Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
Sistema di numerazione e operazioni aritmetiche
nell’antica Cina
Per quanto riguarda la conoscenza
non è la quantità che importa, ma
il fatto di esaminare con cura ciò che si conosce.
Xunzi (filosofo, 310 a.C.)
Le matematiche fanno parte delle sei arti;
gli antichi le utilizzavano per selezionare
le persone di talento, per istruire i figli degli alti dignitari.
Comunque vengano chiamate “le nove parti delle matematiche”
danno la capacità di esaurire le sottigliezze, di penetrare le cose più piccole,
di esplorare senza limiti
(Liu Hui, circa 263)
1. Introduzione
Contrariamente a quanto generalmente si pensi la matematica cinese non è più antica del XIV
secolo a.C. Sono stati infatti ritrovati documenti contenenti i numerali cinesi in alcune iscrizioni
divinatorie su ossa databili dal XIV all’XI secolo a. C. e in monete di bronzo risalenti al X-III
secolo a.C.
Nello sviluppo delle conoscenze matematiche si possono individuare sostanzialmente quattro
periodi principali.
z Opere matematiche specializzate cominciarono da apparire sotto la dinastia Han (206 a.C. –
220). Il più antico testo espressamente matematico di cui disponiamo attualmente è Jiuzhang
suanshu, cioè I nove capitoli sui procedimenti matematici1 scritto tra il I secolo a.C. e il I secolo
della nostra era. Si tratta di una raccolta di problemi suddivisi per tipologie che ebbe un’influenza
sulla matematica cinese successiva che si può paragonare a quella degli Elementi di Euclide in
Occidente. L’approccio alla matematica è però lontano da quello ipotetico deduttivo euclideo, i
problemi infatti sono affrontati con metodi numerici e algoritmici. Numerosi e importanti furono i
commentatori nei secoli successivi che sottoposero quest’opera a un’analisi filologica,
metodologica e matematica: fra questi si possono citare Liu Hui (circa 263), Zu Kengzhi (VI sec.)
Li Chunfeng (VII sec.) e Yang Hui (1261).
Alcuni storici hanno creduto di poter spiegare la ragione dell’interesse dei cinesi per i problemi e
per gli algoritmi con una visione utilitaristica della matematica: i problemi a loro parere
descrivevano situazioni derivate dalla pratica quotidiana e dalla vita sociale e le liste di operazioni
fornivano ai tecnici il modo di affrontare queste situazioni e di risolvere i problemi connessi. La
storica della matematica cinese Karine Chemla, ben lungi dal sottoscrivere questa opinione,
sostiene che motivazioni di ordine filosofico hanno giocato un ruolo non secondario nello spingere i
matematici cinesi a consacrare gran parte dei loro sforzi agli algoritmi,
“Non si tratta, insistiamo, – scrive Chemla – di negare che queste procedure siano state adoperate per
risolvere problemi concreti. Invece, la scelta di trasformare (lett.: fondere) la matematica in algoritmi non mi
1
Cfr. S. Kangshen, J. Crossley, A. Lun, The Nine Chapters on the Mathematical Art. Companion and
Commentary, Oxford, University Press, 1999 e la più recente edizione K. Chemla,G. Shuchun, Les neuf
Chapitres. Le Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Paris Dunod 2004.
1 Livia Giacardi
Gruppo di lavoro con le maestre pare che possa essere ridotta al carattere di maneggevolezza che queste liste di operazioni potevano
presentare agli occhi dei loro fruitori. Molti indizi infatti tendono a valorizzare questa tesi.”2
In primo luogo afferma Chemla gli algoritmi in quanto sequenze di operazioni che trasformano
progressivamente i dati del problema hanno rappresentato per certi matematici della Cina antica
l’incarnazione nella matematica delle “mutazioni” che operano su tutta la realtà. Essi citano il Libro
delle mutazioni (Yijing) più di ogni altro testo classico e questo sembra indicare che, guardate dal
punto di vista delle trasformazioni, le matematiche sono sottoposte agli stessi principi che
governano la realtà. In secondo luogo il Libro delle mutazioni mostra come le trasformazioni che
operano incessantemente nel mondo accadono per interazione di due principi opposti, ma
complementari, lo yin e lo yang, le cui manifestazioni si diversificano a seconda del dominio in cui
le si osserva. Ora, afferma Chemla, è in quest’ottica che operazioni opposte, ma complementari,
giocano un ruolo cruciale nella matematica della Cina antica. Un esempio significativo è costituito
dal ruolo particolare riservato alla moltiplicazione e alla divisione (vedi più avanti).
