Richiami sui circuiti in regime sinusoidale

Circuiti in
regime sinusoidale
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 26-4-2011)
Funzioni sinusoidali
a(t )  AM cos(t  )
AM  ampiezza
  fase iniziale (radianti, rad)
(≤ )
  pulsazione (rad/s)
f  frequenza (hertz, Hz)
T  periodo (secondi, s)
f 
1
T
T
2


2π
 2f
T
2
Regimi sinusoidali
● Si considera un circuito lineare in cui tutti i generatori
indipendenti sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione 
● Le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni
differenziali lineari nel quale i termini noti sono funzioni
sinusoidali con pulsazione 
● Le equazioni generalmente ammettono una soluzione
sinusoidale con pulsazione 
● Se il circuito è asintoticamente stabile, questa soluzione
particolare rappresenta la componente di regime della risposta
( regime sinusoidale)
3
Regimi sinusoidali
● Regime sinusoidale: condizione di funzionamento di un circuito
nella quale tutte le tensioni e le correnti sono funzioni sinusoidali
del tempo aventi la stessa pulsazione 
● Fissata la pulsazione, una funzione sinusoidale è definita da due
parametri
 Ampiezza
 Fase
● Il problema della determinazione della soluzione particolare
sinusoidale delle equazioni del circuito (cioè della determinazione
delle ampiezze e delle fasi di tutte le tensioni e correnti) può
essere ricondotto ad un problema di tipo algebrico mediante la
trasformata di Steinmetz
● Il metodo di analisi basato sulla trasformata di Steinmetz è detto
anche metodo simbolico
4
Trasformata di Steinmetz
● Trasformata di Steinmetz: S
 Ad ogni funzione sinusoidale di pulsazione 
a(t)  AMcos(t+)
si associa un numero complesso A avente
 modulo AM ( ampiezza della funzione sinusoidale)
 argomento  ( fase della funzione sinusoidale)
A  Sa(t )  AM e j  AM (cos   j sen )
 A  fasore o numero complesso rappresentativo di a(t)
● Antitrasformata di Steinmetz: S1




a(t )  S 1A  Re Ae jt  Re AM e j ( t   )  AM cos(t  )
5
Interpretazione geometrica
s(t )  A e jt  AM e j ( t   )


a(t )  Re A e jt  AM cos(t  )
6
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Unicità
● La trasformata di Steinmetz stabilisce una corrispondenza
biunivoca tra le funzioni sinusoidali di pulsazione  e i numeri
complessi
a(t )  AM cos(t  )
b(t )  BM cos(t  )
a(t )  b(t ) t
A  Sa(t )  AM e j
B  Sb(t )  BM e j
 AB
7
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Linearità
● La trasformata di Steinmetz è un’operazione lineare
a(t )  AM cos(t  )
b(t )  BM cos(t  )
A  Sa(t )  AM e j
B  Sb(t )  BM e j
k1 , k 2  R :
Sk1 a(t )  k 2 b(t )  k1Sa(t ) k 2Sb(t )  k1A  k 2 B
8
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Regola di derivazione
● La trasformata della derivata di una funzione sinusoidale si ottiene
moltiplicando per j la trasformata della funzione
A  Sa(t )  AM e j
a(t )  AM cos(t  )
S 
d a
  jSa(t )  jA
 dt 
● Dimostrazione:
da


  AM sen(t  )  AM cos t    
dt
2




j   
j
da
S    AM e  2   AM e j e 2  jAM e j  jA  jSa(t )
 dt 
9
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Regola di derivazione
● Applicando ricorsivamente la regola di derivazione si possono
ottenere le trasformate delle derivate di ordine superiore
d 2 a 
d a 
S  2   j  S    ( j) 2 A  2 A
 dt 
 dt 
d 3 a 
d 2 a 
S  3   j  S  2   ( j) 3 A   j3 A
 dt 
 dt 

d n a 
 d a n 1 
S  n   j  S  n 1   ( j) n A
 dt 
 dt 
10
Antitrasformata
● Noto il numero complesso rappresentativo A di una funzione sinusoidale
A  AM e ja  x  jy
e nota la pulsazione , è possibile determinare in modo univoco la
funzione sinusoidale a(t) mediante la relazione
a( t )  S 1A  AM cos(t  )  A cost  arg( A )
● Nota:
 Vale la relazione tg  yx ma questo non consente di affermare
che   arctgyx
 Dato che la funzione tangente ha periodo  esistono due valori di 
nell’intervallo  in cui la tangente ha lo stesso valore
 Per determinare  occorre tenere conto dei segni di x e y
11
Antitrasformata – determinazione della fase
12
Antitrasformata – determinazione della fase
A  x  jy  AM e j
AM  x 2  y 2
y

   sgn( y ) per x  0
arctg

x
 
per x  0
    sgn( y )
2

arctg y
per x  0

x
 1 per y  0

sgn( y )   0 per y  0
 1 per y  0

13
Bipoli in regime sinusoidale
● Condizioni di regime sinusoidale
● Tensione e corrente orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore:
v(t )  VM cos(t  V )
i(t )  I M cos(t   I )
V  Sv(t )  VM e jV
I  Si(t )  I M e j I
● Sfasamento fra tensione e corrente: V  I
14
Resistore in regime sinusoidale
v(t )  R i(t )  RI M cos(t   I )
V  RI
i(t )  G v(t )  GVM cos(t  V )  I  GV
VM  RI M
V   I    0  la tensione e la corrente sono in fase
15
Induttore in regime sinusoidale
di

