similitudine e omotetia

Come sai, se vuoi riprodurre una figura, puoi disegnarla perfettamente
uguale rispettandone la forma e le dimensioni e cambiandone quindi
solo la posizione.
In questo caso la riproduci isometricamente, cioè attraverso una
isometria, che può essere una traslazione o una simmetria, e quindi
otterrai figure congruenti.
Puoi riprodurre una figura anche più grande o più
piccola, senza deformarla, cioè rispettandone la forma.
In questo caso la riproduci simile, attraverso una
trasformazione non isometrica che prende il nome di
similitudine.
Scopriamo le proprietà della similitudine attraverso una trasformazione
geometrica; consideriamo due triangoli simili e misuriamone la
lunghezza dei lati e l’ampiezza degli angoli.
A B = 3,8 cm
A
B C = 5 cm
A C = 6,2 cm
A’
A ' B ' = 1,9 cm
B ' C ' = 2,5 cm
B
C
B’
C’
A ' C ' = 3,1 cm
Aˆ = 55°
Bˆ = 90°
Cˆ = 35°
Aˆ = 55°
Bˆ ' = 90°
Cˆ ' = 35°
Dalle misure possiamo dire che:
•
Gli angoli corrispondenti sono congruenti;
•
I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto
costante:
A' B' 1,9 1
B' C ' 2,5 1
A' C ' 3,1 1
=
=
=
=
=
=
AB 3,8 2
BC
5
2
AC 6,2 2
sono in proporzione : A' B ': AB = B ' C ': BC = A' C ': AC
Possiamo affermare che:
Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti
ordinatamente congruenti e i lati omologhi in proporzione.
La trasformazione che si ottiene si chiama similitudine; essa lascia
invariata l’ampiezza degli angoli ma varia la lunghezza dei seguenti
segmenti corrispondenti in rapporto costante.
Tale rapporto costante si chiama rapporto di similitudine.
Due triangoli sono simili se hanno i tre angoli
ordinatamente congruenti.
C’
Aˆ ≅ Aˆ '
Bˆ ≅ Bˆ '
C
A
B
A’
B’
Cˆ ≅ Cˆ '
I due triangoli ABC e A’B’C’ hanno i tre angoli ordinatamente congruenti:
Se misuriamo i lati corrispondenti ci accorgiamo che il rapporto fra lati
omologhi è costante:
AB : A' B ' = BC : B ' C ' = CA : C ' A'
quindi i due triangoli sono simili.
Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è
sempre 180°, dal I criterio di similitudine segue che:
•
Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente
congruenti;
•
Due triangoli equilateri sono sempre simili;
•
Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice o gli
angoli alla base congruenti;
•
Due triangoli rettangoli sono simili sa hanno un angolo acuto
congruente.
Due triangoli sono simili se hanno due coppie di
lati omologhi in rapporto costante e l’angolo fra
essi compreso congruente.
A’
A
B
C
B’
C’
Consideriamo i due triangoli ABC e A’B’C’ che hanno due coppie di lati
omologhi in proporzione e l’angolo compreso congruente:
AB : A' B ' = AC : A' C '
Aˆ ≅ Aˆ '
Se misuriamo le ampiezze degli angoli e la lunghezza degli altri due lati
ci accorgiamo che:
AB : A' B' = BC : B' C ' = CA : C ' A' e
quindi i due triangoli sono simili.
Bˆ ≅ Bˆ '
Cˆ ≅ Cˆ '
Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati
omologhi in rapporto costante.
Consideriamo i due triangoli ABC e A’B’C’ che hanno le tre coppie di lati
omologhi in proporzione:
AB : A' B ' = BC : B' C ' = CA : C ' A'
Se misuriamo le ampiezze dei tre angoli ci accorgiamo che:
Aˆ ≅ Aˆ '
Bˆ ≅ Bˆ '
Cˆ ≅ Cˆ '
quindi i due triangoli, per il I criterio, sono simili.
Un’importante applicazione della similitudine fra triangoli si ha nei due
teoremi di Euclide, validi solo ed esclusivamente per i triangoli rettangoli.
A
B
H
C
Consideriamo il triangolo rettangolo ABC; rettangolo in A, e i triangoli ABH e AHC che si
ottengono tracciando l’altezza AH relativa all’ipotenusa.
Osserviamo che:
•
I triangoli ABC e ABH hanno due angoli congruenti: perché
entrambi retti; ABˆ H ≅ ABˆ C perché in comune. Per il I
criterio di similitudine i due triangoli ABC e ABH sono
quindi simili, per cui:
BC : AB = AB : BH
BHˆ A ≅ BAˆ C ,
•
I triangoli ABC e AHC hanno due angoli congruenti: AHˆ C ≅ BAˆ C,
perché entrambi retti; BCˆ A ≅ HCˆ A perché in comune. Per il I criterio di
similitudine i due triangoli ABC e AHC sono quindi simili, per cui:
A
B
BC : AC = AC : HC
C
Le due proporzioni: BC : AB = AB : BH
A
H
e
BC : AC = AC : HC
esprimono il I teorema di Euclide che possiamo enunciare:
In un triangolo rettangolo qualsiasi, ogni cateto è
medio proporzionale fra l’ipotenusa e la sua
proiezione sull’ipotenusa.
