Prova scritta del 28 settembre 2006

C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2005-06
Fisica Generale
Prova del 28-09-06
ESERCIZIO 1
Un corpo di massa m è appeso al soffitto di un ascensore di massa M per mezzo di un filo.
L’ascensore è accelerato verso l’alto da una forza costante F. La massa m è inizialmente ad una
distanza S dal pavimento.
a) Quale è la tensione T del filo che connette m all’ascensore?
b) Se la corda che regge m si spezza improvvisamente, nel momento stesso in cui l’ascensore si
mette in moto, quanto tempo impiega m a toccare il pavimento?
Soluzione
a) L’accelerazione del sistema è:
F − (m + M ) g
F
=
−g
(m + M )
(m + M )
Questa è anche l’accelerazione della massa m, provocata dalla tensione T del filo. Per la 2a eq.
di Newton si ha pertanto:
⎛
⎞
F
m
− mg + T = ma ⇒ T = m ( g + a ) = m ⎜⎜ g +
− g ⎟⎟ = F
(m + M ) ⎠ (m + M )
⎝
b) Nel sistema di riferimento mobile, solidale con l’ascensore, prendendo un asse orientato verso
l’alto, si ha per il teorema del Coriolis:
⎛
⎞
F
F
− g ⎟⎟ = −
ar = aa − aτ = − g − ⎜⎜
(m + M )
⎝ (m + M )
⎠
Con questa accelerazione si può risolvere l’equazione del moto ottenendo:
F − (m + M ) g = (m + M ) a ⇒ a =
2S ( m + M )
F
Lo stesso problema si può anche risolvere nel sistema di riferimento fisso, prendendo un asse y
rivolto verso l’alto, con origine nel punto in cui si trova il pavimento dell’ascensore all’istante
iniziale e imponendo il sistema:
1 2
⎧
m : ⎪ ym = S − g t
2
⎪
⎨
⎤
1⎡ F
− g⎥ t2
M : ⎪ yM = ⎢
⎪⎩
2 ⎣(m + M )
⎦
All’istante in cui il corpo m tocca il pavimento si ha ym = yM , da cui segue
t=
⎤
1
1⎡ F
S − g t2 = ⎢
− g ⎥ t2
2
2 ⎣(m + M )
⎦
che risolta per t fornisce lo stesso risultato trovato precedentemente.
ESERCIZIO 2
Un blocco di massa m = 2 kg è lasciato scendere dal punto A
m
A su di un tratto che è un quadrante di una guida circolare
di raggio R = 4 m . Il corpo scivola e raggiunge il punto B
con una velocità vB = 8 m s −1 . Dal punto B esso scivola su
una superficie piana e percorre una distanza d = 8 m fino al
punto C, dove si arresta. Calcolare:
a) il lavoro compiuto dalle forze di attrito sul tratto orizzontale BC;
B
d
C
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A.A. 2004-05
Fisica Generale
Prova del 28-09-06
b) il coefficiente di attrito dinamico µd sulla superficie orizzontale;
c) dire se il tratto circolare AB è liscio o scabro, motivando quantitativamente la risposta;
d) nel caso la risposta al punto c) sia che il tratto AB è scabro, calcolare il lavoro compiuto dalle
forze di attrito.
Soluzione
a) L’energia cinetica nel punto B è:
2
1
1
m vB2 = ( 2 kg ) ( 8 m s −1 ) = 64 J
2
2
Il lavoro compiuto dalla forza di attrito nel tratto BC è
LBC = µd , BC m g d
Ek , B =
b) Dal teorema delle forze vive, considerando che nel punto C il blocco si arresta, si ottiene:
E
L
64 J
µd , BC = BC = k , B =
= 0.4
m g d m g d ( 2 kg ) ( 9.8 m s −2 ) ( 8 m )
c) L’energia potenziale nel punto A è:
E p , A = m g R = ( 2 kg ) ( 9.8 m s −2 ) ( 4 m ) = 78.4 J
Questa energia potenziale è maggiore dell’energia cinetica nel punto B, e vi è una differenza di
energia pari a
∆E AB = Ek , B − E p , A = 64 J − 78.4 J = −14.4 J
Ciò significa che il tratto AB è scabro.
d) Il lavoro fatto dalle forze di attrito nel tratto AB è pari alla perdita di energia, ovvero:
LAB = ∆E AB = −14.4 J
ESERCIZIO 3
È dato il sistema rappresentato in figura: un rocchetto è formato da
due dischi di raggio R e massa M, connessi da un cilindro di raggio r
e massa m. Il sistema può rotolare senza strisciare su di un piano
G
orizzontale sotto l’azione di una forza F perpendicolare al cilindro R
e parallela al piano. Determinare:
r
a) il momento d’inerzia I del sistema;
b) la sua accelerazione lineare a e quella angolare α;
c) la velocità dopo aver percorso un tratto di lunghezza d, nell’ipotesi che parta da fermo.
F
Soluzione
a) Il momento d’inerzia è la somma dei momenti d’inerzia delle singole parti del sistema: i due
dischi e il cilindro che li connette. Si ha quindi:
1
⎛1
⎞ 1
I = 2 ⋅ ⎜ M R2 ⎟ + m r 2 = M R2 + m r 2
2
⎝2
⎠ 2
b) Le forze (escluse la forza peso e la reazione normale) agenti
sul sistema possono essere schematizzate come in figura; la
r
forza di attrito agisce su ciascuno dei due dischi. La proiezione
F
della I Equazione Cardinale sul piano si scrive:
C
F − 2 f = MaC
R
mentre la proiezione della II E.C. sull’asse di rotazione, preso
positivo nel verso uscente dal piano del foglio è:
f
r F +2R f = Iα
Risolvendo dalla I si ha:
.
2
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Prova del 28-09-06
2 f = F − MaC
che sostituita nella II dà:
ovvero:
r F + R ( F − M aC ) = I α
( r + R ) F = R M (α R ) + I α = α ( I + M R 2 ) .
Le soluzioni sono quindi:
α=
(r + R) F ;
aC = α R =
R (r + R) F
R2 M + I
R M +I
ovvero sostituendo le espressione del momento d’inerzia:
2(r + R) F
2(r + R) R F
α=
;
aC =
2
2
4M R +mr
4 M R2 + m r 2
2
c) L’energia cinetica si può calcolare dal teorema delle forze vive. Chiamata la massa totale del
sistema M tot = 2 M + m , la sua espressione, utilizzando il teorema di König, è:
2
1
1
1 ⎛v ⎞ 1
1⎛ I
⎞
F d = I ω 2 + M tot vC2 = I ⎜ C ⎟ + M tot vC2 = ⎜ 2 + M tot ⎟ vC2
2
2
2 ⎝R⎠ 2
2⎝ R
⎠
da cui:
vC =
2 F d R2
I + M tot R 2
3