MATEMATICA CORSO A - SCIENZE BIOLOGICHE

MATEMATICA CORSO A - SCIENZE BIOLOGICHE
VARIABILI ALEATORIE CONTINUE
ES 1-La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X è data da
0 per x≤0
F(x)= x3 per 0<x<1
1 per x≥1
a) Determinare la corrispondente funzione di densità
b) Calcolare P(-1≤X≤ 1/2)
SOLUZIONE: a) Si ha F’(x)= f(x), dunque la funzione di densità
f(x)=3x2 per 0<x<1, f(x)=0 per ogni x ∉(0, 1); b)Si ha
P(-1≤X≤ 1/2)= F(1/2) – F(-1) = 1/8 –0 =1/8
ES 2-Assegnata la funzione f(x)=c/x2 per 1≤x≤3,
f(x)=0 altrimenti
a)
determinare il valore da attribuire alla costante c affinchè f(x)
possa rappresentare una funzione di densità di probabilità
b)
Sia X una v.a. che ha f(x) come funzione di densità di
probabilità determinare media e mediana della distribuzione
SOLUZIONE:Si deve avere c∫13(1/x2)dx =1, poiché ∫ 13(1/x2)dx =2/3,
dunque c=3/2; b) E(X)=3/2∫ 13(1/x2)xdx =3/2(log3-log1)=3/2log3; per
determinare la mediana m si deve avere 3/2∫1m(1/x2)dx =1/2, vale a dire
∫1m(1/x2)dx =1-1/m=1/3, da cui 2/3=1/m e quindi m=3/2
ES 3-Supponiamo che il tempo di vita di un organismo sia distribuito
secondo una legge esponenziale con parametro a = (1/200) anni.
Determina la probabilità che l’organismo viva per più di 50 anni.
SOLUZIONE: P(X>50) = ∫50+∞ (1/200)e-(1/200)xdx = e-(1/200)50=e-1/4
ES 4-Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(t) così
definita:
e2t per t ≤ 0
f(t) =
1 per 0 < t ≤ 1/2
0 per t > 1/2
a) Determina la funzione di ripartizione
b) Calcola P(-1≤ X ≤ 1/4)
c) Calcola E(X)
SOLUZIONE: a) la funzione di ripartizione F(x)= P(X≤x) =∫-∞x f(t)dt
E quindi si ha
e2x/2 per x≤ 0
F(x)= x+1/2 per 0 < x ≤ 1/2
1
per x>1/2
b) P(-1≤ X ≤ 1/4)= ∫-10 e2t dt + ∫01/4 1dt = F(1/4)-F(-1)= 3/4- e-2/2;
c)E(X)= ∫-∞0 te2t dt + ∫01/2 t dt = -1/4 + 1/8 = −1/8
ES 5-La distribuzione di un certo tipo di batteri in un ml di acqua tende
alla distribuzione gaussiana N(100,64). Qual è la probabilità che vi siano
più di 90 batteri di quel tipo in un ml di acqua?
SOLUZIONE:E’ richiesta P(X>90), per calcolare questa probabilità
standardizziamo ed utilizziamo le tavole della normale standard, si ha
P(X>90)=P((X-100)/8> (90-100)/8) =P(Y> -1.25), dove con Y abbiamo
indicato la v.a. N(0,1), dalle tavole si ha P(Y>-1.25)=Φ(1.25)=0.8944,
dunque la probabilità richiesta è leggermente superiore a 89%.
ES 6-Il peso alla nascita in una data popolazione animale è una variabile
aleatoria X distribuita secondo una gaussiana di media 0,824 grammi e
deviazione standard 0,042 g.
a) Determinare la probabilità P(0,784≤X≤0,934)
b) Determinare k tale che P(|X-0,824|≤k)=0,95
SOLUZIONE: a) P(0,784≤X≤0,934)= P((0,784-0,824)/0,042≤(X0,824)/0,042≤(0,934-0,824)/0,042)= P(-0,95≤Y≤ 2,62), dove Y è N(0,1) e
si è arrotondato il calcolo alla seconda cifra decimale, dalle tavole della
normale standard si ottiene P(-0,95≤Y≤ 2,62) =Φ(2,62) + Φ(0,95) –1
=0,8245;
b) P(|X-0,824|≤k)=P(-k≤X-0,824≤k)=0,95 per standardizzare basta
dividere per la deviazione standard e si ottiene
P(-k/0,042≤Y≤k/0,042)=0,95 dove Y è N(0,1), dalle tavole della normale
standard, otteniamo la relazione k/0,042=1,96
(infatti P(-1.96≤Y≤1,96)=0,95), e dunque k=0,08232
ES 7-Sia X una v.a. gaussiana di media 2 e deviazione standard 3,
calcolare
a)
P(-1.5≤X≤4.2)
b)
Determinare k tale che P(X≥k)=0.90
SOLUZIONE: a) P(-1.5≤X≤4.2)=P((-1.5-2)/3≤(X-2)/3≤(4.2-2)/3)=
P(-1.17≤Y≤0.73) =0.7673+0.8790-1=0.6463;
b) P(X≥k)=P((X-2)/3≥(k-2)/3)=0.90, dunque (k-2)/3=−1.29, da cui
k=−1.87
ES 8-In un esperimento ciascun topo, di un campione casuale di 25 unità,
deve essere iniettato con un farmaco ad un livello di dose di 0.004
mg per grammo di peso corporeo. Per questo ceppo di topi è noto
che il peso è approssimativamente distribuito secondo una legge
normale di media 19 g e deviazione standard 4g.
a)Se il ricercatore possiede un totale di 2 mg di farmaco, qual è la
probabilità che questo non sia sufficiente per trattare tutti i topi?
b) Quanto farmaco dovrebbe possedere il ricercatore al fine di correre un
rischio dell’1% di non trattare tutti gli animali?
SOLUZIONE: a) Indichiamo con Xi il peso dell’i-sima cavia, è richiesta
la probabilità P((X1 + …..+ X25 )0.004> 2)= P(X1 + …..+ X25 > 500)=
P( Y> (500-(19)(25))/20)=P(Y> 1.25) = 1-Φ(1.25)=1-0.8944 = 0.1056,
dove Y indica la variabile gaussiana standard e Φ è la sua funzione di
ripartizione ;
b)P((X1 + …..+ X25 )0.004> n)= 0.01 =P(X1 + …..+ X25 > 250n)=
=P(Y>(250n-19(25))/20))=0.01 , si deve avere, quindi,
(250n-475)/20 = 2.33 (infatti si ha Φ(2.33)=0.99) da cui n=2.0864 mg