STUDIO DELLA FORZA ELASTICA

Didattica della Fisica con Laboratorio II
SSIS VII ciclo – FIM A049 – 2006/2007
Raffaella Raschellà
L’attrito dinamico
Si vuole proporre un esperimento che faccia uso il più possibile di materiale facilmente reperibile, in
modo da dare l’idea che la fisica descrive la realtà, ed evitare l’equivoco secondo cui le leggi della
fisica funzionano solo nei laboratori, in situazioni e con strumentazioni preparate apposta.
L’obbiettivo è di studiare le leggi dell’attrito dinamico, ed eventualmente di misurare il coefficiente
di attrito di qualche coppia di superfici.
Esperimento
Materiale








ripiano in legno (sostituito in un secondo tempo da una panca)
supporti regolabili (pantografi)
carrucola e supporto
spago
pesi/bicchiere di carta
fil di ferro (per ganci e armatura bicchiere)
acqua, contagocce e bilancia
fotocamera digitale in grado di fare filmati
Risultati e discussione
L’attrito è una conseguenza macroscopica di processi microscopici non facilmente studiabili nel
dettaglio, quindi si cerca di modellizzare l’effetto macroscopico attraverso semplici leggi
fenomenologiche. Da osservazioni qualitative si vede che a parità di forza applicata la resistenza
aumenta con il peso dell’oggetto, e che superfici di contatto diverso danno resistenze diverse. Allora
l’ipotesi più semplice che si può formulare è che la forza di attrito sia proporzionale alla componente
delle forze agenti sull’oggetto in direzione normale al vincolo, in analogia con la legge dell’attrito
statico.
La verifica quantitativa di questa legge si può effettuare in diversi modi, che hanno ciascuno dei lati
positivi e negativi, dal punto di vista operativo, teorico o didattico. La difficoltà forse maggiore, e
comune a tutte le modalità, è la richiesta di elevata omogeneità delle superfici a contatto, condizione
più critica che nel caso dell’attrito statico, essendo la misura dinamica e non locale.
Velocità costante con dinamometro
Il modo concettualmente più semplice per verificare la proporzionalità tra forza applicata F e
componente normale al vincolo N della risultante delle forze applicate, e per trovare il coefficiente di
proporzionalità , è di tirare un oggetto di peso noto con un dinamometro lungo un piano
orizzontale, e misurare la forza necessaria perché la velocità sia costante. Questa è l’esperienza
classica proposta nei libri di testo e nelle schede dei kit didattici, ma non è proponibile nella pratica,
per la difficoltà a mantenere una forza costante, sia per una difficoltà operativa sia per la scarsa
omogeneità delle superfici utilizzate (carta, legno, acciaio…). Inoltre non permette di misurare la
costanza della velocità, quindi non permetterebbe di verificare la legge ma solo di ricavare il
coefficiente di attrito supponendola già nota.
Velocità costante con peso e filmato
Se si trova un modo per esercitare una forza F costante sull’oggetto tale che questo si muova di moto
rettilineo uniforme, la forza di attrito dinamico Fd si può trovare dalla semplice equazione:
1
F = Fd = N
dove N è pari al peso dell’oggetto, se si usa un piano orizzontale (con l’aiuto di una livella a bolla), da
cui =F/(Mg), con M massa dell’oggetto.
FILO INESTENSIBILE
E SENZA MASSA
OGGETTO
CARRUCOLA IDEALE
TACCHE
Figura 2. Esempio di fotogramma tratto da un
filmato ottenuto con il setup di Figura 1 (con la
panca al posto del ripiano e la carrucola a sinistra
anziché a destra)
Figura 1. Setup sperimentale. L’oggetto appeso alla
carrucola può essere un bicchiere pieno d’acqua o
una vite con dei bulloni. Il ripiano viene sostituito
da una panca in un secondo tempo.
Con il sistema in Figura 1 si esercita una forza costante pari al peso del bicchiere pieno d’acqua F=mg,
quindi regolabile in modo quasi continuo, e si studia il moto filmandolo e quindi determinando gli
istanti di passaggio davanti alle tacche con il software VirtualDub (Figura 2). Vista la disomogeneità
del ripiano usato e l’elevato attrito della carta, abbiamo scelto di rivestire il ripiano con carta da
forno.
