Teorema di Gauss

Enunciato
Nel vuoto, il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa è uguale alla
carica interna fratto la costante dielettrica del vuoto.
In sintesi:
 Q
 Schiusa E  int erna
0

Dimostrazione
Per fare la dimostrazione in modo rigoroso servirebbero alcuni strumenti matematici di cui ancora
non disponiamo. Procediamo quindi per via elementare dimostrando il teorema in casi particolari e
generalizzando poi il risultato.
1° caso:
Sorgente di campo elettrico: carica puntiforme Q (per
semplicità positiva, ma la dimostrazione è analoga in caso di
carica negativa)
Superficie chiusa considerata: una generica sfera di raggio r
che ha il centro in Q.
In questo caso sappiamo che il campo è radiale, uscente e di

Q
modulo pari a E 
.
40 r 2
Osserviamo che su ogni superficie infinitesima la normale e il
campo sono paralleli, quindi:

 
 sfera E   E  dS   E dS cos(0)

def sfera
sfera
inoltre ogni punto della sfera si trova a distanza fissa r dalla carica sorgente, quindi il modulo del

campo è costante ( E 
Q
40 r 2
) e si può portar fuori dall’integrale (o, se pensiamo ad una somma
infinita di termini infinitesimi, si può raccogliere), quindi:

Q
 sfera E 
dS , infine  dS  S sfera  4r 2

40 sfera
sfera

Q
Q
 4r 2 
Si ottiene così la tesi  sfera E 
40
0


2° caso
Sorgente di campo elettrico: carica puntiforme Q (per esempio
positiva, ma la dimostrazione è analoga in caso di carica
negativa)
Superficie chiusa considerata: una generica superficie
contenente Q. (superficie verde)
Teorema di Gauss
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Ricordiamo che dal punto di vista qualitativo il flusso rappresenta il numero di linee di campo che
attraversano una superficie, in particolare, se due superfici sono attraversate dalle stesse linee di
campo, i flussi attraverso di esse saranno uguali.
Guardando il disegno, notiamo che le linee di campo che attraversano la sfera (gialla) sono tutte e
sole quelle che attraversano la generica superficie chiusa (verde), per quanto ricordato sopra:


 sup erficie generica E   sfera E , ma data la dimostrazione fatta nel 1° caso si avrà che

Q
 sup erficie generica E 
, cioè la tesi.
0



3° caso
Sorgente di campo elettrico: carica puntiforme Q (per esempio
positiva, ma la dimostrazione è analoga in caso di carica
negativa)
Superficie chiusa considerata: una generica superficie NON
contenente Q. (superficie azzurra)
Ricordiamo che dal punto di vista qualitativo il flusso
rappresenta il numero di linee di campo che attraversano una
superficie, in particolare, data una superficie chiusa, se il
numero di linee entranti è uguale a quello di quelle uscenti, il
flusso è nullo.
Guardando il disegno si osserva che ciascuna linea entra ed esce dalla superficie azzurra, dando così
un contributo nullo. Quindi, se la carica non è contenuta nella superficie, in accordo con quanto

vogliamo dimostrare  sup erficie generica che non contiene Q E  0

4° caso
Sorgente di campo elettrico: una generica distribuzione di carica (N cariche puntiformi)
Superficie chiusa considerata: una generica superficie.
Per considerare il caso generale, ricordiamo il principio di sovrapposizione
Q5
degli effetti, cioè il campo elettrico generato da più sorgenti è la somma
vettoriale dei campi che ciascuna sorgente genererebbe se fosse da sola: Q1
 


Q4
E  E1  E2  ....  E N , essendo il flusso un operatore lineare (cioè il flusso di
Q3
una somma è uguale alla somma dei flussi), si potrà scrivere:
Q2




 Schiusa ( E)   Schiusa ( E1 )   Schiusa ( E2 )  ....   Schiusa ( E N )
Per le dimostrazioni fatte nei casi precedenti, i termini di questa somma sono
nulli se la carica non è contenuta nella superficie chiusa, oppure pari al valore della carica fratto la
costante dielettrica del vuoto se la carica è contenuta nella superficie chiusa); in pratica ciò che
Q
rimane è int erna , cioè la tesi.
0
Nell’esempio rappresentato avremmo:




Q
Q
Q
Q
 Schiusa ( E )   Schiusa ( E1 )   Schiusa ( E2 )  ....   Schiusa ( E5 )  0  2  0  4  5  int erna
0
0 0
0
Teorema di Gauss
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