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ARITMETICA
N  0,1,2,3,4,...n....
I NUMERI NATURALI
PRIORITA’ delle QUATTRO OPERAZIONI
SOMME e SOTTRAZIONI hanno la stessa priorità, se ho solo somme e sottrazioni le eseguo in fila
da sinistra a destra
10  5  3  8  15  3  8  12  8  20
MOLTIPLICAZIONI e DIVISIONI hanno la stessa priorità, se ho solo moltiplicazioni e divisioni
le eseguo in fila da sinistra a destra
30 : 3  5 : 2  10  5 : 2  50 : 2  25
MOLTIPLICAZIONI e DIVISIONI hanno la precedenza su SOMME e SOTTRAZIONI, in una
espressione prima bisogna eseguire le moltiplicazioni e le divisioni poi le somme e le sottrazioni
12  20 :10  4  5  2  1  12  2  4 10  1  14  4 10  1  10 10  1  0  1  1
e
100  50 : 5  2  4  2  100 10  2  8  100  20  8  80  8  88
PROPRIETA’ delle POTENZE
25  2 
2 
2 
2
 2  32
base
5
2
esponente
”due alla quinta”
5 volte
moltiplico la base tante volte quanto è indicato dall’esponente.
Le potenze hanno la priorità sulle operazioni: prima le potenze, dopo le altre operazioni.
3  2 3 : 2  1  5 2  1  32  2 2 : 2 
 3  8 : 2  1  25  1  9  4 : 2 
Esempio:
 3  4  1  25  1  36 : 2 
 3  4  1  25  1  18  14
Le potenze godono delle seguenti proprietà
23  22 = 2 3 + 2 = 25
Somma degli
esponenti
Moltiplicazione
di due potenze con
uguale base
1
310: 37 = 310- 7 = 33
Sottrazione degli
esponenti
Divisione
di due potenze con
uguale base
( 22 )3 = 2 23 = 26
Moltiplico gli esponenti
Potenza di potenza
50 = 40 = 880 = … = 1
Qualsiasi numero
elevato alla zero
dà come risultato
UNO
OSSERVAZIONE
1) Se si deve calcolare una moltiplicazione o divisione di due potenze con stesso esponente si può prima
eseguire la moltiplicazione o divisione e dopo la potenza
esempi:
153 : 53  15 : 5  33  27 e 2 2  32  2  3  6 2  36
3
2
2) Se ci sono somme o sottrazioni si devono sempre eseguire prima le potenze
esempi:
4
3

2 3  5  2
8

34  8  3 e 5




4
409681 4015
54 625
3
1258133
73 343
LO ZERO
Sommare o sottrarre zero: il numero al quale si somma o sottrae zero non cambia
Es: 5 + 0 = 5 o 3 – 0 = 3
cioè vale sempre n  0  n e n  0  n
n N
Moltiplicare per zero: qualsiasi numero moltiplicato per zero dà sempre come risultato zero
Es: 4  0 = 0 o 1256  0 = 0
cioè vale sempre n  0  0
Dividere: zero diviso un qualsiasi numero dà sempre zero
NON si può invece dividere un numero per zero
n N
es: 0 : 4 = 0 infatti 0  4 = 0
es: 4 : 0 = ? NESSUNA SOLUZIONE
Infatti non può esistere un numero che moltiplicato per zero dà 4 o un qualsiasi altro numero.
2
LE PARENTESI
Le parentesi servono, in un’espressione aritmetica contenente più operazioni, a indicare la priorità delle
operazioni da svolgere; in generale si svolgono PRIMA le operazioni delle parentesi più interne.
…. ….  ….  …. ….
1e tonde
2e quadre
3e graffe
6  2 : 4 : 10 : 5  7 3  : 3
3 : 2  7 3  : 3  
3 : 16  7 3  : 3 
27 : 9  3  : 3 
3  3  : 3 
3  : 3 
3
3
3
3
4
4 2
4
4 2
3
Esempio:
4 2
4 2
5 2
4 2
4
3
 32