L’opera I nove capitoli sui procedimenti matematici consta di 246 problemi con le relative soluzioni
ripartiti in buona sostanza a seconda degli algoritmi risolutivi. Lo schema generalmente seguito è quello
“problema-risposta-procedura”.
Capitolo 1: Campo rettangolare (fang tian): presenta gli algoritmi per calcolare l’area delle figure
geometriche fondamentali o “campi” quali il rettangolo, il triangolo, il cerchio, ecc. Descrive inoltre gli
algoritmi per effettuare i principali calcoli sulle frazioni.
Capitolo 2: Miglio e grano spulato (sumi): si apre con la presentazione di un algoritmo fondamentale
per la trattazione successiva, cioè la regola del tre e alcune sue applicazioni. Si fornisce anche sotto
forma di lista una tavola di nomi di granaglie ciascuno accompagnato da un valore numerico che precisa
l’equivalenza ufficiale dei differenti tipi di granaglie, rimandando così a un contesto amministrativo di
commercio e di prelevamento di imposte.
Capitolo 3: Parti pesate secondo il grado (shuaifen): si presentano due procedure: quella delle “parti
pesate secondo il grado” che consente di effettuare una suddivisione in parti non uguali di pesi
rispettivamente dati, e la “procedura di inversione dei coefficienti di peso” che permette di dividere un
tutto in parti inversamente proporzionali a quantità assegnate. La finalità di queste procedure riguarda la
distribuzione di gratificazioni tra funzionari di status differente.
Capitolo 4: Piccola larghezza (shao guang): si tratta principalmente della divisione e si presenta
l’algoritmo dell’estrazione di radice.
Capitolo 5: Discussione di opere (shang gong): riguarda soprattutto l’esecuzione di opere pubbliche e
descrive algoritmi per il calcolo del volume dei principali solidi: prisma a base trapezoidale,
parallelepipedo, cilindro, piramide e tronco di piramide a base quadrata, tetraedro, cono e tronco di
cono, …
Capitolo 6: Pagamento delle tasse in modo equo in funzione del trasporto (junshu): affronta il
problema di un’equa distribuzione di tasse e di compiti tra varie unità amministrative, del pagamento dei
funzionari. Gli strumenti matematici sono quelli presentati nel capitolo 2 e 3.
Capitolo 7: Eccesso e difetto (ying bu zu): si presenta la cosiddetta “regola della doppia falsa
posizione”.
Capitolo 8: Disposizione di quantità in righe e colonne (fangcheng): viene descritto un algoritmo per
risolvere sistemi di n equazioni lineari in n incognite, ma essendo la procedura piuttosto complessa è
solo nell’XI secolo che Jia Xian la presenterà in modo più astratto. L’algoritmo corrisponde all’uso di
una notazione matriciale e il processo di eliminazione delle incognite ha a che fare con la
trasformazione di matrici. Equivale al metodo di eliminazione di Gauss.
Capitolo 9: Base e altezza (gougu): base e altezza sono i cateti di un triangolo rettangolo. Si enuncia il
2
K. Chemla, Le réel en Mathématiques : Quelques Vues Prises De Chine Ancienne, Associazione Subalpina
Mathesis, Conferenze e Seminari 2006-2007, Torino, Kim Williams Books, 2007, pp. 159-181.
2 Livia Giacardi
Gruppo di lavoro con le maestre teorema di “Teorema di Pitagora” ma sotto forma algoritmica. Vengono presentati 24 problemi relativi
ai triangoli rettangoli .
