COMPITO DI MATEMATICA DISCRETA Parte I 2 Luglio 2009

COMPITO DI MATEMATICA DISCRETA Parte I
2 Luglio 2009
1. Formalizzare la seguente frase: “x è un numero primo”.
Soluzione: x è un numero primo sse
(x 6= 0) ∧ (x 6= 1) ∧ (∀y)(∀z)(x = y × z → (y = x ∨ z = x)).
2. Dimostrare per induzione, utilizzando la formula di Stifel
ogni intero n ≥ 1
n
X
n
= 2n .
k
n
k
=
n−1
k−1
+
n−1
k
, che per
k=0
Soluzione: Base dell’induzione n = 1: 10 + 11 = 1 + 1 = 2 = 21 . Supponiamo che
l’identita’ sia vera per n e dimostriamola per n + 1.
n
2n+1 = 2P
+ 2n P
n
n
=
+ nk=0 nk k
k=0
Pn+1 n
P
n
=
+ nk=0 P
k−1
k
k=1 P
n
n
n
n
= nn +
+
+
k
−
1
k
k=1
P k=1 = 1 + Pnk=1 ( k −n 1 + nk ) + 1
= 1 + nk=1Pn +k 1 + 1
= nn ++ 11 + nk=1 n +k 1 + n +0 1
Pn+1 n + 1
=
k
k=0
per ipotesi d’induzione
n
0
per la formula di Stifel
3. Si dimostri che esistono infinite funzioni surgettive dall’insieme dei numeri naturali nell’insieme
{0, 1, 2, 3}.
Soluzione: Un insieme X è infinito se esiste una funzione iniettiva da N0 in X. Per ogni
numero naturale n si consideri la seguente funzione fn : N0 → {0, 1, 2, 3}:
fn (x) =
3
se x = n
x mod 3 altrimenti
dove x mod 3 è uguale al resto della divisione di x per 3. Quindi, x mod 3 può essere
uguale a 0 oppure 1 oppure 2. Se n =
6 k allora fn 6= fk perché fn (n) = 3 mentre
fk (n) = n mod 3 < 3.
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