Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali Reti Elettriche – Parte I Revisione aggiornata al 13-3-2013 (www.elettrotecnica.unina.it) Oggetto del corso • Studio delle reti elettriche - reti in regime stazionario - reti in regime lentamente variabile ed in particolare sinusoidale • Elementi di impianti elettrici - il trasformatore - elementi di sicurezza elettrica Supporti didattici • Giulio Fabricatore: “Elettrotecnica ed applicazioni” Liguori Editore • Appunti integrativi su: - Trasformatore - Esercizi numerici • Slides del corso Tipologia delle reti elettriche considerate Reti di bipoli Definizione preliminare di bipolo: Oggetto elettrico facente capo a due morsetti terminali A e B, che sono attraversati dalla corrente i e a cui è applicata la tensione v. Si considera il funzionamento dei singoli bipoli “a scatola chiusa”, partendo dalle relazioni tra v ed i. Richiami preliminari Corrente elettrica, tensione elettrica e forza elettromotrice La corrente elettrica (di conduzione) Δq carica netta che, nell’intervallo di tempo Δt, transita nel verso diretto dalla sez. A alla sez. B attraverso la sez. S. q q q q q i lim t o q t Vettore densità di corrente (di conduzione) Il vettore densità di corrente di conduzione da A verso B attraverso la superficie S è definito da: i G ndS S Corrente elettrica in un conduttore filiforme Definizione di Ampére. In 2 conduttori filiformi, rettilinei, paralleli e indefiniti posti in aria circola la corrente di un A, se tra di essi si esercita una forza pari a 2·10-7 N per metro di lunghezza. Misura della corrente (amperometro ideale) L’amperometro ha 2 morsetti,uno + ed uno Misura della corrente da A verso B. Misura della corrente da B verso A. Diversi tipi di corrente F Ke F K Corrente nei conduttori metallici, costituita da un flusso di elettroni (e=-1.6·10-19 coulomb) (1 coulomb=1 A * 1 sec) Corrente nei conduttori elettrolitici costituiti da un flusso di ioni positivi e negativi La corrente nei semiconduttori Struttura cristallina del silicio Conduzione di tipo p (positiva) costituita da un flusso di “buchi” La corrente di spostamento La corrente di spostamento jS attraverso una superficie S invariata nel tempo ed immersa in un mezzo lineare di costante dielettrica ε è data da: ( K ) jS ndS t S La quantità ( K ) rappresenta il vettore t densità di corrente di spostamento Un esempio di corrente di spostamento v S La corrente totale La somma della corrente di conduzione i e della corrente di spostamento jS: itot=i+jS è detta corrente totale. Il corrispondente vettore densità è solenoidale: ( K ) [G t ] nd 0 Pertanto la somma delle correnti di conduzione i e di spostamento jS uscenti dalla (o entranti nella) superficie chiusa Σ è nulla. La tensione elettrica Data una linea ϒ di estremi A e B si dice tensione da A a B lungo ϒ, la quantità B TAB ( ) K tdl A che rappresenta il lavoro compiuto dal campo elettrico K per spostare l’unità di carica positiva da A a B lungo ϒ. L’unità di misura della tensione è il volt [V]. 