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Le trasformazioni geometriche
La congruenza
Definizioni
1. Una trasformazione geometrica che mantiene inalterata la forma e
l’estensione si chiama movimento rigido.
2. Si dicono movimenti rigidi diretti quelle trasformazioni che si
compiono nel plano; in questo caso tali figure sono direttamente
congruenti [figura 1]
3. Si dicono movimenti rigidi inversi quelle trasformazioni che si
compiono uscendo dal piano; in questo caso tali figure sono
inversamente congruenti. [figura 2]
Proprietà
•
La relazione di congruenza gode della proprietà riflessiva: F = F’
•
La relazione di congruenza gode della proprietà simmetrica: se F = F’
allora F’= F
•
La relazione di congruenza gode della proprietà transitiva: F=F’ e
F’=F’’ allora F=F’’
La traslazione
Definizione
1. Una traslazione [figura 1] é un movimento isometrico diretto
determinato da un vettore che ne fissa modulo, direzione e verso.
Proprietà
•
La composizione o il prodotto di due o più traslazioni è ancora una
traslazione.
La rotazione
Definizione
1. La rotazione [figura 1] è un movimento isometrico diretto determinato de un centro di rotazione,
da un angelo orientato che ne determina l’ampiezza e il verso del movimento.
Proprietà
•
Se ruotiamo, una figura due volte attorno allo
stesso centro e nello stesso senso, l'angolo di
rotazione è uguale alla somma degli angoli
relativi alle due rotazioni.
•
Se ruotiamo una figura due volte attorno allo
stesso centro e in senso opposta, l'angolo di
rotazione é uguale alla differenza degli angoli
relativi alle due rotazioni.
La simmetria
Definizioni
1. Si chiama simmetria assiale di asse a quella trasformazione
geometrica che ad ogni punto del piano associa il suo simmetrico
rispetto ad a. [figura 1]
2. Si chiama simmetria centrale di centro O la trasformazione
geometrica che ad ogni punto dei piano associa il suo simmetrico
rispetto ad O. [figura 2]
Proprietà
•
Un poligono A possiede una retta r come suo asse di simmetria se
ogni punto P di A ha come simmetrico, rispetto ad r, un altro punto
P' appartenente anch'esso ad A.
•
Un poligono A possiede un centro di simmetria O se ogni punto P
di A ha per simmetrico, rispetto ad O, un altro punto P'
appartenente anch'esso ad A.
•
Il prodotto di due simmetrie assiali con assi paralleli è una
traslazione di vettore v perpendicolare ai due assi e modulo pari al
doppio della loro distanza.
•
Il prodotto di due simmetrie assiali con assi incidenti e una rotazione avente il centro nel punto di
intersezione degli assi e l'angolo di rotazione di ampiezza doppia rispetto all'angolo formato dai
due assi.
•
Il prodotto di due simmetrie assiali con assi perpendicolari è una simmetria centrale avente il
centro nel punto di intersezione degli assi.
L’omotetia
Definizioni
1. Un'omotetia diretta [figura 1] è una corrispondenza tra figure
geometriche caratterizzata da un punto fisso O, che individua il
centro dell’omotetia, e da un valore k, che prende il nome di
rapporto o caratteristica; nella omotetia diretta le due figure si
trovano dalla stessa parte rispetto al punto O.
2. Un’omotetia inversa [figura 2] è una corrispondenza tra figure
geometriche, caratterizzata da un punto fisso O, che individua il
centro dell’omotetia, e da un valore k, che prende il nome di
rapporto o caratteristica; nella
omotetia inversa le due figure
si trovano da parti opposte rispetto al punto O.
Proprietà
•
Un'omotetia è una trasformazione de mantiene il parallelismo tra i
lati lasciando quindi inalterata l’ampiezza degli angoli: cambiamo
invece le misure dei segmenti corrispondenti secondo un rapporto
costante pari alla caratteristica. (k=A’B’: AB)
Le dimensioni di una figura in un’omotetia diretta o inversa, dipendono dal
valore k del rapporto
se k>1 si ottiene un ingrandimento;
se k<1 si ottiene un rimpicciolimento;
se k=1 in una omotetia diretta si ottiene una omotetia identica;
se k=1 in una omotetia inversa si ottiene una simmetria centrale.
La similitudine
Definizioni
1. La corrispondenza che si ottiene dal prodotto di un’omotetia
con un'isometria si chiama similitudine. [figura 1]
2. Le figure che si corrispondono in questo tipo di
trasformazione si dicono simili.
3. I criteri di similitudine sono regole per stabilire rapidamente
se due triangoli sono simili.
Proprietà
•
La similitudine è una trasformazione che lascia immutate le ampiezze degli angoli, le lunghezze
dei segmenti invece si trasformano secondo un rapporto costante che si chiama rapporto di
similitudine.
•
Due poligoni sano simili quando hanno gli angoli ordinatamente congruenti e le misure dei lati
omologhi legate da un rapporto costante.
•
Primo criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente
congruenti
•
Secondo criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno una coppia di angoli omologhi
congruenti e i lati che li comprendono in proporzione.
•
Terzo criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti in
proporzione.
Teoremi
•
In due triangoli simili le altezze sono proporzionali alle rispettive basi.
•
Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale a quello tra le misure di due lati
corrispondenti.
•
Tutte le misure lineari corrispondenti di due poligoni simili stanno tra loro nello stesso rapporto di
similitudine.
•
Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è uguale a quello tra i quadrati di due lati
corrispondenti.
I teoremi di Euclide
•
Primo teorema di Euclide: In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra
l’ipotenusa e la protezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
AB : BC = BC : HB [figura 1]
•
Secondo teorema di Euclide: In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all'ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
AH : HC = HC : HB [figura 1]