Il vantaggio di questo metodo è che è ininfluente il fatto di trascurare il momento d’inerzia della
carrucola e la massa del filo, mentre deve valere l’approssimazione di rigidità del filo e la condizione
di non strisciamento del filo sulla carrucola. Permette inoltre di verificare quantitativamente la
proporzionalità tra Fd e peso dell’oggetto, trovando una relazione lineare tra m (necessaria ad avere
velocità costante) ed M.
Le difficoltà pratiche sono nel trovare le condizioni di moto rettilineo uniforme, e di distinguere
questo da un moto debolmente accelerato. Ci sono inoltre problemi di lettura degli istanti dal filmato,
che vengono discussi nel paragrafo seguente.
Moto accelerato con peso e filmato
Si è preferito quindi complicare le equazioni e semplificare la parte operativa, cioè studiare il moto
accelerato dell’oggetto per diverse masse del bicchiere pieno d’acqua. Questo permette di avere un
quadro più completo delle forze coinvolte e degli effetti realmente trascurabili.
Dalle curve posizione-tempo (x-t) ottenute con l’oggetto di acciaio sulla carta da forno (Figura 3a), si
può vedere una deviazione dall’andamento parabolico o lineare in corrispondenza della stessa zona,
come se l’oggetto attraversasse una cunetta. Abbiamo allora sostituito il ripiano con una panca del
laboratorio.
Le curve posizione-tempo in questo caso mostrano un andamento più regolare, parabolico all’inizio
per diventare lineare alla fine. Questo può essere interpretato con una velocità di regime raggiunta
dal bicchiere, soggetto all’attrito viscoso dell’aria. Trascurando carrucola e filo le equazioni del moto
sono dunque:
(1)
mg   v   Mg  (m  M)v
2
dove  è il coefficiente di attrito viscoso. A regime l’accelerazione si annulla, quindi:
v 
g

m
g
M

(2)
Cioè trovando v∞ da un fit del tratto lineare delle curve x-t per i diversi valori di m, si possono
ricavare i coefficienti  e dalla pendenza e l’intercetta del fit lineare di v∞(m).
Nei primi istanti, il termine di attrito viscoso è trascurabile, quindi un fit parabolico dei primi dati x-t
restituisce un coefficiente di secondo ordine a2 da cui calcolare il coefficiente di attrito:

mg  2( M  m)a2
Mg
60
100
50
30,79 g
90
30,79 g (2)
80
31,45 g
40
posizione (cm)
posizione (cm)
(3)
30
20
33,02 g
35,05 g
32,05 g
36 g
38 g
31.32 g
70
60
50
40
30
20
10
10
0
0
0
2
4
6
tempo (s)
8
0
10
2
4
tempo (s)
6
(a)
8
(b)
Figura 3. Grafico posizione-tempo per diverse masse del bicchiere appeso, sul ripiano (a) e la
panca(b).
Inoltre, per verificare che il tratto lineare sia attribuibile all’attrito dell’aria sul bicchiere, e non a una
dipendenza dalla velocità della forza di attrito, abbiamo sostituito il bicchiere con una vite, resa di
massa confrontabile con quelle usate nelle misure col bicchiere, aggiungendo dei dadi. In questo
modo si è nelle stesse condizioni precedenti, ma si è limitata considerevolmente la superficie esposta
all’aria. Le curve x-t nelle due prove effettuate mostrano un andamento parabolico senza tratto
lineare, e i valori del coefficiente di attrito radente ottenuto nelle tre modalità (fit v∞(m), fit dei tratti
parabolici delle misure col bicchiere, fit dell’intera curva nelle misure con la vite) risultano
confrontabili all’interno delle incertezze di misura (Tabella 1).
90
80
posizione (cm)
70
60
50
40
30
34,07 g
20
36,73 g
10
0
0
2
4
tempo (s)
6
8
Figura 4. Grafico posizione-tempo per due masse della vite. La linea continua è il fit parabolico.
3
I dati ricavati dal fit parabolico mostrano un andamento crescente con la massa m dell’oggetto
“motore”, richiedendo quindi una spiegazione per la loro variabilità di origine fisica e non statistica.