I calcoli vengono eseguiti con le bacchette su apposite tavole da calcolo. Si usano i numeri negativi,
ma solo nei passaggi intermedi, mai come soluzione finale di problemi. z Sotto le dinastie Sui (518-617) e Tang (618-907) la matematica era insegnata ufficialmente:
gli studenti seguivano un periodo di studio di nove anni e poi affrontavano un esame pubblico di
matematica (mingsuan). Lo studio veniva effettuato sul Suanjing shinshu, cioè I dieci canoni di
matematica una raccolta composta di adattamenti di manuali antichi e di lavori contemporanei. In
questo periodo la diffusione del Buddismo indiano portò in Cina la conoscenza dei numerali indiani
con lo zero rappresentato da un punto. Dopo la dinastia Tang la matematica fu ancora insegnata con
discontinuità fino al XII secolo, ma dopo di allora non giocò più un ruolo significativo
nell’educazione cinese fino alla metà del XIX secolo. Lo stato sociale dei matematici era
generalmente basso.3
z Il breve periodo che va dalla tarda dinastia Song agli inizi della dinastia Yuan che copre
sostanzialmente il XIII secolo è generalmente considerato l’età dell’oro della matematica cinese
creativa tanto che si è parlato di Rinascimento. Scrive in proposito Chemla:
“In che senso si può parlare di Rinascimento? L’aspetto più evidente sembra essere un rinnovato interesse
per i testi del passato tramandati come canoni, un fenomeno generale in quell’epoca e che non riguarda
soltanto la matematica… Un … segno del grande valore attribuito dagli studiosi di matematica di epoca
Song ai testi antichi è la ripresa dell’attività di commento … al testo considerato sempre come il più
importante, i Nove capitoli … esprimendo anche la necessità che i testi danneggiati venissero ripristinati
senza aggiunte arbitrarie. In questo senso si può ben dire che ad opera di alcuni personaggi dell’epoca si
assiste ad un vero e proprio ‘Rinascimento’.”4
In questo arco temporale furono introdotti nuovi strumenti computazionali o perfezionati vecchi
metodi. In particolare:
- è perfezionato il sistema di numerazione posizionale con il simbolo dello zero rappresentato
da un piccolo cerchio, e con rilievo alle frazioni decimali;
- è utilizzato il triangolo aritmetico per il calcolo delle potenze del binomio;
- è utilizzato il “metodo per estrarre radici mediante addizioni e moltiplicazioni” (zeng-cheng
kaifang fa), metodo numerico simile a quello noto come “Ruffini-Horner” per la soluzione
approssimata di equazioni polinomiali;
- è elaborato un metodo detto della “grande espansione” (dayan) per risolvere sistemi di
congruenze lineari (teorema, o meglio algoritmo, cinese dei resti ) e ne vengono date varie
applicazioni a problemi di carattere economico e amministrativo;
- fa la comparsa una tipica tecnica algebrica cinese “la procedura dell’elemento celeste”
(tianyuan), il cui oggetto matematico sono i polinomi in un’incognita; essi sono
rappresentati come colonne di numeri corrispondenti ai coefficienti delle successive potenze
dell’incognita e si opera su di essi come fossero numeri; …
3
Cfr. J.C. Martzloff, Chinese mathematics, in I. Grattan-Guinness (editor), Companion Encyclopedia of the History and
Philosophy of the Mathematical Sciences, London, Routledge 1994, I, pp. 93-103; Pang Wei, Istituzioni scolastiche e
produzione di testi, in Storia della Scienza, vol. II Cina, India, Americhe, Roma, Istituto della Enciclopedia Italiana,
2001, Cap. VIII.
4
K. Chemla, La rinascita della matematica e la tarda tradizione settentrionale,in Storia della Scienza, vol. II Cina,
India, Americhe, cit., p. 328.
3 Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
Le ragioni di questa fioritura della matematica cinese sono ancora sconosciute, ma l’ipotesi di
uno sviluppo puramente autonomo sembra poco verosimile e vari studi degli storici hanno
cercato di individuare le influenze esterne.
z Sotto la dinastia dei Ming (1368-1644) le principali conquiste delle epoche precedenti caddero
in oblio. Nella matematica fu introdotto l’abaco che soppiantò le bacchette da calcolo segnando
anche il declino della matematica cinese classica, i cui algoritmi che trovavano nelle bacchette
uno strumento estremamente versatile, mal si adattavano o non si adattavano affatto all’abaco.
L'abaco cinese
L'abaco cinese più diffuso è diviso in due parti,
una superiore con 2 palline di valore 5 per ogni
asticella, e una inferiore con 5
palline di valore 1 per ogni asticella.
Ogni asticella rappresenta una
posizione decimale a partire da destra.
Nell’abaco in riposo le palline
della fila superiore sono in alto
e quelle della fila inferiore sono in basso.
In figura è rappresentato il numero 46802
Abaco in riposo
Verso la fine della dinastia Ming la China venne in contatto con la matematica occidentale
attraverso le due successive ondate di traduzioni ad opera dei missionari cristiani.
