Doppi Bipoli I1 I2 V1 V2 Figura 1: Esempio di un doppio bipolo Matrice R (Rappresentazione controllata in corrente) Esempio a pagina 7 Per ricavare R11 ed R21 si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 1 ed 1', lasciare aperti i morsetti 2 e 2' (i2 = 0) e calcolare v1 e v2. Per ricavare R21 ed R22 si deve applicare un generatore di corrente tra 2 e 2', lasciare aperti i morsetti 1 ed 1' (i1 = 0) e calcolare v1 e v2. { v 1 = R11 i 1 R12 i 2 v 2 = R21 i 2 R22 i 2 ∣ ∣ R11 = v1 i1 R21 = v2 i1 i2 = 0 i2 =0 ∣ ∣ R11 R12 i 1 v ⋅ = 1 R21 R22 i 2 v2 R12 = v1 i2 i1 = 0 R22 = v2 i2 i1 = 0 R11 ed R22 prendono il nome di “Resistenza Propria”, mentre R12 ed R21 di “Resistenza Mutua”. Matrice G (Rappresentazione controllata in tensione) Esempio a pagina 8 Per ricavare G11 e G21 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 1 ed 1', collegare i morsetti 2 e 2' tramite un corto circuito (v2 = 0) e calcolare i1 ed i2. Per ricavare G12 e G22 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 2 e 2', collegare i morsetti 1 ed 1' tramite un corto circuito (v1 = 0) e calcolare i1 ed i2. { i 1 = G11 v 1 G12 v 2 i 2 = G21 v 2 G 22 v 2 G11 = i1 v1 G 21 = i2 v1 ∣ ∣ v2 = 0 v2 = 0 ∣ ∣ G11 G12 v 1 i ⋅ = 1 G 21 G22 v 2 i2 G12 = i1 v2 v1 = 0 G 22 = i2 v2 v1 = 0 G11 e G22 prendono il nome di “Conduttanza Propria”, mentre G12 e G21 di “Conduttanza Mutua”. Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Doppi Bipoli 1 Matrice H (Rappresentazione ibrida) Per ricavare H11 ed H21 si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 1 e 1', collegare i morsetti 2 e 2' tramite un corto circuito (v2 = 0) e calcolare v1 ed i2. Per ricavare H12 ed H22 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 2 e 2', lasciare aperti i morsetti 1 ed 1' (i1 = 0) e calcolare v1 ed i2. { v 1 = H 11 i 1 H 12 v 2 i 2 = H 21 i 1 H 22 v 2 ∣ ∣ H 11 = v1 i1 H 21 = i2 i1 v2 = 0 v2 = 0 ∣ ∣ H 11 H 12 i v ⋅ 1 = 1 H 21 H 22 v 2 i2 H 12 = v1 v2 i1 = 0 H 22 = i2 v2 i1 = 0 H11 = Resistenza di ingresso H12 = Guadagno di tensione H21 = Guadagno di corrente H22 = Conduttanza di ingresso Matrice H' (Rappresentazione ibrida inversa) Per ricavare H'11 ed H'21 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 1 ed 1', lasciare aperti i morsetti 2 e 2' (i2 = 0) e calcolare i1 e v2. Per ricavare H'12 ed H'22 si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 2 e 2', collegare i morsetti 1 ed 1' tramite un corto circuito (v1 = 0) e calcolare i1 e v2. { i 1 = H ' 11 v 1 H ' 12 i 2 v 2 = H ' 21 v 1 H ' 22 i 2 ∣ ∣ H ' 11 = i1 v1 H ' 21 = v2 v1 i2 = 0 i2 = 0 ∣ ∣ H ' 11 H ' 12 v 1 i ⋅ = 1 H ' 21 H ' 22 i 2 v2 H ' 12 = i1 i2 v1 = 0 H ' 22 = v2 i2 v1 = 0 H11 = Conduttanza di ingresso H12 = Guadagno di corrente H21 = Guadagno di tensione H22 = Resistenza di ingresso Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Doppi Bipoli 2 Matrice T (Rappresentazione con matrice di trasmissione) Le grandezze della porta (2-2') sono variabili indipendenti, mentre quelle della porta (1-1') sono dipendenti. Per ricavare A e C, si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 1 ed 1', lasciare aperti i