Prodotto scalare e prodotto vettoriale

Matteo Moda
Geometria e algebra lineare
Prodotti
Prodotto scalare e prodotto vettoriale
Prodotto scalare: Sia V uno spazio vettoriale reale. Una funzione che associa ad ogni coppia di
vettori s,w di V un numero reale (s,w) è detta prodotto scalare su V ed ha le seguenti proprietà:
1. Simmetrica: (s,w)=(w,s)
2. Bilineare: 1 + 2, = 1, + 2, , 1 + 2
= , 1
+ , 2
3. È definita positiva: , ≥ 0 , = 0 ↔ = 0
Uno spazio vettoriale a cui è assegnato un prodotto scalare sarà definito spazio vettoriale metrico
Esempi
1. Prodotto scalare canonico su RN
x=(x1,….)
y=(y1,….)
allora: , = ∑ = Verifico le tre proprietà:
1. , = = , = = = , 2. 1 + 2
= 1 + 2
= 1 + 2 = 1, + 2, 3. , = ≥ 0 ⇒ ∀
= 0 ⇒ = 0
2. Prodotto scalare in R3
, = ||| | cos % -----> prodotto scalare di vettori geometrici
u
α
v
In particolare se ho due vettori v paralleli avrò come prodotto scalare:
, =|
|
cos 0 = |
|
≥0
Con le componenti cartesiane: , = 12 + 12 + &1&2
Norma: La norma o lunghezza in uno spazio vettoriale metrico è la funzione che associa al vettore
vϵV il numero reale non negativo
‖ ‖ = ( , Distanza: è la funzione che associa ai vettori v,w ϵ V il numero reale
) , = ‖ − ‖
Matteo Moda
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Proprietà della norma e della distanza:
1. ‖ ‖ = ( , = ( , = ||‖ ‖
2. Per la simmetria/bi linearità del prodotto scalare:
‖ + ‖ = + , + = ‖ ‖ + 2 , + ‖‖ +
‖ − ‖ = ‖ ‖ − 2 , + ‖‖
) , → 4 , = ‖ + ‖ − ‖ − ‖
Ortogonalità: I vettori v e w di V si dicono ortogonali se (v,w)=0, cioè se vale il teorema di Pitagora
‖ + ‖ = ‖ ‖ + ‖‖
Se w è un vettore non nullo di V, possiamo scomporre ogni vettore vϵV nella somma:
= , + − ,
/ 01)1 ,ℎ+ − , 134151/6+ , ,1è − ,, = , − ,‖‖ = 0 ) , ,
, =
‖‖
Proiezione ortogonale: Il vettore
:,9
839 = ‖9‖; è 6 831+&1/+ 134151/6+ )+6 +4413+
Teorema (disuguaglianza di Cauchy- Schwarz): Per ogni coppia di vettori v e w, si ha: | , | ≤
‖‖‖ ‖. Vale l’uguaglianza se e solo se w e v sono linearmente dipendenti
Corollario: disuguaglianza triangolare : per ogni coppia di vettori v e w vale: ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ +
‖‖
Angolo: l’angolo convesso tra due vettori non nulli v e w di uno spazio vettoriale metrico è il
numero reale ϑ, compreso tra 0 e π, tale che:
cos = = , /‖‖‖ ‖ ,1/ − 1 ≤ cos = ≤ 1
Insieme ortonormale: Un insieme di vettori {e1,…,em} di V è un insieme ortonormale se (ei, ej)=0 se
i≠j e (ei,ei)=1 per i=1,…,m
Un insieme ortonormale è linearmente indipendente
Base ortonormale: Un insieme ortonormale di generatori di un sottospazio U di V, è detto base
ortonormale di U
Teorema di Gram – Schmidt: Se {v1,…,vn} è un insieme linearmente indipendente, esiste un insieme
ortonormale {e1,…,em} tale che:
⟨+,…, +A ⟩ = ⟨ ,…, A ⟩ 8+3 15/ C = 1, … , 0
In particolare a partire da una base di V si può costruire una base ortonormale di V.
Si chiama modulo o lunghezza del vettore D = 1, 2, 3
, /)1 6 0161 ‖D‖, 6 /0+31:
‖D‖ = F + + G
H6613, )4 )+ +4413 D = 1, 2, 3
, D = 1, 2, 3
ℎ
‖D −D‖ = 1 − 1
+ 2 − 2
+ 3 − 3
= ‖D‖ + ‖D‖ + 211 + 22 + 33
I
D −
JJJD,13381/)+ 6 4+3&1 641 ) / 43/5161, K/) 8+3 6 3+516 )+6 ,1+/1 6 1 K)341 è:
‖D − D‖ = ‖D‖ + ‖D‖ − 2‖D‖‖D‖ cos = ,1/ = /5161 43 D + D
Il prodotto scalare tra i vettori D = 1, 2, 3
+ D = 1, 2, 3
è 56+ :
D ∙ D = 11 + 22 + 33 = ‖D‖‖D‖ cos =
x
y
ϑ
x-y
Matteo Moda
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Proprietà del prodotto scalare:
1. xy=yx commutativa
2. M + N
& = M&
+ N&
3. &M + N
= M&
+ N&
Prodotto vettoriale:
3
3 1
1 2
P + P
PQ + P
P C = det U1
3
3 1
1 2
1
Proprietà del prodotto vettoriale:
1. MD + ND
× &D = MD × &D
+ ND × &D
,1/ N, M ∈ X
2. D × D = −D × D
3. D × D = 0 + +4413 + 1/1 8366+6 + D × D = 0
4. Identità cicliche: YD × ZD = CJD , ZD × CJD = YD, CJD × YD = ZD
2
D × D = P
2
Prodotti
Q
2
2
C
3V
3
5. Non è associativo
Prodotto misto: X G × X G × X G → X
1 2 3
× &
= ∙ × & = [1 2 3[ = ∙ & × = & ∙ × &1 &2 &3
∙ × & = − ∙ × & = × ∙ &
Teorema: Un parallelogrammo è un rombo se e solo se le diagonali sono ortogonali
Disuguaglianza di Mikowsky: ‖\ + ]‖ ≤ ‖\‖ + ‖]‖
Disuguaglianza triangolare: ‖ − &‖ ≤ ‖ − ‖ + ‖ − &‖
Determinate applicazioni dei prodotti: esempio equazione cartesiana nel piano e di un piano nello
spazio