2. Il sistema di numerazione
Sono state trovate le tracce di un primo sistema di numerazione intorno al XIV sec. a. C., ma
nella matematica cinese antica è fondamentale l’apparizione delle bacchette da calcolo e
dell’aritmetica basata sul loro uso che furono utilizzate senza interruzione dal 500 a.C. fino al
1500 circa quando furono sostituite dall’uso dell’abaco.
Le bacchette erano dei bastoncini di bamboo di circa 2.5 mm di diametro e della lunghezza di
circa 15 centimetri come appare da alcuni testi che li descrivono e dai reperti di scavi effettuati
nel 1971 in Xuyang.
4 Livia Giacardi
Gruppo di lavoro con le maestre Matematico che esegue calcoli con le bacchette (1716)
Il sistema era decimale posizionale. I numeri venivano “scritti” con le bacchette usando nove
segni base e le bacchette erano disposte in tavole, probabilmente sulla stoffa (in modo che
potessero essere arrotolate) o sulla carta dopo la sua invenzione nel II secolo. Il valore dei vari
segni dipende dalla posizione occupata sulla tavola.
Per evitare errori di “lettura” dei numeri venivano usate due serie di nove segni rappresentanti le
cifre da 1 a 9: nella prima le bacchette sono disposte verticalmente e nella seconda
orizzontalmente come in figura. L’orientazione delle bacchette veniva cambiata passando da un
ordine numerico all’altro, così si usavano le bacchette verticali per “scrivere” le unità, le
centinaia, … e quelle orizzontali per le decine, migliaia, … Si osservi l’unica eccezione
costituita dal rappresentare il 5 con una sola bacchetta orizzontale nella prima serie e verticale
nella seconda.
Si lasciava uno spazio bianco per lo zero.
Esempi:
46 5 Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
1234
60390
Dalla rappresentazione dei numeri con le bacchette sulle tavole si passò in un secondo tempo alla
numerazione scritta e nell’VIII secolo si introdusse un piccolo cerchio a rappresentare lo zero.
Il matematico Qin Jiushao (1202-1261) nella sua opera “Scritti sui numeri in nove capitoli”
(Shushu jiuzhang) usa le due serie di simboli.
In questa opera compare anche la notazione delle frazioni:
Esempio:
In alcuni testi matematici del XIII secolo compare anche la notazione dei numeri negativi che
vengono indicati tagliando l’ultima cifra con un tratto obliquo, così:
‐522 L’aritmetica con le bacchette è la base della
matematica cinese classica. Le operazioni sono
effettuate manipolando le bacchette su una tavola da
calcolo.
La figura a lato è tratta dal frontespizio dell’opera di
Zhu Shijie Prezioso Specchio dei quattro elementi
(1303) ed è intitolata
“Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati
moltiplicatori”. Rappresenta il triangolo aritmetico e
riporta i coefficienti binomiali fino all’ottava
potenza.5
5
J. Needham, Science and Civilisation in China, vol. III, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth,
Cambridge, University Press, 1959, pp. 133-137.
6 Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
I numeri sono espressi con la notazione delle bacchette e lo zero è rappresentato da un piccolo cerchio. 3. Le operazioni
L’addizione e la sottrazione venivano effettuate direttamente tenendo presente che 5 bacchette
devono essere sostituite da una per le cifre superiori a cinque.
Per distinguere i numeri negativi da quelli positivi si usavano bacchette nere e rosse
rispettivamente (Liu Hui).
Vediamo su alcuni esempi ora come venivano eseguite le moltiplicazioni e le divisioni.
3.1 La moltiplicazione
Si voglia moltiplicare 57 per 32.
Nel manuale Sunzi suanjing del IV-V sec. il procedimento è descritto così:
“Posiziona il moltiplicando nella fila superiore e il moltiplicatore in quella inferiore, il prodotto nella riga
fra le due precedenti. Bisogna poi fare attenzione al modo di posizionare le cifre”.
ESEMPIO 1
Si sistemi 57 in alto e 32 in basso. Il risultato si scrive nella riga di mezzo. Il calcolo utilizza la
proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
Algoritmo della moltiplicazione
Si sposti il numero 32 di un posto verso sinistra (b), perché 57 contiene cifre nella posizione
delle decine (si scalerebbe dunque di due posti se il numero superiore comportasse tre cifre).6
Si parta dalla cifra più alta di 57, cioè 5 [ decine] e la si moltiplichi con le decine e le unità di 32,
separatamente, e si posizionino opportunamente i numeri ottenuti (c).
