elettrostatica – esercizio n. 27 - Digilander

elettrostatica – esercizio n. 27
Una distribuzione spaziale continua e uniforme di densità pari a ρ = 3,6·10−9 C/m3 ha
forma sferica di raggio R = 56,3 cm. Determinare la differenza di potenziale VP1 – VP2 tra
due punti P1 e P2 distanti dal centro della sfera r1 = 97,8 cm ed r2 = 138,0 cm,
rispettivamente.
R.: 7,20 V ;
R
P1
r1
P2
r
r2
La carica contenuta nella distribuzione spaziale a forma sferica vale:
q = ρ⋅V = ρ⋅
4
⋅ π ⋅ R3
3
Il modulo dell’intensità del campo elettrico al di fuori di una sfera uniformemente carica
può essere trovata molto facilmente mediante il teorema di Gauss; essa vale:
Er = k
q
r2
Dalla definizione di differenza di potenziale:
dV = −Eids = −Er ⋅ dr = −k ⋅
q
dr
⋅ dr = −k ⋅ q ⋅ 2
2
r
r
Integrando tra P1 e P2 si ottiene:
1
1
⎛1 1⎞
dr
dr
⎡ 1⎤
VP1 − VP2 = ∫ dV = ∫ −k ⋅ q ⋅ 2 = −k ⋅ q ⋅ ∫ 2 = −k ⋅ q ⋅ ⎢ ⎥ = k ⋅ q ⋅ ⎜ − ⎟ =
r
r
⎣ r ⎦ r2
⎝ r1 r2 ⎠
P2
r2
r2
P1
= k ⋅ρ⋅
=
r1
r
r
⎛1 1⎞ 4
⎛1 1⎞
4
⋅ π ⋅ R3 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⋅ k ⋅ ρ ⋅ π ⋅ R3 ⋅ ⎜ − ⎟ =
3
⎝ r1 r2 ⎠ 3
⎝ r1 r2 ⎠
(
4
⋅ 8,988 ⋅ 109 ⋅ 3,6 ⋅ 10 −9 ⋅ π ⋅ 56,3 ⋅ 10 −2
3
)
3
1
1
⎛
⎞
−
= 7,20 V
⋅⎜
−2
−2 ⎟
138,0 ⋅ 10 ⎠
⎝ 97,8 ⋅ 10