello matematico non risulterebbe aatto semplice. Possiamo pensare allora di utilizzare le leggi di Kirchho (LK) che sono le approssimazioni delle equazioni di Maxwell. Utilizzando le LK il modello matematico risulterebbe più semplice, ma allo stesso tempo meno accurato e generale; inoltre non è detto che si possano applicare le LK. Bisogna vedere se le linee di trasmissione soddisfano la condizione di validità delle L K. Σ un sistema elettrico di dimensione d come mostrato in Figura. 12.2.3, interessato un segnale elettrico w (t) (che può essere un segnale di tensione o di corrente). Sia da Condizione cente, necessaria ma NON su- anché si possano applicare le LK al sistema Σ è che la dimensione d sia molto minore della lunghezza d'oda minima ν λmin associata alla più alta frequenza del segnale w (t): d << λmin Nel caso più semplice di segnale frequenza dalla relazione: (12.2.1) w (t) monocromatico la lunghezza d'onda è legata alla Figura 12.2.3: sistema di dimensione d l v= ν essendo v la velocità di propagazione del segnale (12.2.2) w (t). ν. Si ricordi che un segnale monocromatico è caratterizzato da un'unica frequenza Nel caso generale la (12.2.2) non vale perchè in generale il segnale da uno spettro che si estende da una frequenza minima νM AX . νmin w (t) è caratterizzato a una frequenza massima Facendo riferimento alla linea di trasmissione mostrata in Figura. 12.2.1 è chiaro dimensione trsversale dt soddisfa la condizione (12.2.1) mentre la dimensione longitudinale dl non soddisfa la condizione (12.2.1), essendo per ipotesi dl >> dt . che la 423 12 Linee di trasmissione Si deduce quindi che NON è POSSIBILE applicare le LK alla linea di trasmissione nel suo complesso. Si deduce pure che è POSSIBILE applicare le LK ad un tratto nito, al limite innitesimo, di linea di trasmissione. Quello che faremo adesso è quindi denire ∆x, un modello circuitale per un tratto di linea di linea di lunghezza nita con ∆x tendente a zero, da cui, applicando le LK si ricava il modello matematico del tratto di linea innitesimo. Visto che l'analisi di un circuito si può arontare sia nel dominio del tempo che nel dominio dei fasori, condurremo l' frequenza per il tratto di linea innitesimo analisi in transitorio e l' analisi in della linea di trasmissione. 12.3 Linea di trasmissione in regime transitorio 12.3.1 Equazioni dei telegrasti modello circuitale In Figura 12.2.3 è riportato il trasmissione di lunghezza nita Passando al limite per rappresenta il ∆x che caratterizza un tratto di linea di ∆x. che tende a zero, il circuito mostrato in Figura 12.3.1 tratto di linea innitesimo della linea di trasmissione. Figura 12.3.1: modello circuitale della linea di trasmissione biconduttore Dove linea : v = v (x, t) ed i = i (x, t) si chiamano rispettivamente dipendono oltre che dal tempo t, anche dalla posizione tensione e corrente di x che descrive la lunghezza della linea. Le quantità r , l, c e g si chiamano parametri primari e sono grandezze per unità di lunghezza. I parametri r ed l si chiamano pure parametri longitudinali perché sentono la corrente di linea mentre i parametri c parametri trasversali tensione di linea v. r e g Unità di misura r l c g Ω m−1 H m−1 F m−1 s m−1 i, si chiamano pure perché sentono la resistenza lineica, l si chiama induttanza lineica, c si chiama capacità lineica, ed inne g si chiaIn particolare, Parametro primario Tabella 12.1: parametri si chiama trasmissione 424 della linea di 12 Linee di trasmissione ma conduttanza lineica. In Tabella 12.1 sono riportate le unità di misura dei parametri primari. r 4x linea l 4x è la resistenza che descrive tutto l'eetto Joule prodotto dalla corrente di i nei due conduttori di lunghezza è l'induttanza che descrive l'energia immagazzinata dovuta al campo mag- netico prodotto dalla corrente di linea c 4x 4x i è la capacità che descrive l'energia immagazzinata dovuta al campo elettrico che si viene a creare a seguito della d.d.p. tra i due conduttori g 4x è la conduttanza che descrive i passaggi di corrente da un conduttore all'altro dovuti al non perfetto funzionamento dell'isolante interposto tra i conduttori vg (x + 4x) 4x e ig (x + 4x) 4x sono generatori ideali che stanno a indicare le interferenze dovute a sorgenti di campo elettromagnetico quali potrebbero essere per esempio, le linee di trasmissione circostanti alla linea di trasmissione considerata. E' ovvio che vg (x + 4x) si misura in V m−1 mentre ig (x + 4x) si misura in Am−1 . Facendo riferimento al circuito mostrato in Figura 12.3.1 si scrivono facilmente le equazioni all'insieme di taglio e alla maglia. Equazione all'insieme di taglio (LKC) Con riferimento al circuito mostrato in Figura 12.3.2, si ha: i (x, t) + ig (x + ∆x, t) 4x = = g∆x (−vg (x + ∆x, t) ∆x + v (x + ∆x, t)) + +i (x + ∆x, t) + c∆x ∂ (−vg (x + ∆x, t) ∆x + v (x + ∆x, t)) ∂t Attraverso semplici operazioni di manipolazione algebrica, da quest'ultima espressione si ricava la relazione: i (x + ∆x, t) − i (x, t) = ig (x + ∆x, t) + g∆xvg (x + ∆x, t) − gv (x + ∆x, t) + ∆x + c∆x Passando al limite per 4x ∂ ∂ vg (x + ∆x, t) − c v (x + ∆x, t) ∂x ∂t (12.3.1) che tende a zero la (12.3.1), fornisce: ∂ ∂ i (x, t) = −g v (x, t) − c v (x, t) + ig (x, t) ∂x ∂t 425 (12.3.2) 12 Linee di trasmissione Equazione alla maglia (LKT) Con riferimento al circuito mostrato in Figura 12.3.2, si ha: −v (x, t) + r ∆x i (x, t) + l ∆x ∂ i (x, t) − vg (x + ∆x, t) ∆x + v (x + ∆x, t) = 0 ∂t Attraverso semplici operazioni di manipolazione algebrica, da quest'ultima espressione si ricava la relazione: v (x + ∆x, t) − v (x, t) ∂ = −r i (x, t) − l i (x, t) + vg (x + ∆x, t) ∆x ∂t Passando al limite per 4x che tende a zero la (12.3.3), fornisce: (12.3.3) ∂ ∂ v (x, t) = −r i (x, t) − l i (x, t) + vg (x, t) ∂x ∂t Le espressioni in (12.3.2) e (12.3.4) prendono il nome di (12.3.4) equazioni dei telegrasti. Si dimostra che le equazioni dei telegrasti non dipendono dal modello circuitale adottato per rappresentare il tratto innitesimo di linea di trasmissione. Per esempio si trovano le stesse equazioni se si utilizza il modello circuitale mostrato in Figura. 12.3.2. Figura 12.3.2: modello circuitale della linea di trasmissione biconduttore purchè si pone: 0 00 000 r =r +r +r l = l0 + l00 + l000 0 00 c=c +c g = g 0 + g 00 (12.3.5) Le equazioni dei telegrasti costituiscono un sistema di due equazioni dierenziali alle condizioni inizilali e le condizioni al contorno (se la linea di trasmissione è nita) o le condizioni di regolarità all'innito (se la linea di trasmissione è seminita o innita ). derivate parziali. Per risolvere tale problema bisogna specicare le D'ora in avanti supporremo la linea di trasmissione di lunghezza nita L, quindi si tratta di risolvere il problema: 426 12 Linee di trasmissione ∂ ∂ ∂x i (x, t) = −g v (x, t) − c ∂t v (x, t) + ig (x, t) (12.3.6.1) ∂ v (x, t) = −r i (x, t) − I ∂ i (x, t) + v (t) (12.3.6.2) g ∂x ∂t condizioni iniziali t = t0 condizioni al contorno Γ (12.3.6) Al ne di rendere più semplice il problema in (21.3.4), supponiamo nulle le interferenze modellizzate con i generatori indipendenti: ∂ ∂ ∂x i (x, t) = −g v (x, t) − c ∂t v (x, t) (12.3.7.1) ∂ v (x, t) = −r i (x, t) − I ∂ i (x, t) (12.3.7.2) ∂x ∂t condizioni iniziali t = t 0 condizioni al contorno Γ Il problema in (12.3.5) è molto dicile da risolvere in quanto le variabili v(x, t) risultano accoppiare accoppiate. (12.3.7) i(x, t) Per rendere più semplice il problema bisogna cercare di e dis- le variabili, ovvero bisogna cercare di determinare una equazione dierenziale alle derivate parziali che contiene la sola variabile i(x, t) oppure la sola variabile v(x, t). Vediamo un modo per disaccoppiare le variabili: derivando parzialmente rispetto a x l'equazione in (12.3.7.1), si ricava: ∂2 ∂ ∂ ∂ i (x, t) = −g v (x, t) − c v (x, t) 2 ∂x ∂x ∂x ∂t (12.3.8) Derivando parzialmente rispetto a t l'equazione (12.3.7.2), si ricava: ∂ ∂2 ∂ ∂ v (x, t) = −r i (x, t) − I 2 i (x, t) ∂t ∂x ∂t ∂t Per il teorema di Schwartz quest'ultima espressione si scrive pure: ∂ ∂ ∂ ∂2 v (x, t) = −r i (x, t) − I 2 i (x, t) ∂x ∂t ∂t ∂t (12.3.9) Inserendo (12.3.7.2) e (12.3.9) in (12.3.8), si ricava: ∂2 ∂2 ∂ i (x, t) = −l c i (x, t) − (g l + c r) i (x, t) − g r i (x, t) 2 2 ∂x ∂t ∂t (12.3.10) Analogamente derivando parzialmente rispetto a t l'equazione in (12.3.7.1) e rispetto a x l'equazione (12.3.7.2) e apportando le dovute sostituzioni, si ricava: ∂2 ∂2 ∂ v (x, t) = −l c v (x, t) − (g l + c r) v (x, t) − g r v (x, t) 2 2 ∂x ∂t ∂t (12.3.11) Visto che le equazioni in (12.3.10) e (12.3.11) sono formalmente identiche, si possono compattare in un'unica equazione: ∂2 ∂2 ∂ f (x, t) = −l c f (x, t) − (g l + c r) f (x, t) − g r f (x, t) ∂x2 ∂t2 ∂t 427 (12.3.12) 12 Linee di trasmissione essendo: f (x, t) = i(x, t) oppure f (x, t) = v(x, t). Nota l'equazione in (12.3.12) è chiaro che il problema in (12.3.7) diventa: 2 ∂ ∂2 ∂x2 f (x, t) = −l c ∂t2 f (x, t) − (g