leggi di conservazione sotto l`effetto di una sola forza centrale

Lezione mecc n.19
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Argomenti di questa lezione (esercitazione)
Moti kepleriani (leggi di conservazione sotto l’effetto di
una sola forza centrale, e relative conseguenze)
Esercizi vari (tratti da prove d’esame) su:
•
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•
•
•
leggi di conservazione
moti armonici
moti di caduta libera
carrucole pesanti (macchina di Atwood)
pendoli fisici
moti di puro rotolamento
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Forze centrali e moti sotto forze centrali.
Esempi:
forza elastica
forza Coulombiana fra cariche puntiformi
(o distribuzioni a simm. sferica)
Forza gravitazionale fra oggetti puntiformi (o sferici)
Abbiamo dimostrato che le forze centrali sono conservative.
Per la forza gravitazionale abbiamo ricavato l’espressione dell’energia
potenziale
U(r)=−GMm/r
U(r)
r
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Se si sceglie come polo il centro di attrazione, la forza centrale ha sempre
braccio nullo, per cui L resta costante
Come prima conseguenza, se ne deduce che la traiettoria giace su un
piano.
Moti Kepleriani. Pensiamo al moto di pianeti intorno al Sole.
Prima legge: le traiettorie hanno la forma di coniche.
Seconda legge: la velocità areolare è costante, ovvero il raggio vettore
(congiungente fra pianeta e sole) copre aree uguali in tempi uguali.
L=rΛp= costante
L=r p sinθ=r m v sinθ
Terza legge: per tutti i pianeti, ha un valore fissato il rapporto fra il
quadrato del periodo e il cubo della misura del semiasse maggiore
dell’orbita.
Dimostrazione limitata al caso di orbite circolari:
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Lezione mecc n.19
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17 gennaio 2007 Esercizio 1
Un corpo di massa M, inizialmente fermo, dall’istante t=0
cade per un tratto h sotto la sola azione della forza peso,
fino ad urtare in maniera perfettamente anelastica un
secondo corpo di massa 2M che fino al momento dell’urto
sta fermo, su una molla di costante elastica k alla quale è
agganciato.
a) chiarire quali quantità (fra quelle utili per rispondere ai
quesiti seguenti) si conservano prima, durante e dopo l’urto.
b) calcolare a quale istante avviene l’urto e la velocità dei
due corpi subito prima e subito dopo l’urto
c) calcolare l’ammontare dell’energia dissipata nell’urto
d) calcolare la massima compressione della molla e
l’ampiezza delle oscillazioni che si hanno dopo l’urto.
e) scrivere e risolvere l’equazione di moto dei due corpi
dopo l’urto
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17 gennaio 2007 Esercizio 2
Da una lamiera omogenea avente una densità superficiale di
massa pari a σ, si taglia una “bandierina” a forma di
triangolo rettangolo di cateti a e b, la quale poi viene
sospesa in modo che possa ruotare intorno al cateto lungo a,
che è disposto orizzontalmente.
a) Si calcoli massa e momento d’inerzia della bandierina.
b) Si calcoli la pulsazione di piccole oscillazioni della
bandierina intorno alla sua posizione d’equilibrio.
c) Si determini l’intensità e la direzione della reazione
vincolare quando la bandierina transita su un piano
orizzontale avendo un’energia meccanica totale appena
sufficiente a compiere rotazioni complete.
Lezione mecc n.19
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16 aprile 2004
Esercizio 1
Un disco omogeneo di
massa M e raggio r è
vincolato a ruotare intorno
ad un punto P che dista r/2
O
dal suo centro. Esso viene
P
tenuto fermo come in
g
figura (con il centro alla
r, M
stessa altezza del fulcro)
mediante una corda
bloccata al suolo, disposta
verticalmente. Ad un certo
istante la corda si rompe,
così che il disco inizia a
ruotare. Calcolare
a) la reazione vincolare e la tensione della corda prima
della rottura della corda stessa;
b) l’accelerazione angolare iniziale del disco;
c) la velocità angolare massima assunta dal disco;
d) la reazione vincolare all’istante in cui il disco transita
dalla posizione di equilibrio.
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4 luglio 2003 Esercizio 1
Una cornice quadrata avente per lati quattro
M
sbarrette omogenee identiche di lunghezza L e
g
L
massa M, è sospesa ad un punto situato sul
centro di un suo lato. Una particella di massa M
(uguale a quella di ogni lato) cade da un’altezza
L e urta elasticamente, da sopra, un angolo della
L, M
cornice (vedi figura).
a)
Stabilire quali grandezze meccaniche del
sistema (fra quelle utili a studiare il problema) si conservano
prima , durante e dopo l’urto.
b)
Calcolare il momento d’inerzia I della cornice rispetto
al punto di sospensione.