 LI M sen( t   I )  LI M cos(t   I  )
dt
2
VM  LI M


la corrente è in quadratura in ritardo
V   I 
 rispetto alla tensione
 
2
2
v(t )  L
16
Induttore – relazioni tra i fasori
V  jLI  jX L I
di
v(t )  L

1
dt
Ij
V  jBL V
L
Reattanza:
X L  L
Suscettanza: BL  
1
1

L
XL
17
Condensatore in regime sinusoidale
i(t )  C
dv

 CVM sen( t  V )  CVM cos(t  V  )
dt
2
I M  CVM
V   I 


la corrente è in quadratura in anticipo
     rispetto alla tensione
2
2
18
Condensatore – relazioni tra i fasori
I  jCV  jBC V
dv
i(t )  C

1
dt
Vj
I  jX C I
C
Suscettanza: BC  C
Reattanza:
XC  
1
1

C
BC
19
Impedenza e ammettenza
● Le relazioni tra i fasori della tensione e della corrente per il
resistore, l’induttore e il condensatore sono casi particolari delle
equazioni
V  ZI
I  YV
Componente
Z
Y
Resistore
R
G
Induttore
jL
Condensatore  j
1
C
j
1
L
jC
20
Impedenza e ammettenza
● Più in generale, per un bipolo lineare non contenente generatori
indipendenti, la tensione e la corrente sono legate tra loro da
relazioni differenziali lineari omogenee
 Per la proprietà di linearità e la regola di derivazione della
trasformata di Steinmetz, le corrispondenti relazioni tra i fasori
della tensione e della corrente sono lineari algebriche omogenee,
e quindi ancora del tipo
V  ZI
I  YV
● Nel caso generale Z e Y sono funzioni complesse della
pulsazione
Z()  R ()  jX ()
Y()  G ()  jB ()
21
Impedenza
● Per un bipolo lineare non contenente generatori si definisce impedenza
il rapporto
Ζ
V VM j
e

I IM
Z  R  jX

R  resistenza
X  reattanza
(unità di misura ohm)
● Il modulo dell’impedenza è uguale al rapporto tra le ampiezze della
tensione e della corrente
Z
VM
IM
● L’argomento dell’impedenza è uguale allo sfasamento tra la tensione e
la corrente
  corrente in ritardo sulla tensione
arg(Z)    V  I
  corrente in anticipo sulla tensione
22
Ammettenza
● Il reciproco dell’impedenza è detto ammettenza
1 I I M  j
e
 
Z V VM
G  conduttanza
Y  G  jB 
B  suscettanza
Y
(unità di misura siemens)
● Valgono le relazioni
Y
1
R  jX
R  jX

 2
R  jX ( R  jX )( R  jX ) R  X 2
Z
1
G  jB
 2
G  jB G  B 2
 G
R
R

R2  X 2 Z 2
B
X
X


2
R2  X 2
Z
 R
G
G

G2  B2 Y 2
X 
B
B


2
G2  B2
Y
23
Esempio - Bipolo RL serie
v(t )  v RS (t )  v LS (t )  RS i (t )  LS

V  VRS  VLS  RS  jLS  I
Z  RS  jLS
Y
di
dt
 R  RS
 
 X  LS
1
LS
R
 2 S
j 2
2
Z RS  ( LS )
RS  (LS ) 2
RS

G


RS2  ( LS )2
 
LS
B   2

RS  ( LS )2
24
Esempio - Bipolo RL serie
Z  RS2  ( LS ) 2
 L 
  arg(Z)  arctg  S 
 RS 
RS  0, LS  0  0   

2
La corrente è in ritardo rispetto alla tensione
25
Esempio - Bipolo RL parallelo
1
1
i(t )  i RP (t )  i LP (t ) 
v(t ) 
RP
LP
t
 v( x)dx 

di 1 dv 1
v(t )


dt RP dt LP

jI  j
 1
1
1
1 
 V
V
V  I  I RP  I RL  
j
RP
LP
R
L

P 
 P
26
Esempio - Bipolo RL parallelo
Y
1
1
j
RP
LP
1

G


RP
 
1
B  

LP
1
2 RP L2P
RP2 LP
Z  2
j 2
Y RP  ( LP ) 2
RP  ( LP )2

2 RP L2P
 R  R 2  ( L )2
P
P
 
2
 X  RP LP

RP2  (LP ) 2
27
Esempio - Bipolo RL parallelo
Z
1
1
1

RP2 ( LP ) 2
 R 
  arg(Z)  arctg  P 
 LP 
RP  0, LP  0  0   

2
La corrente è in ritardo rispetto alla tensione
28
Esempio - Bipolo RC serie
1
v(t )  v RS (t )  v CS (t )  RS i(t ) 
CS
t
 i( x )dx 

dv
di 1
i(t )
 RS

dt
dt CS

jV  RS jI 

1
1 
I
I  V  VRS  VCS   RS  j
CS
C

S 

29
Esempio - Bipolo RC serie
1
Z  RS  j
CS
 R  RS

1
 
X 

CS
1
2 RS CS2
CS

Y 
j
1  ( RS CS ) 2
Z 1  ( RS CS ) 2

2 RS CS2
G  1  ( R C ) 2
S S
 
CS
B 

1  ( RS CS ) 2
30
Esempio - Bipolo RC serie
Z  RS2 
1
( CS )2
 1 

  arg(Z)   arctg 
R
C

 S S
RC  0, LC  0  

0
2
La corrente è in anticipo rispetto alla tensione
31
Esempio - Bipolo RC parallelo
i(t )  i RP (t )  i CP (t ) 
I  I RP  I CP
1
Y
 jCP
RP
1
dv
v(t )  C P
RP
dt

 1

 
 jC P  V
 RP

1

G 
 
RP
 B  CP
RP2CP
1
RP
j
Z 
2
Y 1  (RPCP )
1  ( RPCP )2
RP


R

1  (RPCP ) 2
 
2

R
CP
P
X  

1  ( RPCP )2
32
Esempio - Bipolo RC parallelo
Z
1
1
 (CP ) 2
2
RP
  arg( Z)   arctg( RPCP )
RC  0, LC  0  