l + c r) condizioni iniziali t = t0 condizioni al contorno Γ ∂ ∂t f In conseguenza del disaccoppiamento delle variabili in (12.3.13). (x, t) − g r f (x, t) (12.3.13) i(x, t) e v(x, t) si ottiene il problema In realtà questo problema non è equivalente al problema in (12.3.7) in quanto non hanno lo stesso insieme di soluzioni. E' facile capire che tutte le soluzioni del problema in (12.3.13) sono soluzioni del problema in (12.3.7), mentre tutte le soluzioni del problema in (12.3.7) non è detto che siano anche soluzioni del problema (12.3.13). In altre parole per garantire il disaccoppiamento delle variabili è stato necessario aumentare l'ordine di derivazione delle equazioni dei telegrasti e ciò ha inevitabilmente ampliato l'insieme delle soluzioni. Lo stesso discorso si ripete per esempio, se pensiamo di derivare l'equazione dierenziale di ordine minimo del circuito RC: RC RC d vc (t) + vc (t) = vg (t) dt d2 d d vc (t) + vc (t) = vg (t) dt2 dt dt Un'equazione dierenziale del secondo ordine ha sempre un insieme delle soluzioni più ampio rispetto ad una equazione dierenziale del primo ordine. Sono di interesse alcuni casi notevoli di linee di trasmissione: LINEA DI TRASMISSIONE IDEALE O SENZA PERDITE Una linea di trasmissione si dice ideale o senza perdite se risulta r=g=0 (12.3.14) In tal caso l'equazione in (12.3.12) si scrive: 1 ∂2 ∂2 f (x, t) + f (x, t) = 0 ∂x2 u2 ∂t2 (12.3.15) avendo posto: u2 = Essendo u 1 lc (12.3.16) un termine di velocità che indica la velocità di propagazione del segnale lungo la linea di trasmissione. La (12.3.5) è nota con il nome di equazione di D'Alambert. 428 12 Linee di trasmissione LINEA DITRASMISSIONE NON DISTORCENTE O ANTIDISTORCENTE Una linea di trasmissione si dice non distorcente se viene vericata la Heaveside : condizione di r g = =σ l c Posto σ = 0 (12.3.17) si ricava la linea di trasmissione ideale; quest'ultima quindi è un caso particolare di linea non distorcente. LINEA DI TRASMISSIONE IN CAVO INTERRATO Una linea di trasmissione si dice in cavo interrato se risulta: l=g=0 (12.3.18) In tal caso l'equazione in (12.3.12) si scrive: ∂2 ∂ f (x, t) − c r f (x, t) = 0 2 ∂x ∂t (12.3.19) LINEA DI TRASMISSIONE NEL CASO RESISTIVO Una linea di trasmissione si dice resistiva se risulta: l=c=0 (12.3.20) In tal caso l'equazione in (2.1.10) si scrive: ∂2 f (x, t) − g r f (x, t) = 0 ∂x2 (12.3.21) 12.3.2 Linea di trasmissione non distorcente Una linea di trasmissione si dice non distorcente se viene vericata la Heaveside : Condizione di r g = =σ l c (12.3.22) Vogliamo esprimere l'equazione caratteristica di una linea di trasmissione: ∂2 ∂2 ∂ f (x, t) = −l c f (x, t) − (g l + c r) f (x, t) − g r f (x, t) ∂x2 ∂t2 ∂t nell'ipotesi di linea di trasmissione non distorcente. (12.3.23) Per far ciò consideriamo le equazioni dei telegrasti in cui sono nulli i generatori indipendenti che modellizzano le interferenze elettromagnetiche: ∂ ∂ v (x, t) = −r i (x, t) − l i (x, t) ∂x ∂t 429 (12.3.24) 12 Linee di trasmissione Mettendo in evidenza ∂ ∂ i (x, t) = −g v (x, t) − c v (x, t) ∂x ∂t il termine −l i(x, t) , l'equazione in (12.3.24) r ∂ ∂ i (x, t) v (x, t) = −l + ∂x l ∂t (12.3.25) si scrive: (12.3.26) Utilizzando (12.3.22), l'espressione in (12.3.26) si scrive: ∂ ∂ i (x, t) v (x, t) = −l σ + ∂x ∂t Si osservi come di linea i(x, t). σ+ ∂ ∂t (12.3.27) sia semplicemente un operatore simbolico applicato alla corrente Mettendo in evidenza il termine −c v(x, t) , l'equazione in (12.3.25) si scrive: ∂ i (x, t) = −c ∂x g ∂ + c ∂t v (x, t) (12.3.28) Utilizzando (12.3.22), l'espressione in (12.3.28) si scrive: ∂ ∂ i (x, t) = −c σ + v (x, t) ∂x ∂t (12.3.29) Derivando parzialmente rispetto a x l'equazione in (12.3.27) si scrive: ∂2 ∂ ∂ v (x, t) = −l σ + i (x, t) ∂x2 ∂t ∂x (12.3.30) Inserendo (12.3.29) in (12.3.30) si ricava: ∂2 ∂ 2 v (x, t) = l c σ + v (x, t) ∂x2 ∂t Tenendo conto che u2 = (12.3.31) 1 l c , la (12.3.31) si scrive: ∂2 1 v (x, t) − 2 2 ∂x u ∂ 2 σ+ v (x, t) = 0 ∂t (12.3.32) Denendo l'operatore simbolico: " ∂2 1 − ∂x2 u2 # ∂ ∂ 2 1 ∂ ∂ 1 ∂ σ+ = − σ+ + σ+ ∂t ∂x u ∂t ∂x u ∂t (12.3.33) L'espressione in (12.3.32) si scrive: ∂ 1 − ∂x u ∂ ∂ 1 ∂ σ+ + σ+ v (x, t) = 0 ∂t ∂x u ∂t 430 (12.3.34) 12 Linee di trasmissione In modo analogo si ricava facilmente pure l'equazione: ∂ ∂ ∂ 1 σ+ σ+ i (x, t) = 0 + ∂t ∂x u ∂t ∂ 1 − ∂x u (12.3.35) Visto che le equazioni in (12.3.34) e (12.3.35) sono formalmente identiche, si possono compattare in una unica equazione: essendo: ∂ 1 − ∂x u ∂ ∂ ∂ 1 σ+ σ+ f (x, t) = 0 + ∂t ∂x u ∂t f (x, t) = i(x, t) oppure f (x, t) = v(x, t). (12.3.36) L'equazione in (12.3.36) è l'equazione in (12.3.23) nell'ipotesi di linea di trasmissione non distorcente. L'equazione in (12.3.36) è equivalente alle due seguenti equazioni: ∂ 1 + ∂x u ∂ 1 − ∂x u ∂ σ+ ∂t ∂ ∂t σ+ Ciò vuol dire che l'integrale generale tra l'integrale generale f+ (x, t) f (x, t) f+ (x, t) = 0 (12.3.37) f− (x, t) = 0 (12.3.38) dell'equazione in (12.3.36) è la somma dell'equazione in (12.3.37) e l'integrale generale f− (x, t) dell'equazione in (12.3.38): f (x, t) = f+ (x, t) + f− (x, t) Determiniamo l'INTEGRALE GENERALE f+ (x, t) (12.3.39) dell'equazione in (12.3.37): espan- dendola si ha: ∂ σ 1 ∂ f+ (x, t) + f+ (x, t) + f+ (x, t) = 0 ∂x u u ∂t L'equazione in (12.3.40) si integra facilmente imponendo il D'Alambert : (12.3.40) cambiamento di variabili di ( ξ = x − ut η = x + ut (12.3.41) Sommando membro a membro le relazioni in (12.3.41) si ha: x= ξ+η 2 (12.3.42) Sottraendo membro a membro, invece si ha: t= η−ξ 2u (12.3.43) Note le relazioni in (12.3.42) e (12.3.43) l'integralef+ (x, t) si può esprimere in termini di ξ eη : 431 12 Linee di trasmissione f+ (x, t) = f+ ξ+η η−ξ , 2 2u = h+ (ξ, η) (12.3.44) Derivando parzialmente rispetto a x, le posizioni in (12.3.41) forniscono le relazioni: ( ∂ ∂x ξ ∂ ∂x η =1 =1 (12.3.45) Derivando parzialmente rispetto a t, le posizioni in (12.3.41) forniscono le relazioni: ( ∂ ∂t ξ ∂ ∂t η = −u =u (12.3.46) Per il teorema di derivazione di funzione composta, e con l'ausilio dei risultati in (12.3.45) e (12.3.46) si trovano le relazioni: ∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η f+ (x, t) = h+ (ξ, η) + h+ (ξ, η) = ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x = ∂ ∂ h+ (ξ, η) + h+ (ξ, η) ∂ξ ∂η (12.3.47) ∂ ∂ ∂ ∂ξ ∂η f+ (x, t) = h+ (ξ, η) + h+ (ξ, η) = ∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂t = −u ∂ ∂ h+ (ξ, η) + u h+ (ξ, η) ∂ξ ∂η (12.3.48) Sostituendo (12.3.44), (12.3.47) e (12.3.48) in (12.3.40) si ricava: ∂ σ h+ (ξ, η) + h+ (ξ, η) = 0 ∂η 2u (12.3.49) L'integrale dell'equazione in (12.3.49) si determina applicando il delle variabili, secondo cui l'integrale generale funzioni di cui una dipende solo da ξ h+ (ξ, η) metodo delle separazioni risulta essere il prodotto di due e l'altra dipende solo da η: h+ (ξ, η) = a− (ξ) b+ (η) (12.3.50) Inserendo (12.3.50) in (12.3.49) si ricava: a− (ξ) ∂ σ b+ (η) + a− (ξ) b+ (ξ) = 0 ∂η 2u (12.3.51) σ d b+ (η) + b+ (ξ) = 0 dη 2u (12.3.52) ovvero: Si osservi come la derivata parziale diventa totale per eetto della separazione delle variabili. 432 12 Linee di trasmissione La (12.3.52) è una equazione dierenziale del primo ordine, il cui integrale generale è: σ b+ (ξ) = k+ e− 2 u η (12.3.53) Sostituendo (12.3.53) in (12.3.50) si ricava l'integrale generale dell'equazione in (12.3.49): σ h+ (ξ, η) = a− (ξ) k+ e− 2 u η Inglobando la costantek+ all'interno della funzione arbitraria (12.3.54) a− (ξ), l'integrale generale in (12.3.54) si scrive: σ h+ (ξ, η) = a− (ξ) e− 2 u η (12.3.55) Imponendo il cambiamento di variabile (12.3.41), l'espressione in (12.3.55) porta all'integrale generale f+ (x, t): σ f+ (x, t) = a− (x − u t) e− 2 u (x+u t) Determiniamo l'INTEGRALE GENERALE f− (x, t) (12.3.56) dell'equazione in (12.3.38): l'equazione in (12.3.38) si scrive: ∂ σ 1 ∂ f− (x, t) − f− (x, t) − f− (x, t) = 0 ∂x u u ∂t (12.3.57) l'equazione in (12.3.57) si integra imponendo il cambiamento di variabili di D'Alambert dato in (12.3.41) Note le relazioni in (12.3.42) e (12.3.43) l'integrale di ξ e f− (x, t) si può esprimere in termini η: f− (x, t) = f− ξ+η η−ξ , 2 2u = h− (ξ, η) (12.3.58) Per il teorema di derivazione di funzione composta, e con l'ausilio dei risultati in (12.3.45) e (12.3.46) si trovano le relazioni: ∂ ∂ ∂ f− (x, t) = h− (ξ, η) + h− (ξ, η) ∂x ∂ξ ∂η (12.3.59) ∂ ∂ ∂ f− (x, t) = −u h− (ξ, η) + u h+ (ξ, η) ∂t ∂ξ ∂η (12.3.60) Sostituendo (12.3.58), (12.3.59) e (12.3.60) in (12.3.57) si ricava: ∂ σ h− (ξ, η) − h− (ξ, η) = 0 ∂η 2u (12.3.61) L'integrale dell'equazione in (12.3.61) si determina applicando il delle variabili, secondo cui l'integrale generale funzioni di cui una dipende solo da ξ h− (ξ, η) e l'altra dipende solo da 433 metodo della separazione risulta essere il prodotto di due η: 12 Linee di trasmissione h− (ξ, η) = a+ (ξ) b− (η) (12.3.62) Inserendo (12.3.62) in (12.3.61) si ricava: a+ (ξ) σ ∂ b− (η) − a+ (ξ) b− (ξ) = 0 ∂η 2u (12.3.63) d σ b− (ξ) − b− (ξ) = 0 dη 2u (12.3.64) ovvero: Si osservi come anche in questo caso, la derivata parziale diventa totale per eetto della separazione delle variabili. La (12.3.64) è una equazione dierenziale del primo ordine, il cui integrale generale è: σ b− (ξ) = k− e 2 u ξ (12.3.65) Sostituendo (12.3.65) in (12.3.62) si ricava l'integrale generale dell'equazione in (12.3.61): σ h− (ξ) = k− a+ (η) e 2 u ξ Inglobando la costante k− (12.3.66) all'interno della funzione arbitraria a+ (η) , l'integrale generale in (12.3.66) si scrive: σ h− (ξ) = a+ (η) e 2 u ξ (12.3.67) Imponendo il cambiamento di variabile (12.3.41), l'espressione in (12.3.67) porta all'integrale generale f− (x, t) : σ f− (x, t) = a+ (x + u t) e 2 u (x−u t) (12.3.68) Inserendo in ne (12.3.56) e (12.3.68) in (12.3.39) si ricava l'integrale generale dell'equazione in (12.3.36): f (x, t) = f+ (x, t) + f− (x, t) = σ σ = a− (x − u t) e− 2 u (x+u t) + a+ (x + u t) e 2 u (x−u t) (12.3.69) Osserviamo che in virtù della relazione − σ σ σ σ (x + u t) = − (x + u t + x − x) = (x − u t) − 2x 2u 2u 2u 2u si ha: σ σ σ e− 2 u (x+u t) = e 2 u (x−u t) e− u x Analogamente, in virtù della relazione 434 (12.3.70) 12 Linee di trasmissione σ σ σ σ (x − u t) = (x − u t + x − x) = − (x + u t) + 2x 2u 2u 2u 2u si ha: σ σ σ e 2 u (x−u t) = e− 2 u (x+u t) e u x (12.3.71) Quindi sostituendo (12.3.70) e (12.3.71) in (12.3.69) si ha: f (x, t) = f+ (x, t) + f− (x, t) = σ σ σ σ = a− (x − u t) e 2 u (x−u t) e− u x + a+ (x + u t) e− 2 u (x+u t) e u (12.3.72) Denendo le funzioni arbitrarie: σ 0 a− (x − u t) = a− (x − u t) e 2 u (x−u t) σ 0 a−+ (x + u t) = a+ (x + u t) e− 2 u (x+u t) l'integrale f (x, t) (12.3.73) (12.3.74) in (12.3.72) si scrive: f (x, t) = f+ (x, t) + f− (x, t) = σ 0 0 σ = a− (x − u t) e− u x + a+ (x + u t) e u La funzione arbitraria (12.3.75) 0 a− (x − u t) si chiama onda progressiva in quanto rappresenta una propagazione ondosa lungo l'asse Per vericare ciò supponiamo che all'istante di tempo t = t1 la 0 a− (x − u t) assuma massimo in corrispondenza dell'ascissex = x1 . Supponiamo inoltre che assuma massimo pure all'istante di tempo t = t2 > t1 e in corrispondenza dell'ascisse x = x2 . 0 Anchè la funzione a− (x − u t) rappresenti un'onda che si propaga lungo la direzione delle ascisse positive deve succedere chex2 > x1 . Visto che: positivo delle ascisse. funzione 0 0 a− (x1 − u t1 ) = a− (x2 − u t2 ) deve essere: x1 − u t1 = x2 − u t2 da cui si ricava: x2 = x1 + u (t2 − t1 ) > x1 435 12 Linee di trasmissione La funzione arbitraria 0 a− (x + u t) onda regressiva si chiama in quanto rappresenta una propagazione ondosa lungo l'asse σ e− u x appresenta un fattore di decadimento spaziale σ x l'esponenziale e u rappresenta un fattore di decadimento negativo delle ascisse. L'esponenziale per l'onda progressiva mentre spaziale per l'onda regressiva . Osserviamo che in virtù della relazione − σ σ σ σ (x + u t) = − (x + u t + u t − u t) = − (x − u t) − 2u t 2u 2u 2u 2u si ha: σ σ e− 2 u (x+u t) = e− 2 u (x−u t) e−σ t (12.3.76) Analogamente, in virtù della relazione σ σ σ σ (x − u t) = (x − u t + u t − u t) = (x + u t) − 2u t 2u 2u 2u 2u si ha: σ σ e 2 u (x−u t) = e 2 u (x+u t) e−σ t (12.3.77) Quindi sostituendo (12.3.76) e (12.3.77) in (12.3.69) si ha: f (x, t) = f+ (x, t) + f− (x, t) = σ σ = a− (x − u t) e− 2 u (x−u t) e−σ t + a+ (x + u t) e 2 u (x+u t) e−σ t (12.3.78) Denendo le funzioni arbitrarie: 00 σ 00 σ a− (x − u t) = a− (x − u t) e− 2 u (x−u t) a−+ (x + u t) = a+ (x + u t) e 2 u (x+u t) l'integrale f (x, t) (12.3.79) (12.3.80) in (12.3.78) si scrive: f (x, t) = f+ (x, t) + f− (x, t) = 00 00 = a− (x − u t) e−σ t + a+ (x + u t) e−σ t La funzione arbitraria (12.3.81) 00 a− (x − u t) si chiama onda progressiva in quanto rappresenta una propagazione ondosa lungo l'asse positivo delle ascisse, mentre la funzione 436 12 Linee di trasmissione 00 a+ (x + u t) si chiama onda progressiva in quanto rappresenta una propagazione ondosa lungo l'asse positivo delle ascisse. Con questa rappresentazione i termini esponenziali rappresentano fattori di decadimento temporale per l'onda progressiva e per l'onda regressiva . Per semplicare la notazione indichiamo con il simbolo: ϕ = ϕ(x − u t) (12.3.82) l'onda progressiva , mentre con il simbolo: ψ = ψ(x + u t) (12.3.83) l'onda regressiva . Pertanto l'espressine in (12.3.75) si scrive: σ σ f (x, t) = ϕ e− u x + ψ e u (12.3.84) mentre l'espressione in (12.3.81) si scrive : f (x, t) = ϕ e−σ t + ψ e−σ t Ricordando che f (x, t) = v(x, t) oppure f (x, t) = i(x, t) (12.3.85) l'equazione in (12.3.84) fornisce: ( σ σ v (x, t) = ϕv e− u x + ψv e u x σ σ i (x, t) = ϕi e− u x + ψi e u x (12.3.86) mentre l'equazione in (12.3.85) fornisce: ( v (x, t) = ϕv e−σ y + ψv eσ t i (x, t) = ϕi e−σ t + ψi eσ t (12.3.87) Non è dicile dimostrare che tra le funzioni arbitrarie sussistono le relazioni : ( ϕi = R1c ϕv ψi = − R1c ψv (12.3.88) essendo : 1 1 = cu = = Gc Rc lu (12.3.89) Rc si chiama resistenza caratteristica della linea di trasmissione non distorcente, mentre Gc si chiama conduttanza caratteristica della linea di trasmissione non distorcente. Facendo uso delle relazioni in (12.3.88) le espressioni in (12.3.86) e (12.3.87) si riscrivono come segue: 437 12 Linee di trasmissione Per una ( σ σ v (x, t) = ϕv e− u x + ψv e u x ψv σ ϕv − σ e ux − R eux i (x, t) = R c c (12.3.90) ( v (x, t) = ϕv e−σ t + ψv eσ t ϕv −σ t ψv σ t i (x, t) = R e −R e c c (12.3.91) linea di trasmissione ideale vale σ = 0. In questo caso le equazioni in (12.3.90) e (12.3.91) diventano: ( v (x, t) = ϕv + ψv ϕv ψv −R i (x, t) = R c c (12.3.92.1) (12.3.92.2) (12.3.92) Solo abbinando le condizioni iniziale e le condizioni al contorno si determinano le funzioni arbitrarie ϕv e ψv . Vedremo in seguito attraverso delle applicazioni come determinarle in casi particolarmente semplici . 12.3.2.1 Esercizio Consideriamo due linee di trasmissione semi-innite ideali caratterizzate dalle resistenze caratteristicheRc1 ed Rc2 congiunte all'ascisse x=0 come mostrato in Figura 12.3.3. Figura 12.3.3: linea di tramissione di lunghezza innita Supponiamo di trasmettere un'onda di tensione progressiva (I) ϕv . All'ascisse x=0 suc- cede che parte di questa onda continua a propagarsi nella direzione positiva delle ascisse: (II) ϕv e parte torna indietro: ψv . Ovviamente nella Linea II non c'è onda regressiva per- ché essa è di lunghezza innita in direzione delle ascisse positive. Secondo (12.3.92.1), la tensione nella Linea I vale: v (I) (x, t) = ϕ(I) v + ψv (12.3.93) v (II) (x, t) = ϕ(II) v (12.3.94) mentre nella Linea II vale: All'ascisse x=0 si ha l'uguaglianza tra le relazioni in (12.3.93) e (12.3.94): 438 12 Linee di trasmissione (II) ϕ(I) v + ψv = ϕv (12.3.95) Analogamente, utilizzando l'equazione in (12.3.92.2), si determina la corrente nella Linea I: 1 1 (I) ϕv − ψv Rc1 Rc1 i(I) (x, t) = (12.3.96) e la corrente nella Linea II: v (II) (x, t) = All'ascisse x=0 1 (II) ϕ Rc2 v (12.3.97) si ha l'uguaglianza tra le relazioni in (12.3.96) e (12.3.97): 1 (I) 1 1 (II) ϕ − ψv = ϕ Rc1 v Rc1 Rc2 v (12.3.98) Le equazioni in (12.3.95) e (12.3.98) costituiscono un sistema di due equazioni nelle incognite (II) ϕv e ψv (I) ϕv è l'onda di tensione ( (I) (II) ϕv + ψv = ϕv in quanto 1 (I) Rc ϕv − 1 Rc ψ v = nota: (12.3.99) 1 (II) Rc ϕv Risolvendo il sistema in (12.3.99) si trova: ϕ(II) = v ψv = 2Rc2 ϕ(I) Rc1 + Rc2 v Rc2 − Rc1 (I) ϕ Rc1 + Rc2 v 12.3.3 Bilancio energetico per una linea di trasmissione Consideriamo un tratto di linea di trasmissione di lunghezza nita ∆x con ∆x sucien- temente piccolo, al limite innitesimo. Possiamo rappresentare questo tratto di linea di trasmissione attraverso un doppio bipolo come mostrato in Figura 12.3.4. La potenza che viene immessa nel doppio bipolo risulta : p = v1 i 1 + v2 i 2 (12.3.100) Visto che: ( v1 = v (x, t) i1 = i (x, t) v2 = v (x + ∆x, t) i2 = −i (x + ∆x, t) Figura 12.3.4: tratto di linea di lunghezza ∆x (12.3.101) 439 12 Linee di trasmissione l'espressione in (12.3.100) si scrive: p = v (x, t) i (x, t) + v (x + ∆x, t) [−i (x + ∆x, t)] Sviluppando in serie di Taylor i termini v(x + ∆x, t) e −i(x + ∆x, t) (12.3.102) attorno al punto x l'espressione in (12.3.102) si scrive: p = v (x, t) i (x, t) + ∂ ∂ + v (x, t) + v (x, t) ∆x + ... −i (x, t) − i (x, t) ∆x + ... = ∂x ∂x = v (x, t) i (x, t) − v (x, t) i (x, t) − v (x, t) − i (x, t) ∂ i (x, t) ∆x+ ∂x ∂ ∂ ∂ v (x, t) ∆x − v (x, t) i (x, t) (∆x)2 + ..... ∂x ∂x ∂x (12.3.103) Tracurando i termini innitesimi di ordine superiore, quest'ultima espressione si scrive: p = −v (x, t) ∂ ∂ i (x, t) ∆x − i (x, t) v (x, t) ∆x = ∂x ∂x = −∆x ∂ {v (x, t) i (x, t)} ∂x (12.3.104) Per spiegare il signicato dell'equazione in (12.3.104) basta combinare opportunamente le equazioni dei telegrasti. In questo ambito è opportuno considerare le equazioni che tengono conto dei generatori indipendenti date in (12.3.6). Moltiplicando ambo i membri dell'equazione in (12.3.6.2) per i(x, t)∆x si ricava: ∂ ∂ −∆x i (x, t) v (x, t) = −∆x i (x, t) −r i (x, t) − l i (x, t) + vg (x, t) ∂x ∂t ovvero: ∂ − ∆x i (x, t) v (x, t) = ∆x ∂x ∂ 1 2 2 r i (x, t) + l i (x, t) − i (x, t) vg (x, t) ∂t 2 (12.3.105) Moltiplicando ambo i membri dell'equazione in (23.3.6.1) per v(x, t)∆x si ricava: −∆x v (x, t) ∂ ∂ i (x, t) = −∆x v (x, t) −g v (x, t) − c v (x, t) + ig (x, t) ∂x ∂t ovvero: ∂ − ∆x v (x, t) v (x, t) = ∆x ∂x ∂ g v (x, t) + ∂t 2 1 2 c v (x, t) − v (x, t) ig (x, t) 2 (12.3.106) 440 12 Linee di trasmissione Sommando membro a membro le equazioni in (12.3.105) e (12.3.106) si ricava: p = −∆x ∂ + ∂t ∂ {v (x, t) i (x, t)} = ∆x r i2 (x, t) + g v 2 (x, t) + ∂x l 2 c 2 i (x, t) + v (x, t) + (−i (x, t) vg (x, t) − v (x, t) ig (x, t)) 2 2 (12.3.107) Confrontando (12.3.104) con (12.3.107) è ovvio che la (12.3.107) rappresenta la potenza istantanea p immessa nel tratto di linea di trasmissione di lunghezza ∆x. La quantità pd = r i2 (x, t) + g v 2 (x, t) + è la potenza per unità di lunghezza dissipata (12.3.108) dalla linea di trasmissione. La quantità l c Ei = i2 (x, t) + v 2 (x, t) 2 2 energia per unità di lunghezza mmagazzinata è l' (12.3.109) dalla linea di trasmissione. Inne la quantità pg = −i (x, t) vg (x, t) − v (x, t) ig (x, t) è la (12.3.110) potenza per unità di lunghezza dei generatori ideali. Utilizzando i simboli in (12.3.108) (12.3.109) e (12.3.110) l'espressione della potenza istantane data in (12.3.107) si scrive: ∂ p == ∆x pd + Ei + pg ∂t (12.3.111) Nel caso in cui risultano nulli i generatori indipendenti , la potenza istantanea immessa nel tratto di linea di lunghezza Dx vale: ∂ p == ∆x pd + Ei ∂t (12.3.112) Denizione: bipolo passivo Sia bk un bipolo facente parte di una rete complicata come mostrato in Figura 12.3.5 Tale bipolo si dice passivo se risulta: u (t0 ) + Le (t0 , t) ≥ 0 essendo il bipolo u(t0 ) bk e l'energia del bipolo bk all'istante t0 ed il resto della rete elettrica dall'istante denizione: 441 (12.3.113) Le lavoro elettrico scambiato tra t0 all'istante t; quest'ultimo è per 12 Linee di trasmissione Figura 12.3.5: bipolo in un rete complicata ˆ t p (τ ) dτ Le (t0 , t) = (12.3.114) t0 essendo p(t) la potenza istantanea del bipolo bk . Alternativamente possiamo dire che il bipolo bk risulta passivo scambiato tra esso e il resto della rete elettrica, dall'istante l'energia posseduta all'istante t0 se il lavoro elettrico all'istante t , non supera t0 : Le (t0 , t) ≥ −u (t0 ) (12.3.115) Denizione: doppi bipolo passivo Un doppio bipolo si dice passivo se viene vericata la condizione in (12.3.113) o in (12.3.115), a patto che per Le (t0 , t) il lavoro elettrico u(t0 ) si intenda l' enenrgia del doppio bipolo all'stante t0 e scambiato tra il doppio bipolo e il resto della rete elettrica. Quest'ultimo risulta denito come in (12.3.115) a patto che istantanea del doppio bipolo. Assumendo t0 = −∞, p rappresenti la potenza è ragionevole supporre: u(−∞) = 0 in quanto si presume che all'alba dei tempi l'energia dell'universo fosse nulla. Sotto questa ipotesi, il doppio bipolo si dice passivo se risulta: Le (t0 , t) ≥ 0 essendo p (12.3.116) la potenza istantanea del doppio bipolo. Proposizione Un tratto di linea di trasmissione, privo di generatori indipendenti, è un doppio bipolo passivo. Dimostrazione. Per vericare quanto detto basta inserire (12.3.112) in (12.3.116) : ˆ t ˆ t ∂ Le (−∞, t) = p (τ ) dτ = ∆x pd + Ei dτ = ∂t −∞ −∞ ˆ t 2 = ∆x r i (x, τ ) + g v 2 (x, τ ) dτ + −∞ 442 12 Linee di trasmissione ˆ t +∆x −∞ ˆ ∂ ∂τ l 2 c 2 i (x, τ ) + v (x, τ ) dτ = 2 2 t ∆x 2 2 r i (x, τ ) + g v (x, τ ) dτ + ∆x −∞ Si ha chiaramente che c 2 l 2 i (x, τ ) + v (x, τ ) dτ ≥ 0 2 2 Le (−∞, t) ≥ 0 in quanto l 2 c 2 ∆x i (x, t) + v (x, t) > 0 2 2 e ˆ t 2 r i (x, t) + g v 2 (x, t) dτ ∆x −∞ 2 essendo r i (x, t) + g v 2 (x, t) una funzione non negativa. Denizione: doppio bipolo conservativo Un doppio bipolo si dice conservativo se risulta: ˆ +∞ p (τ ) dτ = 0 (12.3.117) −∞ Proposizione Un tratto di linea di trasmissione privo di generatori indipendenti è un doppio bipolo conservativo. Ciò risulta ovvio in quanto è ragionevole supporre che per t = +∞ risultano nulle la tensione e la corrente. 12.4 Linea di trasmissione in regime sinusoidale 12.4.1 Rappresentazione fasoriale A regime sinusoidale la tensione di linea e la corrente di linea sono i segnali sinusoidali: Ai segnali sinusoidali v (x, t) = V (x) cos (ωt + ϕV (x)) (12.4.1) i (x, t) = I (x) cos (ωt + ϕI (x)) (12.4.2) v(x, t) e i(x, t) si fanno corrispondere i numeri complessi o V̇ (x) = V (x) ejϕV (x) 443 fasori : (12.4.3) 12 Linee di trasmissione I˙ (x) = I (x) ejϕI (x) Noti i fasori ˙ , V̇ (x)e I(x) (12.4.4) è possibile risalire alla tensione e alla corrente di linea, tramite le formule: n o v (x, t) = Re V̇ (x) ejωt (12.4.5) o n i (x, t) = Re I˙ (x) ejωt (12.4.6) Dimostrazione. Proviamo la relazione in (12.4.5). Sostituendo (12.4.3) in (12.4.5) si ha: n o n o v (x, t) = Re V (x) ejϕV (x) ejωt = Re V (x) ej(ϕV (x)+ωt) = = Re {V (x) (cos (ωt + ϕV (x))) + V (x) sin (ωt + ϕV (x))} = = V (x) cos (ωt + ϕV (x)) Allo stesso modo si prova la (12.4.6). 12.4.2 Equazioni dei telegrasti nel dominio dei fasori e parametri secondari della linea di trasmissione Visto che v(x, t) e i(x, t) sono segnali sinusoidali, possiamo scrivere le equazioni dei telegrasti: ( nel ∂ ∂x i (x, t) = −g v (x, t) − c ∂ ∂x v (x, t) = −r i (x, t) − I dominio dei fasori. ∂ ∂t v (x, t) ∂ ∂t i (x, t) (12.4.7.1) (12.4.7.2) (12.4.7) Scriviamo l'equazione in (12.4.7.2) nel dominio dei fasori. Utiliz- zando (12.4.5) il primo membro della (12.4.7.2) si scrive: n o ∂ ∂ v (x, t) = Re V̇ (x) ejωt = Re ∂x ∂x ∂ V̇ (x) ejωt ∂x jωt = Re e d V̇ (x) dx (12.4.8) Utilizzando (12.4.6) il secondo membro della (12.4.7.2) si scrive: n o n o ∂ ∂ i (x, t) = −r Re I˙ (x) ejωt − l Re I˙ (x) ejωt = ∂t ∂t n o ∂ jωt jωt = Re −r I˙ (x) e + Re −l I˙ (x) e = ∂t n o n o = Re −r I˙ (x) ejωt + Re −jω l I˙ (x) ejωt −r i (x, t) − I 444 (12.4.9) 12 Linee di trasmissione Sostituendo (12.4.8) e (12.4.9) in (12.4.7.2) si ricava l'uguaglianza: jωt Re e n o n o d V̇ (x) = Re −r I˙ (x) ejωt + Re −jω l I˙ (x) ejωt dx (12.4.10) L'uguaglianza in (12.4.10) deve essere garantita per ogni x e per ogni t . Quindi per t=0 si scrive: Re Mentre per n o n o d V̇ (x) = Re −r I˙ (x) + Re −jω l I˙ (x) dx (12.4.11) π 2ω si scrive: t= n o n o π π j π2 d Re e V̇ (x) = Re −r I˙ (x) ej 2 + Re −jω l I˙ (x) ej 2 dx ovvero: n o n o d Re j V̇ (x) = Re −j r I˙ (x) + Re j −jω l I˙ (x) dx (12.4.12) Ricordando la nota proprietà: n o n o Re j Ȧ = Re {j (Ar + jAi )} + Re {−Ai + jAr } = −Ai = −Im Ȧ (12.4.13) l'equazione in (12.4.12) si scrive: d V̇ (x) dx n o n o = −Im −r I˙ (x) − Im −jω l I˙ (x) d V̇ (x) dx n o n o = Im −r I˙ (x) + Im −jω l I˙ (x) −Im ovvero: Im Moltiplicando ambo i membri di quest'ultima espressione per l'unità immaginaria j si ricava: j Im n o n o d V̇ (x) = j Im −r I˙ (x) + j Im −jω l I˙ (x) dx (12.4.14) Sommando membro a membro le equazioni in (12.4.12) e (12.4.14) si ricava: Re d d V̇ (x) + j Im V̇ (x) = dx dx n n o n oo n n o n oo = Re −r I˙ (x) + j Im −r I˙ (x) + Re −jω l I˙ (x) + j Im −jω l I˙ (x) ovvero: 445 12 Linee di trasmissione d V̇ (x) = −r I˙ (x) − jω l I˙ (x) dx (12.4.15) Allo stesso modo si ricava l'equazione in (12.4.7.1) nel dominio dei fasori: d ˙ I (x) = −g V̇ (x) − jω c V̇ (x) dx (12.4.16) Le espressioni in (12.4.15) e (12.4.16) sono le equazioni dei telegrasti nel dominio dei fasori. Si osservi come nel dominio dei fasori, le equazioni dei telegrasti perdono la dipendenza dal tempo t: ciò d'altra parte, era prevedibile dato che un numero complesso è per denizione indipendente dal tempo t. Le espressioni in (12.4.15) e (12.4.16) possono essere riscritte come segue: d V̇ (x) = −Z̄l I˙ (x) dx (12.4.17) d ˙ I (x) = −Ȳt V̇ (x) dx (12.4.18) Z̄l = r + jω l (12.4.19) Ȳt = g + jω c (12.4.20) essendo: l' l' impedenza longitudinale ammettenza trasversale unità di lunghezza. e della linea di trasmissione. E' ovvio che sono grandezze per Le equazioni in (12.4.17) e (12.4.18) costituiscono un sistema di equazioni dierenziali e fasoriali. Per determinare una soluzione di tale sistema bisogna specicare le condizioni al con- torno, note anche come condizioni di chiusura della linea di trasmissione. Si tratta quindi di risolvere il problema: d ˙ (12.4.21.1) dx V̇ (x) = −Z̄l I (x) d ˙ (12.4.21.2) dx I (x) = −Ȳt V̇ (u) condizioni al contorno Le incognite (12.4.21) ˙ V̇ (x) e I(x) sono accoppiate, il ché rende il problema di dicile risoluzione. Il modo per rendere più semplice il problema è quello di disaccoppiare le incognite: ciò è possibile incrementando l'ordine di derivazione delle equazioni in (12.4.21). A seguito dell'incremento dell'ordine di derivazione si allarga inevitabilmente l'insieme delle soluzioni del problema. Derivando rispetto a x l'equazione in (12.4.21.1) si ricava: d ˙ d2 V̇ (x) = −Z̄l I (x) dx2 dx Sostituendo (12.4.21.2) in (12.4.22) si ricava: 446 (12.4.22) 12 Linee di trasmissione d d2 V̇ (x) = Z̄l Ȳt V̇ (x) 2 dx dx (12.4.23) Derivando rispetto a x l'equazione in (12.4.21.2) si ricava: d2 ˙ d I (x) = −Ȳt V̇ (x) 2 dx dx (12.4.24) Sostituendo (12.4.21.1) in (12.4.24) si ricava: d2 ˙ d ˙ I (x) = Z̄l Ȳt I (x) 2 dx dx (12.4.25) γ̇ 2 = Z̄l Ȳt (12.4.26) Ponendo: le equazioni in (12.4.23) e (12.4.25) si scrivono: d d2 V̇ (x) = γ̇ 2 V̇ (x) 2 dx dx (12.4.27) d2 ˙ d ˙ I (x) = γ̇ 2 I (x) 2 dx dx (12.4.28) Note queste ultime due equazioni il problema in (12.4.21) diventa: 2 d 2 (12.4.29.1) dx2 V̇ (x) = γ̇ V̇ (x) 2 d ˙ 2 ˙ I (x) = γ̇ I (x) (12.4.29.2) dx2 condizioni al contorno (12.4.29) Integrando le equazioni, il problema in (12.4.29) si scrive: −γ̇ x + V̇ eγ̇ x − V̇ (x) = V̇+ e I˙ (x) = I˙+ e−γ x + I˙− eγ̇x condizioni al contorno (12.4.30.1) (12.4.30.2) (12.4.30) La quantità: γ̇ = si chiama p γ̇ 2 = parametro di propagazione. −1 . Visto che misura in m γ̇ p (r + jω l) (g + jω c) Come suggeriscono le equazioni in (12.4.30) esso si è una funzione complessa della pulsazione γ̇ = α (ω) + j β (ω) essendo α (ω) il (12.4.31) parametro di attenuazione e β (ω) il parametro di fase. Il termine 447 ω si può scrivere: (12.4.32) 12 Linee di trasmissione V̇+ e−γ̇ x si chiama onda progressiva di tensione, mentre il termine V̇− eγ̇ x si chiama onda regressiva di tensione. (12.4.33) Analogamente il termine I˙+ e−γ̇ x si chiama onda progressiva di corrente, mentre il termine I˙− eγ̇ x si chiama onda regressiva di corrente. I termini V̇+ , V̇− , I˙+ , I˙− sono costanti complesse da determinare se si conoscono le condizioni al contorno. I risultati in (12.4.30.1) e (12.4.30.2) sono soluzioni delle equazioni in (12.4.29.1) e (12.4.29.2). In realtà visto che l'insieme delle soluzioni del problema in (12.4.29) è più ampio dell'insieme delle soluzioni del problema in (12.4.21), non è detto che risultati in (12.4.30.1) e (12.4.30.2) sono anche soluzioni delle equazioni in (12.4.21.1) e (12.4.21.2). Sostituendo (12.4.30.1) e (12.4.30.2) in (12.4.21.1) o (12.4.21.2) si ricavano le condizioni per cui ciò avviene; sostituendo (12.4.30.1) e (12.4.30.2) in (14.4.21.1) si ricava: d V̇ (x) = −Z̄l I˙ (x) dx ⇓ d V̇+ e−γ̇ x + V̇− eγ̇ x = −Z̄l I˙+ e−γ̇ x + I˙− e−γ̇ x dx ⇓ −γ̇ V̇+ e−γ̇ x + γ̇ V̇− eγ̇ x = −Z̄l I˙+ e−γ̇ x − Z̄l I˙− e−γ̇ x ⇓ Visto che e−γ̇ x , e −γ̇ V̇+ + Z̄l I˙+ eγ̇ x + γ̇ V̇− + Z̄l I˙− e−γ̇ x = 0̇ eγ̇ x sono positivi per ogni x, anchè venga fericata l'equazione in (12.4.34) occorre che valgono le condizioni: −γ̇ V̇+ + Z̄l I˙+ = 0̇ γ̇ V̇− + Z̄l I˙− = 0̇ 448 (12.4.34) 12 Linee di trasmissione Queste ultime due relazioni si posssono scrivere meglio come segue: γ̇ I˙+ = V̇+ Z̄l (12.4.35) γ̇ I˙− = − V̇− Z̄l (12.4.36) Attraverso le relazioni in (12.4.35) e (12.4.36) stiamo trovando che in realtà le costanti da determinare non sono quattro (V̇+ , V̇− , le costanti I˙+ , I˙− V̇− , I˙+ , I˙− ), bensì due: conoscendo lecostanti V̇+ , sono univocamente determinate. La quantità: γ̇ Z̄l Essa si indica con il simboloȲc e si chiama ha la dimensione di una ammettenza. ammettenza caratteristica della linea di trasmissione. Si ha facilemente che essa vale: γ̇ Ȳc = = Z̄l s s s p Z̄l Ȳt Z̄l Ȳt Ȳt g + jω c = = = 2 r + jω l Z̄l Z̄l Z̄l (12.4.37) L'inverso dell'ammettenza caratteristica della linea di trasmissione si chiama caratteristica Z̄c Z̄l Z̄l Z̄c = = =p γ̇ Z̄l Ȳt Le quantità impedenza della linea di trasmissione: γ̇ , Z̄c e Ȳc si chiamano lizzando il parametro secondario Z̄c s Z̄l2 = Z̄l Ȳt s Z̄l = Ȳt parametri secondari s r + jω l g + jω c (12.4.38) della lineadi trasmissione. Uti- , le relazioni in (12.4.35) e (12.4.36) si scrivono: 1 V̇+ I˙+ = Z̄c 1 I˙− = − V̇− Z̄c (12.4.39) (12.4.40) Utilizzando i risultati in (12.4.39) e (12.4.40) è chiaro che il problema in (12.4.30) diventa: −γ̇ x + V̇ eγ̇ x − V̇ (x) = V̇+ e 1 −γ x ˙ − Z̄1 V̇− eγ̇x I (x) = Z̄ V̇+ e c c condizioni al contorno (12.4.41.1) (12.4.41.2) Per risolvere il problema in (12.4.41) basta determinare le costanti minare le costanti V̇+ e V̇− (12.4.41) V̇+ e V̇− . Per deter- occorre specicare le condizioni al contorno ossia le condizioni di chiusura della linea di trasmissione. Nell'ipotesi che la linea di trasmissione sia di lunghezza nita x = L, queste relazioni si ricavano banalmente se teniamo conto del fatto che la linea di trasmissione viene 449 12 Linee di trasmissione Figura 12.4.1: linea di trasmissione di lunghezza nita L alimentata da un bipolo Thevenin (serie tra il generatore ideale mentre risulta chiuso da un carico Z̄u V̇g e l'impedenza Żg ), come mostrato in Figura 12.4.1 Facendo riferimento al circuito mostrato in Figura 12.4.1 è evidente che le condizioni al contorno sono: V̇g − Z̄g I˙ (0) = V̇ (0) (12.4.42) − Z̄u I˙ (L) = V̇ (L) (12.4.43) Note queste ultime relazioni è chiaro che il problema in (12.4.41) si riscrive come segue: V̇ (x) = V̇+ e−γ̇ x + V̇− eγ̇ x I˙ (x) = 1 V̇ e−γ x − 1 V̇ eγ̇x Z̄c + Z̄c − ¯ V̇g − Z̄g I (0) = V̄ (0) −Z̄ I˙ (L) = V̇ (L) u Prima di determinare le costanti complesse azioni. V̇+ e (12.4.44.1) (12.4.44.2) V̇− (12.4.44) doverose sono alcune consider- Sappiamo già che il parametro di propagazione è una funzione complessa del- la pulsazione ω che si pèuò esprimere in termini del parametro di attenuazione e del parametro di fase: γ̇ = α (ω) + j β (ω) (12.4.45) Le costanti complesse si possono esprimere utilizzando la notazione polare: V̇+ = V+ ejϕ+ (12.4.46) V̇− = V− ejϕ− (12.4.47) Inserendo (12.4.45), (12.4..46) e (12.4.47) in (12.4.41.1) si ricava: V̇ (x) = V+ ejϕ− e−(α(ω)+jβ(ω)) x + V− ejϕ− e(α(ω)+jβ(ω)) x 450 12 Linee di trasmissione ⇓ V̇ (x) = V+ e−α(ω)x ej (−β(ω)x+ϕ+ ) + V− eα(ω)x ej (β(ω)x+ϕ− ) (12.4.48) La (12.4.48) nel dominio del tempo conduce all'espressione della tensione di linea v (x, t) nel caso di regime sinusoidale: n o v (x, t) = Re V̇ (x) ejωt = = Re n o V+ e−α(ω)x ej (−β(ω)x+ϕ+ ) + V− eα(ω)x ej (β(ω)x+ϕ− ) ejωt = n o n o = V+ e−α(ω)x Re ej (ωt−β(ω)x+ϕ+ ) + V− eα(ω)x Re ej (ωt+β(ω)x+ϕ− ) = = V+ e−α(ω)x cos ωt − β (ω) x + ϕ+ + V− eα(ω)x cos ωt + β (ω) x + ϕ− (12.4.49) Osservando che si può scrivere: ωt − β (ω) x = −β (x) x − ω t = −β (ω) (x − u t) β (ω) ω ωt + β (ω) x = β (x) x + t = β (ω) (x + u t) β (ω) (12.4.50) (12.4.51) essendo: u= la ω β (ω) (12.4.52) velocità di fase, la (12.4.49) si può porre come segue: o n v (x, t) = Re V̇ (x) ejωt = = V+ e−α(ω)x cos −β (ω) (x − u t) + ϕ+ +V− eα(ω)x cos β (ω) (x + u t) + ϕ− (12.4.53) E' evidente a questo punto che V+ e−α(ω)x cos −β (ω) (x − u t) + ϕ+ è un'onda progressiva di tensione, mentre V− eα(ω)x cos β (ω) (x + u t) + ϕ− è un'onda regressiva di tensione. 451 (12.4.54) 12 Linee di trasmissione Analogamente si trova l'espressione della corrente di linea nel caso di regime sinusoidale: n o i (x, t) = Re I˙ (x) ejωt = = V V+ −α(ω)x e cos −β (ω) (x − u t) + ϕ+ − − eα(ω)x cos β (ω) (x + u t) + ϕ− Z̄c Z̄c (12.4.55) 12.4.3 I parametri secondari nel caso di linea di trasmissione non distorcente Il parametro di propagazione nel caso di linea di trasmissione non distorcente si scrive: p p γ̇ = γ̇ 2 = (r + jω l) (g + jω c) = r g r l + jω c + jω = l c q p = l c (σ + jω) c (σ + jω) = l c (σ + jω)2 ovvero: √ γ̇ = l c (σ + jω) (12.4.56) Dalla (12.4.56) risulta evidente che il parametro di attenuazione nel caso di linea non distorcente è √ α (ω) = lcσ (12.4.57) mentre il parametro di fase è: √ β (ω) = lcω = ω u (12.4.58) Attraverso (11.4.57) stiamo trovando che il parametro di attenuazione non dipende dalla pulsazione ω e ciò vuol dire che una linea di trasmissione non distorcente attenua i segnali tutti allo stesso modo ; in altri termini ciò vuol dire che non introduce distorsione di ampiezza. Dalla (11.4.58) risulta evidente che il parametro di fase risulta proporzioale alla pulsazione ω e ciò equivale a dire che la linea non introduce distorsione di fase. L'impedenza caratteristica per una linea di trasmissione non distorcente si scrive: s Z̄c = r + jω l = g + jω c s l c r l g c r + jω l = = Rc c + jω (12.4.59) Secondo (12.4.59) l'impedenza caratteristica per una linea di trasmissione non distorcente risulta puramente reale, cioè una resistenza Rc . 