1 volt=1 joule/coulomb. (1 coulomb =1 ampére·secondo). Se il campo elettrico è conservativo la tensione è % La tensione elettrica indipendente da γ. Il campo elettrico è dotato di potenziale: K V ' TAB TA ' B V ( A) V ( B) La d.d.p. tra A e B può essere formalmente indicata come V ( A) V ( B) VAB AB AB Misura della tensione elettrica (voltmetro ideale) Il voltmetro ha 2 morsetti,uno + ed uno Misura della d.d.p. VAB Misura della d.d.p. VBA Forza elettromotrice Si dice forza elettromotrice (f.e.m.) agente lungo una linea chiusa orientata γ la quantità scalare algebrica: e K tdl Essa è diversa da zero solo se K non è conservativo sulla linea γ o almeno su di una sua parte e quindi se γ è immersa in tutto o in parte in una regione dello spazio R sede di fenomeni fisici di trasformazione d’energia. L’esempio della pila (funzionamento a vuoto) Sia KT la forza totale agente sull’unità di carica. e K T tdl KT Ke Ki dove K e è il campo elettrostatico creato dalla distribuzione di cariche sugli elettrodi e K i è il campo di natura 2 1 2 1 da A a B 2 da B ad A % L’esempio della pila (funzionamento a vuoto) elettrochimica presente solo all’interno della soluz. elettrolitica,dove: KT K e Ki 0 Nell’aria si ha: K i 0 KT K e 2 e K e tdl K i tdl e ( 0 2 ) e VAB A A B B K i tdl ( 2 ) K e tdl [V ( B ) V ( A)] VAB F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica Solenoidalità del vettore induzione magnetica B B ndS 0 S S1 S2 S B ndS S1 B n1dS B n 2 dS 0 S2 S S1 B n1dS B n 2 dS S2 F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ. Dati il vettore induzione magnetica B ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità: B ndS S in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale n Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ. a F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ Congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica Legge di Faraday Per effetto della variabilità nel tempo dell’induzione magnetica, nella linea chiusa orientata γ insorge una f.e.m. data da: d e dt in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e. Definizione di bipolo Si definisce bipolo un oggetto elettrico racchiuso da una superficie S, da cui fuoriescano due morsetti A e B; S sia scelta in maniera tale che: 1) iA=iB; 2) K sia conservativo su S e nelle sue immediate vicinanze; 3) vi sia assenza di forze di natura non elettrica. Il regime di funzionam. è stazionario o lentamente variabile ( K ) S [G t ] ndS 0 se ( K ) 0 t G ndS 0 S iA iB B 0 t d e K dl 0 dt se TAB VAB Esempi di bipoli A S B Indut tan za di vL dt Pila ideale ve Esempi di bipoli: la capacità i A v S B Convenzioni dei segni in un bipolo Potenza assorbita da un conduttore Convenz. utilizzatore K dF Il lavoro dL secondo la direzione della forza per spostare la carica positiva dq da A a B (lavoro assorbito) è: B dF dq K (idt ) K B dL (idt ) K dl vidt A pass dL vi dt dL dF dl A La potenza corrispond. è pass=vi: tale espressione è esatta in regime staz. ed approssim. in regime lentamente variab. Tale potenza è erogata dal resto della rete a monte del conduttore e trasferita a questo che la assorbe. Se si considera il lavoro elementare dL da B ad A,si ha: dL=-vidt e p=-vi questa potenza,derivante da un lavoro secondo una direzione opposta alla forza, si dice erogata dal conduttore. Se si considera un qualsiasi bipolo e si adopera la convenzione dell’utilizzatore si può dimostrare che continuano a valere le precedenti relazioni: Passorbita=vi Perogata=-vi Se v·i>0 si può dimostrare che una potenza positiva entra nella superficie limite del bipolo utilizzatore. Potenza erogata o assorbita da un bipolo (convenzione