C
Le osservazioni che abbiamo fatto per arrivare a enunciare il I teorema di
Euclide ci hanno portato a osservare che:
B
•
il triangolo ABC e simile al triangolo ABH,
•
il triangolo ABC è simile al triangolo AHC.
A
A A
H
C
B
H
H
C
Per la proprietà transitiva di cui gode la relazione di similitudine,possiamo allora
dire che: il triangolo ABH è simile al triangolo AHC. Possiamo quindi scrivere
la proporzione: BH : AH = AH : HC
che esprime il II teorema di
Euclide.
In un triangolo rettangolo qualsiasi l’altezza relativa
all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni
dei due cateti sull’ipotenusa.
Primo teorema di Euclide
Consideriamo una delle due proporzioni
che ci da il I teorema di Euclide:
AB 2
BC : AB = AB : BH
proprietà fondamentale
A
AB 2 = BC × BH
H
B
A = BC x BH
C
Possiamo considerare AB² come la
superficie del quadrato di lato AB e
BC x BH come la superficie di un
rettangolo le cui dimensioni sono BC
e BH.
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un
cateto è equivalente al rettangolo che ha per base
l’ipotenusa e per altezza la proiezione del cateto stesso
sull’ipotenusa.
Secondo teorema di Euclide
Consideriamo una delle due proporzioni
che ci da il II teorema di Euclide:
BH : AH = AH : HC
A
AH 2
proprietà fondamentale
AH 2 = BH × HC
A = BH x HC
B
H
C
Possiamo considerare AH² come la
superficie di un quadrato di lato AH, e
BH x HC come la superficie di un
rettangolo le cui dimensioni sono BH
e HC.
In un triangolo rettangolo il quadrato
costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è
equivalente al rettangolo che ha per
dimensioni le due proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa.
Proviamo ad ingrandire il triangolo ABC, proiettiamo da un punto
fisso O i vertici del triangolo e su ciascuna retta passante per i
vertici prendiamo i punti a essi corrispondenti in modo che :
OA' = 2OA, OB ' = 2OB e OC ' = 2OC.
Unendo i punti A’, B’ e C’ otteniamo il
triangolo corrispondente di ABC.
C’
C
B’
B
O
A
A’
Se si vuole rimpicciolire il quadrilatero ABCD della
metà,proiettiamo da un punto fisso O i vertici del quadrilatero e su
ciascuna retta passante per i vertici prendiamo i punti a essi
corrispondenti in modo che:
1
1
1
1
'
'
OA = OA, OB = OB OC = OC e OD' = OD.
2
2
2
2
'
Unendo i punti A’, B’, C’ e D’, otteniamo il
quadrilatero corrispondente di ABCD.
C
D
C’
D’
O
B
B’
A’
A
La trasformazione che ci permette di ingrandire il triangolo ABC o di
rimpicciolire il quadrilatero ABCD è una particolare similitudine detta
omotetia e le coppie di poligoni ABC e A’B’C’, ABCD e A’B’C’D’, tra loro
simili,si dicono più esattamente omotetici.
Diciamo che:
Due figure sono omotetiche se i loro punti corrispondenti sono allineati
su rette che si incontrano tutte in un punto, detto centro dell’omotetia,
e i loro lati corrispondenti sono in rapporto costante. Tale rapporto di
proporzionalità, k, si chiama rapporto di omotetia o caratteristica
dell’omotetia.
C
D
C’
D’
O
B
B’
A’
A
Un’omotetia può essere diretta o inversa.
•
Parliamo di omotetia diretta se i vertici corrispondenti si prendono,
rispetto al centro dell’omotetia, dalla stessa parte dei vertici della
figura data.
O
o
B
C’
B’
F
A
A’
C
D
A’
H’
B’
C’
A
F’
D’
H
Omotetia diretta di
caratteristica k = 2
Omotetia diretta di
caratteris tica k =
1
3
B
C
•
Parliamo di omotetia inversa se i vertici corrispondenti si prendono,
rispetto al centro dell’omotetia, dalla parte opposta dei vertici della
figura data.
A’
D’
C’
B’
H’
F’
C’
B
A’
o
A
A
C
F
B’
O
D
H
Omotetia inversa di
caratteris tica k = 2
B
C
Omotetia inversa di
caratteris tica k =
1
3
La caratteristica k dell’omotetia determina il rimpicciolimento o
l’ingrandimento della figura.
In particolare:
•
Se k > 1 si ha un ingrandimento della figura trasformata rispetto ad una
figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in
quella inversa;
•
Se k < 1 si ha un rimpicciolimento della figura trasformata rispetto ad una
figura presa in esame, questo avviene sia nella omotetia diretta che in
quella inversa;
•
Per k = 1 la figura trasformata rispetto ad una figura presa in esame è
coincidente se l’omotetia è diretta, si dice quindi che è un’identità.
Nell’omotetia inversa si ha una simmetria centrale.