Progetto “Lauree scientifiche” MIUR, Confindustria, Facoltà di Scienze

Progetto “Lauree scientifiche”
MIUR, Confindustria, Facoltà di Scienze,
Università “Sapienza”, “Tor Vergata”, “Roma Tre”
QUINTO INCONTRO: Geometrie non euclidee
Scheda lavoro
1.
2.
Con riferimento alla slide n. 7 del ppt, provate a dimostrare la prima implicazione:
se (A) allora (B)
Sulla sfera cosa definisci:
segmento_________________________________________________________
retta_____________________________________________________________
angolo___________________________________________________________
triangolo_________________________________________________________
quadrilatero_______________________________________________________
somma degli angoli interni di un triangolo ______________________________
________________________________________________________________
3.
Dimostra che il parallelismo fra rette gode della proprietà transitiva.
(Ragiona per assurdo e applica l'assioma delle parallele).
4.
Quali dei seguenti concetti richiedono la conoscenza delle rette parallele e quali,
invece, si possono definire senza ricorrere alle rette parallele?
triangolo equilatero, rettangolo, trapezio, cerchio, traslazione.
5.
Stabilisci quali dei seguenti teoremi richiedono la conoscenza delle rette
parallele e delle loro proprietà, e quali si possono dimostrare senza ricorrere alle rette
parallele:
gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali;
ciascuno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo isoscele è la metà di un retto;
la somma degli angoli di un poligono con n lati è uguale ad n2 angoli piatti;
le bisettrici di un triangolo passano per uno stesso punto;
il teorema di Pitagora.
6.
Dimostra, senza usare l'assioma delle parallele, che se la somma degli angoli di
un triangolo assume sempre lo stesso valore , allora  è un angolo piatto. (Dato un
triangolo ABC e detto E un punto del segmento BC, considera i triangoli ABE ed ACE:
la somma degli angoli del triangolo ABC è ...).
7.
Che cosa puoi dire, nelle geometrie iperbolica ed ellittica, della somma degli
angoli di un quadrilatero? (Traccia una diagonale).
8.
Verifica nel modello di Riemann le seguenti proprietà della geometria ellittica:
per due punti distinti passa una sola retta (un punto del modello corrisponde a un
diametro; due diametri individuano un piano che interseca la superficie sferica …);
non esistono rette parallele distinte (una retta del nostro modello corrisponde a
un piano passante per il centro O della sfera; due piani con il punto O in comune si
intersecano …).
9.
Trova in geometria sferica un triangolo "trirettangolo", cioè con tre angoli retti;
qual è la sua area? Tenendo presente che anche in geometria sferica vale la stessa
formula per il calcolo dell'area di un triangolo (qualora si supponga unitario il raggio
della sfera e si misurino gli angoli in radianti), ritrova l'area della sfera.
10.
Dimostra che in geometria sferica due qualsiasi rette a e b ammettono una
perpendicolare comune. (Detti P e P' i punti in comune alle due rette, considera il
piano passante per il centro della sfera e perpendicolare al diametro ...).
11.
Disegna nel cerchio del Klein un quadrilatero che non sia contenuto in alcun
triangolo.