2

5 2
10
10
10
10
310 : 310  1
MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m)
Fra un gruppo di due o più numeri è il più piccolo fra i multipli comuni.
Esempio: 4, 30, 54
m.c.m (4, 30, 54) = ?
MULTILPLI di 4 : (4 1) (4  2)
4
8
MULTILPLI di 30 : (30  1)
30
(4  3) (4  4) (4  5) …………
12
16
20 ……
(30  2) (30  3) (30  4) (30  5) …….
60
90
120
150 ……
MULTILPLI di 54 : (54 1) (54  2) (54  3) (54  4)
54
108
162
216
(54  5) …….
270 ……
(4  135) ….
540 ….
(30  18) ….
540 ….
(54  10) ….
540 ….
540 è il m.c.m. perché è il più piccolo numero che è contemporaneamente multiplo dei tre numeri dati.
Come calcolare il m.c.m.
Prima occorre FATTORIZZARE (cioè scrivere come prodotto) i numeri dati in NUMERI PRIMI.
I numeri primi sono i numeri maggiori di 1, che risultano divisibili esattamente solo per 1 e per se stessi: 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 …
4 = 22
30 = 2  3  5
54 = 2  33
m.c.m. = moltiplico tutti i fattori, comuni e non comuni, presi con il massimo esponente
3
m.c.m (4, 30, 54) = 22  33  5 = 540
OSSERVAZIONI:
 il m.c.m. è sicuramente o il numero maggiore fra quelli dati o è maggiore di tutti
 moltiplicare fra loro i numeri dati fornisce sicuramente un loro multiplo comune, ma non è il minimo
(nell’esempio precedente 4  30  54 = 6480 che è maggiore di 540)
LE FRAZIONI
SIGNIFICATO DI FRAZIONE
Sia
N
D
una frazione: N è detto numeratore, D è detto denominatore.
Il significato di questa scrittura è:
divido l’unità 1 in D parti uguali e ne prendo un numero pari a N.
esempi:
2
= divido l’unità in 5 parti e ne prendo 2
5
|
0
2
1
5
la frazione
|
|
2/5
|
|
|
1
2
è minore di 1
5
3
= divido l’unità in 2 parti e prendo 3 di queste parti
2
|
0
|
|
1
3
3
 1 la frazione è maggiore di 1
2
2
4
|
3/2
Da questi esempi segue che

se N < D la frazione indica una quantità inferiore a 1

se N > D la frazione indica una quantità maggiore di 1 FRAZIONE IMPROPRIA

se N = D la frazione indica sempre 1
FRAZIONE PROPRIA
FRAZIONE APPARENTE
FRAZIONI E NUMERI DECIMALI
Se voglio trasformare una frazione in un numero decimale, dovrò dividere il numeratore per il denominatore,
cioè
N
 N:D
D
Ad esempio
2
 2:5  0,4
5
e
3
 3:2  1,5
2
SEMPLIFICARE UNA FRAZIONE
Due frazioni si dicono equivalenti se rappresentano la stessa quantità, lo stesso numero decimale.
Esempio:
4 2
  0, 6
6 3
si dirà che
4 2
e
sono due frazioni equivalenti.
6 3
Data una frazione, si possono ricavare infinite frazioni ad essa equivalenti moltiplicando numeratore e
denominatore per uno stesso numero (non zero !), ad esempio
1 1 2 1 3 1 4
1 n



 .... 
 .... moltiplico il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero
2 2 2 23 2 4
2n
1 2 3 4
n
1
    .... 
 ....
ottengo tutte le infinite frazioni equivalenti a .
2 4 6 8
2n
2
Semplificare una frazione significa trasformarla in una frazione ad essa equivalente ma con numeratore e
denominatore più piccoli; bisogna quindi dividere il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero.
Se non è possibile, la frazione non è semplificabile e viene detta irriducibile.
Esempio:




4 4:2 2


posso semplificare per 2 perché sia 4 sia 6 sono esattamente divisibili per 2
6 6:2 3
25 25 : 5 5


posso semplificare per 3 perché sia 25 sia 15 sono esattamente divisibili per 3
15 15 : 5 3
24 24 : 2 12 12 : 3 4




posso semplificare sia per 2 sia per 3 o in un solo passaggio per 6
42 42 : 2 21 21 : 3 7
4
non posso semplificare perché 4 e 9 non hanno divisori comuni (sono primi fra loro)
9
CONFRONTARE FRAZIONI FRA LORO
Mettere in ordine crescente le frazioni
Osservo che
1 4 11 3
, , , senza trasformarle in numeri decimali.
4 6 10 5
11
è la maggiore di tutte le altre perché è maggiore di 1 mentre le altre sono tutte minori di 1.
10
Per confrontare le frazioni devo trasformarle in frazioni equivalenti aventi tutte lo stesso denominatore. Il
denominatore comune è in m.c.m. fra i denominatori delle frazioni date:
5
m.c.m.(4, 6, 10, 5) = m.c.m.(22, 32, 52, 5) = 2235 = 60
Trasformo le frazioni date in frazioni equivalenti aventi come denominatore 60:

60 : 4  15

60 : 6  10

60 :10  6

60 : 5  12
1 115 15


4 4 15 60
4 4 10 40


allora
6 6 10 60
11 11  6 66


allora
10 10  6 60
3 3 12 36


allora
5 5 12 60
allora
prima divido il nuovo denominatore 60 per il vecchio denominatore di una frazione e poi moltiplico il
risultato ottenuto per il numeratore.
Confronto i nuovi numeratori:
15  36  40  66 allora
1 3 4 11
   .
4 5 6 10
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
SOMME E DIFFERENZE DI FRAZIONI
Per sommare o sottrarre due frazioni devo prima avere lo stesso denominatore (come quando faccio il
confronto), poi sommo o sottraggo i numeratori.
Esempio:



m.c.m.(2, 4,3) = 12 allora
1 3 2 (12 : 2 1)  (12 : 4  3)  (12 : 3  2) 6  9  8 7
  


2 4 3
12
12
12
calcolo il denominatore comune, cioè il m.c.m. fra i denominatori
moltiplico i numeratori come quando faccio il confronto
sommo o sottraggo i numeratori
MOLTIPLICAZIONI
Per moltiplicare due o più frazioni mi basta moltiplicare fra loro tutti i numeratori e tutti i denominatori
facendo attenzione alle possibili semplificazioni fra numeratori e denominatori.
Esempio:


oppure


1 2 9 1 2  9 18
  

poi semplifico per 18,
2 3 6 2  3  6 36
18 18 : 18 1


36 36 : 18 2
moltiplico tutti i numeratori fra loro
semplifico il risultato ottenuto se possibile
1 2 9
1 2 : 2 9 1 1 9 1 1 9 : 3 1 1 3 1 1 3 : 3 1 1 1 1
  

     

     


2 3 6 2 : 2 3 6 1 3 6 1 3:3 6
1 1 6 1 1 6 : 3 1 1  2 2
semplifico il più possibile considerando coppie di un numeratore e un denominatore (semplifico in
croce)
moltiplico i numeratori fra loro e i denominatori fra loro
6
DIVISIONI
Per eseguire una divisione fra due frazioni dovrò trasformarla in una moltiplicazione prendendo il reciproco
della seconda frazione, cioè scambiando numeratore e denominatore della seconda frazione.
1 3 1 5 5
   
4 5 4 3 12
Esempio:
(il reciproco di
3 5
è )
5 3
POTENZA
Per elevare ad una potenza una frazione elevo a quella potenza il suo numeratore ed il suo denominatore.
2
22
4
 2
   2 
 5
5
25
Esempio:
I NUMERI RELATIVI
I numeri relativi, o numeri con segno vengono introdotti per risolvere il seguente problema.
PROBLEMA: se posso utilizzare solo i numeri naturali N ci sono operazioni che non possono essere
eseguite. Facciamo due esempi.
es1) 5  2  3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
.....
6
7
8
.....
questa operazione può essere eseguita e dà come risultato 3
?
es2) 2  5  ?
0
1
2
3
4
5
questa operazione non può essere eseguita se ho solo i numeri interi naturali N.
Per superare questo problema si introduce l’insieme dei numeri relativi Z, cioè l’insieme formato dai numeri
interi preceduti da un segno + o da un segno -.
Z =  ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 ... 
....
-5
-4
-3
-2
negativi (minori di zero)
-1
0
zero
1
2
3
4
......
positivi (maggiori di zero)
-5
-1
0
1
2
allora 2 - 5 = -3
....
-4
-3
-2
7
3
4
......
- 3
segno
modulo o valore assoluto
L’insieme dei numeri interi relativi Z contiene l’insieme N dei numeri naturali (Z  N)
1
2
1
2
5
4
1
3
Allo stesso modo si possono introdurre le “frazioni con segno” :  , , , ,....
Tutti questi numeri formato l’insieme dei numeri razionali Q: Q  Z  N
Il loro ordinamento sulla retta è speculare rispetto allo zero:
Due numeri relativi si dicono:
 CONCORDI se hanno lo stesso segno
 DISCORDI
se hanno segno opposto
 OPPOSTI
se hanno stesso modulo e segno opposto
 UGUALI
se hanno stesso modulo e stesso segno
esempi: + 5 e +10 ;  2 e – 7
esempi: + 5 e – 10 ;  2 e + 7
esempi: + 5 e – 5 ;  2 e + 2
LE OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI
Si ricordi il seguente schema detto “regola dei segni”
per e diviso
+
cioè
+
+
-
+
CONCORDI
      
       se moltiplico o divido due numeri concordi il risultato è sempre positivo

DISCORDI
      
       se moltiplico o divido due numeri discordi il risultato è sempre negativo

Esempi:
(+2) (+3) = + (2) (3) = +6
(+2) (-5) = - (2) (5) = -10
3
 1   3
 1   3
            
 2   5
 2   5
10
(-3) (-4) = + (3) (4) = +12
(+6) : (-2) = - (6:2) = -12
3
 3  5 
 3 2
 3 1
   :             
 4  2
 4 5
 2 5
10
8
POTENZE
Base positiva
 22  4