Considerando il momento d’inerzia I della carrucola, la seconda equazione cardinale della dinamica
rispetto all’asse di rotazione della carrucola è:
mgr   vr   Mgr  ( m  M )vr  I
v
r
(4)
dove r è il raggio della carrucola. Approssimando la carrucola di massa M’ di forma cilindrica,
I=½M’r2, cioè la (4) diventa:
(5)
mg   v   Mg  (m  M  1 2 M ')v
cioè la stessa forma dell’equazione del moto (1), dove le forze sono invariate mentre l’inerzia del
sistema deve essere aumentata della metà della massa della carrucola. Si vede quindi che il momento
d’inerzia della carrucola non influenza il caso in cui la velocità è costante. Si ritrova quindi la (3) nella
forma:

mg  2( M  m  1 2 M ')a2
Mg
(6)
I valori corretti, riportati nella terza colonna della Tabella 1, mostrano che la media non cambia in
modo significativo rispetto ai valori ottenuti senza considerare la carrucola (colonna 1), però si riduce
la correlazione con la massa dell’oggetto appeso (R passa da 0,93 a 0,78), quindi la carrucola non è
trascurabile.
M
massa del
grave (g)
31.32
32.05
32.67
33.02
34.07
35.05
36.00
36.73
38.00
124.87 g
M’
velocità limite
 dal fit
(cm/s)**
parabolico*
0.250
9.67
0.256
8.02
***
3.40
0.259
9.44
0.269
vite con bulloni
0.268
21.80
0.281
20.28
0.271
vite con bulloni
0.284
38.75
media
regr. lineare
0.2670.012 0.2470.061
72.84 g
 dal fit
parabolico*2
0.249
0.256
***
0.257
0.267
0.262
0.278
0.260
0.276
media
0.2630.010
Tabella 1. Riassunto dei risultati delle misure prese con il setup definitivo (panca) per diversi
valori della massa m del grave (il bicchiere o la vite con i bulloni). Note: * il fit è eseguito sui primi
dati posizione-tempo, prima dell’andamento lineare; ** la velocità limite è calcolata come
pendenza della retta di regressione del tratto lineare; ***nel primo tratto l’oggetto va a strattoni
quindi si sono esclusi i dati; 2 nelle equazioni si è considerato anche il momento di inerzia della
carrucola di massa M’.
I limiti operativi di questo metodo sono nella necessità di interpolazione quando si ricavano dal
filmato gli istanti di passaggio davanti alle tacche. Infatti la risoluzione del filmato non permette di
vedere i dettagli della carta millimetrata, quindi non si può segnare le posizioni in corrispondenza
dei tempi dei diversi fotogrammi; nel caso in cui non ci sia un fotogramma che mostra la coincidenza
tra una tacca e la posizione dell’oggetto, bisogna interpolare tra il tempo del fotogramma precedente
e successivo, tenendo conto che essendo il moto accelerato l’oggetto non compie distanze uguali in
tempi uguali. Un modo per limitare l’effetto di errori di lettura di questo tipo è di aumentare la
frequenza delle tacche, in modo di avere più punti su cui fare il fit; quindi per il tratto iniziale, dove
4
applichiamo il fit parabolico, abbiamo segnato una tacca ogni cm anziché ogni 5 cm come per il tratto
successivo (Figura 2).
Inoltre, il valore di m può variare in un piccolo intervallo, perché per valori minori la forza non è
sufficiente a far muovere l’oggetto, e per valori troppo elevati il moto è troppo veloce e non si riesce a
misurare con il filmato.
Conclusioni
Si riassumono in Tabella 2 i pro e contro di ogni metodo di studio dell’attrito dinamico e misurazione
del coefficiente presi in considerazione.
