Applicazioni lineari.

FAQ – Ins. Gasbarro Margherita
Il prodotto scalare è un'applicazione lineare?
Un'applicazione lineare è una particolare applicazione che va da uno spazio vettoriale in uno spazio
vettoriale, è qualcosa del tipo:
t: V -> W
ove V e W sono spazi vettoriali
Un prodotto scalare è una forma bilineare e, quindi, non è un'applicazione lineare perchè va dal
prodotto cartesiano di uno spazio vettoriale per se stesso e la sua immagine è un numero e non un
vettore, è qualcosa del tipo:
g: V x V -> R
ove V x V è il prodotto cartesiano dello spazio vettoriale V in se stesso e R è l'insieme dei numeri
reali.
--------------se faccio Aijxj=bi (ho applicato la matrice a un vettore) posso dire di avere fatto un prodotto
scalare o riga x colonna e fino a qui ci sono!
Ma quando devo fare Aijxi cosa succede? qual è il risultato?
i è il numero righe della matrice
j è il numero colonne della matrice
se la matrice è quadrata cioè i = j quello che tu dici è fattibile.
ESEMPIO i = j = 2
A=3 1
2 1
x=3
5
b = 3*3 + 1*5 = 14
2*3 + 1*5 11
Se i è diverso da j non lo è sempre perchè per poter fare il prodotto di una matrice per un vettore, il
vettore deve avere tanti elementi quante sono le colonne della matrice.
ESEMPIO con i = 2 j = 3 e il vettore x con tanti elementi quante sono le colonne
A=3 1 1
2 0 5
x=0
1
3
b = 3*0+1*1+1*3 = 5
2*0+0*1+5*3 15
ESEMPIO con i = 2 j = 3 e il vettore x con tanti elementi quante sono le righe
A=3 1 1
2 0 5
x=0
1
b = non è definito
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In questa ultima ipotesi è possibile fare, invece, questo xi^t Aij = bj (xi^t sta per trasposta di xi)
x=0 1
A=3 1 1
2 0 5
b = 0*3 + 1*2 = 2
0*1 + 1*0 0
0*1 + 1*5 5
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