3
 2  8
se la base è positiva il risultato è sempre positivo
 22  4
Base negativa 
3
 2  8
positivo se l’ESPONENTE è PARI
negativo se l’ESPONENTE è DISPARI
se la base è negativa il risultato è:
Questo è dovuto alla regola dei segni, infatti

        
 
indice PARI





      
 
indice DISPARI
le stesse regole si applicano alle frazioni
2
3
4
 2
   
 3
9
2
8
 2
   
 3
27
1
 1
   
 5
25
POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO
Cosa significa 2 5 ?
L’esponente negativo – 5 significa: prendere il reciproco della base
5
Esempi:
2
5
1
1
1
   5 
32
2
2
e
2
 
3
4
4
34 81
3
   4 
16
2
2
Se le basi sono numeri relativi, bisogna fare attenzione ai segni
Esempi:
 23    1 
3
 2

1
8
,
 23    1 
 2
3

1
8
e
 24    1 
 2
4

1
16
SOMME e SOTTRAZIONI

Somma CONCORDI
 5   2  5  2  7
 5   2  5  2  7

stesso segno e somma dei moduli
Somma DISCORDI
 5   2  5  2  3
 5   2  5  2  3

segno del maggiore e differenza dei moduli
Sottrazione CONCORDI
 5   2  5  2  3
 5   2  5  2  3

sottrazione di concordi E’ somma di discordi
SOMME ALGEBRICHE
9
Sottrazione DISCORDI
 5   2  5  2  7
 5   2  5  2  7

sottrazione di discordi E’ somma di concordi
Osservazione: secondo la regola dei segni, una parentesi con davanti un segno meno può essere eliminata
cambiando i segni di tutti i numeri in essa contenuti, cioè
5  2   8  4  3  1  5  2  8  4  3 1  13
Le stessa regole valgono per le frazioni
 1 1   3   1 5

 6  3  :  2  1 :  3  2  2  
 
 


 1  2   3  2   2  15  12 
 
:
 : 

6

 6   2  
Esempio:
 3 1   1 
  :  :  
6 2  6 
3   1 
   2 :    
6   6 
 1  6  6
PROPORZIONI
Una proporzione è un’uguaglianza fra due frazioni equivalenti, cioè frazioni che rappresentano la stessa
quantità e lo stesso numero decimale
esempio:
1 3
  0,5
2 6
1: 2  3 : 6
allora si può scrivere
“1 sta a 2 come 3 sta a 6”
n1 : d1 = n2 : d2
In generale

n1 n2

d1 d 2
medi
estremi
n1 e d2 sono detti TERMINI ESTREMI della PRPORZIONE
n2 e d1 sono detti TERMINI MEDI della PRPORZIONE
COME RISOLVERE UNA PROPORZIONE quando uno dei termini è incognito (non noto)
I) Se l’incognita è un termine ESTREMO:
x : d1  n2 : d 2
esempio: x : 5  20 :10
x=?
x

5  20
10
moltiplico i medi e divido per l’estremo noto
x
d1  n2
d2
 10
10
oppure
n1 : d1  n2 : x
x=?
x
esempio: 35 : 7  5 : x
x

d1  n2
n1
7 5
1
35
II) Se l’incognita è un termine MEDIO: moltiplico gli estremi e divido per il medio noto
n1 : x  n2 : d 2
x=?
esempio: 4 : x  100 : 50
x

x
n1  d 2
n2
x
n1  d 2
d1
4  50
2
100
oppure
n1 : d1  x : d 2
x=?
x
esempio: 16 : 4  x : 3

16  3
 12
4
PERCENTUALI
Una PERCENTUALE è un numero che equivale ad una frazione con il denominatore uguale a 100.
x% 
x
100
Esprimere un rapporto
esempio:
16% 
16
100
“16 per cento”
n
in percentuale significa impostare la seguente proporzione
d
n
x

d 100

n : d  x :100 “n è l’x% di d”
Esempi:

“3 è il 25% di 12”
3 : 12 = 25 : 100

“il 5% di 40 è 2”
2 : 40 = 5 : 100
3
25

 0,25
12 100
2
5

 0,05
40 100
Alcune percentuali di uso comune:
il 20% equivale a
20 1
 un quinto
100 5
11
il 25% equivale a
25 1
 un quarto
100 4
il 50% equivale a
50 1
 un mezzo
100 2
il 75% equivale a
75 3
 tre quarti
100 4
il 100% equivale a
100
 1 l’intero
100
Utilizzare le percentuali:
I) Calcolare il 15% di 35:
x : 35  15 :100
x
35 15
 5,25
100
II) Di quale numero 8 è il 20%:
8 : x  20 :100
x
8 100
 40
20
III) Quale percentuale è 13 rispetto a 52:
13 : 52  x :100
x
13 100
 25 è il 25%
52
12