0
2
La corrente è in anticipo rispetto alla tensione
33
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
Equazioni dei componenti
● Generatori indipendenti:
sono note le tensioni o le correnti  sono noti anche i loro fasori
V  VG
I  IG
● Bipoli lineari:
V  ZI
I  YV
● Generatori dipendenti:
per la proprietà di linearità, le relazioni tra i fasori sono
I 2   I1
I 2  gV1
V2  rI1
V2  V1
34
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
Equazioni dei collegamenti
● Le relazioni tra le grandezze funzioni del tempo sono espresse
da equazioni algebriche lineari omogenee del tipo


k
 i k (t )  0
k
 v k (t )  0
 Per le proprietà di unicità e di linearità della trasformata di
Steinmetz


k
 Ik  0
k
 Vk  0
I k  Si k (t ) Vk  Sv k (t )
 Le leggi di Kirchhoff valgono anche per i fasori delle tensioni
e delle correnti
35
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
● Le equazioni di un circuito lineare in regime sinusoidale, scritte in
termini di fasori, hanno la stessa forma delle equazioni di un circuito
lineare resistivo in regime stazionario
● Le proprietà e metodi di analisi dedotti a partire delle equazioni generali
dei circuiti resistivi possono essere estesi ai circuiti in regime sinusoidale con le sostituzioni:
 Resistenza  Impedenza
 Conduttanza  Ammettenza
 Tensione
 Fasore della tensione
 Corrente
 Fasore della corrente
● In particolare si possono estendere ai circuiti in regime sinusoidale
 le relazioni di equivalenza riguardanti collegamenti tra resistori o
generatori (serie, parallelo, stella-triangolo, formule di Millman ecc.)
 i metodi di analisi generali (metodo delle maglie,metodo dei nodi e
metodo degli anelli)
 il teorema di sovrapposizione
 i teoremi di Thévenin e Norton
36
Impedenze in serie e in parallelo
● Impedenze in serie
N
V   Vk
V  ZS I
k 1
N
ZS   ZK
Ik  I
Vk  Z k I k
k 1
● Impedenze in parallelo
I  YP V
N
I   Ik
N
YP   YK
k 1
Vk  V
I k  Yk Vk
k 1
ZP 
1

YP
1
N
1
Z
k 1
k
37
Partitore di tensione e di corrente
● Partitore di tensione
Vj  V
Zj
N
Z
k 1
k
● Partitore di corrente
Ij  I
Yj
N
Y
k 1
k
38
Trasformazioni dei generatori
VG  ZIG
IG  YVG
39
Equivalenza stella-triangolo
Z1 
Z12 Z13
Z12  Z13  Z 23
Z12 
Z1Z 2  Z1Z 3  Z 2 Z 3
Z3
Z2 
Z12 Z 23
Z12  Z13  Z 23
Z13 
Z1Z 2  Z1Z 3  Z 2 Z 3
Z2
Z3 
Z13 Z 23
Z12  Z13  Z 23
Z 23 
Z1Z 2  Z1Z 3  Z 2 Z 3
Z1
40
Teorema di sovrapposizione
● Ipotesi:
 circuito lineare contenente
 NV generatori indipendenti di tensione vG1(t), ..., vGNV(t)
 NI generatori indipendenti di corrente iG1(t), ..., iGNI (t)
 tutti i generatori sono sinusoidali con la stessa pulsazione 
 condizioni di regime sinusoidale
 I fasori della tensione e della corrente del generico lato i sono
combinazioni lineari dei fasori delle tensioni e delle correnti impresse
dai generatori indipendenti
NV
NI
k 1
k 1
Vi   α ik VGk   z ik I Gk
NV
NI
k 1
k 1
I i   y ik VGk   β ik I Gk
41
Funzioni di rete
● I coefficienti delle combinazioni sono funzioni complesse della
pulsazione  e sono detti funzioni di di rete
V
α ik  i
VGk
z ik 
VGh  0 h  k
Vi
I Gk
I Gh  0 h
(adimensionale)
I
y ik  i
VGk
VGh  0 h
I Gh  0 h  k
(ha le dimensioni di un’impedenza)
β ik 
VGh  0 h  k
I Gh  0 h
(ha le dimensioni di un’ammettenza)
Ii
I Gk
VGh  0 h
I Gh  0 h  k
(adimensionale)
● Le funzioni di rete che mettono in relazione i fasori della tensione e
della corrente dello stesso lato sono dette funzioni di immettenza
● Le funzioni di rete che mettono in relazione fasori di tensioni e correnti
di lati diversi sono dette funzioni di trasferimento
42
Funzioni di immettenza
● Impedenza di ingresso
Z IN k () 
Vk
I Gk
VGh  0 h
I Gh  0 h  k
● Ammettenza di ingresso
Yk () 
Ik
VGk
VGh  0 h  k
I Gh  0 h
43
Funzioni di trasferimento
● Rapporto di trasferimento di tensione
α ik () 
Vi
VGk
VGh  0 h  k
I Gh  0 h
● Rapporto di trasferimento di corrente
β ik () 
Ii
I Gk
VGh  0 h
I Gh  0 h  k
44
Funzioni di trasferimento
● Impedenza di trasferimento
z ik () 
Vi
I Gk
VGh  0 h
I Gh  0 h  k
● Ammettenza di trasferimento
y ik () 
Ii
VGk
VGh  0 h  k
I Gh  0 h
45
Teorema di Thévenin
● Ipotesi:
 condizioni di regime sinusoidale
 il bipolo A-B è formato da componenti lineari e generatori
indipendenti
 il bipolo A-B è comandato in corrente
 Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipendente di tensione V0 in serie con un’impedenza Zeq
 V0 è la tensione a vuoto del bipolo A-B
 Zeq è l’impedenza equivalente del bipolo A-B con i generatori
indipendenti azzerati
VAB  V0  Z eq I AB
46
Teorema di Norton
● Ipotesi:
 condizioni di regime sinusoidale
 il bipolo A-B è formato da componenti lineari e generatori
indipendenti
 il bipolo A-B è comandato in tensione
 Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipendente di corrente Icc in parallelo con un’ammettenza Yeq
 Icc è la corrente di cortocircuito del bipolo A-B
 Yeq è l’ammettenza equivalente del bipolo A-B con i generatori
indipendenti azzerati
I AB  I cc  Yeq VAB
47
N-porte lineari in regime sinusoidale
● Per un N-porte lineare in condizioni di regime sinusoidale le relazioni
costitutive, in termini di fasori, sono del tipo
Av  Bi  0
con
 V1 
 I1 
 a11  a1N 
 b11  b1N 
v     i     A       Β      
VN 
I N 
a N 1  a NN 
b N 1  b NN 
● Nel caso di componenti resistivi i coefficienti delle matrici A e B sono
reali, mentre nel caso di componenti dinamici, in generale, sono
complessi
● Se il componente è comandato in corrente oppure in tensione è
possibile rappresentarlo mediante parametri di impedenza o di
ammettenza che costituiscono una generalizzazione dei parametri di
resistenza e di conduttanza
48
Matrice di impedenza
● Matrice di impedenza
 V1 
v    
VN 
v  Zi
z jk 
 I1 
i    
I N 
 z11  z1N 
Z      
z N 1  z NN 
Vj
Ik
I h  0 h  k
49
Matrice di ammettenza
● Matrice di ammettenza
 V1 
v    
VN 
i  Yv
y jk 
 I1 
i    
I N 
 y11  y1N 
Y      
y N 1  y NN 
Ij
Vk
Vh  0 h  k
50
Doppi bipoli lineari in regime sinusoidale
● Per i doppi bipoli lineari in regime sinusoidale è possibile generalizzare
anche le matrici ibride e di trasmissione
● Nel caso di componenti dinamici i coefficienti delle matrici, in generale,
sono complessi
V1  h11 h12   I1 
 I1 




