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Voglio prendere in esame uno dei quesiti assegnati all’esame di Stato 2007, PNI, sessione
suppletiva.
Si consideri la seguente proposizione: “In ogni triangolo isoscele la somma delle distanze di un punto
della base dai due lati uguali è costante”. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la
risposta.
RISOLUZIONE.
Ho visto pubblicate in rete soluzioni che confermano ancora una volta una mia antica opinione: noi
professori di matematica apparteniamo ad un club speciale che si chiama UCAS (Ufficio
Complicazioni Affari Semplici). In effetti, qualcuno ha risolto il quesito coinvolgendo la
trigonometria, qualche altro addirittura la geometria analitica. Insomma molti hanno deciso di
attraversare la strada servendosi della ferrari.
Ora, il problema si risolve in un rigo di ragionamento con considerazioni che sono alla portata di un
ragazzino di prima liceo, oppure, se proprio vogliamo esagerare, con considerazioni che può fare uno
studente di seconda liceo.
Il primo modo di ragionare richiede soltanto che si sappia calcolare l’area di un triangolo. Il secondo
che si conosca il primo criterio di similitudine dei triangoli.
A
N
M
B
P
H
Fig. 1
C
Partiamo da quest’ultimo procedimento. Indicato con ABC il triangolo isoscele sulla base BC, si
chiami P un qualsiasi punto di questa base e siano M ed N le proiezioni ortogonali di P rispettivamente
sui lati AB e AC (fig. 1). Chiamato H il punto medio di BC, dalla similitudine dei triangoli AHB e
MP AH
NP PC
PMB segue:
=
, mentre da quella dei triangoli AHC e PNC segue:
=
. Si ha,
BP AB
AH AC
AH
AH
pertanto: MP =
⋅ BP e NP =
⋅ PC , da cui, dopo qualche altra considerazione, si ottiene:
AB
AC
AH
MP + NP =
⋅ BC . La proposizione è dunque vera.
AB
In realtà, in maniera molto più rapida, è sufficiente constatare che la somma dei triangoli APB e APC
è uguale al triangolo ABC, per cui si ha:
1
1
1
AB ⋅ MP + AC ⋅ NP = BC ⋅ AH .
2
2
2
Da qui segue subito la stessa relazione trovata prima. Rapido, efficace e comprensibile.
Il tutto senza scomodare né la trigonometria né la geometria analitica.