morsetti 2 e 2' (i2 = 0) e calcolare v1 ed i1. Per ricavare B e D, si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 1 ed 1', collegare i morsetti 2 e 2' tramite un corto circuito (v2 = 0) e calcolare v1 ed i1. { v 1 = A v 2 − B i2 i1 = C v 2 − D i2 A= C= v1 v2 i1 v2 ∣ ∣ A C B ⋅ v2 = v1 D − i2 i1 B= i2 = 0 D= i2 =0 v1 −i 2 ∣ ∣ v2 = 0 i1 −i 2 v2 = 0 A = Guadagno di tensione B = Transresistenza diretta C = Transconduttanza diretta D = Guadagno di corrente Matrice T' (Rappresentazione con matrice di trasmissione inversa) Le grandezze della porta (1-1') sono variabili indipendenti, mentre quelle della porta (2-2') sono dipendenti. Per ricavare A' e C', si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti 2 e 2', lasciare aperti i morsetti 1 ed 1' (i1 = 0) e calcolare v2 ed i2. Per ricavare B' e D', si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti 2 e 2', collegare i morsetti 1 ed 1' tramite un corto circuito (v1 = 0) e calcolare v2 ed i2. { v 2 = A ' v 1 − B ' i1 i2 = C ' v 1 − D ' i1 A' = C' = ∣ ∣ v2 v1 i2 v1 A' C' B ' ⋅ v1 = v2 D' − i1 i2 B' = i1 = 0 i1 = 0 D' = v2 −i 1 ∣ ∣ i2 −i 1 v1 = 0 v1 = 0 A = Guadagno di tensione B = Transresistenza diretta C = Transconduttanza diretta D = Guadagno di corrente Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Doppi Bipoli 3 Trasformazioni tra le rappresentazioni (Δ = Determinante della matrice) DA A R G G22 G − 12 G G G 21 G11 − G G R G R 12 R 22 1 R 22 H H' R 1 − 12 R 11 R 11 R 21 R R 11 R 11 T' R 11 R 21 1 R 21 R 22 R 12 1 R 12 H H 22 H − 21 H 22 H' H 12 H 22 1 H 22 H 1 − 12 H 11 H 11 H 21 H H 11 H 11 R 22 R − 12 R R R 21 R 11 − R R R R 22 R − 21 R 22 T H G 1 − 12 G 11 G 11 G 21 G G 11 G11 G G 22 G − 21 G 22 G22 G21 G12 G22 1 G22 R R 21 R 22 R 21 1 G 21 G G − − 11 G21 G 21 R R 12 R 11 R 12 1 G 12 G G − − 22 G 12 G 12 − − G 11 G 12 − − T H' 1 − 12 H ' 11 H ' 11 H ' 21 H ' H ' 11 H ' 11 H' H ' 22 H' − 21 H ' 22 H ' 12 H ' 22 1 H ' 22 H ' 22 H ' 12 − H ' H' H ' 21 H ' 11 − H ' H ' H 22 H H 21 − H H H 21 H − 22 H 21 − 1 H 12 H 22 H 12 H 12 H H 11 H H 11 H 21 − 1 H 21 H 11 H 12 H H 12 D T − B B 1 A − B B B D 1 − D D' C' T ' C' T C D C A' B' T' − B' T D C D C T − A A 1 B A A − − A C 1 C T' 1 H ' 21 H ' 11 H ' 21 H ' 22 H ' 21 D T C T 1 B' D' B' − 1 A' C' A' C' 1 − D' D' T ' B' D' D' D' T ' C' T ' H' H ' 21 H ' 22 H ' − H ' 12 H ' 12 H ' 11 1 − − H ' 12 H ' 12 − B' A' T' − A' 1 C' A' C' B' T ' A' T ' B T A T N.B. : Per poter trasformare una rappresentazione in un' altra è necessario che i denominatori delle frazioni siano diversi da zero. Potenza totale assorbita da un doppio bipolo P totale = V 1 I 1 V 2 I 2 Il bipolo si dice passivo se per ogni insieme di tensioni e correnti che soddisfano le equazioni costitutive si ha: P totale > 0. Reciprocità e simmetria Un doppio bipolo è reciproco se date due coppie diverse di tensioni e correnti, che soddisfano le relazioni costitutive, se inverto le porte di ingresso e di uscita il circuito non cambia. La simmetria è la proprietà per cui se inverto le porte di ingresso e di uscita il comportamento del bipolo non cambia. Un bipolo simmetrico è anche reciproco, ma