Esercizi vari (tratti da prove d`esame) su: • moti armonici • moti di

Lezione n.21/22-2011
Argomenti di questa lezione (esercitazione)
Esercizi vari (tratti da prove d’esame) su:
• moti armonici
• moti di caduta libera
• carrucole pesanti
• pendoli fisici
• moti di puro rotolamento
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Lezione n.21/22-2011
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16 aprile 2004
Esercizio 1
Un disco omogeneo di
massa M e raggio r è
vincolato a ruotare intorno
ad un punto P che dista r/2
O
dal suo centro. Esso viene
P
tenuto fermo come in
g
figura (con il centro alla
r, M
stessa altezza del fulcro)
mediante una corda
bloccata al suolo, disposta
verticalmente. Ad un certo
istante la corda si rompe,
così che il disco inizia a
ruotare. Calcolare
a) la reazione vincolare e la tensione della corda prima
della rottura della corda stessa;
b) l’accelerazione angolare iniziale del disco;
c) la velocità angolare massima assunta dal disco;
d) la reazione vincolare all’istante in cui il disco transita
dalla posizione di equilibrio.
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4 luglio 2003 Esercizio 1
Una cornice quadrata avente per lati quattro
M
sbarrette omogenee identiche di lunghezza L e
g
L
massa M, è sospesa ad un punto situato sul
centro di un suo lato. Una particella di massa M
(uguale a quella di ogni lato) cade da un’altezza
L e urta elasticamente, da sopra, un angolo della
L, M
cornice (vedi figura).
a)
Stabilire quali grandezze meccaniche del
sistema (fra quelle utili a studiare il problema) si conservano
prima , durante e dopo l’urto.
b)
Calcolare il momento d’inerzia I della cornice rispetto
al punto di sospensione.
Assumendo noto il momento d’inerzia I di cui si è calcolata
l’espressione al punto precedente,
c)
impostare le equazioni necessarie a calcolare la
velocità angolare della cornice dopo l’urto;
d)
calcolare la velocità angolare della cornice dopo l’urto;
e)
calcolare l’impulso ricevuto dalla particella nell’urto;
f)
calcolare la frequenza di piccole oscillazioni della
cornice.
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Esercizio 2 - 20.07.06
Un cilindro omogeneo di
2k
massa M e raggio R può
R
k
ruotare liberamente
intorno al proprio asse.
0
∆x
Intorno al cilindro è
avvolto, senza possibilità
di strisciamento, un filo inestensibile e di massa
trascurabile.
Il filo è connesso ad un supporto verticale attraverso due
molle di costante elastica k e 2k (vedi figura).
Quando il supporto è in posizione x=0, le molle sono a
riposo.
Quando il supporto viene spostato di un tratto assegnato ∆x
verso destra, il cilindro ruota di un angolo θ.
Calcolare per quale valore di θ si annulla la somma dei
momenti delle tensioni dei fili rispetto all’asse del cilindro.
Calcolare l’energia potenziale elastica del sistema in
funzione di θ ed individuare il valore (o i valori) di θ che la
rendono minima. Calcolare il periodo di piccole oscillazioni
del sistema intorno alla posizione d’equilibrio.
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Esercizio 2
Si scriva e si risolva
g
l’equazione del moto per il
M
sistema rappresentato in figura,
che è costituito da una massa
M sospesa ad una corda che,
tramite una carrucola di raggio R e momento d’inerzia
I, è rinviata verso una molla di costante elastica k.
Fornire la legge oraria nell’ipotesi che al tempo t=0 il
sistema sia fermo con la molla nella sua posizione di
riposo.
k
R, I
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7 ottobre 2003 Esercizio 1
Un oggetto cilindrico ha massa M,
F
g
raggio R e momento d’inerzia I,
rispetto all’asse di simmetria (M, R
α
ed I sono noti); esso poggia su un
piano che è inclinato di un angolo α
rispetto all’orizzontale.