Assumendo noto il momento d’inerzia I di cui si è calcolata
l’espressione al punto precedente,
c)
impostare le equazioni necessarie a calcolare la
velocità angolare della cornice dopo l’urto;
d)
calcolare la velocità angolare della cornice dopo l’urto;
e)
calcolare l’impulso ricevuto dalla particella nell’urto;
f)
calcolare la frequenza di piccole oscillazioni della
cornice.
Esercizio 1 del 4 luglio 2003
Conservazioni:
Energia:
Prima dell’urto agisce solo il peso sulla particella e peso e
la reazione vincolare sulla cornice. Solo il peso della
particella lavora. Il peso è una forza conservativa, perciò
Lezione mecc n.19
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possiamo affermare che l’energia meccanica totale si
conserva.
L’energia si conserva anche nell’urto (il testo dice che è elastico), e dopo
l’urto (a lavorare sono nuovamente solo forze peso).
Quantità di moto:
Le forze peso e la reazione vincolare sono forze esterne, non ci sono
motivi per ritenere che sommino a zero, per cui la quantità di moto non si
conserva (né prima, né durante, né dopo l’urto).
Momento angolare
L’urto è istantaneo, e quindi è lecito limitarsi a computare le forze esterne
impulsive, e fra queste, c’è solo la reazione vincolare. Essa ha braccio
nullo rispetto al punto di sospensione, pertanto nell’urto si conserva il
momento angolare rispetto a tale punto.
Inoltre…
Si può osservare che, considerando la sola particella, si ha che nell’urto su
essa agisce una sola forza esterna impulsiva (esercitata dal lato superiore
della cornice) che è diretta verticalmente, pertanto si conserva (resta nulla)
la componente orizzontale della quantità di moto della particella.
Calcolo del momento d’inerzia
Si può procedere in vari modi. Uno modo è moltiplicare per 4 il momento
d’inerzia di ogni lato calcolato (con Steiner) rispetto al centro della
cornice, e poi usare ancore il teorema di Steiner per calcolare il momento
d’inerzia rispetto al punto di sospensione:
I=4×[(ML2/12)+M(L/2)2]+4M(L/2)2=7ML2/3.
In alternativa, applicare direttamente il teorema di steiner per il quattro
lati:
uno ruota intorno al suo baricentro
Lezione mecc n.19
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due hanno il baricentro a distanza L/√2 dall’asse
uno ha il baricentro a distanza L dall’asse
Calcolo di ω dopo l’urto
In base alle leggi di conservazione discusse prima, possiamo innanzitutto
calcolare la velocità della particella un istante prima dell’urto. Per la
conservazione dell’energia meccanica totale si ha
mgL=mv2/2
e quindi
v=√(2gL).
La conservazione dell’energia nell’urto, indicando con w la velocità della
particella dopo l’urto, permette di asserire che
(1/2)Mv2=MgL=(1/2)Iω2+(1/2)Mw2.
Abbiamo detto che nell’urto la particella subisce un impulso diretto
verticalmente: oltre a v anche w è diretta verticalmente, e così la
conservazione del momento angolare nell’urto dà che
Mv(R/2)=Mw(R/2)+Iω.
Calcoli
Risolvendo rispetto a w ed ω il sistema delle due equazioni impostate al
punto c) per la descrizione dell’urto si ottiene
ω=(12/31)v/R=(12/31)√(2g/L)
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Contemporaneamente a ω si trova w=ωL/2-v=
Dalla definizione di impulso si ricava che ∆p=M(w-v). Come si è detto la
direzione di ∆p è quella verticale.
Pulsazione di piccole oscillazioni
La seconda equazione cardinale per la cornice, indicando con θ l’angolo
fra la verticale e la congiungente fra centro di massa e punto di
sospensione, è Mg(L/2)sinθ=-Id2θ/dt2. Approssimata per piccoli angoli
(sinθ≅θ) questa diviene l’equazione di un moto armonico di pulsazione
Ω=√[Mg(L/2)/I]=√(3g/14L).
Lezione mecc n.19
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4 luglio 2003 Esercizio 2
Un cilindro di massa M, raggio
R e momento d’inerzia I rispetto
all’asse di simmetria, poggia su
un binario orizzontale su cui
rotola senza strisciare. Sul
cilindro è avvolto del filo
inestensibile di massa trascurabile che, tramite una carrucola
(costituita da un cilindro identico al primo) sostiene un terzo
cilindro identico ai primi due.