Si addizionino i risultati: 1600. Si rimuova ora la cifra più alta del moltiplicando e si riporti 32 al
suo posto (d).
Si moltiplichi ora l'unità 7 di 57 per le decine e le unità di 32 separando come prima le decine
dalle unità.
6
In generale il numero in basso si sposta di n posti verso sinistra se il numero in alto è compreso fra 10n e 10n+1.
7 Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
Si addizionino infine tutti i numeri della riga di mezzo per trovare il risultato finale:
57 × 32 = 1824.
Confrontiamo l’algoritmo cinese con il nostro:
ESEMPIO 2
I passaggi dell’algoritmo della moltiplicazione
rispecchiano la proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all’addizione:
205× (70+2) =
= 205×70 + 205×2 = 14350+410.
Entrambi gli algoritmi sono basati sul principio posizionale e utilizzano la proprietà distributiva. Mentre
nel nostro algoritmo il calcolo procede dalle unità agli ordini superiori, quello cinese procede dagli
ordini superiori a quelli via via inferiori.
3.2 La divisione
Nel manuale Sunzi suanjing precedentemente citato è scritto:
“Nella divisione inverti l’ordine posizionando le bacchette nella riga superiore per il quoziente, in quella di
mezzo per il dividendo e in quella inferiore per il divisore”.
ESEMPIO 3
Nell’ESEMPIO 1 abbiamo moltiplicato 57 × 32 ottenendo 1824. Ora dividiamo 1824 per 32:
L’algoritmo prescrive di disporre il dividendo nella riga di mezzo e il divisore al disotto.
1
8
2
4
3
2
Si sposti verso sinistra il divisore in modo che la più alta cifra del divisore sia sotto la più alta cifra del
dividendo. Poiché il 32 non è contenuto nel 18, occorre spostare il 32 di un posto verso destra.
8 Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
1
8
3
2
2
4
La divisione 182: 32 produce la cifra 5 che deve essere posta nella riga superiore
5
1
8
2
3
2
4
Ora moltiplico 5 per 3 e per 2 e sottraggo i risultati parziali dalla riga di mezzo tenendo conto della
posizione:
5×3 = 15
5×2 = 10
5
3
2
3
2
4
1824 -1500 = 324
5
3
2
3
2
4
324 – 100 = 224
5
2
2
3
2
4
Faccio retrocedere di un posto il 32
5
2
2
4
3
2
La divisione 224 : 32 produce la cifra 7 che posiziono nella riga superiore.
Moltiplico 7 per 3 e per 2 e sottraggo i risultati parziali dalla riga di mezzo tenendo conto della
posizione:
7×3 = 21
7×2 = 14. Sulla tabella si legge il risultato: 57.
5
7
1
4
3
2
5
7
3
2
ESEMPIO 4
9 Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
Si voglia dividere 1312 per 23.
Si posizioni il dividendo nella riga di mezzo, si sistemi poi il divisore nella riga sottostante in modo che
la più alta cifra del divisore sia sotto la più alta cifra del dividendo. Poiché però 13 è più piccolo di 23 lo
si sposta di una posizione verso destra. Si calcoli ora la prima cifra del quoziente: 5. Si sottragga il
prodotto di 5 [decine] per 23 dal dividendo [1312 – 1150], si ottiene il primo resto 162. Si faccia
scorrere il divisore di un posto a destra. Si calcoli la seconda cifra del quoziente [162 : 23], si ottiene 7.
Si sottragga il prodotto di 7 per 23 dal primo resto [162 – 161] si ottiene il secondo resto 1.
Il risultato è 57 + 1/23. Il numero misto era rappresentato con le bacchette mettendo la parte intera nella
riga superiore, il numeratore e il denominatore della parte frazionaria rispettivamente nella riga di
mezzo e in quella inferiore.
Confrontiamo l’algoritmo cinese con il nostro:
Il nostro algoritmo è chiamato a danda e si trova alla
fine del II libro del General Trattato (1556) di
Tartaglia. Il termine deriva dal fatto che occorre dare
una nuova cifra quando si è sottratto un prodotto
parziale.
Il prodotto di 5 [decine] per 23 viene effettuato con
l’algoritmo illustrato sopra per la moltiplicazione
e pertanto si moltiplica 5 [decine] successivamente
per 2 [decine] e poi per 3 [unità]: 1000+150.
