dispensa di matematica

ALGEBRA
NOZIONI DI BASE:
Il nome deriva da al-Jabr wa al-muqabala (unione dei numeri) di Muhammed al-Kwarizmi 800d.C.
Ma le origini del calcolo numerico derivano dalle esigenze commerciali, negli scambi, ma anche
nelle costruzioni, le misure dei terreni nonché per gli studi astronomici e le rotte navali.
Consideriamo che le operazioni algebriche funzionano con la medesima logica del pensiero umano.
Siamo ad esempio abituati a dire: sono le 10:30, e che tra 10 minuti saranno le 10:40. In algebra:
h = 10°:30’
h2 = 10°:30’ + 10’ = 10°:40’
Il fatto ancora più eclatante è che persino le macchine, come i computer, parlano lo stesso
linguaggio, accettano le medesime procedure logiche ed anzi è possibile affermare che la
programmazione nei vari linguaggi, da C a Pascal, Fortran, non è nient’altro che l’evoluzione
digitale (mediante l’algebra Booleana) dell’algebra classica di cui tratteremo.
Un esempio di algebra usata in scienza delle costruzioni:
La tensione σ prodotta da una forza N nel corpo di area A, per Navier si rappresenta con: σ = N / A
Ma volendo progettare l’area A conoscendo la σammissibile, posso ribaltare la formula: A = N / σamm
Un metodo pratico è noto in elettronica come il “triangolo di Watt”: se una legge è
scritta senza frazioni (Es.: N = A . σ), immessa in ordine nel triangolo consente di
identificare la formula coprendo il termine incognito con un dito.
L’importanza di queste nozioni non deve essere sottovalutata, pur nella sua semplicità.
Operatori logici
Gli operatori logici tra i termini variabili sono noti dai tempi delle elementari:
-
la somma +
la sottrazione –
la moltiplicazione . (si omette)
la divisione / (espressa con le frazioni).
Tali segni legano tra loro le incognite e le costanti. Le prime, di solito, vengono scelte tra i primi
simboli dell’alfabeto ( a, b, c.. ) o tra gli ultimi ( x, y, z ), più per gli assi di riferimento cartesiani.
Equazioni:
La parola equazione nasce dall’esigenza di inserire un segno, l’uguale “ = “ tra due grandezze: una
nota ed una incognita. Non sarà mai dato sufficiente risalto all’importanza dell’operatore logico
“uguale” ( = ): è di vitale importanza in matematica, ma anche in fisica, o in programmazione:
consente di combinare insieme valori noti o costanti con altri valori, opportunamente mantenuti
incogniti, per creare una certa legge:
altezza = 1,80 m
peso = altezza
.
peso = 80 kg
sezione
.
peso specifico
in definitiva, ad esempio
oppure
x = 30
a=b.c.d
Il simbolo dell’uguale, in definitiva, è da interpretarsi come l’ago di una bilancia: se dispongo un
peso da 500 kg su entrambi i piatti, anche se il peso è altissimo, l’ago non si muove.
Attorno all’uguale, con tale criterio, possiamo disporre le grandezze che ci interessano e ogni
risposta che appare nell’equazione sarà vera.
Lo zero ed i numeri negativi
La grande conquista dell’algebra è lo zero (0) ed i numeri negativi (Brahmagupta 600 d.C.):
Non solo alcuni giovani studenti hanno difficoltà a comprendere i numeri negativi: anche il digitale
necessita di un complesso sistema per interpretare le cifre negative.
Molto semplice è iniziare ad immaginare un conto in banca: se l’estratto dice che sul mio conto ci
sono 100 € (positivi) ma io prelevo (sottraggo) comunque 200 €, il conto è in rosso (negativo) di
100 €, ed i bancari solerti applicano gli interessi passivi per il debito! In algebra:
100 – 200 = – 100
Questo è valido anche in campo negativo: se già sono sotto di 100 € e prelevo altri 200 €:
– 100 – 200 = – 300
Il fatto che assomigli ad una somma in negativo non è un caso: più avanti impareremo a mettere in
evidenza certi valori: in algebra è lecito scrivere l’equazione in questo modo:
– ( 100 + 200 ) = – 300
In modo grafico, immaginate dei valori lungo un asse (ad esempio un termometro che ha valori
sopra e sotto lo zero). Tutti sappiamo che 3 + 5 = 8, ma pochi comprendono che 3 – 5 = – 2
Operazioni algebriche:
Serve sempre ricordare l’importanza del segno = come fosse l’ago di una bilancia, avente a destra e
sinistra dei piatti. Se si aggiunge la stessa quantità a destra e sinistra, l’ago non si muove.
Appena genero uno squilibrio, l’ago segna il valore in eccesso. Se immettiamo delle incognite al
posto dei valori, apparentemente non si ottiene nulla, ma se infine scopriamo le carte e diamo un
valore preciso ad un’incognita, automaticamente risulta il valore preciso dell’altra.
Perciò è necessario prendere confidenza con delle operazioni di base:
a+b=0
→
a= –b
aggiungo o sottraggo ad ambo i termini la stessa quantità
a.b=1
→
a= 1/b
moltiplico o divido ambo i termini e semplifico.
Nel dettaglio, spostando i termini al di là dell’uguale, per le somme inverto il segno:
a+b=0
→
a+b–b =0–b
→
a= –b
Nella moltiplicazione (o divisione), quello che sta sopra va sotto, e quello che sta sotto va sopra:
ab = 1
→
ab = 1
b
b
→
a= 1
b
In tal senso è necessario fare una precisazione tecnica: quando due termini si presentano in
moltiplicazione come qui sopra a e b, leggendo l’ultima espressione si può dire:
a è l’inverso di b
Se b cresce, a diminuisce, se b diminuisce, a cresce, al fine di mantenere un rapporto fisso espresso
nella prima equazione: ab = 1 che non può essere disatteso.
