(a 3 ) 2

Il numero è l'elemento base della aritmetica. L'aritmetica è quella parte della
matematica che studia i numeri. Mentre la geometria è quella parte della
matematica che studia le figure geometriche, come il quadrato, il triangolo, ecc.
Noi utilizziamo il sistema decimale, cioè il sistema che si basa sul numero 10, cioè
in base 10. (i computer usano il sistema binario base 2)
Infatti, imparando a contare da uno fino a dieci, si nota che anche i numeri
successivi si assomigliano nel conteggio, tranne una piccola differenza di posizione
delle cifre.
Le cifre sono gli elementi base della numerazione decimale.
Le cifre sono dieci e comprendono la cifra 0 , detta zero. Le dieci cifre del
sistema decimale sono le seguenti.
0
1
2
3 4
5
6
7
8
9 10
zero
uno
due
tre
cinque
sei
sette
otto
nove
quattro
dieci
Combinando insieme le varie cifre otteniamo tutti i numeri possibili del sistema
decimale.
Infatti ogni numero deve per forza contenere le sole cifre previste nel sistema
decimale; e non ci sono altre cifre oltre le dieci indicate sopra. La cifra, quindi, è
un simbolo. La cifra ha un significato diverso in base alla posizione in cui la metto.
Esempio
Consideriamo la cifra 0 e i seguenti numeri:
10
250
4460
La cifra 0 occupa sempre l'ultimo posto a destra, ma non ha sempre lo
stesso significato.
Infatti il nostro sistema decimale è di tipo posizionale, cioè la cifra assume
un significato diverso in base alla posizione in cui si trova, secondo la regola
seguente.
miliardo
centinaiadi
milioni
diecine di
milioni
migliaia
di
migliaia
= milione
centinaia
di migliaia
decine
di
migliaia
migliaia
centi
naia
decine
unità
1000000000
100000000
10000000
1000000
100000
10000
1000
100
10
1
I numeri che abbiamo visto fino ad ora sono numeri interi. In aritmetica, per fare dei
calcoli, cioè le operazioni matematiche, servono anche i numeri con la virgola, cioè i
numeri decimali.
Esempio
15,25
è un numero con la virgola. Esso è costituito da due parti, la parte prima della virgola e la
parte dopo la virgola.
parte intera
virgola
15
,
parte decimale
25
La parte prima della virgola costituisce la parte intera; mentre la parte dopo la virgola è
detta parte decimale.
Un numero si dice decimale se contiene una virgola. I numeri senza virgola sono detti
numeri interi.
La parte decimale ha dei nomi particolari
La prima cifra dopo la virgola indica i decimi, cioè la decima parte dell'unità; nel nostro
caso abbiamo 2 decimi.
La seconda cifra dopo la virgola indica i centesimi, cioè la centesima parte di una unità;
nel nostro caso abbiamo 5 centesimi.
La terza cifra dopo la virgola indica i millesimi, cioè la millesima parte dell'unità; nel
nostro caso abbiamo 0 millesimi.
Quante sono le cifre dopo la virgola?
Di solito un numero decimale ha infinite cifre dopo la virgola
Proporzioni
a:b = c:d

ad = bc
Prodotto dei medi = prodotto degli estremi
Nulla di magico: sono solo normali equazioni!
a/b = c/d

a = bc/d
b = ad/c
c = ad/b
d = bc/a
Applicazione “quotidiana”: conversione di unità di misura
Conversione di unità di misura
... ogni giorno, nella vita quotidiana, usiamo inconsciamente le proporzioni...
Prezzo in lire  Prezzo in euro
N £ 1936.27 £

x
1€

x
Es.
N£ 1 €
1
 N
€  N  0.000516 €
1936.27 £
1936.27
Prezzo in euro  Prezzo in lire
N €
1 €