1
2
METODO
PRO
dinamometro “a mano”:
equazioni semplici
moto uniforme
attrezzatura ridotta al minimo
carrucola, bicchiere e filmato: equazioni semplici
moto uniforme
3a carrucola, bicchiere e filmato: operativamente comodo
moto accelerato
regolazione “continua” della massa
3b carrucola, bicchiere e filmato: operativamente comodo
velocità di regime
regolazione “continua” della massa
4
carrucola, vite e filmato:
moto accelerato
operativamente comodo
attrito dell’aria trascurabile
equazioni relativamente semplici
CONTRO
difficoltà operative
permette misura ma non verifica della legge
difficoltà operative
setup complesso rispetto a (1)
attrito dell’aria sul bicchiere non trascurabile
setup complesso rispetto a (1)
difficoltà interpolazione
pochi punti su cui fittare
equazioni complicate
possibile solo un piccolo range di masse del
bicchiere
setup complesso rispetto a (1)
equazioni complicate
richiede doppio fit
possibile solo un piccolo range di masse del
bicchiere
richiede accordo con 3a
setup complesso rispetto a (1)
difficoltà interpolazione
possibile solo un piccolo range di masse della
vite
Tabella 2. Confronto tra i diversi metodi di studio dell’attrito dinamico e di misura del coefficiente.
Il compromesso migliore è il metodo 4; il moto in questo caso è in buona approssimazione
uniformemente accelerato, la fisica coinvolta è ridotta al minimo (seconda equazione della dinamica,
forza peso e forza di attrito radente) e il coefficiente di attrito si può trovare dal coefficiente di
second’ordine di un fit parabolico mediante la (6).
Unità didattica
Analisi dell’esperimento dal punto di vista didattico
Per quanto osservato nella sezione precedente, lo studio dell’attrito dinamico si presta ad essere
usato per obiettivi generali e metodologici più che per la comprensione del fenomeno fisico, che in
questo caso è molto semplice e fa parte dell’esperienza quotidiana dello studente.
In particolare, dal punto di vista metodologico, l’esperimento richiede l’uso del fit, lineare o
polinomiale, la capacità di interpretare i grafici per riconoscere un moto uniforme o accelerato,
l’accortezza operativa di estrarre i dati dai filmati volta per volta per interpretarli e apportare
eventuali correzioni alle modalità dell’esperimento (ad esempio scegliere una diversa massa del
grave o scegliere una superficie più omogenea).
Dal punto di vista generale, permette di capire il significato di legge fenomenologica e di
approssimazione.
5
Per progettare l’intervento didattico descritto di seguito, si dovrebbero completare le misure descritte
nella sezione sperimentale, trovando almeno due superfici adatte, e cercando i corrispondenti valori
per le masse (sia del grave sia dell’oggetto) adatti alla misurazione del coefficiente di attrito.
Come “grave” si è scelto la vite di massa regolabile con i bulloni, in modo da evitare l’attrito dell’aria
e introdurre eccessive complicazioni, sia fisiche sia matematiche, che ostacolerebbero la
comprensione dei punti essenziali, e che possono essere introdotte eventualmente in un secondo
tempo, a seconda del tempo a disposizione e delle capacità della classe.
Visto che l’attrito si tratta solitamente prima del moto di rotazione dei corpi rigidi, è opportuno usare
una carrucola di massa trascurabile rispetto alle masse del grave e dell’oggetto, per evitare di dover
dare la correzione alla (6) con la massa M’ senza poterla giustificare.
Proposta di percorso didattico
Prerequisiti: seconda legge della dinamica, rappresentazione grafica della legge oraria, moto
uniforme e uniformemente accelerato, fit
Obiettivi: vedi note precedenti
Percorso (5h):
 presentazione in classe del problema dell’attrito come fenomeno microscopico complesso che
richiede una descrizione macroscopica approssimata (1h)
 studio del moto di un oggetto di massa fissa sulla stessa superficie per diverse forze applicate
(diversi pesi del grave) (1h)
 analisi dei dati: riconoscimento del moto uniformemente accelerato e prima ipotesi sulla
costanza della forza di attrito (1h)
 studio del moto con la modalità precedente, variando la massa dell’oggetto
 analisi dei dati: conferma del moto accelerato e scoperta della proporzionalità tra forza di
attrito e peso dell’oggetto (1h)
 studio del moto con la modalità precedente, con gli stessi valori per la massa dell’oggetto ma
cambiando superficie
 analisi dei dati: il coefficiente di proporzionalità tra forza di attrito e peso dell’oggetto
dipende dalle superfici a contatto (1h)
Eventuali sviluppi:
 ripetizione dell’esperimento su un piano inclinato: scoperta della proporzionalità tra forza di
attrito e componente normale della risultante delle forze agenti sull’oggetto
 ripetizione dell’esperimento con il bicchiere e studio dell’attrito viscoso
6