3 Algebra delle matrici - Zanichelli online per la scuola

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Algebra delle matrici
Esercizio 1
Prodotto di un vettore colonna per un vettore riga
Se C 2 MK (m, 1) è un vettore colonna e R 2 MK (1, n) è un vettore riga, allora il
prodotto CR è una matrice m ⇥ n. Calcolare esplicitamente il prodotto CR nel caso
generico e dimostrare che se A 2 MK (m, n) e B 2 MK (n, p), allora
AB =
n
X
Ci (A)Ri (B)
i=1
dove Ci (A) è la i-esima colonna di A e Ri (B) è la i-esima riga di B.
Esercizio 2
Esercizio sulla traccia di una matrice
Siano A, B e C matrici quadrate di ordine n.
1. Dimostrare che tr(AB) = tr(BA).
2. Dedurre che tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). Più in generale, è possibile
dimostrare che la traccia è invariante rispetto alle permutazioni cicliche.
3. Fornire un controesempio che mostri come la traccia non è invariante rispetto ad
ogni tipo di permutazione; ad esempio in generale risulta tr(ABC) 6= tr(BAC).
Esercizio 3
Inversa di una matrice unipotente
Calcolare l’inversa della matrice
2
3
1 a b c
60 1
a b7
7
A=6
40 0 1
a5
0 0 0 1
8
Capitolo 3. Algebra delle matrici
c 978-88-08-19252-3
Esercizio 4
Esercizio sul prodotto a blocchi
Sia An 2 MR (n) la matrice n ⇥ n
2
1 ···
16.
An = 4 ..
n
1 ···
3
1
.. 7 .
.5
1
Si dimostri che An è idempotente: A2n = An . Si usi questa osservazione e il prodotto
a blocchi per calcolare tutte le potenze della matrice
2
3
2000
60 2 0 07
6
7
41 1 1 15.
1111
Esercizio 5
Esercizio sull’invertibilità
Siano: I la matrice identità n ⇥ n e U una matrice n ⇥ n tale che U4 = O. Mostrare
che I U è invertibile e
(I
U)
1
= I + U + U2 + U3 .
Ripetere l’esercizio sostituendo l’ipotesi U4 = O con Uk = O dove k
1 è un
numero intero qualsiasi: l’inversa in questo caso è I + U + · · · + Uk 1 . Suggerimento:
moltiplicare I U per I + U + U2 + U3 .