H
 I  h
  
V 
 2   21 h 22  V2 
 2
Matrice ibrida
 h12
  V1 
 I1  h11
V1 





H
V  h h   I 
I 
22   2 
 2   21
 2
Matrice ibrida inversa
V1   A B   V2 
 V2 




T
 I   C D   I 
 I 
  2
 1 
 2
Matrice di trasmissione
(matrice catena)
V2   A B  V1 
 V1 

T




 I   C D  I 
 I 
  1
 2 
 1
Matrice di trasmissione inversa
(matrice catena inversa)
51
Significato dei parametri di impedenza
z11 
V1
I1
z 21 
I 2 0
V2
I1
I 2 0
 z11  impedenza di ingresso a vuoto alla porta 1
 z21  impedenza di trasferimento a vuoto dalla porta 1 alla porta 2
z 22 
V2
I2
z12 
I1  0
V1
I2
I1  0
 z22  impedenza di ingresso a vuoto alla porta 2
 z12  impedenza di trasferimento a vuoto dalla porta 2 alla porta 1
52
Significato dei parametri di ammettenza
y11 
I1
V1
y 21 
V2  0
I2
V1
V2  0
 y11  ammettenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1
 y21  ammettenza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2
y 22 
I2
V2
y12 
V1  0
I1
V2
V1  0
 y22  ammettenza di ingresso in cortocircuito alla porta 2
 y12  ammettenza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 2 alla porta 1
53
Significato dei parametri ibridi
h11 
V1
I1
h 21 
V2  0
I2
I1
V2  0
 h11  impedenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1
 h21  rapporto di trasferimento di corrente in cortocircuito dalla porta 1
alla porta 2
h12 
V1
V2
h 22 
I1  0
I2
V2
I1  0
 h22  ammettenza di ingresso a vuoto alla porta 2
 h12  rapporto di trasferimento di tensione a vuoto dalla porta 2 alla
porta 1
54
Significato dei parametri di trasmissione
1 V2

A V1
1 V2

C I1
1  I2

B V1
I 2 0
1  I2

D
I1
I 2 0
V2  0
V2  0
55
Trasformatore ideale in regime sinusoidale
v1  Kv2
i1  
1
i2
K
V1  KV2
I1  
1
I2
K
● Le tensioni alla porta 1 e alla porta 2 sono in fase tra loro
● Le correnti alla porta 1 e alla porta 2 sono in opposizione di fase
56
Induttori accoppiati in regime sinusoidale
d i1 (t )
d i (t )
M 2
dt
dt
d i (t )
d i (t )
v 2 (t )  M 1  L2 2
dt
dt
v1 (t )  L1
V1  jL1I1  jMI 2
V2  jMI1  jL2 I 2
● Le equazioni sono un caso particolare di rappresentazione mediante di
coefficienti di impedenza
 V1   jL1
V    jM
 2 
j M   I 1 
 I1 



Z
I 
jL2  I 2 
 2
57
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
v(t )  VM cos(t  V )
i(t )  I M cos(t   I )
  V   I
● Potenza assorbita dal bipolo
p(t )  v(t ) i(t )  VM cos(t  V )  I M cos(t   I ) 
1
VM I M cos(2t  V   I )  cos(V   I ) 
2
1
1
 VM I M cos(2t  V   I )  VM I M cos 
2
2