non vale il contrario. Rappresentazione Condizione di reciprocità e simmetria Matrice R R12 = R21 (simmetrico se anche R11 = R22) Matrice G G 12 = G 21 (simmetrico se anche G11 = G22) Matrice H H 12 = − H 21 (simmetrico se anche: det(H) = 1) Matrice H' H ' 12 = − H ' 21 (simmetrico se anche: det(H') = 1) Matrice T determinante di T = 1 (simmetrico se anche A = D) Matrice T' determinante di T' = 1 (simmetrico se anche A' = D') Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Doppi Bipoli 4 NOTA BENE Di seguito si usa la seguente convenzione: • v1 ed i1 sono la tensione e la corrente entranti al collegamento tra i due bipoli (ovvero i1 è la corrente che circola in ingresso sulla linea nera più in alto e v1 è la tensione in ingresso tra la linea nera più in basso e quella più in alto) • v2 ed i2 sono la tensione e la corrente uscenti dal collegamento tra i due bipoli (ovvero i2 è la corrente che circola in uscita sulla linea nera più in alto e v2 è la tensione in uscita tra la linea nera più in basso e quella più in alto) Collegamento di doppi bipoli in serie Bipolo 1 Quando i bipoli sono collegati in serie, hanno le stesse correnti ai capi delle porte. i 1 = i 1 bipolo1 = i 1 bipolo 2 i 2 = i 2 bipolo 1 = i 2 bipolo 2 Bipolo 2 Bisogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in serie la rappresentazione con la matrice R. Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in serie si farà la somma delle matrici R e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale: v1 R11 bipolo1 R11 bipolo 2 = v2 R21 bipolo1 R 21bipolo 2 R12 bipolo1 R12 bipolo 2 i 1 ⋅ R 22 bipolo1 R22 bipolo 2 i 2 Collegamento di doppi bipoli in parallelo Bipolo 1 Quando i bipoli sono collegati in parallelo, hanno le stesse tensioni ai capi delle porte. v 1 = v 1 bipolo 1 = v 1 bipolo 2 v 2 = v 2 bipolo 1 = v 2 bipolo 2 Bipolo 2 Bisogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in parallelo la rappresentazione con la matrice G. Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in parallelo si farà la somma delle matrici G e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale: i1 G 11 bipolo 1 G 11bipolo 2 = i2 G 21 bipolo 1 G 21 bipolo2 G 12 bipolo 1 G 12 bipolo2 v ⋅ 1 G 22 bipolo 1 G 22 bipolo 2 v 2 Collegamento di doppi bipoli in cascata Quando i bipoli sono collegati in cascata, la corrente entrante in un bipolo è la stessa che esce dal bipolo precedente. Bipolo 1 Bipolo 2 Bisogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in cascata la rappresentazione con la matrice T. Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in cascata si farà la moltiplicazione delle matrici T e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale: v1 A1 = i1 C1 B1 A B2 v A1 A2 B 1 C 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = D1 C 2 D 2 − i2 C 1 A2 D 1 C 2 Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Doppi Bipoli A1 B 2 B1 D 2 v ⋅ 2 C 1 B2 D 1 D 2 − i2 5 Trasformatore ideale t primario V1 a : b secondario V2 oppure V1 primario V2 secondario Un caso particolare di doppio bipolo è il trasformatore ideale, che è in grado di modificare le tensioni e