Variabili aleatorie

Variabili aleatorie
Si definisce variabile aleatoria una variabile per cui ad ogni valore da essa
assunto (evento) è associata una probabilità.
E’ descritta completamente da una funzione f detta densità di probabilità
che ha in ascisse tutti i possibili valori ( continui o discreti )assunti dalla
variabile da un xi a un xf e in ordinate la probabilità associata ad ognuno di
questi valori.
L’area sottostante alla funzione ( è il suo integrale) è unitaria perché
equivale alla somma delle probabilità di tutti gli eventi possibili.
Una descrizione alternativa è la funzione F distribuzione di probabilità
cumulativa che si ottiene dalla precedente per integrazione ( mantenendo
invariate le ascisse e ponendo in ordinate per ogni x la somma degli f(x) a
partire da xi ).
Distribuzione uniforme
E’ una distribuzione di tipo continuo.
Una variabile aleatoria è uniformemente distribuita fra a e b se la sua densità
di probabilità è costante:
f(x):
1/(b-a)
0
per a<=x<=b
altrove
Si ottiene una generazione di xi appartenenti ad una variabile aleatoria
distribuita uniformemente a partire da una generazione di numeri casuali yi
uniformemente distribuiti fra 0 e 1 ( che si ottiene in EXCEL con CASUALE() e in
Pascal con RANDOM), calcolando questi valori così:
xi = a + (b-a)* yi
Per ogni variabile aleatoria di qualunque distribuzione sono definiti due
parametri:
la media  che è la media dei valori che la variabile aleatoria può assumere:
la varianza 2 che indica la concentrazione intorno alla media della variabile
aleatoria, la sua radice quadrata  è detta deviazione standard .
Per la distribuzione uniforme  = (b+a)/2
e 2 =(b-a)2/12
Distribuzione Gaussiana
E’ una distribuzione di tipo continuo.
I dati ricavati da misure sperimentali hanno per lo più questa distribuzione.
Una variabile aleatoria normale o gaussiana è rappresentata da una funzione
densità di probabilità simmetrica rispetto alla media e a forma di campana.
 è tale per cui il 95% dei valori di x sono compresi fra -2 e -2
La distribuzione normale standard è:
f(Z) =
e^ (-1/2 Z2) /21/2
con Z = (x-)/
con media nulla e devianza standard =1
Si può ottenere una generazione di n campioni Zi da una generazione di ri
compresi fra 0 e 1 sommando 12 ri e sottraendo 6
Dagli Zi si possono poi ricavare n campioni xi di una variabile aleatoria
di distribuzione normale con media  e deviazione standard  così:
xi =  + * Zi
Distribuzione esponenziale
E’ una distribuzione di tipo continuo.
Viene usata per rappresentare il decadimento di elementi radioattivi e i tempi
di interarrivo di clienti o di servizio in sistemi di code di vario tipo.
La densità di probabilità è :
f(x) = * exp(-*x)
con media e deviazione standard entrambe = 1/ = 
Se x è un tempo di interarrivo o di servizio,  è un tempo ed è il tempo medio
di interarrivo o di servizio.
Se in un decadimento radioattivo N(t)= numero di nuclei non ancora decaduti al
tempo t si può vedere come N si riduca praticamente a 0 in 5*.
 è la costante di tempo del sistema.
Si ottiene una generazione di xi appartenenti ad una variabile aleatoria
distribuita esponenzialmente a partire da una generazione di numeri casuali yi
uniformemente distribuiti fra 0 e 1 così:
xi = - 1/ * ln(yi)
Distribuzione di Poisson
E’ una distribuzione di tipo discreto.
Se in esperimento i tempi in cui gli eventi accadono sono distribuiti
esponenzialmente , allora il numero di eventi in un periodo di tempo fissato T è
una variabile aleatoria distribuita secondo la distribuzione di Poisson.
Con media
 e varianza
2 entrambe
= 
Controllo di distribuzioni su foglio elettronico
Usare la funzione FREQUENZA che costruisce l’istogramma di frequenza e genera n
valori su un intervallo che deve essere di dimensioni pari a una matrice-classi
+1, mentre la matrice-dati corrisponde all’insieme dei dati da inserire
nell’istogramma.
Costruire una matrice classi, predisporre un intervallo dati vuoto costituito
da un insieme di caselle pari ad una matrice classi+1 seguire le istruzioni
della funzione FREQUENZA , per ottenere i dati su un array , premere
CRTL+MAIUSC+ INVIO