58
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
59
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
● La potenza è data dalla somma di un termine sinusoidale con
pulsazione 2 (potenza fluttuante) e di un termine costante
● L’ampiezza del termine oscillante è
1
2
VM I M
● Il termine costante rappresenta il valore medio sul periodo
della potenza istantanea
T
1
1
pm   p(t )dt  VM I M cos 
T 0
2
● cos è detto fattore di potenza
 Il fattore di potenza è il rapporto tra il termine costante e
l’ampiezza del termine oscillante
 A parità di ampiezza di v e i, il valore medio sul periodo della
potenza istantanea aumenta al crescere del fattore di potenza
60
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
● Il fattore di potenza cos vale 1 se la tensione e la corrente sono
in fase (  0)
● Aumentando || il fattore di potenza si riduce fino ad annullarsi
quando tensione e corrente sono in quadratura
● Per || > 2 il fattore di potenza diventa negativo e vale 1 se la
tensione e la corrente sono in opposizione di fase
● cos  0  in ogni semiperiodo l’energia assorbita dal bipolo è  0
● cos  0  in ogni semiperiodo l’energia assorbita dal bipolo è  0
 questa condizione si può verificare solo se il bipolo è attivo
 per un bipolo passivo si ha necessariamente cos  0
61
Potenza assorbita da un resistore
1
p(t )  VM I M 1  cos2t  2V 
2
0
1
2
1
2
1
2
2
2
 pm  VM I M  RI M  GVM
62
Potenza assorbita da un induttore
 1

1


p(t )  VM I M cos 2t  2V    LI M2 cos 2t  2V  
2
2 2
2



1

 pm  VM I M cos   0
2
2
63
Potenza assorbita da un condensatore
 1

1


p(t )  VM I M cos 2t  2V    CVM2 cos 2t  2V  
2
2 2
2



1
    pm  VM I M cos   0
2
2
64
Componenti attiva e reattiva della corrente
● Nel caso generale, si può scomporre la corrente istantanea nella
somma di due termini:
 uno in fase con la tensione (come nei resistori)
 componente attiva: iA(t)
 uno in quadratura con la tensione (come negli induttori e nei
condensatori)
 componente reattiva: iR(t)
i(t )  I M cos(t   I ) 
 I M cos[(t  V )  (V   I )] 



 I M cos  cos(t  V )  I M sen  sen(t  V ) 
 I M cos  cos(t  V )  I M sen  cos(t  V   / 2)
 


i A (t )
i R (t )
65
Componenti attiva e reattiva della corrente
Rappresentazione nel piano complesso
I A  I M cos  e jV
I R  I M sen  e


j  V  
2

  j I M sen  e jV
66
Potenza istantanea attiva e reattiva
● Scomposizione della potenza istantanea
p(t )  v(t )i A (t )  i R (t )  v(t ) i A (t )  v(t ) i R (t )  p A (t )  p R (t )
● Potenza istantanea attiva
p A (t )  VM cos(t  V )  I M cos  cos(t  V ) 
 VM I M cos  cos(t  V ) 
2

1
VM I M cos  1  cos(2t  2V )
2
● Potenza istantanea reattiva
p R (t )  VM cos(t  V )  I M sen  sen(t  V ) 
1
 VM I M sen  sen(2t  2V )
2
67
Potenza istantanea attiva e reattiva
68
Potenza istantanea attiva e reattiva
● La potenza istantanea attiva non cambia mai segno
(se cos > 0 è sempre  0)
 flusso unidirezionale di energia
(dall’esterno verso il bipolo se cos > 0)
● La potenza istantanea reattiva è una funzione sinusoidale del
tempo con pulsazione 2
 l’energia ad essa associata fluisce alternativamente
dall’esterno verso il bipolo e viceversa
 in un intervallo di durata pari a un semiperiodo di v e i,
l’energia complessivamente scambiata tra il circuito e il bipolo
è nulla
69
Potenza attiva
● Potenza attiva:
valore medio sul periodo della potenza istantanea attiva
= valore medio sul periodo della potenza istantanea
(unità di misura watt, W)
T
T
1
1
1
P   p A (t )dt   p(t )dt  VM I M cos 
T 0
T 0
2
● Un intervallo t  T può essere approssimato con un numero
intero di periodi
 L’energia assorbita da un bipolo in un intervallo di durata molto
grande rispetto al periodo può essere ottenuta dalla relazione
wa (0, t )  Pt
70
Potenza reattiva
● Potenza reattiva: valore massimo della potenza istantanea
reattiva col segno di 
1
Q  maxp R (t )sgn()  VM I M sen 
2
● L’unità di misura della potenza reattiva è il volt-ampere reattivo
(VAR)
● Q è un indice dell’entità degli scambi energetici associati alla
potenza istantanea reattiva
● Convenzionalmente si attribuisce
 segno  alla potenza reattiva assorbita dagli induttori
 segno  alla potenza reattiva assorbita dai condensatori
71
Potenza apparente
● Potenza apparente: è definita dalla relazione
1
S  VM I M
2
● L’unità di misura della potenza apparente è il volt-ampere (VA)
● La potenza apparente coincide con l’ampiezza del termine
oscillante della potenza istantanea
● S dipende solo dalle ampiezze della tensione e della corrente
72
Triangolo delle potenze
● Rappresentazione grafica delle relazioni tra potenza attiva
reattiva e apparente
S  P2  Q2
P  S cos 
Q  S sen 
Q  P tg 
73
Potenza complessa
● Si definisce potenza complessa la quantità
N
1 *
VI
2
(I* indica il coniugato di I)
● Inserendo le espressioni di V e I si ottiene
1
1
VM e jV  I M e  j I  VM I M e j 
2
2
1
1
 VM I M cos   j VM I M sen   P  jQ
2
2
N
 Quindi si ha
1
ReN   VM I M cos   P
2
1
ImN   VM I M sen   Q
2
1
N  VM I M  S
2
arg(N)  
74
Conservazione delle potenze complesse
(Teorema di Boucherot)
● Ipotesi:
 Circuito con l lati
 Versi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione
dell’utilizzatore
 Condizioni di regime sinusoidale
 Vk, Ik (k  1, ..., l)  fasori delle tensioni e delle correnti
 La somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del
circuito è nulla
 Le somme delle potenze attive e delle potenze reattive assorbite dai
componenti sono nulle
1
N k   Vk I *k  0 

