Didaalgebra nella - Itd

Dida%ca Speciale per l’insegnamento dell’algebra nella scuola secondaria di 1° grado Giampaolo Chiappini -­‐ Is=tuto per le Tecnologie Dida%che -­‐ CNR Lo sviluppo di una dida%ca inclusiva comporta per l’insegnante la capacità di: •  comprendere gli ostacoli aggiun=vi che possono emergere nello sviluppo delle competenze che si vogliono far costruire allo studente (Analisi dei compi= e dei bisogni degli studen=) •  comprendere le abilità, le potenzialità e le preferenze della persona e usarle come riferimento per la progeKazione dell’intervento educa=vo (PEP) e per la ges=one dell’a%vità Lo sviluppo di una dida%ca inclusiva comporta per l’insegnante la capacità di: •  sfruKare le forme di assistenza e le funzioni abilita=ve, compensa=ve e di comunicazione rese disponibili dalla tecnologia per migliorare la prestazione dello studente o il prodoKo della sua a%vità •  realizzare il monitoraggio costante delle prestazioni, degli aKeggiamen=, dei comportamen= dello studente per rilevare i segnali di crescita in riferimento alle potenzialità indicate nel piano educa=vo personalizzato e nel profilo dinamico funzionale. •  Per comprendere meglio cosa concretamente compor= questo =po di dida%ca è necessario declinare le capacità descriKe in relazione ai contenu= e alle competenze della disciplina di riferimento per l’insegnamento e ai bisogni speciali degli studen= che saranno coinvol= nell’a%vità. Contesto dell’analisi •  Disciplina di riferimento: Matema=ca •  Contenuto da apprendere: algebra elementare •  Competenze da sviluppare: operare con espressioni algebriche e equazioni di primo grado padroneggiando gli aspe% conceKuali ineren= ques= ogge% matema=ci •  Classe di riferimento: terza classe della secondaria di 1° grado •  L’insegnante di sostegno e quello di matema=ca ritengono che ci siano le condizioni affinché lo studente possa approcciarsi all’algebra ma che sia necessario un adaKamento dei contenu= e una forte personalizzazione dell’intervento L’insegnante è consapevole del faKo che: •  l’apprendimento dell’algebra non è facile anche per studen= fortemente mo=va= ad imparare la matema=ca •  Emergono mol= ostacoli nel passaggio dall’aritme=ca all’algebra. •  Esempi di ostacoli: Significato da dare alle leKere, Mancanza di chiusura dell’espressione algebrica, Diverso modo di procedere nella soluzione dei problemi , significato da aKribuire alla manipolazione algebrica, significato di uguaglianza condizionata ….. •  Il pensiero algebrico è =picamente un pensiero volto alla generalizzazione. Importanza dei processi di generalizzazione in matema=ca •  I processi di generalizzazione sono molto importan= in matema=ca. •  Per ‘processo di generalizzazione’ intendiamo una serie di a% di pensiero che portano un soggeKo a riconoscere, esaminando casi singoli, l’occorrenza di una regola. •  Riconoscere paKern, individuare somiglianze, collegare fa% analoghi sono a% fonda=vi dei processi di generalizzazione. •  La generalizzazione, non solo quella streKamente inerente all’a%vità matema=ca, è un processo naturale e pervasivo, insito nel nostro modo di ‘guardare’ alle cose. •  «la generalizzazione è il cuore pulsante della matema=ca» (Mason, 1996) Generalizzazione e au=smo •  E’ noto che le persone au=s=che sono prive di quella flessibilità nella generalizzazione che è =pica della mente umana ordinaria. •  Sono imprigiona= in un mondo di deKagli che può portarli ad un difeKo o anche a un eccesso nella generalizzazione Generalizzazione e au=smo •  La forte aKenzione ai deKagli può non consen=re loro di estendere ad una nuova situazione quello che hanno imparato in una altra situazione perché cer= deKagli