Esercizio 25 La statistica test calcolata su un campione casuale

ESERCIZI INFERENZA STATISTICA
Esercizio 1 Si sono sperimentati i tempi di cottura su 2 diversi tipi di pasta: A, B. Ogni campione casuale
semplice è costituito da 14 pacchi di un assegnato tipo di pasta da 500g, posto sotto cottura a identiche
condizioni. Si sono ottenuti i seguenti risultati
Pasta
Tempo
medio in min.
Varianza
corretta s2
A
B
9,8
10,4
1,05
0,72
Saggiare l’ipotesi di H0: μA = μB = μ per α=0.05
Esercizio 2 Estratto un campione casuale di consumatori di dimensione n=66, il 57% dei soggetti
dichiara di essere indifferente alla marca del prodotto
a)Si controlli l’ipotesi Ho: p= 0,5 di indifferenza dei consumatori, con =0,05.
b)Si costruisca l’intervallo di confidenza per il parametro p con =0,05.
Esercizio 3 Uno stimatore della media risulta distorto con E(Tn) = µ +√𝑛 e varianza V (1Tn) = [(n-1)σ4]/n2
1) Definire l’errore quadratico medio MSE (Tn)
2)Verificare se lo stimatori è consistente.
̅= 8,52 e la varianza nota in
Esercizio 4 In un campione casuale di n = 86 unità la media è 𝒙
popolazione è σ2 = 1,44: posta l’ipotesi Ho: µ= 8,5 verso H1: µ= 8,64 determinare la probabilità β
dell’errore di secondo tipo con =0,05.
Esercizio 5 Dato un carattere X con f(x, θ)= N(µ, σ2), si è calcolata la media aritmetica su due campioni
casuali trattati con due diversi fattori sperimentali. Si sono ottenuti i seguenti risultati:
C1 n1 = 10 m1 = 13 e varianza corretta s12 = 2,2
C2 n2 = 12 m2 = 11,8 e varianza corretta s22 = 1,9
Controllare l’ipotesi Ho : µ1 = µ2 = µ ad un livello α = 0,01.
Esercizio 6 Dato un campione di 450 giovani classificati per residenza e numero di libri letti in un anno
Residenza
n. libri letti
0-1
2-5
Oltre 5
totale
nord est
nord ovest
centro
sud e isole
totale
65
52
12
129
84
66
18
168
30
43
6
79
51
19
4
74
230
180
40
450
saggiare l’ipotesi di indipendenza in popolazione tra le variabili osservate per α=0.01
Esercizio 7 In un campione casuale di n = 16 unità, la varianza non corretta è s2 = 1,50, costruire
l’intervallo di confidenza attorno a σ2, per =0,05.
Esercizio 8 Uno stimatore 1Tn ha MSE (1Tn) = [3(n-1)σ4]/4n2 viene confrontato con un secondo stimatore
4
2
2
2Tn che ha MSE (2Tn) = σ /2n (n-1) .
1)Verificare quale dei due stimatori è più efficiente?
2)Verificare se i due stimatori sono consistenti.
Esercizio 9 Dato un campione casuale di consumatori di dimensione n=36, il 24% dei soggetti dichiara di
preferire prodotti a km zero. Si calcoli l’intervallo di confidenza per p con =0,05.
Esercizio 10 La statistica test calcolata su un campione casuale semplice per saggiare l’ipotesi Ho ha un pvalue uguale a 0,032. Quale decisione si può prendere sull’ipotesi Ho con riferimento ad =0,02
Esercizio 11 In un campione casuale C1 di n=12 giovani si è osservato il tempo medio di reazione 𝑥̅ = 0,52
secondi con s = 0,07. Il risultato si è confrontato con i tempi di reazione di un campione casuale C2 di n = 8
giovani con auricolare attivo in cui è 𝑥̅ = 0,88 secondi con s = 0,12.
Controllare l’ipotesi Ho : µ1 = µ2 = µ con α=0.05, specificando le condizioni di applicazione del test.
Esercizio 12 Siano 2 variabili aleatorie a distribuzione uniforme, associate a due estrazioni casuali:
X1= 0; 1 e X2 = 1; 2; 3; 4; 5; 6. Costruire lo spazio degli eventi e descrivere la distribuzione di
frequenza della variabile aleatoria (X1 + X2)/2.