452 12 Linee di trasmissione 12.4.4 Impedenza di linea e coecienti di riessione Il rapporto tra la tensione di linea data in (12.4.44.1) e la corrente di linea data in (12.4.44.2), denisce l' impedenza di linea Z̄ (x) nel punto della linea di ascissa x: Z̄ (x) = V̇ e−γ̇ x + V̇− eγ̇ x V̇ (x) = + V̇+ −γ̇ x V̄ I˙ (x) e − Z̄− eγ̇ x Z̄ c Il reciproco di Z̄ (x) c ammettenza di linea Ȳ (x) nel punto di ascissa x: è ovviamente l' Ȳ (x) = Si chiama (12.4.60) coeciente di riessione Γ̄V 1 Z̄ (x) (12.4.61) della tensione all'ascissa x, il rapporto tra l'onda regressiva di tensione e l'onda progressiva di tensione: Γ̄V (x) = Si chiama V̇− eγ̇ x = V̇+ e−γ̇ x V̇− V̇+ e2γ̇ x (12.4.62) coeciente di riessione Γ̄I della corrente all'ascissa x, il rapporto tra l'onda regressiva di corrente e l'onda progressiva di corrente: V̇ Γ̄I (x) = − Z̄− eγ̇ x C V̇+ −γ̇ x e Z̄c =− V̇− V̇+ e2γ̇ x (12.4.63) Confrontando (12.4.62) con (12.4.63) è chiaro che vale la relazione: Γ̄I (x) = −Γ̄V (x) Osservazione. Valurtando (12.4.62) in x = x1 Γ̄V (x1 ) = Analogamente per x = x2 V̇− V̇+ (12.4.64) si ottiene: e2γ̇ x1 (12.4.65) e2γ̇ x2 (12.4.66) si ottiene: Γ̄V (x2 ) = V̇− V̇+ Dalla (11.4.66) si trova facilmete che: V̇− V̇+ = Γ̄V (x2 ) e−2γ̇ x2 (12.4.67) Sostituendo (12.4.67) in (12.4.65) si ricava la relazione: Γ̄V (x1 ) = Γ̄V (x2 ) e2γ̇ (x2 −x1 ) 453 (12.4.68) 12 Linee di trasmissione Essendo e2γ̇ (x2 −x1 ) 6= 0 ∀ (x1 , x2 ) con x1 6= x2 risulta ovvio che se risulta: Γ̄V (x1 ) = 0 Z̄ (x)deve necessariamente essere: Γ̄V (x2 ) = 0 Moltiplicando numeratore e denominatore dell'impedenza di linea eγ̇ x si riesce ad esprimere V̇+ Z̄ (x) in termini di Z̄ (x) = eγ̇ x V̇+ eγ˙x V̇+ Z̄ (x) per il termine Γ̄V (x) = 0: V̇+ e−γ̇ x + V̇− eγ̇ x V̇+ −γ̇ x e Z̄c − V̄− γ̇ x e Z̄c = V̇− 2γ̇ x 1 + V̇ e 1 + Γ̄V (x) + = Z̄c = V̄ 1 − Γ̄V (x) 1 1 − V̇− e2γ̇ x Z̄ c + ovvero: Z̄ (x) = Z̄c Si chiama 1 + Γ̄V (x) 1 − Γ̄V (x) (12.4.69) impedenza normalizzata Z̄n (x) rispetto all'impedenza caratteristica, l'espres- sione: Z̄n (x) = Si osservi che se Γ̄V (x) = 0, Z̄ (x) 1 + Γ̄V (x) = Z̄c 1 − Γ̄V (x) (12.4.70) Z̄ (x) =1 Z̄c (12.4.71) allora: Z̄n (x) = Ciò vuol dire che in qualunque ascissa x della linea, l'impedenza della linea Z̄ (x), risulta pari all'impedenza caratteristica della linea: Z̄n (x) = Z̄c Dalla denizione in (12.4.62), è evidente che (12.4.72) Γ̄V (x) = 0 se e solo se l'onda regressiva risulta nulla V̇− = 0̇ In tal caso la linea di trasmissione si dice adattata. (12.4.73) Nella prossima sezione ci occuper- emo nel dettaglio della linea di trasmissione adattata. 454 12 Linee di trasmissione 12.4.5 Linea di trasmissione adattata Una linea di trasmissione di lunghezza nita L come quella mostrata in Figura 12.4.2 è denita dal sistema di equazioni: V̇ (x) = V̇+ e−γ̇ x + V̇− eγ̇ x I˙ (x) = 1 V̇ e−γ x − 1 V̇ eγ̇x + − (12.4.74.1) (12.4.74.2) V̇g − Z̄g I¯ (0) = V̄ (0) Z̄ I˙ (L) = V̇ (L) (12.4.74.3) (12.4.74.4) Z̄c Z̄c u (12.4.74) Figura 12.4.2: linea di trasmissione di lunghezza nita L. La linea di trasmissione si dice adattata, sel'onda regressiva di tensione o equivalentemente di corrente risulta identicamente nulla. Come suggeriscono le equazioni in V̇− = 0. carico Z̄u anchè (12.4.74.1) e (12.4.74.2) ciò avviene se risulta Possiamo ottenere una condizione sul avvenga V̇− = 0. Per x=L l'equazione in (12.4.74.1) si scrive: V̇ (L) = V̇+ e−γ̇ L + V̇− eγ̇ L (12.4.75) mentre l'equazione in (12.4.74.2) si scrive: 1 1 I˙ (L) = V̇+ e−γ L − V̇− eγ̇L Z̄c Z̄c quest'ultima si può scrive pure come segue: Z̄c I˙ (L) = V̇+ e−γ L − V̇− eγ̇L Sottraendo alla (12.4.75) la (12.4.76) si ricava: V̇ (L) − Z̄c I˙ (L) = 2 V̇− eγ̇ L da cui si ottiene l'espressione di V̇− : V̇− = 1 V̇ (L) − Z̄c I˙ (L) e−γ̇L 2 455 (12.4.76) 12 Linee di trasmissione Anchè possa essere V̇− = 0 occorre che sia: V̇ (L) − Z̄c I˙ (L) = 0 Da cui si ricava facilmente che Z̄u = V̇ (L) = Żc I˙ (L) (12.4.77) La (12.4.77) è nota con il nome di adattamento del carico. trasmissione adattata l'impedenza della linea Z̄ (x) Nel caso di linea di denita in (12.4.60) diventa: Z̄ (x) = Z̄c (12.4.78) Ciò vuol dire che per qualunque ascissa x della linea, l'impedenza vista tra i due conduttori della linea è sempre pari a Z̄c . Se vale l'espressione in (12.4.78) è chiaro che l'impedenza normalizzata data in (12.4.70) diventa: Z̄n (x) = 1 (12.4.79) L'equazione in (12.4.70) fornisce pure la relazione: 1 + Γ̄V (x) =1 1 − Γ̄V (x) Quest'ultima equazione implica che il coeciente di riessione della tensione deve è nullo: Γ̄V (x) = 0 (12.4.80) 12.4.6 Rappresentazione della linea mediante la sintassi dei doppi bipoli 12.4.6.1 Rappresentazione attraverso la matrice di trasmissione diretta La linea di trasmissione mostrata in Figura 12.4.2 è equivalante al doppio bipolo mostrato in Figura 11.1.32 purchè si pone: V̇1 = V̇ (0) I˙ = I˙ (0) 1 V̇2 = V̇ (L) −I˙ = I˙ (L) 2 (12.4.81) Sotto queste ipotesi allora è possibile fare rifermento al circuito mostrato in Figura 12.4.3. Utilizzando le posizioni in (12.4.81), il sistema di equazioni dato in (12.4.74) si scrive: V̇ (x) = V̇+ e−γ̇ x + V̇− eγ̇ x I˙ (x) = 1 V̇ e−γ x − 1 V̇ eγ̇x Z̄c + Z̄c − ˙ V̇g − Z̄g I1 = V̇1 −Z̄ I˙ = V̇ u 2 2 456 (12.4.82.1) (12.4.82.2) (12.4.82.3) (12.4.82.4) (12.4.82) 12 Linee di trasmissione Figura 12.4.3: linea di trasmissione di lunghezza nita L. Per x=L le equazioni in (12.4.82.1) e (12.4.82.2) si scrivono: V̇2 = V̇+ e−γ̇ L + V̇− eγ̇ (12.4.83) − I˙2 Z̄c = V̇+ e−γ L − V̇− eγ̇L (12.4.84) Sommando membro a membro le equazioni in (12.4.83) e (12.4.84) si ottiene l'espressione della costante complessa V̇+ : V̇2 − I˙2 Z̄C = 2 V̇+ e−γ̇ L =⇒ =⇒ V̇+ = 1 V̇2 − I˙2 Z̄C eγ̇ L 2 (12.4.85) Sottraendo membro a membro le equazioni in (12.4.83) e (12.4.84) si ottiene l'espressione della costante complessa V̇− : V̇2 + I˙2 Z̄C = 2 V̇− eγ̇ L =⇒ =⇒ V̇− = 1 V̇2 + I˙2 Z̄C e−γ̇ L 2 (12.4.86) Sostituendo (12.4.85) e (12.4.86) in (12.4.82.1) e (12.4.82.2) si ottiene: V̇ (x) = I˙ (x) = γ̇ (L−x) −e−γ̇(L−x) eγ̇ (L−x) +e−γ̇ (L−x) V̇2 + e Z̄c −I˙2 2 2 γ̇ (L−x) − γ̇ (L−x) γ̇ (L−x) − γ̇ (L−x) 1 e −e e +e ˙ V̇ + − I 2 2 2 2 Z̄c ossia: V̇ (x) = cosh [γ̇ (L − x)] V̇2 + Z̄c sinh [γ̇ (L − x)] −I˙2 I˙ (x) = 1 sinh [γ̇ (L − x)] V̇2 + cosh [γ̇ (L − x)] −I˙2 Z̄c 457 12 Linee di trasmissione In forma matriciale ovviamente si ha: Ponendo V̇ (x) I˙ (x) x=0 dal sistema in (12.4.87) si ottiene: = cosh [γ̇ (L − x)] Z̄c sinh [γ̇ (L − x)] 1 sinh [γ̇ (L − x)] cosh [γ̇ (L − x)] Z̄ c V̇1 I˙1 = cosh [γ̇ L] Z̄c sinh [γ̇ L] 1 sinh [γ̇ L] cosh [γ̇ L] Z̄ c V̇2 −I˙2 V̇2 −I˙2 (12.4.87) (12.4.88) essendo h i Ȧ Ḃ Ṫ = = Ċ Ḋ cosh [γ̇ L] Z̄c sinh [γ̇ L] 1 sinh [γ̇ L] cosh [γ̇ L] Z̄ (12.4.89) c la matrice di trasmissione diretta della linea di trasmissione di lunghezza nita L. E' intuitivo pensare che la linea di trasmissione rappresenta un doppio bipolo simmetrico. Questo fatto si prova subito poichè la matrice di trasmissione diretta data in (12.4.89) soddisfa le condizioni di simmetria: ( ȦḊ − Ḃ Ċ = 1 Ȧ = Ḋ (12.4.90) Risolvendo il sistema: " # " V̇1 = I˙ 1 cosh [γ̇ L] Z̄c sinh [γ̇ L] 1 sinh [γ̇ L] cosh [γ̇ L] Z̄ #" c V̇2 −I˙2 # V̇g − Z̄g I˙1 = V̇1 −Z̄ I˙ = V̇ u 2 (12.4.91) 2 si determinano univocamente tensione e corrente a inizio linea e a ne linea. 12.4.6.2 Rappresentazione attraverso la matrice di trasmissione inversa Per x=0 le equazioni in (12.4.82.1) e (12.4.82.2) si scrivono: V̇1 = V̇+ + V̇− (12.4.92) I˙1 Z̄c = V̇+ − V̇− (12.4.93) Sommando membro a membro le equazioni in (12.4.92) e (12.4.93) si ottiene l'espressione della costante complessa V̇+ : V̇1 + I˙1 Z̄C = 2 V̇+ =⇒ =⇒ V̇+ = 1 V̇1 + I˙1 Z̄C 2 458 (12.4.94) 12 Linee di trasmissione Sottraendo membro a membro le equazioni in (12.4.92) e (12.4.93) si ottiene l'espressione della costante complessa V̇− : V̇1 − I˙1 Z̄C = 2 V̇− =⇒ =⇒ V̇− = 1 V̇1 − I˙1 Z̄C 2 (12.4.95) Sostituendo (12.4.94) e (12.4.95) in (12.4.82.1) e (12.4.82.2) si ottiene: ( γ̇ x −γ̇ x γ̇ x −γ̇ x V̇ (x) = e +e V̇1 − e −e Z̄c I˙1 2 2 γ̇ x − γ̇ x γ̇ x −γ̇ x I˙ (x) = − Z̄1 e −e V̇1 + e +e I˙1 2 2 c ossia: ( V̇ (x) = cosh [γ̇ x] V̇1 − Z̄c sinh [γ̇ x] I˙1 I˙ (x) = − Z̄1 sinh [γ̇ x] V̇1 + cosh [γ̇ x] I˙1 c In forma matriciale ovviamente si ha: Ponendo V̇ (x) I˙ (x) x=L = − Z̄1 c cosh [γ̇ x] −Z̄c sinh [γ̇ x] sinh [γ̇ (L − x)] cosh [γ̇ x] V̇1 I˙1 (12.4.96) dal sistema in (12.4.96) si ottiene: V̇2 −I˙2 = cosh [γ̇ L] −Z̄c sinh [γ̇ L] 1 − Z̄ sinh [γ̇ L] cosh [γ̇ L] c V̇1 I˙1 (12.4.97) essendo h 0 i Ȧ0 Ṫ = 0 Ċ 0 Ḃ 0 Ḋ = cosh [γ̇ L] −Z̄c sinh [γ̇ L] 1 − Z̄ sinh [γ̇ L] cosh [γ̇ L] (12.4.98) c la matrice di trasmissione inversa della linea di trasmissione di lunghezza nita L. Visto che la linea di trasmissione è un doppio bipolo simmetrico, ammette sia la rappresentazione che fa uso della matrice di trasmissione diretta che quella che fa su della matrice di trasmissione inversa. Si prova immediatamente che h i h 0 i−1 Ṫ = Ṫ Infatti: −1 cosh [γ̇ L] −Z̄c sinh [γ̇ L] = − Z̄1 sinh [γ̇ L] cosh [γ̇ L] c t 1 cosh [γ̇ L] sinh [γ̇ L] 1 Z̄ c = = cosh2 [γ̇ L] − sinh2 [γ̇ L] Z̄c sinh [γ̇ L] cosh [γ̇ L] h i cosh [γ̇ L] Z̄c sinh [γ̇ L] = = Ṫ 1 sinh [γ̇ L] cosh [γ̇ L] Z̄ h 0 i−1 = Ṫ c 459 (12.4.99) 12 Linee di trasmissione 12.4.6.3 Rappresentazione attraverso la matrice delle impedenze E' possibile determinare la rappresentazione attraverso la matrice delle impedenze a partire dalla rappresentazione attraverso la matrice di trasmissione inversa. Le equazioni in (12.4.97) in forma scalare si scrivono come segue: ( ˙ V̇2 = cosh [γ̇ L] V̇1 − Z̄c sinh [γ̇ L] h I1 i −I˙2 = − 1 sinh [γ̇ L] V̇1 + cosh γ ˙L I˙1 (12.4.100) Z̄c Vistoche la matrice delleimpedenzeprevede la orrente bisogna moltiplicare per −1 I˙2 entrante nel doppio bipolo, la seconda equazione del sistema in (12.4.100): ( V̇2 = cosh [γ̇ L] V̇1 − Z̄c sinh h[γ̇ L]iI˙1 I˙2 = 1 sinh [γ̇ L] V̇1 − cosh γ ˙L I˙1 (12.4.101.1) (12.4.101) (12.4.101.2) Z̄c Dal sistema in (12.4.101) si ricava la rappresentazione attraverso la matrice delle impedenze purchè si espimano le tensioni (12.4.101.2) si ricava la tensione V̇1 V̇1 e V̇2 in funzione delle correnti in funzione delle correnti V̇1 = Z̄c coth [γ̇ L] I˙1 + Z̄c e e I˙1 e I˙2 . Dalla I˙2 : 1 I˙2 sinh [γ̇ L] (12.4.102) V̇1 in funzione delle correnti Inserendo (12.4.102) in (12.4.101.1) si ricava la tensione I˙1 I˙1 I˙2 : V̇2 = Z̄c 1 [γ̇ L] I˙1 + Z̄c coth [γ̇ L] I˙2 sinh [γ̇ L] (12.4.103) Le equazioni in (12.4.102) e (12.4.103) si possono compattare come segue: V̇1 V̇2 " = Z̄c coth [γ̇ L] 1 sinh[γ̇ L] 1 sinh[γ̇ L] coth [γ̇ L] # I˙1 I˙2 (12.4.104) L'espressione in (12..4.104) è la rappresentazione della linea di trasmissione attraverso la matrice delle impedenze: " # h i Ż coth [γ̇ L] sinh[1γ̇ L] I˙1 11 Ż12 Ż = = Z̄c 1 coth [γ̇ L] Ż21 Z˙22 I˙2 sinh[γ̇ L] (12.4.105) 12.4.6.4 Rappresentazione attraverso la matrice delle ammettenze Invertendo la (12.4.105) si determina in maniera immediata la matrice delle ammettenze: h i h i−1 Ẏ = Ż = " 1 n Z̄c2 coth2 [γ̇ L] − 1 sinh [γ̇ L] 2 460 o Z̄c coth [γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] coth [γ̇ L] #t = 12 Linee di trasmissione " 1 = Z̄c n cosh2 [γ̇ L]−1 sinh2 [γ̇ L] 1 = Z̄c " o coth [γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] coth [γ̇ L] coth [γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] coth [γ̇ L] # = # (12.4.106) Quindi la rappresentazione della linea di trasmissione attraverso la matrice delle ammettenze è la seguente: I˙1 I˙2 " 1 = Z̄c coth [γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] coth [γ̇ L] # V̇1 V̇2 (12.4.107) Le rappresentazioni in (12.4.104) e (12.4.107) permettono di desrivere la linea di trasmissione mostrata in Figura 12.4.3 con due circuiti equivalenti. In particolare la rap- circuito equivalente a T circuito equivalente a Π. presentazione in (12.4.104) porta al in (12.4.107) porta al 12.4.6.5 Circuito equivalente a mentre la rappresentazione T La rappresentazione in (12.4.104) in forma scalare si scrive: ( V̇1 = Z̄c coth [γ̇ L] I˙1 + Z̄c sinh[1γ̇ L] I˙2 V̇2 = Z̄c 1 I˙1 + Z̄c coth [γ̇ L] I˙2 (12.4.108) sinh[γ̇ L] Le equazioni in (12.4.108) si possono scrivere pure come segue: ( V̇1 = Z̄c coth [γ̇ L] I˙1 − V̇2 = Z̄c I˙1 + Z̄c sinh[γ̇ L] Z̄c ˙ sinh[γ̇ L] I1 + Z̄c ˙ sinh[γ̇ L] I2 + ˙ + Z̄c coth [γ̇ L] I˙2 − sinh[γ̇ L] I2 Z̄c ˙ sinh[γ̇ L] I1 Z̄c ˙ sinh[γ̇ L] I2 ossia: n o n o Z̄c 1 ˙ ˙ ˙ V̇1 = Z̄c coth [γ̇ L] − I1 + sinh[γ̇ L] I1 + I2 n osinh[γ̇ L]n o Z̄ 1 c V̇2 = I˙1 + I˙2 + Z̄c coth [γ̇ L] − I˙2 sinh[γ̇ L] (12.4.109) sinh[γ̇ L] Tenendo conto che vale l'identità: coth δ − 1 δ = tanh sinh δ 2 le equazioni in (12.4.109) si scrivono: h i n o ˙1 + I˙2 V̇1 = Z̄c tanh γ̇ L I˙1 + Z̄c I n2 o sinh[γ̇ L] h i γ̇ L ˙ ˙ ˙ V̇2 = Z̄c I2 2 sinh[γ̇ L] I1 + I2 + Z̄c tanh Denendo le impedenze: 461 (12.4.110) 12 Linee di trasmissione Z̄a = Z̄c tanh Z̄b = Z̄c γ̇ L 2 (12.4.111) 1 sinh [γ̇ L] (12.4.112) le equazioni in (12.4.110) si scrivono: o n V̇1 = Z̄a I˙1 + Z̄b I˙1 + I˙2 n o V̇2 = Z̄b I˙1 + I˙2 + Z̄a I˙2 (12.4.113) Le equazioni in (12.4.113) conducono al circuito equivalente a T mostrato in Figura 12.4.4: Figura 12.4.4: circuito equivalente a 12.4.6.6 Circuito equivalente a T Π La rappresentazione in (12.4.107) in forma scalare si scrive: ( I˙1 = Z̄1 coth [γ̇ L] V̇1 − Z̄1 sinh[1γ̇ L] V̇2 c C I˙2 = − Z̄1 sinh[1γ̇ L] V̇1 + Z̄1 coth [γ̇ L] V̇2 c (12.4.114) c Le equazioni in (12.4.114) si possono scrivere pure come segue: ( I˙1 = Z̄1 coth [γ̇ L] V̇1 − Z̄1 sinh[1γ̇ L] V̇1 − Z̄1 sinh[1γ̇ L] V̇2 + Z̄1 sinh[1γ̇ L] V̇1 c c c c I˙2 = − Z̄1 sinh[1γ̇ L] V̇1 + Z̄1 sinh[1γ̇ L] V̇2 + Z̄1 coth [γ̇ L] V̇2 − Z̄1 sinh[1γ̇ L] V2 c c c c ossia: I˙1 = n o n o coth [γ̇ L] − sinh[1γ̇ L] V̇1 + Z̄1 sinh[1γ̇ L] V̇1 − V̇2 n o n c o 1 1 1 I˙2 = − 1 V̇ − V̇ + coth [ γ̇ L] − 1 2 sinh[γ̇ L] V̇2 Z̄ sinh[γ̇ L] Z̄ 1 Z̄c c c Tenendo conto che vale l'identità: 462 (12.4.115) 12 Linee di trasmissione coth δ − 1 δ = tanh sinh δ 2 le equazioni in (12.4.115) si scrivono: I˙1 = 1 Z̄c tanh I˙2 = − 1 Z̄ c h i γ̇ L 2 nV̇1 1 sinh[γ̇ L] + V̇1 − n o 1 1 V̇2 sinh[γ̇ L] V̇1 − Z̄c o h i γ̇ V̇2 + Z̄1 tanh 2L V̇2 c (12.4.116) Denendo le ammettenze: 1 γ̇ L Ȳa = tanh 2 Z̄c Ȳb = (12.4.117) 1 1 Z̄c sinh [γ̇ L] (12.4.118) le equazioni in (12.4.116) si scrivono: n o I˙1 = Ȳa V̇1 + Ȳb V̇1 − V̇2 n o I˙2 = −Ȳb V̇1 − V̇2 + Ȳa V̇2 (12.4.119) Le equazioni in (12.4.113) conducono al circuito equivalente a Π mostrato in Figura 12.4.5: Figura 12.4.5: circuito equivalente a T 12.4.6.7 Linea di trasmissione corta I circuiti equivalenti a T e a Π sono di dicile realizzazione nel caso generale di linea di trasmissione in quanto non risulta possibile realizzare le impedenze denite in (12.4.111) e (12.4.112) ( o le ammettenze denite in (12.4.117) e (12.4.118)) utilizzando solo elementi a parametri concentrati, perchè questi presentano fattori iperbolici. I circuiti equivalenti a T e a Π sono molto utili nel caso di Per una linea di trasmissione corta infatti le impedenze linea di trasmissione corta. Z̄a , Z̄b o le ammettenze possono realizzare utilizzando elementi a parametri concentrati. 463 Ȳa , Ȳb si 12 Linee di trasmissione Una linea di trasmissione di lunghezza nita Lcome quella mostrata in Figura 12.4.3 si dice corta se risulta: |γ̇ L| << 1 Nel caso di linea di trasmissione corta, limpedenza (12.4.120) Z̄a denita in (12.4.111) si scrive: Z̄l γ̇ L L γ̇ L γ̇ L ' Z̄c = = Z̄l Z̄a = Z̄c tanh 2 2 γ̇ 2 2 mentre l'impedenza Z̄b (12.4.121) denita in (12.4.112) si scrive: Z̄b = Z̄c = Analogamente le ammettenze 1 1 ' Z̄c = sinh [γ̇ L] γ̇ L Z̄l Z̄l 1 1 = = γ̇ γ̇ L Z̄l Ȳt L Ȳt L Ȳa e Ȳb (12.4.122) nel caso di linea di trasmissione corta si scrivono: Ȳa = L Ȳt 2 (12.4.123) Ȳb = 1 Z̄l L (12.4.124) 12.4.6.8 Impedenza di ingresso di una linea di trasmissione Consideriamo la linea di trasmissione di lunghezza nita L mostrata in Figura 12.4.3 e supponiamo che questa sia rappresentata dalla matrice delle impedenze. Si può assumere allora la linea di trasmisssione come un doppio bipolo e ridisegnare il circuito mostrato in Figura 12.4.3 come mostrato inFigura 12.4.6 Figura 12.4.6: linea di trasmissione di lunghezza nita L. Si vuole determinare l'impedenza d'ingresso 464 Z̄110 . 12 Linee di trasmissione Ponendo Z̄110 = Ż1 e Z̄u = Ż2 l'espressione in (11.2.9) fornisce l'espressione dell'impe- denza d'ingresso: h i det Ż + Ż11 Z̄u Ż110 == (12.4.125) Ż22 + Z̄u Da (12.4.105) si deduce facilmente che: ( Ż11 h= iŻ22 = Żc coth [γ̇ L] det Ż = Żc2 (12.4.126) Note le relazioni in (12.4.126), l'espressione in (12.4.125) si scrive: Ż110 = Żc2 + Żc Żu coth [γ̇ L] Żc coth [γ̇ L] + Z̄u (12.4.127) Tenendo conto che: coth [γ̇ L] = cosh [γ̇ L] sinh [γ̇ L] (12.4.128) l'espressione in (12.4.128) si scrive: Ż110 = Żc Żc sinh [γ̇ L] + Z̄u cosh [γ̇ L] Żc cosh [γ̇ L] + Z̄u sinh [γ̇ L] (12.4.129) Se la linea di trasmissione è di lunghezza x, allora limpedenza d'ingresso vale: Ż110 = Żc Żc sinh [γ̇ x] + Z̄u cosh [γ̇ x] Żc cosh [γ̇ x] + Z̄u sinh [γ̇ x] (12.4.130) 12.4.7 Linea di trasmisssione ideale La linea di trasmissione ideale è una linea senza perdite: r=g=0 Utilizzando (12.4.131) il parametro di propagazione γ̇ = (12.4.131) γ̇ si scrive: p p √ (r + jω l) (g + jω c) = j 2 ω 2 l c = jω l c (12.4.132) Dalla relazione in (12.4.132) si deduce che il parametro di attenuazione vale: α (ω) = 0 (12.4.133) √ β (ω) = ω l c (12.4.134) mentre il parametro di fase vale: 465 12 Linee di trasmissione Utilizzando (12.4.131) l'impedenza caratteristica vale: s Z̄c = r + jω l = g + jω c r l = Rc c (12.4.135) Utilizzando (12.4.132), (12.4.134) e (12.4.135), l'equazione in (12.4.130) si scrive: Ż110 = Rc Rc sinh [jβ (ω) x] + Z̄u cosh [jβ (ω) x] Rc cosh [jβ (ω) x] + Z̄u sinh [jβ (ω) x] Dividendo numeratore e denominatore per Ż110 = Rc cosh [jβ (ω) x], (12.4.136) si ha: Rc tanh [jβ (ω) x] + Z̄u Rc + Z̄u tanh [jβ (ω) x] (12.4.137) Tenendo conto che vale l'identità: tanh [jδ] = j tan [δ] si ha: Ż110 = Rc j Rc tan [β (ω) x] + Z̄u Rc + j Z̄u tan [β (ω) x] (12.4.138) Si osservi come l'impedenza d'ingresso per una linea di trasmissione ideale dipenda da l, c, ω e x. Fissati i parametri primari l e c e la pulsazione ω , l'impedenza d'ingresso risulta essere una funzione della lunghezza x della linea. Due casi particolarmente signicativi si Z̄ = 0 u Z̄u = +∞ . hanno quando la linea di trasmissione ideale viene chiusa con un cortocircuito oppure quando la linea di trasmissione ideale viene lasciata aperta Se Z̄u = 0 la (12.4.138) si scrive: Ż110 = j Rc tan [β (ω) x] Dividendo ambo i membri della (12.4.139) per la resistenza caratteristica (12.4.139) Rc si ottiene l'impedenza d'ingresso normalizzata Ricordando inne che β= Ż110 n = Ż110 = j tan [β (ω) x] Rc (12.4.140) 2π λ la (12.4.140) si scrive: Ż110 n Ż110 2π = j tan x = Rc λ (12.4.141) Attraverso (12.4.141) stiamo scoprendo che una linea di trasmissione ideale chiusa in