Una forza F diretta orizzontalmente è applicata sul punto
più alto del cilindro, così che esso resta fermo. Il sistema è
soggetto alla gravità (accelerazione di gravità g).
a) Quanto vale il modulo della forza F?
b) Quanto vale (in modulo) la reazione normale N del piano
sul cilindro?
c) Quanto vale (in modulo) la reazione d’attrito A del piano
sul cilindro? Si tratta di attrito statico o dinamico? E cosa
si può affermare riguardo al valore del coefficiente
d’attrito?
d) Se ad un certo istante viene tolta la forza F, così che il
cilindro inizia a scendere con un moto di puro
rotolamento, qual’è l’accelerazione angolare del cilindro?
Quanto vale la risultante delle forze applicate al cilindro?
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7 ottobre 2003 Esercizio 2
Un blocco di massa M è agganciato ad una molla di
costante elastica k e poggia su un piano orizzontale scabro.
All’inizio la molla è compressa di un tratto ∆x ed il sistema
è tenuto bloccato. Quando il blocco viene liberato esso
inizia a spostarsi, poi quando la molla è allungata di un
tratto ∆x’=∆x/2, il blocco si ferma e non si muove più.
a) Calcolare quanta energia viene dissipata nel moto e
calcolare il coefficiente d’attrito dinamico µD.
b) Stabilire il valore minimo che deve avere il coefficiente
d’attrito statico.
c) Scrivere l’equazione del moto del sistema, valida
nell’intervallo di tempo in cui il blocco si muove.
d) Identificare la posizione occupata dal blocco
nell’istante in cui esso ha accelerazione nulla e
determinare l’istante al quale ciò si verifica.
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k
17 aprile 2003 Eserc. 1
V0
A
B
Due corpi A e B di
uguale massa M,
poggiano su un piano orizzontale liscio. I due corpi sono
connessi da una molla di costante elastica k. Inizialmente la
molla è a riposo ed i due corpi si muovono con uguale
velocità V0. Ad un certo tempo (t=0) il corpo B urta
istantaneamente ed elasticamente contro un blocco fisso, su
cui rimbalza.
a) Di quanto varia la quantità di moto di B nell’urto?
Quanto vale la quantità di moto del sistema A+B dopo
l’urto?
b) Con quale pulsazione inizia ad oscillare il sistema A+B
dopo l’urto?
c) Di quanto si comprime la molla, dopo l’urto?
d) A quale istante il corpo B urta nuovamente contro il
blocco?
e) Come si muove il sistema A+B dopo il secondo urto?
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17 aprile
F
R
2003
F
2R
Esercizio 2
Un rocchetto
è costituito da 3 cilindri omogenei, dei quali due hanno
massa M e raggio 2R e uno (quello centrale) ha massa 2M e
raggio R. Il rocchetto poggia su un piano orizzontale su cui
rotola senza strisciare. Tramite due fili opportunamente
avvolti sul rocchetto centrale vengono applicate al sistema
due forze identiche F che agiscono orizzontalmente (vedi
figura). Calcolare
a) il momento d’inerzia del sistema, sia rispetto al suo asse
di simmetria sia rispetto all’asse passante per i punti di
contatto;
b) l’accelerazione angolare del sistema;
c) l’accelerazione del centro di massa del rocchetto
d) il modulo della forza d’attrito fra rocchetto e piano,
chiarendo anche se si tratta di una forza d’attrito statico o di
attrito dinamico.
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15 aprile 2005
Si consideri il sistema in figura, dove una sbarretta AB
omogenea di massa M e lunghezza 3L,
imperniata in un punto distante L dal
suo
estremo B, è mantenuta in posizione
orizzontale da un volatile appollaiato
sull’estremo B.
Ad un certo istante il volatile se ne va
(senza esercitare spinte sulla sbarretta),
e la sbarretta ruota fino ad urtare
elasticamente con il suo estremo A un corpo puntiforme posto
sotto il fulcro ed avente la stessa massa del volatile.
a) Determinare la massa del volatile (e del corpo urtato).
b) Determinare la velocità angolare della sbarretta nell’istante
che precede l’urto.
c) Determinare l’impulso fornito dal vincolo nell’urto.
d) Determinare l’ampiezza angolare delle oscillazioni dopo
l’urto e chiarire se la legge oraria può essere descritta con buona
approssimazione con un moto armonico, indicando la pulsazione
di quest’ultimo.