Proprietà dei segni
Nelle moltiplicazioni – divisioni per una quantità negativa si inverte il segno del riultato.
I più rammentano tale principio con la filastrocca:
+.+= +
più per più fa più
+.– = –
;
– .– = +
più per meno fa meno ; meno per meno fa più
;
;
Questo vale quando un termine moltiplica altri termini racchiusi tra parentesi:
–2.(a+b–c)
→
–2a–2b+2c
per praticità: 2 c – 2 a – 2 b
I termini si moltiplicano uno ad uno per il numero, e se il segno è negativo l’effetto è l’inversione
del segno. Per praticità, si sconsiglia di scrivere il primissimo termine negativo: invertendo l’ordine
dei fattori la somma non cambia, mentre il segno “meno” è più leggibile in tal modo.
Inoltre si può operare l’inversione dei segni, moltiplicando ambo i termini per – 1 :
–a = 5
→
–1 . ( – a ) = –1 . 5
→
a= –5
Semplificare e mettere in evidenza:
Un antico adagio scherzoso recitava: ”conta le pecore per le zampe e divide per quattro”.
In tale modo si voleva evidenziare come sia importante snellire al massimo le espressioni, al fine di
evitare ridondanze di calcolo inutili e dispendiose in matematica, in fisica ed in programmazione.
Abbiamo visto prima come due termini opposti si elidono in somma (o sottrazione):
a–a=0
ovvero 3 – 3 = 0
Ma le sommatorie ci danno l’occasione di mettere in evidenza una quantità(1) ridondante usando le
parentesi. In pratica, il termine che viene “portato fuori” moltiplica tutti i termini nelle parentesi:
ab + ac – 2a = 0
→
a(b+c–2)=0
Da cui ad esempio si evince subito che a = 0 : qualunque valore di b e c viene annullato se a = 0.
Nelle moltiplicazioni – divisioni il metodo per semplificare è più evidente: se due termini al
numeratore ed al denominatore presentano valori in comune è spesso inutile portarsi tali valori
avanti nei calcoli. Trattandosi di divisioni, due termini uguali divisi tra loro fanno 1:
ab + ab = 10
b
→
1
2 a b 1 = 2 1 .5
1b
→
a=5
Questo principio è utile anche in senso inverso: a volte per semplificare bisogna complicare.
Se per esempio vado a moltiplicare una quantità per “uno”, la quantità sappiamo non cambia.
È anche vero che il rapporto fra due quantità uguali è “uno”. Posso allora immettere ovunque in una
espressione, un termine adatto ad annullare una certa configurazione, come nel caso della
razionalizzazione di un denominatore, per eliminare la radice al denominatore:
1
√2
(1)
=
1 . 1
√2
=
1 . √2
√2
√2
una pietra + una pietra = due pietre, analogamente: a + a + a + a = 4a
=
√2
2
Regole delle frazioni:
Finchè i termini di una sommatoria o di un prodotto vengono a trovarsi tutti in una stessa stringa le
difficoltà nell’eseguire modifiche sono evidentemente poche. Appena appaiono termini con le
radici, le frazioni e gradi diversi dal primo, anche taluni laureati trovano, imbarazzati, dei problemi.
L’importante, come sempre, è avere chiarezza dell’argomento. Dipende tutto dagli esponenziali, ma
per adesso, basti immaginare la divisione come una forma particolare di moltiplicazione.
Pertanto è possibile semplificare solo i termini simili che moltiplicano, mai che sommano gli altri:
2a+6b–4c
6
2(a+3b–2c) = a+3b–2c
2.3
3
=
Non è possibile altra semplificazione, a meno che non scompongo in parti la frazione:
a+3b–2c
3
=
a + 3b – 2 c
3
3
3
Questo semplicemente riporta al seguente principio: quando si moltiplicano le frazioni:
a . c
b
d
=
si moltiplica “dritto per dritto”
ac
bd
Quando si sommano due frazioni è diverso: si deve trovare il “minimo comune denominatore”:
a + c
b
d
cercando che “bd” sia minimo.
= ad + cb
bd
Consideriamo il seguente esempio: due mezze arance fanno un’arancia intera, e su questo non ci
piove. Al livello algebrico, un’arancia è la somma di due metà:
1 + 1 =
2
2
1 + 1
2
= 2 = 1
2
Mentre se considero la metà della (per la) metà, sto considerando la metà di mezza arancia, ovvero,
un quarto di arancia:
1
2
x
1 =
2
1 x1
2 x2
= 1
4
Un’ultima difficoltà è rappresentata dalle frazioni di frazioni. Anche qui serve usare la logica: il
segno di frazione rappresenta il segno di divisione “ : “. L’unica regola da ricordare è che quando
inverto da “diviso” a “per”, la frazione si ribalta. Osserviamo l’esempio:
a
b
c
d
=
a : c
b
d
=
a . d
b
c
= ad
bc
Nelle espressioni che spesso vengono date e nelle future applicazioni, potrebbero esserci vari
termini tutti racchiusi tra parentesi da spostare e semplificare internamente ad un’espressione.
Ma tali modifiche seguono le stesse regole di una delle variabili a, b, c, d finora viste, fintanto che
fanno parte del medesimo blocco, tra le parentesi.