Formula di Bayes - UniFI

Formula di Bayes
G. M. Marchetti
Marzo 2017
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Formula di Bayes
• Ci sono due ipotesi concorrenti cioè due eventi
complementari, es.
S = spam,
S̄ = non spam
che a priori hanno probailità diverse
Pr(S) = 0.10,
Pr(S̄) = 0.90
• C’è un evento conseguenza che può essere causato da entrambi,
es.
E = il messaggio contiene la parola gratis
ma la probabilità è diversa sotto le due ipotesi, es.
Pr(E | S) = 0.8,
Pr(E | S̄) = 0.05
• Se si osserva la conseguenza E , qual è la probabilità che la
causa sia S?
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Probabilità a posteriori
• La probabilità cercata è
Pr(S | E ) = Pr(spam | il messaggio contiene la parola gratis)
viene detta probabilità a posteriori
Pr(E | S) Pr(S)
Pr(E | S) Pr(S) + Pr(E | S̄) Pr(S̄)
0.8 · 0.1
=
' 0.64
0.8 · 0.1 + 0.05 · 0.9
- Il controllo anti spam segnala lo spam perché la probabilità a
posteriori è > 0.5
Pr(S | E ) =
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Previsione del sesso della nascitura
• L’analisi con l’ecografia fatti alla fine del terzo mese permette
di prevedere il sesso della nascitura.
• Gli errori fatti dal radiologo non sono simmetrici.
• Se + significa previsione = bambina
• le bambine sono sempre identificate correttamente:
Pr(+ | F ) = 1
• i bambini hanno probabiltà di essere classificati male
Pr(+ | M) = 0.25
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• A una partoriente vien detto che avrà una bambina. Qual è la
probabilità che effettivamente sia una femmina?
• Supponiamo che il 48% delle nascite siano di bambine, cioè
Pr(F ) = 0.48
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Soluzione
Dati
• Pr(+ | F ) = 1
Pr(F ) = 0.48
• Pr(+ | M) = 0.25
Pr(M) = 0.52
Pr(+ | F ) · 0.48
Pr(+ | F ) · 0.48 + Pr(+ | M) · 0.52
1 · 0.48
=
= 0.787
1 · 0.48 + 0.25 · 0.52
Pr(F | +) =
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Test diagnostici
• L’HIV ha una prevalenza nella popolazione di 1/1000.
• Un test per l’HIV ha il 95% di sensibilità (probabilità di dare
esito positivo se hai l’HIV) e il 98% di specificità (probabilità
di dare esito negativo se non hai l’HIV).
• Il signor Rossi risulta positivo al test. Qual è la probabilità che
abbia l’HIV?
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Soluzione
Dati
• Pr(+ | HIV ) = 0.95
• Pr(− | HIV ) = 0.98
• Pr(+ | HIV ) = 0.02
Pr(HIV ) = 0.001
Pr(HIV ) = 0.999
Pr(+ | HIV ) Pr(HIV )
Pr(+ | HIV ) Pr(HIV ) + Pr(+ | HIV ) Pr(HIV )
0.95 · 0.001
=
' 0.045
0.95 · 0.001 + 0.02 · 0.999
Pr(HIV | +) =
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