Trigonometria e proiezioni - Digilander

SEMPLICE TRIGONOMETRIA E PROIEZIONI
Per la trattazione dei vettori è indispensabile introdurre alcune semplici funzioni trigonometriche, cioè
funzioni che descrivono le proprietà di un triangolo attraverso i suoi angoli.
Consideriamo un triangolo rettangolo: è evidente, e lo si può dimostrare rigorosamente, che una volta fissato
l’angolo  io posso estendere il triangolo a piacere mantenendo sempre costante le proporzioni fra i suoi
rispettivi lati (cioè io posso estendere il triangolo ottenendo altri triangoli simili, vedi figura 1). Questo fa sì
che il rapporto fra i due cateti e fra i cateti e l’ipotenusa rimanga sempre costante qualunque sia
l’estensione del triangolo una volta che è fissato l’angolo . In altre parole: osservando il triangolo di
figura 1 posso affermare che:
a1/c1 = a2/c2 = a3/c3
b1/c1 = b2/c2 = b3/c3
b1/a1 = b2/a2 = b3/a3
Se chiamo:



a: il cateto adiacente a 
b: il cateto opposto a 
c: l’ipotenusa
posso affermare che: una volta che ho fissato  ho
fissato anche i rapporti b/a , a/c , b/c.
La funzione che calcola il rapporto a/b al variare di  si
chiama tangente:
tan() = b/a
(1)
Figura 1: fissato l'angolo , all'aumentare
dei lati le loro reciproche proporzioni non
cambiano. Prova a misurare i lati del triangolo con un righello e verificalo!
Quella che calcola il rapporto a/c si chiama coseno:
cos() = a/c
(2)
Quella che invece calcola il rapporto b/c si chiama seno:
sen() = b/c
(3)
In parole: dato un triangolo rettangolo:
 il seno (abbreviato sin) di un angolo  è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto
opposto all'angolo  e l'ipotenusa;
 il coseno (abbreviato cos) è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto adiacente
all'angolo  e l'ipotenusa;
 la tangente (abbreviata tan) è definita come il rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente
all’angolo .
Come già detto, il seno, il coseno e la tangente di un angolo , espresso in gradi o radianti, sono quantità che
dipendono solo da .
Funzioni inverse
Tutte e 3 le funzioni trigonometriche possiedono la funzione inversa, cioè quella funzione che, noto il
rapporto, permette di calcolare l’angolo.
La funzione che dà l’angolo  a partire dal rapporto b/a (cioè a partire dalla tangente) si chiama
arcotangente (arctan, atan, tan-1).
La funzione che dà l’angolo  a partire dal rapporto a/c (cioè a partire dal coseno) si chiama arcocoseno
(arccos, acos, cos-1).
La funzione che dà l’angolo  a partire dal rapporto b/c (cioè a partire dal seno) si chiama arcoseno (arcsen,
asen, sen-1).
Vettori e proiezioni
In Fisica, i vettori assumono una grande importanza perché permettono di rappresentare una particolare
tipologia di grandezze dette appunto grandezze vettoriali: forza e spostamento 2D o 3D sono due evidenti
esempi di grandezze vettoriali.
Come detto in altri appunti, ogni vettore può essere scomposto nelle sue
proiezioni (o componenti) lungo una qualsiasi direzione1. Sempre nei soliti
appunti abbiamo imparato come misurare le proiezioni di un vettore. Però la
misura è un metodo poco pratico: è sicuramente molto più veloce e pratico
poter calcolare la singola proiezione.
Figura 2: F0 con le sue
La trigonometria interviene all’uopo: essa permette infatti di calcolare
proiezioni FX e FY forma
immediatamente ogni proiezione una volta noti l’intensità del vettore e l’angolo
un triangolo rettangolo.
di proiezione . Guarda la figura 2: una forza F0=100N incide su di un tavolo
con angolo 0=30°. Qual è la sua proiezione lungo X? E lungo Y? E’ evidente che se traccio la proiezione su X
(F0X) e su Y (F0Y) ottengo un triangolo rettangolo di cui: F0 è l’ipotenusa c ; F0X è il cateto adiacente ad 0, cioè
a ; F0Y è il cateto opposto ad 0, cioè b. Dalla trigonometria ottengo subito:
a/c = cos(0)  F0X/F0 = cos(30°)  (sostituendo i valori)  F0X/100N = 0,866  F0X=86,6N
b/c = sen(0)  F0Y/F0 = sen(30°)  (sostituendo i valori)  F0Y/100N = 0,500  F0Y=50,0N
Nota che abbiamo ottenuto una valore di F0Y positivo, anche se F0Y è negativa in
quanto è diretta nel verso negativo delle Y: questo perché le equazioni
trigonometriche danno soltanto il modulo del vettore (i lati dei triangoli sono
sempre positivi!): il segno lo dobbiamo mettere a mano noi, osservando se
la componente punta dalla parte del “+” o del “-“.
Supponiamo adesso che io voglia trovare la proiezione secondo un piano
inclinato di un angolo . In questo caso spesso non mi interessano più le
componenti X ed Y ma piuttosto la componente parallela (F//) e perpendicolare
(F ) al piano. Poniamo di avere una forza verticale F0 che incide su di un piano
Figura 3
inclinato di un angolo 0 (guarda la figura 3): si dimostra che l’angolo 0’ = 0
(in che modo avviene la dimostrazione? Guarda i tuoi appunti, asino!). A questo punto è evidente che F 0 è
l’ipotesa di un triangolo rettangolo di cui F è il cateto adiacente ad 0 mentre F// è il cateto opposto. Poniamo
che F0=50N ed 0=40°; scrivo:
F///F0 = sen(0’)  F// = ……..
F/F0 = cos(0’)  F = ……..
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Negli appunti “ Forza e spinta obliqua”.
Fate voi i calcoli!