Prova del 10-5-2017

PROVA SCRITTA DI ELETTROTECNICA DEL 10 MAGGIO 2017
Prof. Luigi Verolino
Cognome:
Nome:
Matricola:
Codice esame:
PIN:
 è l’ultima cifra non nulla della matricola:
Esercizio 1
Assumendo 𝑅 = 𝛼 e 𝑋𝐶 = 2, si determini il valore del determinante della matrice
delle impedenze per il doppio bipolo mostrato in figura.
Esercizio 2
Si determinino tutte le radici del polinomio
𝑃(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3𝑥 + 2 .
Esercizio 3
Supponendo che rete di figura sia forzata dal generatore di tensione
𝑒(𝑡) = 𝐸[1 − u(𝑡)] con 𝐸 = 𝛼 ,
si determinino le tensioni ai capi dei due condensatori in ogni istante di tempo,
assumendo che 𝑅𝐶 = 𝛼 𝑚𝑠.
Valutazione della prova scritta
Esercizio 1
Esercizio 2
Esercizio 3
Complessivo
Valutazione della prova orale
Domanda 1
Domanda 2
Domanda 3
Voto finale
Esercizio 1
Si osserva preliminarmente che, anche se nella figura non viene riportata alcuna
convenzione, verrà fatta la convenzione dell’utilizzatore ad entrambe le porte e
si supporrà che il doppio bipolo sia rappresentato dalle due relazioni
{
𝑉1 = 𝑍̇11 𝐼1 + 𝑍̇𝑀 𝐼2 ,
𝑉2 = 𝑍̇𝑀 𝐼1 + 𝑍̇22 𝐼2 .
Essendo il dispositivo in prova assegnato costituito da bipoli passivi, per la
reciprocità, si può affermare che la matrice delle impedenze è simmetrica.
Orbene, se si apre la porta secondaria, ponendo 𝐼2 = 0, e si immagina di
alimentare la rete dalla porta primaria con un generatore di corrente non nulla
𝐼1 ≠ 0, si può scrivere che
𝑍̇11 =
𝑉1
𝐼1
= 𝑅 − 𝑗𝑋𝐶 = 𝛼 − 2𝑗 , 𝑍̇𝑀 =
𝑉2
𝐼1
= −𝑗𝑋𝐶 = −2𝑗 .
Similmente, se si apre la porta primaria, ponendo 𝐼1 = 0, e si immagina di
alimentare la rete dalla porta secondaria con un generatore di corrente non
nulla 𝐼2 ≠ 0, si ottiene
𝑍̇22 =
𝑉2
𝐼2
= −2𝑗𝑋𝐶 = −4𝑗 .
In definitiva, non è difficile concludere che il determinante associato alla matrice
delle impedenze risulta pari a
𝑍̇
| 11
𝑍̇𝑀
𝛼 − 2𝑗
𝑍̇𝑀
|=|
−2𝑗
𝑍̇22
−2𝑗
| = −4 − 4𝑗𝛼 .
−4𝑗
Esercizio 2
Adoperando la regola di Ruffini, risulta immediato verificare che
𝑥 4 − 3𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 1) .
Pertanto, si conclude che le quattro radici richieste valgono
𝑥1 = 1 , 𝑥2 = 1 , 𝑥3 = −𝑗 , 𝑥4 = 𝑗 .
Esercizio 3
La rete è a regime per 𝑡 < 0, per cui i due condensatori si comportano come due
circuiti aperti e nella rete non circola alcuna corrente: le tensioni sui
condensatori sono costantemente pari ad 𝐸, sicché
𝑣1 (0) = 𝑣2 (0) = 𝐸 .
Per 𝑡 > 0, il generatore di tensione diventa un cortocircuito e risulta
{
𝑅𝑖 + 𝑣1 = 0 ,
𝑣1 = 𝑅𝑖2 + 𝑣2 ,
𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 = 𝐶 (
𝑑𝑣1 𝑑𝑣2
+
).
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Eliminando le correnti, questo sistema diventa
𝑑𝑣1 𝑑𝑣2
+
) 𝑖 + 𝑣1 = 0 ,
𝑑𝑡
𝑑𝑡
{
𝑑𝑣2
𝑣1 = 𝑅𝐶
+ 𝑣2 ,
𝑑𝑡
𝑅𝐶 (
che, nel limite per 𝑡 → 0+ , fornisce i valori delle derivate
𝑑𝑣1 (0+ )
𝐸
𝑑𝑣2 (0+ )
=−
= −1 ,
=0.
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑑𝑡
Eliminando la prima tensione
𝑣1 = 𝑅𝐶
𝑑𝑣2
+ 𝑣2 ,
𝑑𝑡
si ottiene immediatamente il seguente problema di Cauchy
𝑑 2 𝑣2
3 𝑑𝑣𝐶
𝑣𝐶
+
+
=0,
(𝑅𝐶)2
𝑑𝑡 2
𝑅𝐶 𝑑𝑡
𝑣2 (0) = 𝐸 = 𝛼 ,
𝑑𝑣2 (0+ )
=0.
{ 𝑑𝑡
Si tratta di risolvere un’equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti,
la cui equazione caratteristica
𝜆2 +
3
1
𝜆+
=0
(𝑅𝐶)2
𝑅𝐶
presenta un discriminante positivo
∆=
9
4
5
−
=
>0.
(𝑅𝐶)2 (𝑅𝐶)2 (𝑅𝐶)2
Le due radici reali e negative, pertanto, valgono
𝜆1 = −
3 + √5
−3 + √5
, 𝜆2 =
.
2𝑅𝐶
2𝑅𝐶
Segue che l’integrale generale risulta pari a
𝑣2 (𝑡) = 𝐾1 e𝜆1𝑡 + 𝐾2 e𝜆2𝑡
ed, imponendo le due condizioni iniziali, si ottiene il sistema algebrico
{
𝜆2
𝜆1
𝐾1 + 𝐾2 = 𝐸 ,
→ 𝐾1 = −
𝐸 , 𝐾2 =
𝐸,
𝜆1 𝐾1 + 𝜆2 𝐾2 = 0 ,
𝜆1 − 𝜆2
𝜆1 − 𝜆2
da cui è possibile ottenere l’andamento della tensione ai capi del secondo
condensatore
𝑣2 (𝑡) =
𝐸
𝐸
(𝜆2 e𝜆1𝑡 − 𝜆1 e𝜆2𝑡 ) =
[(5 + 3√5)e𝜆1𝑡 + (5 − 3√5)e𝜆2𝑡 ] .
𝜆2 − 𝜆1
10
Per derivazione, infine, si ottiene la tensione sul primo condensatore
𝑣1 = 𝑅𝐶
𝑑𝑣2
1
+ 𝑣2 =
[(1 − 𝛼𝜆2 )e𝜆1𝑡 − (1 − 𝛼𝜆1 )e𝜆2𝑡 ] .
𝑑𝑡
𝜆2 − 𝜆1