k 1
k 1 2
l
l
l
P
k 1
k
0
l
Q
k 1
k
0
● Dimostrazione:
 I fasori Vk e Ik soddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle
correnti soddisfano la LKI, anche i loro coniugati la soddisfano
 La proprietà deriva direttamente dal teorema di Tellegen
75
Additività delle potenze complesse
● Si assume che il lato l del circuito sia costituito da un bipolo
● Si divide il circuito in due parti
 una formata dal solo lato l
 una formata dagli altri lati (che complessivamente costituiscono un
bipolo)
● Per il teorema di Boucherot vale la relazione
l 1
l 1
l 1
k 1
k 1
k 1
 N l   N k   Pl   Pk ,  Ql   Qk
● Nl è la potenza erogata dal bipolo l, cioè la potenza assorbita dal
bipolo formato dagli altri componenti
 La potenza complessa assorbita da un bipolo formato da più componenti collegati tra loro è pari alla somma delle potenze assorbite dai
singoli componenti
 La stessa proprietà vale per le potenze attive e per le potenze reattive
76
Potenza complessa in funzione di Z e Y
V  ZI  ( R  jX )I
I  YV  (G  jB)V
1
1 * 1
1
1
2
2
VI  ZII*  Z I  V (YV )*  Y * V
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
P  Re  Z I   R I  Re  Y * V   G V
2
 2
2
 2
N
1
1
2
2
2
2
1
1
Q  Im Z I   X I  Im Y * V    B V
2
2
 2
2

P  0  R  0, G  0
Q  0  X  0, B  0
77
Segni delle parti reali e immaginarie di Z e Y
● Si considera un bipolo formato da componenti R, L, C passivi
● Dalle espressioni delle potenze complesse in funzione di Z e Y e dalla
proprietà di additività delle potenze, a seconda del tipo di componenti
contenuti nel bipolo, si ricavano le seguenti condizioni:
Re[Z] Im[Z] Re[Y] Im[Y]
Componenti
P
Q
R






L






C






R-L






R-C






L-C

R-L-C








78
Valori efficaci
● Si definisce valore efficace di una funzione a(t) periodica di
periodo T la quantità
T
1 2
Aeff 
a (t )dt
T 0
● In particolare, se a(t) è sinusoidale, risulta
Aeff 


2
2

A
2
M
cos 2 (t  )dt 
0
 AM2
2 2
2

 [1  cos(2t  2)]dt 
0
AM
2
79
Valori efficaci
● Espressioni della potenza attiva e reattiva in funzione dei valori efficaci
1
V I
P  VM I M cos   M M cos   Veff I eff cos 
2
2 2
1
Q  VM I M sen   Veff I eff sen 
2
● Potenza assorbita da un resistore
P  RI eff2  GVeff2
 Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale corrisponde al
valore di una tensione (corrente) costante che applicata a un resistore
dà luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sul
periodo della potenza assorbita dal resistore in regime sinusoidale
80
Valori efficaci
● E’ possibile definire la trasformata di Steinmetz anche facendo
riferimento ai valori efficaci invece che ai valori massimi
A e  Se a(t ) 
AM j AM
e 
(cos   j sen )
2
2
a(t )  Se1 A e   Re[ 2 A e e jt ]  Re[ AM e j ( t   ) ]  AM cos(t  )
● La trasformata così definita conserva le stesse proprietà della
trasformata basata sui valori massimi
● Le impedenze e le ammettenze (essendo definite come rapporti
tra fasori) non cambiano se si fa riferimento ai valori efficaci
● L’espressione della potenza complessa diviene
N  Ve I *e
81
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva
● Si considera un bipolo formato da un generatore di tensione
sinusoidale VG in serie con un impedenza Z caricato da
un’impedenza ZC
Z  R  jX
Z C  RC  jX C
 Al variare di ZC, la potenza attiva ceduta al carico è massima
quando vale la condizione ZC Z* (adattamento coniugato)
 In queste condizioni la potenza attiva (potenza disponibile) vale
Pd 
VG
8R
2

VGeff
2
4R
82
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva
dimostrazione (1)
● Corrente e tensione nel carico
I
VG
Z  ZC
V
VG Z C
Z  ZC
● Potenza attiva ceduta al carico
 VG ReZ C 
 1 VG Z C
VG RC
VG*
PC  Re 


*
2
2[( R  RC ) 2  ( X  X C ) 2 ]
2 Z  ZC
 2 Z  Z C  Z  Z C  
2
2
● Al variare di XC il denominatore è minimo (e quindi PC è massimo) se
XC  X
● In queste condizioni
PC 
VG
2
2
RC
( R  RC ) 2
83
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva
dimostrazione (2)
● Al variare di PC il massimo si ottiene per
2
VG ( R  RC ) 2  2 RC ( R  RC )
PC

0
RC
2
( R  RC ) 4
cioè RC  R infatti:
 PC è positivo per RC > 0 e si annulla per R  0 e R  
 la derivata di PC si annulla solo per RC  R
 questo punto deve corrispondere a un massimo
 Quindi deve essere RC  R, XC  X  ZC Z*
● In queste condizioni si ha
PC max  Pd 
VG
2
2
VG
R