Calcolare:
a)
le tensioni dei due tratti di filo liberi
b)
l’accelerazione angolare della carrucola e del cilindro
appoggiato
c)
la velocità del cilindro sospeso se il sistema è lasciato
libero (da fermo) per il tempo ∆t necessario a far compiere
una rotazione completa alla carrucola
d)
la durata dell’intervallo di tempo ∆t.
Lezione mecc n.19
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Calcolo di T1 e T2
Si devono scrivere separatamente le equazioni della dinamica per i tre
corpi.
Indichiamo con ω1 (α1) la velocità (accelerazione) angolare del cilindro
appoggiato, con ω2 (α2) quella della carrucola, e con a l’accelerazione del
corpo appeso, con T1 e T2 le tensioni del tratto di corda orizzontale e di
quello verticale.
Le equazioni della dinamica e le condizioni di inestensiblità della corda e
di rotolamento puro permettono di asserire che
Ipcα1=T1×2R, 2a cardinale cilindro appoggiato, con Ipc=ICM+MR2=3MR2/2,
per il teorema di Steiner
ICMα2=(T2-T1)R, 2a cardinale carrucola, con ICM=MR2/2
Ma=Mg-T2, 1a cardinale per il corpo appeso
a=α2R , non strisciamento del filo sulla carrucola
a=α12R, rotolamento puro del cilindro appoggiato.
Sono 5 equazioni nelle 5 incognite
a,
α 1,
α2, T1,
T2.
E’ un sistema lineare determinato, risolvendo il quale si ottiene, fra l’altro,
il valore di T1 e T2.
Lezione mecc n.19
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Velocità dopo un giro della carrucola
Quando la carrucola compie un giro il corpo sospeso scende di 2πR, per
cui la sua energia potenziale diminuisce di Mg2πR. Essendo il sistema
conservativo (a lavorare c’è solo il peso), questa energia deve essersi
trasformata in energia cinetica. Tenendo conto del fatto che la velocità del
corpo sospeso deve eguagliare ω2R, possiamo scrivere che
Mg2πR=Ek-cil-app+Ek-carr+Ek-cil-sosp=
(1/2)Ipcω12+(1/2)ICMω22+(1/2)M(Rω2)2
da qui si ricava ω2 e quindi v, con la sola considerazione aggiuntiva che
deve essere ω2=2ω1 (per l’inestensibilità del tratto di corda orizzontale).
Durata del tempo ∆t
I coefficienti del sistema considerato sono costanti, perciò sono costanti
anche le soluzioni, e in particolare l’accelerazione. Quindi si ha a che fare
con un moto uniformemente accelerato [che avviene con l’accelerazione a
determinata risolvendo il sistema del punto b)] e ci si chiede in quanto
tempo viene percorso un tratto 2πR, ovvero per quale ∆t si ha che
2πR=(1/2)a∆t2: deve essere ∆t=√(4πR/a).
Lezione mecc n.19
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7 ottobre 2003 Esercizio 1
Un oggetto cilindrico ha massa M, raggio R e
momento d’inerzia I, rispetto all’asse di simmetria
F
g
(M, R ed I sono noti); esso poggia su un piano che è
inclinato di un angolo α rispetto all’orizzontale.
Una forza F diretta orizzontalmente è applicata sul
α
punto più alto del cilindro, così che esso resta fermo.
Il sistema è soggetto alla gravità (accelerazione di gravità g).
a) Quanto vale il modulo della forza F?
b) Quanto vale (in modulo) la reazione normale N del piano sul cilindro?
c) Quanto vale (in modulo) la reazione d’attrito A del piano sul cilindro? Si tratta di
attrito statico o dinamico? E cosa si può affermare riguardo al valore del
coefficiente d’attrito?
d) Se ad un certo istante viene tolta la forza F, così che il cilindro inizia a scendere
con un moto di puro rotolamento, qual’è l’accelerazione angolare del cilindro?
Quanto vale la risultante delle forze applicate al cilindro?
7 ottobre 2003 Esercizio 2
Un blocco di massa M è agganciato ad una molla di costante elastica k e poggia su un
piano orizzontale scabro.
All’inizio la molla è compressa di un tratto ∆x ed il sistema è tenuto bloccato.