non sono presen= . •  Se la persona lega la sua azione ad un par=colare deKaglio, può compiere quell’azione in tuKe le situazioni in cui coglie la presenza di quel deKaglio e ciò può provocare grossi problemi Apprendimento dell’algebra e au=smo •  l’apprendimento dell’algebra è cruciale in matema=ca a livello di scuola secondaria. •  Costruire le condizioni per permeKere agli studen= con au=smo di apprendere i conce% e le tecniche di base dell’algebra cos=tuisce pertanto una grossa sfida. •  Per vincerla è necessario meKere la persona au=s=ca nelle condizioni di poter sfruKare tuKe le sue potenzialità e in par=colare le capacità di visualizzazione e di ragionamento visuale e la capacità di seguire una procedura se presentata in modo opportuno allo studente. ProgeKazione di una dida%ca inclusiva dell’algebra •  Nello sviluppo di una dida%ca inclusiva dell’algebra in grado di coinvolgere gli studen= au=s=ci nell’a%vità si dovrà tenere conto: •  Dei “normali ostacoli” che emergono nell’apprendimento dell’algebra •  Degli ostacoli aggiun=vi che dipendono dall’au=smo Studente con bisogni speciali •  Gianni è au=s=co, ha 14 anni e un’età di sviluppo delle competenze in ambito matema=co un po’ al di soKo dell’età reale •  Il suo linguaggio orale non è adeguatamente struKurato per l’età •  La comprensione del messaggio verbale richiede tempo di rielaborazione e non sempre avviene •  E’ in grado di usare la lingua scriKa. •  La comprensione mediante rappresentazioni di =po visuale è buona. Studente con bisogni speciali •  Sa usare il computer (anche come strumento di comunicazione con l’insegnante basato sulla lingua scriKa). •  AcceKa l’interazione con l’adulto mentre mostra difficoltà a relazionarsi con i coetanei •  Presenta stereo=pie (sfarfallio delle mani ), che compaiono maggiormente nei momen= di maggiore frustrazione, emo=vità e noia. L’insegnante è consapevole del faKo che: •  Gianni presenterà maggiori difficoltà dei compagni nell’apprendimento dell’algebra perché le persone con au=smo possono aver difficoltà nell’astrazione e nel pensiero conceKuale e l’algebra è conceKuale e astraKa. •  Temple Granding ha affermato che l’algebra era per lei pra=camente impossibile perché non riusciva a costruirsi un’immagine visuale dell’algebra. L’insegnante è consapevole del faKo che: •  Le persone au=s=che hanno un’intelligenza diversa e di questo occorre tenere conto nella struKurazione dei compi= •  Mol= au=s=ci si avvalgono di una memoria visuale molto efficace che se ben sfruKata sul piano dida%co può consen=re forme di ragionamento efficaci in ambito matema=co •  Nel progeKare l’a%vità e i compi= da proporre allo studente occorre tenere conto delle sue potenzialità e dei suoi interessi Modello di approccio all’algebra centrato su riconoscimento e analisi di paKern •  Un paKern cos=tuisce un insieme di numeri o di ogge% nel quale tu% i membri sono tra loro collega= aKraverso una specifica regola. •  Lo studio di paKern cos=tuisce un aspeKo cruciale del pensiero algebrico. •  Si vuole portare lo studente au=s=co a riconoscere e analizzare paKern figurali e a compiere generalizzazione su di essi. StruKurazione del primo compito Allo studente viene proposta questa sequenza di figure geometriche. Gli elemen= della sequenza sono numera=. Allo studente vengono poste le seguen= domande. 