( R  R) 2
8R
2
84
Rendimento
● In condizioni di adattamento coniugato la potenza attiva erogata dal
generatore vale
2
1  VG*  VG
PG  Re VG

2  2R  4R
 Il rendimento  definito come
rapporto tra la potenza attiva
erogata dal generatore e la
potenza attiva ceduta al carico è
2
V
P
4R
 C  G
 0.5
PG
8 R VG 2
 La condizione di adattamento coniugato non rappresenta una soluzione
ottimale nel caso in cui è importante ottenere rendimenti elevati
85
Rifasamento
● Distribuzione dell’energia elettrica (schema semplificato)
Linea di distribuzione
Generatore
Utilizzatore
● Impedenza equivalente della linea: Z L  RL  jX L
● Condizioni di funzionamento ottimali:
 Ampiezza della tensione sul carico praticamente indipendente dalla
corrente (normalmente gli utilizzatori sono progettati facendo
riferimento a un valore nominale della tensione  sono tollerati
scostamenti di pochi percento dal valore nominale prefissato)
 Minima dissipazione di potenza nella linea
86
Rifasamento
Linea di distribuzione
Utilizzatore
Generatore
● Al crescere dell’ampiezza della corrente I nella linea
 si riduce l’ampiezza della tensione sul V carico
VM  V  VG  Z L I
 aumentano le perdite per effetto Joule lungo la linea
PL 
1
RL I M2
2
87
Rifasamento
● Fissata l’ampiezza tensione VM, a parità di potenza attiva P assorbita
dal carico l’ampiezza della corrente è inversamente proporzionale al
fattore di potenza
IM 
2P
VM cos 
 L’ampiezza della componente attiva della
corrente è fissata dal valore della potenza
attiva
 Al diminuire del fattore di potenza (cioè
all’aumentare dell’angolo ) aumenta
l’ampiezza della componente reattiva
della corrente (e quindi l’ampiezza della
corrente totale)
 Per ridurre le perdite occorre aumentare il fattore di potenza del carico
88
Rifasamento
● Un basso fattore di potenza risulta svantaggioso per il fornitore di
energia elettrica
 Se il valore medio mensile del fattore di potenza risulta inferiore a certi
limiti vengono applicate delle maggiorazioni sul costo dell’energia
● Le norme attuali, per impianti a bassa tensione con potenza impegnata
 15 kW, prevedono:
 per cos  0.9  nessuna penale
 per 0.7  cos  0.9  pagamento di una penale commisurata al
rapporto tra l’integrale della potenza reattiva (energia reattiva) e
quello della potenza attiva (energia attiva) nel periodo di fatturazione
 i limiti sono prossimi ai valori di cos per cui l’energia attiva e
quella reattiva sono uguali (cos  0.707) e l’energia reattiva è
pari al 50% dell’energia attiva (cos  0.894)
 per cos < 0.7  obbligo da parte dell’utente di prendere provvedimenti per aumentare il fattore di potenza
89
Rifasamento
● Per aumentare il fattore di potenza si ricorre al rifasamento del carico
● Si collega in parallelo all’utilizzatore un bipolo puramente reattivo con
reattanza di segno opposto a quella del utilizzatore stesso
● Se il carico è ohmico-induttivo  XU  0,  (caso più comune)
la reattanza XR deve essere negativa ( condensatore)
90
Rifasamento
● Dimensionando opportunamente la reattanza XR si può fare in modo che
 gli scambi di potenza reattiva avvengano prevalentemente tra il
carico e il bipolo di rifasamento, riducendo gli scambi di potenza
reattiva con il generatore
 la componente reattiva IR della corrente nel carico circoli prevalentemente nel bipolo di rifasamento, riducendo l’ampiezza della corrente reattiva IR nella linea
91
Rifasamento
● La potenza reattiva assorbita complessivamente dal carico e dal bipolo
di rifasamento è
Q  Q  QR
● Per portare il fattore di potenza da cos ad un valore accettabile cos
la potenza reattiva assorbita dal bipolo di rifasamento deve essere
QR  (Q  Q)  P(tg  tg)
● Se il bipolo di rifasamento è un condensatore (capacità = CR) si ha
1
QR   CRVM2
2
 Quindi la capacità di rifasamento vale
CR 
2 P(tg   tg ) P(tg   tg )

Veff2
VM2
92
Risonanza serie
● Bipolo RLC serie in regime sinusoidale
● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione 
Z  R  j L 
1
1 

 R  j  L 

jC
C 

1 

Z  R 2   L 

C 

2
arg(Z)  arctg
● Pulsazione di risonanza: 0 
● Per   0
1
C
L 
R
1
LC
 Im[Z]  0
 |Z| è minimo
 arg(Z)  0
93
Risonanza serie
1 