x
1936.27 £

x
N €  1936.27 £
 N  1936.27 £
1€
Fattore di conversione = rapporto tra due unità di misura
Es.
Velocità
km/h  m/s
m/s  km/h
1 km/h = 1000 m / 3600 s = 0.28 m/s
n km/h = n * 0.28 m/s
1m/s = 0.001 km / (1/3600) h = 3.6 km/h
n m/s = n * 3.6 km/h
Velocità di un atleta dei 100 m: 10 m/s = 10*3.6 km/h = 36 km/h
di un’automobile:
della luce:
120 km/h = 120*0.28 m/s = 33.6 m/s
300000 km/s = 3*108 m/s = 3*108*3.6 km/h = 1.08*109 km/h
La potenza di un numero
A volte capita di avere delle moltiplicazioni di tipo particolare.
Esempio
3 x 3 x 3 x 3;
oppure
5 x 5 x 5;
oppure
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2;
Sono delle particolari moltiplicazioni di un numero per sé stesso.
Per semplicità si usa una forma abbreviata che è la seguente.
Invece di scrivere:
3x3x3x3
scriviamo: 34
per indicare che il numero 3 va moltiplicato per 4 volte con se stesso.
Analogamente
53 = 5 x 5 x 5
indica che il numero 5 va moltiplicato per 3 volte con se stesso.
Analogamente
29= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
indica che il numero 2 va moltiplicato per 9 volte con se stesso.
Potenze
Operazioni algebriche:
Addizione
a+b
Moltiplicazione a•b = a+a+a… (b volte)
Potenza
ab = a•a•a… (b volte)
Operazioni inverse
Sottrazione
Divisione
Radice b-esima
(quando possibili)
ab  a = base, b = esponente
Proprietà delle potenze
di ugual base
(nessuna particolare proprietà)
a3 + a2 = (a•a•a) + (a•a)
= a•a•(a+1) … dipende!
an • am  an+m
a3•a2 = (a•a•a)•(a•a) = a•a•a•a•a = a5
(an)m  an*m
(a3)2 = (a•a•a)•(a•a•a) = a•a•a•a•a•a = a6
an:am  an-m
a3:a2 = (a•a•a):(a•a) = a = a1
an
+
:=/
am
 …
Si dice esponente il numero di volte che il
numero della base compare nella
moltiplicazione per sé stesso.
Si dice potenza il prodotto ottenuto
moltiplicando il numero per sé stesso.
Quindi:
3 = base
4 = esponente
81 = potenza
Ogni numero che viene elevato ad esponente 0 è sempre uguale ad 1.
=1
Potenze a esponente negativo
an/am  an-m
a3/a2 = (a•a•a)/(a•a) = a = a1
Ma attenzione:
a3/a2 = (a•a•a)/(a•a) = a = a1 = a3-2
a2/a3 = (a•a)/(a•a•a) = 1/a = a-1 = a2-3
a3/a3 = (a•a•a)/(a•a•a) = 1 = a0 = a3-3
La regola continua a valere, purchè si definisca
a-n = 1/an
a0 = 1
potenza a esponente negativo
potenza a esponente nullo
Potenze
di
10
Per esprimere brevemente numeri molto grandi o molto piccoli:
106
si legge 'dieci alla sesta'
è uguale a 1 moltiplicato per 106: 1•1000000 = 1000000
è uguale a 1.0 spostando la virgola a destra di 6 posti
es. 3.5•106 = 3500000
10-6
si legge 'dieci alla meno 6'
è uguale a 1 diviso per 106:
1/1000000 = 0.000001
è uguale a 1.0 spostando la virgola a sinistra di 6 posti
es. 3.5•10-6 = 0.0000035
Es.
numero di Avogadro  NA = 6.022 • 1023 = 602200000000000000000000
massa dell’elettrone  me = 9.1 • 10-31 kg = 0.00000000000000000000000000000091 kg
Notazione scientifica
Nei calcoli scientifici si usa scrivere i numeri grandi e piccoli come
una cifra (da 1 a 9),
seguita eventualmente da punto decimale e cifre successive,
per la relativa potenza di dieci
500 = 5•102
3578 = 3.578•103
10000 = 104
Es.
0.05 = 5•10-2
0.003578 = 3.578•10-3
0.0001 = 10-4
Vantaggio: le potenze di 10 sono potenze!
Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente
operazioni complicate, con risultati non lontani dal risultato vero.
Es.
= 207262968 = 2.07•108 (esatto)
= (2.897•103) • (7.1544•104)
= 2.897 • 7.1544 • (103 • 104)
 (3•103) • (7•104) = 3•7 • 107 = 21•107 = 210000000 = 2.1•108 (appross.)
2897 • 71544
Percentuale
Metodo “comodo” per esprimere variazioni
(aumenti o diminuzioni) rispetto a una situazione nota
1 % = 1/100 = 10-2
= 0.01
n % = n/100 = 10-2•n = 0.01•n
Es.
• 3% di 150 = 3•150/100 = 0.03•150 = 3•1.5 = 4.5
• 20% di 1000000 = 0.20 •1000000 = 200000
• 20% di 0.003 = 0.20 • 0.003 = 2 •10-1 • 3 •10-3 = 6 •10-4 = 0.0006
• 200% di 1000 = 2 •1000 = 2000 (raddoppiare = aumentare del 100% = passare al 200 %)
La percentuale e’ sempre relativa alla grandezza
a cui si riferisce.
Es.
• 3% di 150 = 4.5 (adimensionale)
• 20% di 1000 € = 200 €
“Per mille”:
1 ‰ = 1/1000
= 0.001
= 0.1%
Parte per milione:
1 ppm = 1/1000000
= 0.000001
= 0.0001%
= 0.001 ‰