1 2 3 4 5 6 7 Disegna l’elemento successivo nella sequenza di figure ? Disegna altri tre elemen= nella sequenza di figure? Che figura sarà il 15° elemento? Verifica la risposta. Come può essere ges=to questo compito? Quali azione l’insegnante può compiere se lo studente non si accorge che la stessa figura si ripete nella sequenza dopo 3 item. Esiste una varietà pressoché infinita di compi= di questo =po che possono essere assegna= alla classe e allo studente Secondo =po di compito Allo studente viene proposta questa sequenza di figure composta da tende. Gli elemen= della sequenza sono numera=. Allo studente viene richiesto di costruire la sequenza con dei bastoncini 1 2 3 Vengono poste allo studente le seguen= domande: Costruisci con i bastoncini il prossimo elemento e poi disegnalo sul foglio? Disegna direKamente sul foglio il 5°, 6° e 7° elemento ? Sai dire da quante tende sarà formata il 16° elemento senza disegnare la sequenza di figure, ? Quan= bastoncini servono per costruire il 2° elemento? Quan= bastoncini servono per costruire il 4° elemento? Quan= bastoncini servono per costruire il 10° elemento? In questa tabella per ogni elemento ripor=amo il numero di bastoncini che servono per costruirlo Elemento n° Bastoncini 1 2 2 4 Secondo =po di compito Il passo successivo è l’introduzione della variabile n e la costruzione di una formula per descrivere il comportamento del paKern (2*n). E’ un passo cruciale. Che ostacoli potranno emergere nell’introduzione delle leKere? •  Ci sono state varie esperienze nelle quali studen= au=s=ci hanno mostrato un forte rifiuto nell’uso delle leKere in matema=ca. Messi di fronte a una scriKa come x+7=12, apparivano piuKosto turba=. I numeri appartengono alla matema=ca, le leKere alla scriKura. •  Occorre far compiere loro l’esperienza della necessità delle leKere in matema=ca •  Come potrebbe essere ges=to questo importante passo? •  Quali domande potrebbero maggiormente orientare l’azione dello studente? •  Quali azioni l’insegnante potrebbe compiere in caso di difficoltà dello studente? Terzo compito Allo studente viene proposta questa sequenza di figure. Gli elemen= della sequenza sono numera=. Vengono poste allo studente le seguen= domande: Disegna il prossimo elemento? Disegna sul foglio il 5°, 6° elemento ? Sai dire da quan= blocchi sarà formato il 10° elemento senza disegnare la sequenza di figure, ? Quan= bastoncini servono per costruire il 2° elemento? Quan= bastoncini servono per costruire il 4° elemento? Quan= bastoncini servono per costruire il 12° elemento? 1
2 3 In questa tabella riporta per ogni elemento il numero di bastoncini che servono per costruirlo Elemento n° Bastoncini 1 2 2 4 … … Terzo compito Il passo successivo è l’introduzione della variabile n e la costruzione di una formula per descrivere il comportamento del paKern (3*n). L’aKenzione deve essere portata sulla esplicitazione della regola che permeKe di calcolare il numero di bastoncini che compongono ogni elemento del paKern Quali azioni l’insegnante potrebbe compiere in caso di difficoltà dello studente? Quarto compito Allo studente viene proposta questa sequenza di figure formate da bastoncini. Gli elemen= della sequenza sono numera=. 1 2 Vengono poste allo studente le seguen= 3 domande: Disegna il prossimo elemento? Sai dire da quan= blocchi sarà formato il 12° 4 elemento senza disegnarlo ? Quan= bastoncini servono per costruire il 1° elemento? Quan= bastoncini servono per costruire il 2°, 3°, 4° elemento? Quan= bastoncini servono per costruire il 12° elemento? Questa domanda potrebbe creare molte difficoltà Quarto compito L’individuazione del numero dei bastoncini non è immediata. Occorre individuare una regola per determinarlo. Quali approcci si possono esplorare per individuare la regola? Quarto compito 1+3*n Quarto compito 4+3(n-­‐1) Quarto compito (n+1)+ 2*n Queste tre espressioni sono equivalen= (n+1)+ 2*n 4+3(n-­‐1) 1+3*n Introduzione al calcolo leKerale •  Il quarto compito apre la possibilità di introdurre il calcolo leKerale •  Come potrebbe essere introdoKo? •  Quali =pi di compi= potrebbero essere assegna= allo studente? Il sistema AlNuSet •  Sviluppato nell’ambito di un progeKo comunitario: progeKo ReMath •  È stato progeKato per migliorare l’insegnamento e l’apprendimento dell’algebra, delle funzioni, degli insiemi numerici •  Può essere usato nella scuola secondaria di primo e secondo grado Esploriamo le caraKeris=che di AlNuSet e proviamo a valutarne le potenzialità in relazione ai differen= piani presi in esame Faccio vedere la prima a%vità della prima scheda. La facciamo insieme Scrivi un’espressione che rappresenta il triplo di x e rappresentala sulla reKa algebrica. G. Come si fa a scrivere un’espressione che rappresenta il triplo di x. M. Se non so quanto è x G. x è un qualsiasi numero. Il triplo di quel numero M x per 3 G. bravissima, x per 3 oppure 3 per x (x per 3 viene rappresentato sulla reKa) G. guarda dove è andato a finire M sul 12 G. e perché sul 12? M perché è il triplo del valore di x G. Brava. E qual è il valore di x M. è sul 4 G. e 3 per 4 fa 12 M è vero G. Cosa potrà succedere a questa espressione se trascino x sulla reKa algebrica con il mouse M che cambia anche quella G. questo si può spostare (intendo x*3). Come faccio a spostare M spostando x G. si, spostando x. Bravissima. Prova a spostarlo tu M anche sul meno G. si anche sul meno. Piano piano vai piano. Cosa osservi cosa succede. Se lo por= su 0. Cosa succede M tu% e due sono 0 G. Perché 0 *3 è 0. ha ragione Se x è 1 M è 3 perché 3*1 G. esplora un po’. Se mandi x su 2 M è 6 Perché ….è vero è giusto (intende 3*2) G. se lo mandi su 3 M 9 G. è giusto 3*3 fa 9 Mandalo un po’ su -­‐1. Cosa diventa quello M. mmm -­‐3 G. perché -­‐1 per 3 fa -­‐3 M. è come uno specchio G. sulla scheda = viene faKa una domanda. Secondo te l’espressione che hai scriKo è effe%vamente il triplo di x? M si… G. come fai hai faKo a verificarlo M Spostando x G. si pero potevo anche scrivere un’altra espressione M si sposta sul risultato che dà l’operazione 3* G. vedi che sei bravissima M solo che se me lo chiedevi non sapevo come dirlo G. scrivi un’espressione che indica il successivo del triplo di x M. più 1 G. ridimela M. x*3+1 G. (edito l’espressione e la inserisco sulla reKa algebrica) Vediamo un po’. Quando x è 0 l’espressione 3*x è 0 M. però più 1 diventa 1 G. quando è 1 funziona? M si funziona G adesso stai aKenta, quando x è nega=vo per esempio -­‐1, funziona? AKenta perché c’è un conceKo grosso ora in gioco. Il successivo dice che non è -­‐4 ma -­‐2 M. mmm G. il successivo sta sempre alla destra M. ma li è tuKo al contrario e quindi… G. Per trovare successivo aggiungi a destra di una unità M. mmm…. M. ma il numero più alto è dall’altra parte (intende a sinistra) G. ma non è maggiore è minore. -­‐4 non è più grande di -­‐3 è più piccolo M. mmm G. se io vado a sinistra vado verso numeri più piccoli M. -­‐4 è più piccolo di -­‐3! La logica va a farsi friggere G. no, la logica non va a farsi friggere, c’è una logica in questo. Tu ragioni solo con i numeri posi=vi, occorre ragionare anche con i numeri nega=vi. 4 è più grande di 3 vale per i posi=vi. – 4 non è più grande di -­‐3 è più piccolo. Le cose più grandi sulla reKa dei numeri si collocano a destra. Ci diamo questa logica. L’ordinamento dal più piccolo al più grande avviene così sulla reKa dei numeri Allora – 4? M -­‐4 più piccolo di -­‐3 G. e allora il successivo è giusto che s=a li, non è sbagliato M si è -­‐2 ed è giusto. G. Considera ora questa espressione: x+2*x+1. Cosa potrebbe succedere se tu rappresentassi questa espressione sulla reKa algebrica e trascinassi il punto x? (Non coglie che questa espressione è equivalente