Z  R  j  L 


C


1 

Z  R   L 

C 

2
2
●   prevale la reattanza capacitiva
●   prevale la reattanza induttiva
●   la reattanza si annulla
94
Risonanza serie
arg(Z)  arctg
L 
1
C
R
●   la corrente è in anticipo sulla tensione
●   la tensione è in anticipo sulla corrente
●   la tensione e la corrente sono in fase
95
Risonanza serie
96
Risonanza serie
● Potenza complessa assorbita:
N
1
1
1  2
2
Z I   R  j (L 
) IM
2
2
C 
1 2
RI M
2
1
1 2
● Potenza reattiva: Q  LI M2 
IM
2
2 C
   Q  0
   Q  0
   Q  0
● Potenza attiva:
P
97
Risonanza serie
● Corrente nell’induttore: i L (t )  i(t )  I M cos(t   I )
2
2
2
1
1
 Energia nell’induttore: w L (t )  2 L i (t )  2 LI M cos (t   I )
1 I  v (t )  1 I sen(t   )
● Tensione del condensatore: VC   j
C
M
I
C
C
 Energia nel condensatore:
w C (t )  12 C v C2 (t ) 
1
I M2 sen 2 (t   I )
2
2 C
● In condizioni di risonanza:
w C (t ) 
1
I M2 0 sen 2 (0t   I )  12 LI M2 0 sen 2 (0t   I )
2
20 C
2
 w L (t )  w C (t )  12 LI M 0
 In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata
nel bipolo RLC si mantiene costante
98
Fattore di merito
● In condizioni di risonanza, si definisce fattore di merito la quantità
Q0  2
Energia accumulata
Energia dissipata in un periodo
● Per un bipolo RLC serie, se l’ampiezza della corrente in condizioni di
risonanza è IM0 si ottiene
LI M2 0
L
1
Q0  2 1 2
 0 
R
0 RC
2 RI M 0  T0
1
2

2 
 T0 


0 

● L’espressione dell’impedenza del bipolo può essere posta nella forma
1 


Z  R  j  L 
  R 1 
C 



  0 
1 
 L



R
1
jQ
j


0
    

R
RC


 0


99
Curve di risonanza
● Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie,
di solito si considera la funzione di trasferimento
H( ) 
VR R
 
V Z
1
  
1  jQ0   0 
 0  
● Se V è fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la corrente nel
bipolo al variare di  e la corrente in condizioni di risonanza I0
H( ) 
I
I0
100
Curve di risonanza
101
Curve di risonanza
102
Larghezza di banda
● Se V è fissato, l’ampiezza della corrente nel bipolo, e quindi la potenza
attiva assorbita, sono massime per 0
● In queste condizioni si ha
1 VM2 1 2
P0 
 RI M 0
2 R 2
● La potenza attiva assorbita può essere espressa in funzione di  come
P
1 2 1
2
2
RI M  R H( ) I M2 0  H( ) P0
2
2
● Larghezza di banda (a metà potenza), B: ampiezza dell’intervallo
compreso tra le pulsazioni 1 e 2 per cui risulta P = P0/2
B  2  1
● All’aumentare di Q0 il modulo di H() presenta un picco sempre più
stretto nell’intorno di 0
 La larghezza di banda diminuisce con l’aumentare del fattore di merito
103
Larghezza di banda
● La potenza attiva assorbita dal bipolo vale P = P0/2 se è verificata la
relazione
  
Q0   0   1
 0  
2 
0
  02  0
Q0
● Le soluzioni positive di questa equazione sono
 1
1
1 , 2  0  
 1
2
2
Q
4
Q
0
o

 Quindi si ha
0
Q0




L
 02 RC
R
● Per valori sufficientemente elevati di Q0 (in pratica per Q0 ≥ 10), si può
B  2  1 
B
ritenere

B
1 
  0 
1 , 2  0 1 
2
 2Q0 
104
Risonanza parallelo
● Bipolo RLC parallelo in regime sinusoidale
● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione 
Y  G  jC 
1
1 

 G  j  C 

j L
L 

1 

Y  G 2   C 

L 

2
arg(Y)  arctg
● Pulsazione di risonanza: 0 
● Per   0
1
L
C 
G
1
LC
 Im[Y]  0
 |Y| è minimo
 arg(Y)  0
105
Risonanza parallelo
1 

Y  G  j  C 


L


1 

Y  G   C 

L 

2
2
●   prevale la suscettanza induttiva
●   prevale la suscettanza capacitiva
●   la suscettanza si annulla
106
Risonanza parallelo
arg(Y)  arctg
C 
1
L
G
●   la tensione è in anticipo sulla corrente
●   la corrente è in anticipo sulla tensione
●   la tensione e la corrente sono in fase
107
Risonanza parallelo
108
Risonanza parallelo
● Potenza complessa assorbita: N 
1 * 2 1
1  2
Y V  G  j (C 
) VM
2
2
L 
1
P  GVM2
2
1
1
● Potenza reattiva: Q 
VM2  CVM2
2L
2
   Q  0
   Q  0
   Q  0
● Potenza attiva:
109
Risonanza parallelo
● Tensione del condensatore: v C (t )  v(t )  VM cos(t  V )
2
2
2
1
1
 Energia nel condensatore: w C (t )  2 C v (t )  2 CVM cos (t  V )
1 V  i (t )  1 V sen(t   )
● Corrente nell’induttore: I L   j
L
M
V
L
L
 Energia nell’induttore:
w L (t )  12 L i 2L (t ) 
1
VM2 sen 2 (t  V )
2
2 L
● In condizioni di risonanza:
w L (t ) 
1
VM2 0 sen 2 ( 0t  V )  12 CVM2 0 sen 2 ( 0t  V )
2
20 L
2
 w L (t )  w C (t )  12 CVM 0
 In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si
mantiene costante
110
Fattore di merito
● Per un bipolo RLC parallelo il fattore di merito è
CVM2 0
0C
1
Q0  2 1


2
G
0 LG
2 GVM 0  T0
1
2
 In questo caso l’ammettenza può essere espressa come
1 


Y  G  j  C 
  G 1 
L 



  0 
1 
 C
j
G
1
jQ


 



0

 G LG 
 0  

111
Larghezza di banda
● Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie,
di solito si considera la funzione di trasferimento
H( ) 
IR G
 
I Y
1
  
1  jQ0   0 
 0  
● Se I è fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la tensione nel bipolo
al variare di  e la tensione in condizioni di risonanza V0
H( ) 
V
V0
● L’andamento di H in funzione di  coincide con quello visto per il bipolo
RLC serie
● La larghezza di banda in questo caso vale
B
0 C
  02 LG
Q0 G
112