le correnti che sono poste in ingresso, amplificandole o smorzandole in uscita. Il circuito posto alla sinistra del trasformatore si chiama “circuito primario”, mentre quello posto a destra si chiama “circuito secondario”. Le relazioni di tensioni e correnti tra primario e secondario sono: v2 = t v1 v i2 = − 1 t t é il coefficiente di trasformazione da primario a secondario Da queste relazioni è possibile ricavare una tabella pratica per le operazioni di trasporto dei componenti dal primario al secondario e viceversa: t è il coefficiente di trasformazione da primario a secondario. In caso di coefficiente (a:b) → t = b/a Da Primario A Secondario Da Secondario A Primario R Resistenza R t2 A t A corrente A⋅ t E ⋅t E tensione E t R Resistenza R⋅ t A corrente E tensione 2 Il trasformatore ideale non assorbe potenza e permette di cambiare il valore della tensione senza modificare la potenza complessiva del sistema: i2 P assorbita = v 1 i 1 t v 1 − = 0 t Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Doppi Bipoli 6 Esempio di Matrice R (per doppio bipolo a T) Teoria a pagina 1 1. Ricavo R11 ed R21: Collego un generatore di corrente a sinistra del doppio bipolo e lascio aperta l'altra coppia di morsetti. I1 è la corrente imposta dal generatore di corrente ed I2 = 0, per cui tolgo anche R3. v 1 = R1 R 2 i 1 Legge di Kircchoff alla maglia v 2 = R 2 i1 Legge di Ohm Posso trovare R11 ed R21: R R2 i 1 R11 = 1 = R 1 R2 i1 R21 = R2 i 1 = R2 i1 2. Ricavo R12 ed R22: Collego un generatore di corrente a destra del doppio bipolo e lascio aperta l'altra coppia di morsetti. I2 è la corrente imposta dal generatore di corrente ed I1 = 0, per cui tolgo anche R1. v 1 = R2 i 2 Legge di Ohm v 2 = R2 R3 i 2 Posso trovare R12 ed R21: R i R12 = 2 2 = R2 i2 Legge di Kircchoff alla maglia R22 = R2 R3 i 2 = R2 R3 i2 3. Il sistema finale in forma matriciale è: v1 R R2 = 1 v2 R2 Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Doppi Bipoli R2 i ⋅ 1 R2 R3 i 2 7 Esempio di matrice G (Per doppio bipolo a Π) Teoria a pagina 1 Promemoria G=1 / R Serie: G12 = 1 / (R1 + R2) 1. Ricavo G11 e G21: Parallelo: G12 = 1/R1 + 1/R2 Legge di Ohm I=GV Collego un generatore di tensione a sinistra del doppio bipolo e un corto circuito a destra. V1 è la tensione imposta dal generatore E1, mentre V2 = 0. Dato che R2 è in parallelo con un corto circuito, la tolgo e la corrente I2 sarà quella che scorre in R3. 1 1 v1 1 i1 = v 1 ⋅ oppure i2 = − v 1 ⋅ R 1 R3 R1 R3 R Posso trovare G11 e G21: 1 1 v1 ⋅ R1 R3 1 1 G11 = = v1 R1 R3 3 R1 R 3 1 R3 V 1⋅ G 21 = − v1 =− 1 R3 2. Ricavo G12 e G22: Collego un generatore di tensione a destra del doppio bipolo e un corto circuito a sinistra. V2 è la tensione imposta dal generatore E2, mentre V1 = 0. Dato che R1 è in parallelo con un corto circuito, la tolgo e la corrente I1 sarà quella che scorre in R3. 1 1 1 i2 = v 2 ⋅ i1 = − v 2 ⋅ R3 R2 R3 Posso trovare G12 e G22: v2 ⋅ G12 = − 1 R3 v2 =− v2 ⋅ 1 R3 G 22 = 1 1 R2 R3 v2 = 1 1 R2 R3 3. Il sistema finale in forma matriciale è: 1 1 i1 R R3 = 1 i2 1 − R3 Aleksandar Gotev – Elettrotecnica – Doppi Bipoli 1 R3 v ⋅ 1 1 1 v2 R2 R3 − 8