Quando il blocco viene liberato esso inizia a spostarsi, poi quando la molla è
allungata di un tratto ∆x’=∆x/2, il blocco si ferma e non si muove più.
a) Calcolare quanta energia viene dissipata nel moto e calcolare il coefficiente
d’attrito dinamico µD.
b) Stabilire il valore minimo che deve avere il coefficiente d’attrito statico.
c) Scrivere l’equazione del moto del sistema, valida nell’intervallo di tempo in
cui il blocco si muove.
d)
Identificare la posizione occupata dal blocco nell’istante in cui esso
ha accelerazione nulla e determinare l’istante al quale ciò si verifica.
Lezione mecc n.19
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Soluzioni scritte da un anonimo frequentatore del forum, che ringraziamo)
7 ottobre 2003 Es.1
a,b,c)siccome il sistema è in equilibrio si impongono le condizioni della statica
ΣFx=0 Mgsenθ-Fcosθ-A=0
somma delle forze lungo x
ΣFy=0 N-Fsenθ-Mgcosθ=0
somma delle forze lungo y
Στz=0 MgRsenθ-2Rfcosθ=0
somma dei momenti di forza esterni=0
(i momenti sono calcolati scegliendo come asse quello passante per il punto di
contatto del cilindro con il piano)
Questo è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite (A,F,N)
Si tratta di attrito statico, infatti il cilindro rotola senza strisciare, quindi il
valore del coefficiente di attrito statico non ha un valore determinato però si sa
con certezza che deve essere µ>=A/N
d) Quando la forza viene rimossa il cilindro inizia a muoversi, per calcolare la
sua accelerazione angolare basta scrivere la 2a equazione cardinale
MgRsenθ=Iα da cui α=(MgRsenθ)/I
Dove I è il momento di inerzia calcolato rispetto ad un asse passante per il
punto di contatto I=3/2MR2 (dal teorema degli assi paralleli)
Siccome il cilindro accelera, ci deve essere una forza che agisce su di esso
Frisult=Macentro di massa (1a legge di Newton)
acentro di massa=αR
Frisult=(M2gR2senθ)/I
7 ottobre 2003 Es.2
a) Il moto della massa avviene in presenza di forze non conservative (l’attrito)
quindi l’energia meccanica totale non si conserva
∆E=1/2k∆x2
La variazione di energia meccanica totale è data dal lavoro fatto dalle forze non
Lezione mecc n.19
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conservative
Lnoncons=∆E
1/4∆xquadro=-Mgµ∆S
dove ∆S e lo spazio percorso dalla molla cioè 3/2∆x
da qui si ricava il valore del coeficiente di attrito dinamico µ=-(k∆x)/3Mg
b)(k∆x)/(2Mg)<=µ<=(k∆x)/(Mg)
c)Ma=-k∆x-µMg
quando il blocco è in movimento, su di lui agiscono 2 forze: quella di richiamo
della molla e quella di attrito dinamico che dà lo smorzamento dell’oscillazione
d) per trovare la posizione del blocco quando ha accelerazione nulla basta porre
=0 l’accelerazione nell’equazione del moto e si trova x=(µMg)/k che è la
posizione di equilibrio
L’istante in cui ciò si verifica corrisponde a 1/4 del periodo di oscillazione
T=π/(2ω) dove ω e la pulsazione cioè √(k/M).
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16 luglio 2013
Esercizio 2
La figura mostra un piano orizzontale su cui
poggia un corpo di massa 3M. Tale corpo viene
tirato da un filo ideale (inestensibile e massa
trascurabile) che, tramite una carrucola di raggio
R e di massa trascurabile, sostiene un’identica
carrucola a cui sono appesi, sempre con filo ideale,
due altri corpi, rispettivamente di massa M e 2M.
Sapendo che il corpo di massa 3M resta fermo, e
che il tratto di corda che lo tira forma un angolo θ
con l’orizzontale, determinare il minimo valore
possibile del coefficiente d’attrito statico fra quel
corpo e il piano. (Opzionale per il N.O.) Determinare
inoltre il tempo necessario alla carrucola per fare
un giro completo partendo da ferma.
3M
θ
2M
M
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10 luglio 2012
Esercizio 2
Un cilindro omogeneo di massa M e
raggio R ruota strisciando su due pareti
oblique, perpendicolari fra loro ed
orientate a 45° rispetto all’orizzontale,
come mostrato in figura. Pareti e cilindro
interagiscono con una forza d’attrito
radente descritta dal coefficiente µD. Si
chiede di determinare
a) l’accelerazione angolare del cilindro e
b) l’intensità e direzione della forza totale
scambiata fra cilindro e parete di destra
(nel punto 1).
[Si indichino con N1, N2 ed A1, A2 le reazioni normali
e d’attrito nei punti 1 e 2]
ω
g
R, M
2
1