del generatore) Perogata=-vi=vi’ Passorbita=vi=-vi’ Potenza assorbita o erogata da un bipolo Convenzione dell’utilizzatore p assorbita =vi p erogata =-vi Convenzione del generatore p erogata =vi p assorbita =-vi Misura della potenza La misura della potenza assorbita (o erogata) da un bipolo si fa con il wattmetro, che presenta 2 coppie di morsetti: una coppia amperometrica attraversata da i ed una voltmetrica, cui è applicata v. Ciascuna coppia ha un morsetto +. I principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle correnti -LKC) i4 Per la definizione di bipolo: G ndS 0 S i1 i2 i3 i4 0 i3 i1 In generale: m i k 0 1 m numero lati confluenti nel nodo i2 II principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle tensioni -LKT) v1 Per la definizione di bipolo: K dl 0 K dl B C D A A B C v4 v2 D v1 v2 v3 v4 0 In generale: m vk 0 1 m è il numero di lati della maglia v3 Reti in regime stazionario Analisi delle reti Caratteristica statica di un bipolo Si dice caratteristica statica di un bipolo la relazione: V=f(I)) che lega la tensione V applicata ai morsetti A e B alla corrente I che lo attraversa in regime stazionario. Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I % Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I Classificazione dei bipoli: bipoli lineari e non lineari Si dice lineare un bipolo la cui caratteristica è lineare. Si dice non lineare nel caso contrario Classificazione dei bipoli:bipoli inerti e bipoli non inerti Si dice inerte un bipolo la cui caratteristica la caratteristica passa per l’origine degli assi. Si dice non inerte nel caso contrario Classificazione dei bipoli: bipoli passivi Si dice passivo un bipolo per il quale la potenza assorbita è maggiore o eguale a zero. Esso funziona sempre da utilizzatore. pass vi V·I≥0 Classificazione dei bipoli: bipoli attivi Si dice attivo un bipolo non passivo. In alcune regioni del piano V,I esso funziona da generatore in altre da utilizzatore. V·I>0 V·I≤O V·I≥0 Convenzione utilizzatore Una rete elementare I1 I2 V1 V2 V1 f1 ( I1 ) V2 f 2 ( I 2 ) V1 V2 0 V1 V2 V I1 I 2 0 I1 I 2 I f1 ( I ) f 2 ( I ) V Bipoli lineari ideali Bipolo Resistenza V RI oppure I GV 1 (G ) R V RI oppure I GV G Potenza assorbita dal bipolo Resistenza Convenzione utilizzatore Pass=V∙I=(R∙I)∙I=R∙I2; Pass= V2/R=G V2. Convenzione generatore Pass=-V∙I=-(-R∙I)∙I=R∙I2; Pass= V2/R=G V2. Una diversa caratterizzazione del bipolo resistenza Vn, Pn Vn2 R Pn 10 V, 20 W R5 500 V, 50 kW R5 Equivalenza di bipoli • Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica statica Corrente nei conduttori metallici e=-1.6·10-19 coulomb V=RI Resistenza reale di un conduttore La resistenza di un conduttore cilindrico di sezione S e lunghezza l è dato da: R l S dove ρ è la resistività variabile con la temperatura T: ρ= ρ0(1+αT) ρ0 resistività a 0 0C Generatore ideale di tensione V=E Generatore ideale di corrente I=J Corto circuito ideale V=0 Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo R=0 o dal bipolo generatore ideale di tensione ponendo E=0 Aperto ideale I=0 Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo G=0 o dal bipolo generatore ideale di corrente ponendo J=0 Serie e parallelo di bipoli V1 Vn V2 I1 In I1 I 2 .....I n I I2 A V B n V Vk 1 A I I1 V V1 I2 V2 In Vn V1 V2 .....Vn V n I Ik 1 B Resistenze in serie V n V Vk