cortocircuito presenta un'impedenza d'ingresso normalizzata uguale ad una reattanza che può essere capacitiva o induttiva a seconda della lunghezza x della linea di trasmissione. In Figura viene mostrato il graco dell'impedenza normalizzata indicata in (12.4.141) 466 12 Linee di trasmissione Figura 12.4.7: impedenza d'ingresso normalizzata per linea di tramissione chiusa in cortocircuito Si osservi come per 0≤x≤ λ 4 essa è induttiva, mentre per λ λ ≤x≤ 4 2 e una reattanza capacitiva. Questo fenomeno non avviene con i doppi bipoli a parametri concentrati. Se Z̄u = +∞ la (12.4.138) si scrive: Ż110 = −j Rc cot [β (ω) x] (12.4.142) Dividendo ambo i membri della (12.4.139) per la resistenza caratteristica Rc si ottiene l'impedenza d'ingresso normalizzata Ricordando inne che β= Ż110 n = Ż110 = −j cot [β (ω) x] Rc (12.4.143) 2π λ la (12.4.143) si scrive: Ż110 n Ż110 2π = = −j cot x Rc λ (12.4.144) Anche in questo caso l'impedenza d'ingresso normalizzata è una reattanza che può essere capacitiva o induttiva a seconda della lunghezza x della linea di trasmissione. In Figura viene mostrato il graco dell'impedenza d'ingresso normalizzata indicata in (12.4.144) Figura 12.4.8: impedenza d'ingresso normalizzata per linea di tramissione chiusa in cortocircuito Rispetto al caso precedente il comportamento d'ingresso normalizzata è completamente speculare. Vogliamo adesso determinare la tensione di linea e la corrente di linea per una linea di trasmissione ideale nel caso in cui questa sia chiusa con un cortocircuito Z̄u = +∞ . Z̄u = 0 implica V̇2 = 0 Z̄u = 0 o con un circuito aperto La condizione mentre la condizione Z̄u = +∞ implica I˙2 = 0. Visto che durante l'analisi dobbiamo imporre delle condizioni sulla porta 2 della linea di trasmissione possiamo rappresentarla attraverso le equazioni date in (12.4.87). Tali equazioni valgono nel caso generale e specicano i fasori della tensione di linea e della 467 12 Linee di trasmissione corrente di linea alla generica ascissa x. equazioni vanno riscritte tenedo conto che V̇ (x) I˙ (x) = Nel caso di linea di trasmissione ideale tali √ γ̇ = j β = j ω l c e Z̄c = q l c , quindi si ha: Z̄c sinh [j β (L − x)] cosh j̇ β (L − x) V̇2 1 sinh [j β (L − x)] cosh [j β (L − x)] −I˙2 Z̄c (12.4.145) ovvero ( V̇ (x) = cosh [j β (L − x)] V̇2 − Rc sinh [j β (L − x)] I˙2 I˙ (x) = R1c sinh [j β (L − x)] V̇2 − cosh [j β (L − x)] I˙2 La condizione Z̄u = 0 implica V̇2 = 0 e le equazioni in (12.4.146) si scrivono: ( V̇ (x) = −Rc sinh [j β (L − x)] I˙2 I˙ (x) = − cosh [j β (L − x)] I˙2 Tenendo conto che (12.4.146) −I˙2 = I˙ (L) le equazioni in (12.4.147) si scrivono: ( V̇ (x) = Rc sinh [j β (L − x)] I˙ (L) I˙ (x) = cosh [j β (L − x)] I˙ (L) (12.4.147) (12.4.148) Ricordando le identità ( sinh [j δ] = j sin [δ] cosh [j δ] = cos [δ] le equazioni in (12.4.148) si scrivono: ( V̇ (x) = j Rc sin [β (L − x)] I˙ (L) I˙ (x) = cos [β (L − x)] I˙ (L) Supponiamo per semplicità che (12.4.149) I˙ (L) sia a fase nulla, cioè supponiamo sia I˙ (L) = I (L) e riscriviamo le equazioni in (12.4.149): ( V̇ (x) = j Rc sin [β (L − x)] I (L) I˙ (x) = cos [β (L − x)] I (L) (12.4.150) Queste ultime nel dominio del tempo si scrivono: ( v (x, t) = Rc I (L) sin [β (L − x)] cos ωt + π2 i (x, t) = I (L) cos [β (L − x)] cos (ωt) (12.4.151) Si osservi innanzitutto che la tensione di linea e la corrente di linea sono sfasate di 90°. Notiamo pure che sono onde stazionarie, cioè onde che non si propagano al variare del tempo infatti se osserviamo le relazioni in (12.4.151) la dipendenza dal tempo t serve solo a modulare l'ampiezza della tensione e della corrente di linea. 468 12 Linee di trasmissione Figura 12.4.9: onda stazionaria Se per esempio t = t1 , x = x1 è un punto di massimoperla corrente di linea lo è anche all'istante La condizione Z̄u = +∞ t = t2 implica i (x, t) all'istante come mostrato in Figura 12.4.9 I˙2 = 0 e le equazioni in (12.4.146) si scrivono: ( V̇ (x) = cosh [j β (L − x)] V̇2 I˙ (x) = 1 sinh [j β (L − x)] V̇2 (12.4.152) Rc Tenendo conto che V̇2 = V̇ (L) le equazioni in (12.4.152) si scrivono: ( V̇ (x) = cosh [j β (L − x)] V̇ (L) I˙ (x) = R1c sinh [j β (L − x)] V̇ (L) (12.4.153) Ricordando le identità ( sinh [j δ] = j sin [δ] cosh [j δ] = cos [δ] le equazioni in (12.4.153) si scrivono: ( V̇ (x) = cos [β (L − x)] V̇ (L) I˙ (x) = j R1c sin [β (L − x)] V̇ (L) Supponiamo per semplicità che V (L) V̇ (L) (12.4.154) sia a fase nulla, cioè supponiamo sia V̇ (L) = e riscriviamo le equazioni in (12.4.154): ( V̇ (x) = cos [β (L − x)] V (L) I˙ (x) = j R1c sin [β (L − x)] V (L) (12.4.155) Queste ultime nel dominio del tempo si scrivono: ( v (x, t) = V (L) cos [β (L − x)] cos (ωt) i (x, t) = R1c V (L) sin [β (L − x)] cos ωt + π2 (12.4.156) Anche in questo caso tensione e corrente di linea sono onde stazionarie sfasate di 90° tra di loro. 12.4.8 Potenze in regime sinusoidale Una linea di trasmissione di lunghezza nita L come quella mostrata in Figura 12.4.3 è denita dal sistema di equazioni: 469 12 Linee di trasmissione V̇ (x) = V̇+ e−γ̇ x + V̇− eγ̇ x I˙ (x) = 1 V̇ e−γ x − 1 V̇ eγ̇x + − (12.4.157.1) (12.4.157.2) V̇g − Z̄g I˙ (0) = V̇ (0) Z̄ I˙ (L) = V̇ (L) (12.4.157.3) (12.4.157.4) Z̄c Z̄c u (12.4.157) La potenza complessa è denita dalla relazione: 1 Ȧ = V̇ (x) I˙ (x)∗ 2 (12.4.158) Utilizzando (12.4.157.1) e (12.4.157.2),la (12.4.158) si scrive: 1 Ȧ = V̇ (x) I˙ (x)∗ = 2 1 1 −γ̇ x γ̇ x ∗ −γ̇ ∗ x ∗ γ̇x = V̇+ e + V̇− e V̇+ e − V̇− e 2 Z̄c∗ (12.4.159) Tenendo conto delle relazioni: ( γ̇ = α + jβ Z̄c = Zc ejϕc γ̇ ∗ = α − jβ Z̄c∗ = Zc e−jϕc (12.4.160) l'espressione in (12.4.159) si scrive: Ȧ = = 1 V̇+ e−α x e−jβ x + V̇− eα x ejβ x + V̇+∗ e−α x ejβ x − V̇−∗ eα x ejβ x ejϕc = 2Zc 1 V̇+ V̇+∗ e−2α x − V̇+ V̇−∗ e−j2β x + V̇− V̇+∗ ej2β x − V̇− V̇−∗ e2α x ejϕc 2Zc (12.4.161) Tenedo conto delle relazioni: ( V̇+ = V+ ejϕ+ V̇− = V− ejϕ− V̇+∗ = e−jϕ+ V̇−∗ = V̇− e−jϕ− (12.4.162) si ha facilmente che: ( V̇+ V̇+∗ = V+2 V̇− V̇−∗ = V−2 Inoltre i numeri complessi V̇+ V̇−∗ e−j2β x e V̇− V̇+∗ ej2β x (12.4.163) sono uno il coniugato dell'altro, quindi per una nota proprietà dei numeri complessi si può scrivere: V̇+ V̇−∗ e−j2β x − V̇− V̇+∗ ej2β x = j 2Im V̇− V̇+∗ ej2β x 470 (12.4.164) 12 Linee di trasmissione Utilizzando le posizioni in (12.4.162), l'espressione in (12.4.164) si scrive: V̇+ V̇−∗ e−j2β x − V̇− V̇+∗ ej2β x = j 2Im V− V+ e−j(ϕ+ −ϕ− ) ej2β x Denendo la fase δ = ϕ+ − ϕ− , quest'ultima espressione si scrive: V̇+ V̇−∗ e−j2β x − V̇− V̇+∗ ej2β x = j 2Im V− V+ ej(2β x−δ) = = j 2V− V+ sin (2β x − δ) (12.4.165) Sostituendo i risultati in (12.4.163) e (12.4.165), l'espressione in (12.4.161) si scrive: Ȧ = 1 V+2 e−2α x − V−2 e2α x + j2V− V+ sin (2β x − δ) (cos ϕc + j sin ϕc ) 2Zc (12.4.166) Separando la parte reale da quella immaginaria si ricavano le espressioni della potenza attiva P e della potenza reattiva Q: n o 1 P = Re Ȧ = 2Zc V+2 e−2α x − V−2 e2α x cos ϕc − 2V− V+ sin (2β x − δ) sin ϕc (12.4.167) n o 1 Q = Im Ȧ = 2Zc V+2 e−2α x − V−2 e2α x sin ϕc + 2V− V+ sin (2β x − δ) cos ϕc (12.4.168) 12.4.8.1 Linea di trasmissione non distorcente Per una linea di trasmissione non distorcente si ha che sin ϕc = 0 e cos ϕc = 1, Z̄c = q l c = Rc e ciò implica che quindi per una linea di trasmissione non distorcente la potenza attiva e quella reattiva valgono rispettivamente: Pn.d. = 1 V+2 e−2α x − V−2 e2α x 2Rc (12.4.169) 1 V+ V− sin (2β x − δ) Rc (12.4.170) Qn.d. = Il pedice n.d. sta per non distorcente. La potenza attiva Pn.d. conta di due contributi di potenza: quello dovuto all'onda progressiva e quello dovuto all'onda regressiva in una certa sezione x della linea. potenza reattiva Qn.d. La è invece interpretabile come un termine di interferenza. Se la linea di trasmissione non distorcente è pure adattata (V̇− = 0), le relazioni in (12.4.169) e (12.4.70) si scrivono: Pn.d. = 1 2 −2α x V e 2Zc + Qn.d. = 0 471 (12.4.171) (12.4.172) 12 Linee di trasmissione 12.4.8.2 Linea di trasmissione adattata Se la linea di trasmissione è adattata (V̇− = 0), le relazioni in (12.4.167) e (12.4.68) si scrivono: P = 1 2 −2α x V e cos ϕc 2Zc + (12.4.173) Q= 1 2 −2α x sin ϕc V e 2Zc + (12.4.174) Consideriamo una linea di trasmissione generica caratterizzata da una impedenza Z̄c e una linea di trasmissione non distorcente caratterizzata da una resistenza caratteristica Rc . Se il modulo dell'impedenza Z̄c della linea di trasmissione generica coincide con la resistenza caratteristica della linea di trasmissione non distorcente: Zc = R c 12.4.8.3 Linea di trasmissione ideale 12.5 Linee di trasmissione in regime transitorio 12.6 Linee di trasmissione multiconduttori 12.7 Applicazioni 472 (12.4.175) 13 Problema di campo quasi stazionario 473 14 Circuiti trifase 474 15 Cenni sulle macchine elettriche 475 16 Appendice A: Teoria delle distribuzioni 476 17 Appendice B: Trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni 477 18 Appendice C: Trasformata di Laplace nel senso delle distribuzioni 478