Serie 27: Elettrodinamica II

FAM
Serie 27: Elettrodinamica II
C. Ferrari
Esercizio 1 Campo elettrico di cariche puntiformi 1
Due punti materiali di cariche opposte e intensià 2,0 · 10−7 C sono poste a una
distanza di 15 cm.
1. Disegna qualitativamente le linee di forza del campo elettrico per questa distribuzione di cariche.
2. Determina qual è la l’intensità del campo elettrico nel punto di mezzo tra le
~ in quel punto.
due cariche, la sua direzione ed il suo verso. Disegna il vettore E
Esercizio 2 Campo elettrico di cariche puntiformi 2
Due punti materiali di carica q1 = 1 · 10−6 C e q2 = 3 · 10−6 C sono distanti tra loro
di d = 10 cm e poste sull’asse x. Determina la componente Ex del campo elettrico
sull’asse x e disegna la funzione Ex (x). (Scegli l’orientamento dell’asse x da sinistra
a destra).
Esercizio 3 Campo elettrico di un dipolo elettrico
Una coppia di cariche di stessa intensità q ma segno opposto ad una distanza d
fissata è chiamato dipolo elettrico, e definisce il vettore momento di dipolo
elettrico
~p = q d~
dove d~ è il vettore d~ = ~x+ − ~x− diretto dalla carica negativa (vettore posizione ~x− )
alla carica positiva (vettore posizione ~x+ ).
1. Dimostra che il campo elettrico in un punto P sulla retta definita da d~ (= asse
del dipolo), ad una distanza z ≫ d dal punto medio tra le cariche vale
1
Ez (z) = 2πε
0 z3
p
Ex = Ey = 0
Indicazione: Utilizza l’approssimazione lineare seguente, valida se x ≪ 1
1
≈ 1 − 2x .
(1 + x)2
2. Calcola il momento di dipolo elettrico di un’elettrone e di un protone posti ad
una distanza di 4,30 nm.
1
3. Disegna schematicamente una molecola di acqua individuando il “baricentro”
delle cariche positive e quello delle cariche negative. Assimilando la molecola
ad un dipolo elettrico disegna qualitativamente il momento di dipolo elettrico.
4. Sapendo che una molecola di acqua nello stato gassoso genera un campo elettrico come se fosse un dipolo elettrico il cui momento di dipolo ha un’intensità
di 6,2 · 10−30 Cm, quale intensità avrà il campo elettrico a una distanza 1,1 nm
dalla molecola sull’asse del dipolo? Verifica se è possibile utilizzare l’equazione
trovata nel punto 1.
Esercizio 4 Dipolo in un campo elettrico
Considera un dipolo elettrico definito dal vettore ~p, per esempio una molecola di
H2 O, e supponiamo che esso abbia una struttura rigida, ossia il centro della carica
positiva e quello della carica negativa rimangano sempre ad una distanza d. Questo
~ indipendente dal tempo, come
dipolo è posto in un campo elettrico uniforme E
illustrato nella figura qui sotto (in tratteggiato le linee di forza del campo elettrico)
+q
d
~p
~
E
−q
1. Disegna i vettori forza subiti dal centro della carica positiva e da quello della
carica negativa (assimilati a due PM), quanto vale la forza totale sul dipolo?
2. Determina il momento (meccanico) di ogni PM e dimostra che il momento
meccanico totale vale
~ .
~τ = ~p ∧ E
3. Considera una molecola di acqua dell’esercizio 3 posta in un campo elettrico
di intensità E = 1,5 · 104 N/C. Quale sarà il momento meccanico massimo che
il campo esercita su di esso?
4. Dimostra che il lavoro effettuato da una coppia di forze esterne per ruotare di
un angolo infinitesimale dθ > 0 il dipolo in modo quasi–statico è
δW est = pE sin θdθ = τ dθ
2
→
−
→
−
Indicazione: per ogni forza agente sul dipolo δW1 = F~ est·dℓ = kF~ estkkdℓk cos ∡,
→
−
inoltre kdℓk è la lunghezza di un arco infinitesimale di un cerchio di raggio d/2.
Utilizzando la relazione ∆E pot = −Wel = W est e scegliendo E pot = 0 per
θ = π/2 si può scrivere
E
pot
(θ) − E
pot
(π/2) =
est
Wπ/2→θ
=
Z
θ
δW
est
=⇒ E
pot
(θ) =
π/2
Z
θ
pE sin θ′ dθ′
π/2
che dà l’energia potenziale di un dipolo elettrico in un campo elettrico uniforme
~
E pot (θ) = −pE cos θ =⇒ E pot = −~p · E
5. Determina il lavoro per ruotare da θ = π a θ = 0 il dipolo dell’esercizio 3.
Applicazione pratica: forno a microonde. Vedi Halliday, Resnick, Walker, Fondamenti
di fisica. Elettromagnetismo, Zanichelli (pagina 518).
Esercizio 5 Esperienza di Millikan (1910–1913)
Robert Millikan stabilitı̀ agli inizi del XIX secolo la quantificazione della carica
elettrica con quello che è noto come esperienza della goccia d’olio.
Il fisico statunitense fece cadere, attraverso un forellino, delle goccie di olio in una
~ come illustrato
regione in cui egli poteva inserire un campo elettrico uniforme E
nella figura qui sotto.
q>0
~
E
1. Determina la velocità limite v1 della goccia in assenza di campo elettrico.
(Indicazione: considera un’attrito viscoso che segue la legge di Stokes e la
forza di Archimede).
2. Assumendo la carica q > 0, determina la velocità limite v2 in presenza del
~
campo elettrico E.
3. Utilizzando le due equazioni verifica che
q=
6πrη(v1 + v2 )
E
3
dove r è il raggio della goccia deducibile dalla velocità limite v1 :
s
9ηv1
r=
2(ρ − ρa )g
con ρ la densità dell’olio e ρa quella dell’aria.
Facendo numerose misure Millikan stabilı̀ che q = ne, dove n ∈ Z, ciò gli valse il
premio Nobel per la fisica nel 1923.
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