Esercizio 13 Si sono sperimentati i tempi di cottura su tre diversi tipi di pasta: A, B, C. Ogni campione
casuale semplice è costituito da 8 pacchi di un assegnato tipo di pasta da 500g, posto sotto cottura a identiche
condizioni. Si sono ottenuti i seguenti risultati
Pasta
A
B
C
Tempo medio
in min. 𝑥̅
11,2
8,1
13,7
Varianza
corretta s2
1,0
1,1
1,5
Saggiare l’ipotesi di H0: μA = μB = μC = μ per α=0.05
Esercizio 14 La distribuzione di un carattere discreto X è approssimata da un modello teorico di Poisson:
X:
0-1
2
3
4
5
6
7
8
9-10
ni:
260
383
525
532
408
273
139
45
43
n1 *
264,9 407
525,5 508,4 393,5 253,8 140,3 67,9 46,3
Saggiare la aderenza del modello teorico alla distribuzione empirica con un opportuno test di significatività
per α=0.05
Esercizio 15 Estratto un campione casuale di consumatori di dimensione n=86, il 54% dei soggetti dichiara
di essere indifferente alla marca del prodotto. Si calcoli l’intervallo di confidenza per p e si controlli l’ipotesi
Ho: p = 0,5 di indifferenza dei consumatori, con =0,05.
Esercizio 16 Si sono sperimentati i tempi di reazione di 4 diversi tipi di catalizzatori chimici I, II, III, IV in
28 esperimenti raggruppati in quattro gruppi. Ogni esperimento è stato realizzato in identiche condizioni. Si
sono ottenuti i seguenti risultati
I
II
III
IV
n. esperimenti
6
8
7
7
Tempo medio
μ di reaz. min
2,4
3,6
3,8
2,9
Varianza
corretta s2
1,4
1,9
2,1
1,6
Saggiare l’ipotesi di H0: μI = μII = μIII = μIV = μ per α=0.05
Esercizio 17 Il modello distributivo di un carattere X in popolazione è:
f(x,θ) = Kθ-1 exp(-x2 θ-2)/2
Dato un campione casuale semplice di numerosità n, determinare la stima di max verosimiglianza del
parametro θ.
Esercizio 18 Il modello distributivo di un carattere X in popolazione è:
1
f(x,θ) = K exp [- 2 (x-θ)2]
Dato un campione casuale semplice di numerosità n, determinare la stima di max verosimiglianza del
parametro θ.
Esercizio 19 Calcolare la probabilità β dell’errore di secondo tipo per l’ipotesi H0: μ = 10,2 minuti contro
̅ = 11,6 e s = 2,4.
H1: μ = 12,4 in un campione casuale di n=36 unità con 𝒙
Esercizio 20 Uno stimatore 1Tn ha MSE (1Tn) = 3σ2/2n2 viene confrontato con un secondo stimatore
corretto 2Tn che ha V(2Tn) = 3σ2/n(n-1). E’ possibile riconoscere quale dei due stimatori è più
efficiente? Se sì, procedere alla verifica. E’ possibile verificare se i due stimatori sono consistenti?
Se sì, procedere alla verifica.
Esercizio 21 Un campione casuale di 16 pazienti esprime il proprio gradimento sui servizi erogati dalla
ASL di riferimento e si ottengono le seguenti risposte in un range da 1 a 10:
valutazioni: 7, 5, 8, 6, 7, 3, 6, 5, 9, 7, 8, 7, 5, 9, 5, 7.
I risultati sono compatibili con l’ipotesi H0: µ= 6, con =0,05? Precisare il test da usare e i requisiti
necessari per la sua applicazione.
Esercizio 22 Verificare se lo stimatore (4X1 +2X2 -3 X3)/3 è corretto rispetto alla media µ di popolazione,
essendo le X1, X2 X3 variabili aleatorie i.i.d. generate dalla popolazione con criterio di campionamento
casuale semplice.
Esercizio 23 Il modello distributivo di un carattere X in popolazione è:
f(x,θ) = Kθ-1 exp [- x2/2θ2] =
Dato un campione casuale semplice di numerosità n, determinare lo stimatore di max verosimiglianza del
parametro θ.
Esercizio 24 La distribuzione di un carattere discreto X è stata approssimata da un modello teorico
gaussiano con μ e σ2 stimati dal campione:
X:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ni:
3
4
6
30
43
28
10
6
1
ni *
1,8
4,7
5,9
31,8 40,6 27,4 11,4 6,6
0,8
Saggiare la aderenza del modello teorico alla distribuzione empirica con =0,05.
Esercizio 25 La statistica test calcolata su un campione casuale semplice per saggiare l’ipotesi H o
risulta un valore numerico a cui corrisponde un p-value uguale a 0,074. Quale decisione si può
prendere sull’ipotesi Ho ?
Esercizio 26 Il modello distributivo di un carattere X in popolazione è:
f(x,θ) = K exp [-
1
2
(x-θ)2]
Dato un campione casuale semplice di numerosità n, determinare la quantità di informazione di Fisher In