Vk R k I 1 n V I Rk Req I 1 V n Req Rk 1 Resistenze in parallelo n V Ik GkV Rk I Ik 1 n I V Gk GeqV 1 V Req I Req 1 Geq 1 n G 1 Req R1 R2 1 R Se n=2 eq 1 1 R1 R2 R1 R2 Se R1 R2 R 1 n 1R 1 k Req R 2 k Generatori ideali di tensione in serie e in parallelo n E E k E eq 1 E=E1=E2 I=I1+I2 Equivalenza di bipoli V V1 V2 I1 I1 I 2 I V2 V1 V1 RI I2 I2 0 V RI V2 0 Equivalenza di bipoli V1 V2 V1 V2 V 0 I1 I I2 0 Equivalenza di bipoli V=E I=J Bipolo di Thévenin RT LKT VR E VR V 0 VR RT I Caratteristica statica V E RT I E RT I cc I cc E / RT Bipolo di Norton IR LKC J IR I 0 RN dove I R V / RN J V I 0 RN Caratteristica statica V RN ( J I ) RN J Equivalenza del bipolo di Norton al bipolo di Thévenin Norton Thévenin E RN RT J I cc Il bipolo di Norton è equivalente al bipolo di Thévenin se: R N RT J I cc Generatore reale di tensione Pila reale sotto carico Circuito equivalente B A Ri Generatore reale di tensione Ri Iu Vu A Ru Ri I u E Vu Ru O Vu E Ri I u Vu Ru I u P Iu E Iu Ru Ri Ri B I cc Vu E Ru Ru Ri Potenza utile erogata dal generatore reale di tensione Pu Potenza utile Pu Vu I u Ru I u2 E2 Ru ( Ru Ri ) 2 1 EI cc 4 Il massimo di Pu al variare di Ru si ha se: Pu 0 Ru Ru Ri 1 Ru / Ri Bilancio delle potenze e rendimento LKT Ri E Vu Ri I u ( Ru Ri ) I u Iu Vu Ru EI u Vu I u Ri I u2 Pc Pu PJ Pc ( Ru Ri ) I u2 Pu Ru I u2 Pu Ru Pc Ru Ri Ru / Ri Caduta di tensione nel generatore reale di tensione Caduta di tensione Ri Iu V E Vu Ri I u Vu Ri E Ru Ri V % Ri V 100 100 E Ru Ri Ru V % Ru / Ri Parallelo di generatori reali di tensione E1 V1 V2 E2 0 V1 Ri1 I c E1 E2 Ic Ri1 Ri 2 Ic=0 se E1=E2 V2 Ri 2 I c Una particolarizzazione della LKT LKT per una generica maglia a m lati m ()V k 0 dove 1 Vk Ek Rk I k Generico lato k-esimo Ik Rk Ek Vk m ()( E k Rk I k ) 0 1 m () E 1 m k ( ) Rk I k 1 Un esempio I1 E1 R1 R2 R4 E1 E2 R1 I1 R2 I 2 R3 I 3 R4 I 4 E2 I4 I3 I2 R3 Formule del partitore di tensione Ripartizione della tensione V applicata a 2 resistenze in serie V1 R1 I V2 R2 I V I R1 R2 V1 V V2 V R1 R1 R2 R2 R1 R2 Formule del partitore di corrente Ripartizione della corrente I tra due resistenze in parallelo V I1 R1 I2 V R2 R1 R2 V ( R1 // R2 ) I I R1 R2 I1 I R2 R1 R2 I2 I R1 R1 R2 Trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Equivalenza di tripoli di resistenze Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze R AB ( RBC R AC ) J J ( R A RB ) R AB RBC R AC Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze J RBC ( R AB R AC ) J ( RB RC ) R AB RBC R AC Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze R AC ( R AB RBC ) J J ( R A RC ) R AB RBC R AC Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Eliminando J dalle equazioni precedenti si ottiene il sistema: R AB ( RBC R AC ) R A RB R AB RBC R AC RBC ( R AB R AC ) RB RC R AB RBC R AC R AC ( R AB RBC ) R A RC R AB RBC R AC Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Trasformazione triangolo-stella R AB RBC RB R0 R AB R AC RA R0 RBC R AC RC R0 dove R0 R AB RBC R AC Trasformazione stella-triangolo R AB R A RB G0 G0 1 1 1 R A RB RC RBC RB RC G0 R AC R A RC G0 dove Un caso particolare R 3RY R Ry 3 R A RB RC RY R AB 3 R 3RY RY 2 Y R AB R A RB G0 R G0 2 Y RBC R AC R AB R G0 1 1 1 3 R A R B RC RY Analisi di una rete elettrica LKT per le maglie 1, 2, 3 1) E1 R1 I1 R3 I 3 2) E2 R2 I 2 R3 I 3 3) E1 E2 R1 I1 R2 I 2 LKC per il nodo A (o B) I1 I 2 I 3 0 Analisi di una rete elettrica, grafo, albero e coalbero Data una generica rete elettrica di bipoli lineari costituita da l lati e n nodi: Si dice grafo l’insieme costituito da tutti i lati e nodi della rete. Si dice albero il sottoinsieme del grafo costituito da tutti i nodi e da n-1 lati che congiungono tali nodi senza formare maglie chiuse. Il coalbero è l’insieme complementare dell’albero. Esso è costituito da l- (n-1) lati Esempi di grafi, alberi e coalberi l=3 n=2 Esempi di grafi, alberi e coalberi l=10 n=6 Analisi di reti resistive con sorgenti di tensione Data la generica rete, con l lati ed n nodi: il calcolo delle correnti si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari nelle n incognite Ik costituito da: m l-(n-1) LKT () E LKC k ( ) Rk I k 1 1 m n-1 m I 1 k 0 Un esempio numerico R1 R2 R3 20 E1=30 V Sistema risolvente Forma matriciale 20 I 1 20 I 3 30 20 0 20 I 1 30 0 20 20 I 60 2 1 1 1 I 3 0 20 I 2 20 I 3 60 I1 I 2 I 3 0 E2=60 V Risultato I1=0 I2=1,5 A I3=1,5 A Una rete con sorgenti di tensione e di corrente R1 R2 R3 20 E1=30 V J=2 A I3 J R1 I1 R2 I 2 E1 I1 I 2 J 20I1 20I 2 30 I1 I 2 2 R1 1 R2 I1 E1 1 I 2 J I1=-0,25 A I 1 R1 I 1 2 I2=1,75 A 1 R2 E1 1 J Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente Data la generica rete, con sorgenti di tensione e di corrente, con n nodi ed l lati (l è definito non considerando i lati contenenti i generatori di corrente in cui la corrente è nota), il calcolo delle l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da: m l-(n-1) LKT n-1 LKC () E m k ( ) Rk I k 1 1 m r () I 1 k ( ) J k 1 Sovrapposizione degli effetti R1 1 R2 I1 E1 1 I 2 J A( 22) I ( 21) H ( 21) H E1 E1 0 H ' H " J 0 J I A1 H A1 H ' A1 H " I ' I " I '1 R1 I ' 1 2 1 R2 E1 1 0 I "1 R1 I " 1 2 1 R2 0 1 J I3 J Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico R1 R2 R3 20 I1=I’1+I”1=-0,25 A E1=30 V J=2 A I2=I’2+I”2=1,75 A I3=I’3+I”3=2 A I '1 I ' 2 E1 0,75 R1 R2 I '3 0 R2 I "1 J 1 R1 R2 I "3 J 2 I "2 J R1 1 R1 R2 % Le potenze in gioco Potenza erogata da E1: Pe1=E1 I1=-7,5 W Potenza erogata da J: PeJ=VJJ=150 W Potenze assorbite dalle resistenze: PR1=R1I12=1,25 W PR2=R2I22=61,25 W PR3=R2I32=80 W Prtot=142,5 W V j R3 I 3 R2 I 2 VJ=75 V Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico R1 R2 R3 20 E1=30 V E2=60 V Req=R1+R2//R3=30 Ω E I '1 1 Req I’1= 1 A R3 I ' 2 I '1 0,5 A R2 R3 I '3 I '1 R2 0,5 A R2 R3 % Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico Req=R2+R1//R3=30 Ω I "2 E2 2 Req I1=I’1+I”1=0 R2 I "3 I "2 1 R2 R3 I2=I’2+I”2=1,5 A Pe2=60x1,5=90 W I "1 I "2 R3 1 R2 R3 I3=I’3+I”3=1,5 A PRtot=20x1,52+20x1,52=90 W Non applicabilità della sovrapposizione degli effetti al calcolo delle potenze Posto: Pk' Rk I k' 2 Pk" Rk I k"2 la potenza Pk assorbita dalla resistenza Rk non è pari alla somma di P’k e P”k; infatti: Pk Rk I k2 Rk ( I k' I k" ) 2 Pk' Pk" 2 Rk I k' I k" Principio di conservazione delle potenze elettriche Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete. Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi della rete l Tesi Vk I k 0 Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete 1 l U ( P" 1 l k ) I k U ( P' k ) I k 0 1 Somma parziale relativa al nodo Pi U Pi ( I i1 I i 2 .... I ih ....I il' ) 0 i Vk U ( P"k ) U ( P' k ) Una formulaz. del principio di conservazione nelle reti lineari P P P Ei i Ji i Ri i 0 PRi R I 2 i i 2 P P R I Ei Ji i i i i La somma delle potenze erogate dai generatori di tensione e di corrente è eguale alla somma delle potenze assorbite dalle resistenze i Un corollario dei principi di Kirchhoff Ipotesi Nel generico nodo P’ confluiscono solo bipoli passivi Tesi Tra i nodi contigui esiste almeno un nodo P” a potenziale U≥U(P’) e almeno uno a potenziale U≤U(P’). Da questo corollario scaturisce il principio di non amplificazione delle tensioni. Vk I k 0 4 I k 0 1 Se I1, I2>0 si ha V1,V2≥0 e U(P”1)≤U(P’) e U(P”2)≤U(P’) Se I3, I4<0 si ha V3,V4 ≤ 0 e U(P”3) ≥ U(P’) e U(P”4) ≥ U(P’) Principio di non amplificazione delle tensioni Tale principio prevede che ai capi dell’unico lato attivo di una rete in regime stazionario, in cui vi siano tutti lati passivi tranne uno, è applicata la tensione massima. Si consideri infatti l’insieme di n elementi costituito dai potenziali degli n nodi della rete. Per il precedente corollario il potenziale dei nodi in cui confluiscono solo lati passivi non può essere né il massimo né il minimo di tale insieme. Conseguentemente i potenziali massimo e minimo devono essere relativi ai nodi posti agli estremi dell’unico lato attivo. Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente Data la generica rete con n nodi ed l lati il calcolo delle l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da: m m l-(n-1) LKT () E k () Rk I k 1 1 m n-1 LKC I r k J k 1 1 A(ll ) I (l1) H (l1) Vk Ek Rk I k A'(ll ) V (l1) H '(l1) Rk Ek Vk Ik Metodo dei potenziali nodali Rk Tk Ik Ek Vk U Sk U Tk Vk Ek Rk I k I k ( Ek U Sk U Tk )Gk G k 1 / Rk Sk Sostituendo le correnti nelle n-1 LKC: m I 1 r k J k 1 si ha il sistema di n-1 eq. nelle n incognite Upk: m (E 1 r k U Sk U Tk )Gk J k 1 Se poniamo eguale a zero il potenziale di uno degli n nodi, si ottiene: A"( n1)( n1) U ( n1)1 H "( n1)1 Metodo dei potenziali nodali, la formula di Millmann La LKC fornisce n I i 0 1 dove: I i ( Ei U A )Gi 1 Gi Ri n n E i Gi U A Gi 1 n 1 U A VAB EG i i 1 n G i 1 UB 0 Formula di Millmann: un esempio numerico R1 R2 R3 20 E1=30 V E2=60 V G1=G2=G3=G=0,05 Ω-1 UB 0 3 UA E G 1 1 3 G 1 i i E1G E 2 G 30 V 3G I1=(E1-UA)G1=0 I2=(E2-UA)G2=1,5 A I3=(-UA)G3=-1,5 A Teorema di Thévenin: enunciato Se s’isola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A,B è equivalente ad un bipolo di Thévenin, in cui V0 è la tensione a vuoto tra A e B e Req è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo. Req V0 Teorema di Thévenin: dimostrazione V " Req I " % Teorema di Thévenin: dimostrazione V V 'V " V0 Req I " I I 'I " 0 I " V V0 Req I Req V0 Teorema di Thévenin: una conseguenza V0 I R Req R V V0 R Req Un esempio numerico R1 R2 R3 20 E1=30 V I3 I E2 E1 0,75 R1 R2 A E2=60 V V0 45 1,5 A R3 Req 20 10 V0 E2 R2 I 45 V Req=R1//R2=10 Ω Teorema di Norton: enunciato Se s’isola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A,B è equivalente ad un bipolo di Norton, in cui Icc è la corrente di corto circuito tra A e B e Req è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo. Req Teorema di Norton: dimostrazione Caratteristica comune ai bipoli di Thévenin e Norton Req V0 Teorema di Norton: una conseguenza I I cc Req R Req V I cc Req R R Req Un esempio numerico R1 R2 R3 20 E1=30 V I 3 I cc Icc=E1/R1+E2/R2=4,5 A Req R Req E2=60 V 4,5 10 1,5 A 20 10 Req=R1//R2=10 Ω