Spazi vettoriali/3 Spazi di Hilbert/1

Spazi vettoriali/3
−k
. Trovare un elemento y ∈ `f tale che
(1) Sia x = (xk )∞
k=1 la successione reale data da xk = 2
d(x, y) < 1/100, in cui la distanza è quella associata alla norma k · k1 .
(2) Nello spazio Cb1 (R) trovare una successione di funzioni fn tali che limn→∞ kfn ku = 0, ma al tempo
stesso, se considero una norma diversa data da kf k := kf ku + kf 0 ku , ottengo kfn k 6→ 0.
(3) Dimostrare che P [0, 1] non è chiuso in (C[0, 1], k · ku ). (Ovvero trovare una funzione su [0, 1] che non
sia un polimonio, ma che sia limite uniforme di polinomi. Sugg: ricordarsi di quello che dice T.)
(4) Sapendo che `f è denso sia in (`0 , k · k∞ ) che in (`p , k · kp ) per ogni p ≥ 1, e usando il fatto che `0 è
chiuso in (`∞ , k · k∞ ), identificare i seguenti insiemi:
(a)
(b)
(c)
(d)
la
la
la
la
chiusura
chiusura
chiusura
chiusura
di
di
di
di
`2
`1
`1
`3
in
in
in
in
(`∞ , k · k∞ )
(`4 , k · k∞ )
(`4 , k · k4 )
(`0 , k · k∞ )
Spazi di Hilbert/1
(1) Indicando con AT la trasposta della matrice A, dimostrare che, se A è invertibile, (AT )−1 = (A−1 )T .
(2) Dire se la seguente espressione è un prodotto scalare in `2 o meno. Dimostrare ciò che si afferma.
hx, yi =
∞
X
(xi yi + xi yi+1 + xi+1 yi )
i=1
(3) Dire se la seguente espressione è un prodotto scalare in `2 o meno. Dimostrare ciò che si afferma.
hx, yi =
∞
X
(3xi yi − xi yi+1 − xi+1 yi )
i=1
(4) Dire se la seguente espressione è un prodotto scalare nello spazio Mn×n (R). Dimostrare ciò che si
afferma (At è la trasposta di A).
(b) hA, Bi := tr(At B)
(a) hA, Bi := tr(AB)
+
(5) Dimostrare che se (µ)∞
k=1 è una successione reale positiva, lo spazio “pesato”
∞
n
o
X
`2 (µ) := x ∈ R∞ :
µi x2i < ∞
i=1
è uno spazio vettoriale e che hx, yi =
+$
P∞
i=1
µi xi yi è un prodotto scalare in `2 (µ).
(6) Dimostrare che l’addizione, la moltiplicazione per uno scalare e il prodotto scalare sono continui in
uno spazio euclideo, vale a dire si assuma che un → u e che vn → v e si dimostri che
(1) un + vn → u + v
(2) se c ∈ R allora cun → cu
(3) hun , vn i → hu, vi
(7) Usando la procedura di Gram–Schmidt, trovare un sistema ortonormale p0 , p1 , p2 , p3 , p4 in C2 [0, 1], a
partire dal seguente sistema di vettori linearmente indipendenti:
v0 (x) = 1, v1 (x) = x, v2 (x) = x2 , v3 (x) = x3 , v4 (x) = x4
√
Risp: p0 = 1, p1 = − 3(1 − 2x), p2 =
270x2 − 420x3 + 210x4 .
√
√
5(1 − 6x + 6x2 ), p3 = − 7(1 − 12x + 30x2 − 20x3 ), p4 = 3 − 60x +
+
(8) (Polinomi di Legendre). Usando la procedura di Gram–Schmidt, trovare un sistema ortonormale
p0 , p1 , p2 , p3 in C2 [−1, 1], a partire dal seguente sistema di vettori linearmente indipendenti:
v0 (x) = 1, v1 (x) = x, v2 (x) = x2 , v3 (x) = x3 , v4 (x) = x4
√1 ,
2
Risp: u0 =
Z
R
+∞
−∞
q
3
2 x,
u2 =
√
√5 (3x2
2 2
− 1), u3 =
√
√7 (5x3
2 2
− 3x), u4 =
3
√
(35x4
8 2
− 30x2 + 3).
2
R
(9) Sapendo che
u1 =
/2
e−x
√
2π
= 1 (come si dimostra?), dimostrare che per ogni intero positivo n si ha
2
e−x /2 2n
√
x dx = (2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2π
Z
+∞
−∞
2
e−x /2 2n−1
√
x
dx = 0
2π
−x2 /2
(10) (Polinomi di Hermite). Nello spazio euclideo pesato C2 (R, e √2π dx), ortogonalizzare i polinomi:
1, x, x2 , x3 .
Risp: p0 = 1, p1 = x, p2 =
√1 (x2
2
− 1), p3 =
√1 (x3
6
− 3x).
(11) Quale condizione deve soddisfare una matrice n × n A, affinchè la seguente espressione sia un prodotto
scalare in Rn ?
n
X
hu, vi :=
Aij ui vj
u, v ∈ Rn
i,j=1
(12) Sia A = (Aij ) una matrice infinita tale che
(a) Aij = Aji per ogni i, j
(b) esiste M > 0 tale che 0 < Aii < M per ogni i
P
(c) per ogni i si ha j6=i |Aij | < Aii
Dimostrare che l’espressione
∞
X
hx, yi :=
Aij xi yj
i,j=1
è un prodotto scalare in `2 .
(13) Nello spazio di Hilbert `2 sia
X := {x ∈ `2 : xn = 0 per tutti gli n dispari}
W := {x ∈ `2 : x2n = x2n−1 per ogni n = 1, 2, . . .}
Z := {x ∈ `2 : |x1 | ≥ |x2 | ≥ |x3 | ≥ · · · } .
Determinare X ⊥ , W ⊥ , Z ⊥ .
Varie
(1) Calcolare
P37
k=0
37
k
. (Sugg: usare l’identità. . . )
Risp: 137438953472
(2) Trovare una funzione f ∈ C(R) che cresce, quando x → +∞, più velocemente di qualunque potenza,
ma più lentamente di exp(|x|a ) per ogni a > 0.
(3) Sia
A=
4
−3
2
−1
Calcolare eA e verificare che det eA = etr A . (Sugg: conviene diagonalizzarla).
„
−2 e + 3 e2
Risp:
3 e − 3 e2
−2 e + 2 e2
3 e − 2 e2
«
(4) Trova una matrice A 3 × 3 tale che A 6= 0, A2 6= 0 e A3 = 0.
+ Più
o meno svolto nei Rudimenti o sul sito
$ Facoltativo
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