a quella precedente, dice qualcosa che non è molto chiaro) Proviamo a rappresentarla sulla reKa e vediamo cosa succede? M La me%amo su 0 (intende la x). E.. si … aspeKa G. Cosa succede se muoviamo la x? M. quello che ho deKo io che va in su di 2, no di 3 G. Va in su di 3 rispeKo a cosa? M. a x. G. No, non va su di 3. M. Però tu prima hai deKo che se meKe x su 5 o su 10. G. si, io lo meKo su 5. Eccolo qua, ora lo porto su 5 e lui dove va a finire. M. dovrebbe andare su 6, il successivo. G. No, non il successivo di quel numero, ma del suo triplo. M. ah, si G. Però vedi che ques= due sono sempre nello stesso post-­‐it. E ques= sono sempre uno in più di x*3 M perché c’è più 1 G. Si perché c’è più uno, ma allora queste due espressioni sono equivalen= M si… (è un si indeciso, non molto sicuro) M, no (più deciso) M. Si però, scriKe così …(intende sono diverse) (comincia ad afferrare il conce7o che due espressioni possono essere equivalen:– perché rappresentano gli stessi valori al variare della variabile-­‐ anche se hanno una forma diversa!!! ) G. Se sono uguali posso trasformarle l’una nell’altra. G. Se riesco a trasformarle l’una nell’altra allora dimostro che sono uguali. G. le riesco a trasformare usando queste regole (del manipolatore) M. Usando le regole, si G. e come posso fare Applico questa proprietà che è questa del.. M Del per 1 (elemento neutro) G. Qualsiasi numero mol=plicato per 1 man=ene lo stesso valore. G. questa è la regola che dice che a*b=b*a. M. è vera! G è vera si. G a questo punto vi è questa regola che si chiama distribu=va M che non me la ricordo mai. G che = dice, che se io ho un numero che mol=plica una certa somma è come se se io facessi la somma dei vari prodo% parziali. Se seleziono questo (1*x+2*x), torno indietro lo uso in modo inverso: (1+2)*x M. e dove è andata a finire l’altra x? G. L’ho raccolta. Vedi cosa dice la regola, ciò che qua è la x nella regola è a. La a per un valore B1 che è 1 e B2 che è 2, è come dire a *(1+2) (termino la trasformazione con tu% i passaggi. Marta segue quello che faccio. Le regole che introduco le ha già sen=te, non ha mai capito a cosa possano servire, ora comincia a capire quale potrebbe essere la loro importanza) M. Andiamo a vedere non mi ricordo come era (intende l’espressione x*3 +1 inserita sulla re7a nei numeri) G. 3*x è uguale a x*3 perché lo posso tras.. Applichiamo una regola che è questa che me la trasforma M. e allora abbiamo dimostrato.. G. abbiamo dimostrato una cosa G. questo è il primo esercizio che farai domani. Faremo cose di questo =po. Come vedi non sono cose…. M. Basta che …. G. Sono cose su cui è possibile ragionare. Tu queste cose le puoi fare bene. Non = si richiede di fare calcoli M. però ci sono le regole. G. o ma le regole le fa lui. Le regole ce l’hai qua. Tu devi saperle applicarle M. eh… G. si = insegno ad applicarle. Però tu puoi fare questa algebra, puoi fare questa matema=ca. M. Okey G. Okey? Volevo intanto rassicurar= sulle cose che faremo. Ora tu lo sai, sulla ques=one dei numeri sei così, sarai così..ognuno di noi è faKo in una certa maniera. M. L’importante che non centri sull’intelligenza. Mi hanno deKo che il mio QI… G. Tu sei molto intelligente, tuKe le cose le hai capite al volo e io capisco quando uno è molto intelligente. Hai faKo interven= su cose molto importan= anche quando hai deKo che non capivi quella cosa li dell’aggiungere e togliere, perché vi è una notazione che spesso nella scuola non viene chiarita, perché il segno meno ha due significa= in matema=ca ma molto spesso gli insegnan= non lo fanno vedere. M. perché si pensa che sia sempre togliere G. serve a definire anche un certo =po di numero. Hai capito..