Si sottrae ciascuno dei risultati parziali dal numero
che compare nella riga di mezzo al disopra della cifra
moltiplicata.
nella seconda.
L’algoritmo cinese per la divisione riproduce all’inverso quello della moltiplicazione:
10 Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
il risultato nel caso della moltiplicazione si trova nella riga di mezzo, nel caso della divisione nella riga
superiore; nella moltiplicazione nella riga superiore si tolgono via via le cifre man mano che si procede,
mentre sono aggiunte una ad una nella divisione; nella riga di mezzo, nella moltiplicazione si aggiunge
il prodotto di una cifra di sopra per il numero di sotto, mentre nella divisione si sottrae.
Si possono vedere i singoli passaggi in parallelo confrontando gli ESERCIZI 1 e 3.
Un algoritmo molto simile a quello della divisione era usato per l’estrazione di radice.
Il calcolo con le bacchette rappresentava anche strumento molto utile anche per risolvere sistemi di
equazioni lineari perché vi associava automaticamente quella che per noi è la matrice del sistema.
Gli esagrammi di Fu-hi e la base 2
L’origine della numerazione binaria si fa risalire al testo sapienziale Yijing o Libro delle mutazioni (300
a.C.) attribuito all’imperatore Fu-hi. Opera di carattere filosofico, teologico e astronomico, era utilizzata
anche nelle pratiche mediche e nell’arte divinatoria.
Il Libro delle mutazioni mostra come tutte le trasformazioni che operano incessantemente nel mondo
avvengono per l’interazione di due principi lo Yin (l’oscurità, il male, … ) e lo Yang (la luce e il
bene,…), opposti, ma complementari. Lo Yin era anche rappresentato con una linea spezzata, mentre lo
Yang con una linea intera. Dalla combinazione dei due segni possiamo formare 8 trigrammi (cova) e
disponendo due trigrammi uno sull’altro si costruiscono i 64 esagrammi seguenti.
11 Gruppo di lavoro con le maestre Livia Giacardi
Il filosofo e matematico G. W. Leibniz interpretò (1703) gli esagrammi di Fu-hi come la scrittura
dei primi 64 numeri naturali in forma binaria attribuendo al segno spezzato il significato di zero e a
quello continuo il significato di uno, e indagò le “mirabili proprietà della diadica” .
Il quadrato magico Lo-shu
Una antica leggenda cinese (risalente almeno al V sec. a-C.) racconta che l’imperatore Yu mentre
camminava lungo il fiume Lo scorse sul dorso di una tartaruga il diagramma sotto raffigurato, che
per questo venne chiamato Lo shu, cioè “diagramma del fiume Lo”. Esso appare di frequente
nell’iconografia e nei testi cinesi in epoche successive con significati magici o divinatori e, a partire
dalla dinastia Song (960-1279), fu chiaramente riconosciuto come un quadrato magico.
Yang Hui (circa 1238-1298) importante matematico dell’epoca d’oro della matematica cinese
nell’opera “Spiegazione dettagliata dei Nove capitoli sui metodi matematici” (Xiangjie jiuzhang
suanfa, 1261) dedica una sezione ai quadrati magici. Nel quadrato sono inseriti i numeri da 1 a 9 in modo che le somme dei
numeri in ciascuna delle tre righe e colonne e delle due diagonali abbiano
lo stesso valore 15.
Grazie alla formula che fornisce la somma dei primi n2 numeri naturali, la
“somma magica” è data da:
3(32 + 1) 30
= = 15,
2
2
2
n(n + 1)
in generale si ha S n =
.
2
S3 =
12 Livia Giacardi
Gruppo di lavoro con le maestre Indicazioni bibliografiche
In lingua italiana si veda:
G. Ifrah, Il sistema posizionale degli intellettuali cinesi, in Storia universale dei numeri, Milano
Mondadori, 1984, pp. 430-439.
E. Luciano, C.S. Roero, Dagli esagrammi di Fo-hy all’aritmetica binaria: Leibniz e Peano, in
Conferenze e Seminari 2003-2004, a cura di E. Gallo, L. Giacardi, O. Robutti, Ass. Sub.
Mathesis, Torino, 2004, pp. 49-69
J. Needham, Matematica, Scienza e Civiltà in Cina, Einaudi, Torino, 1985.
Storia della Scienza, vol. II Cina, India, Americhe, Roma, Istituto della Enciclopedia Italiana, 2001,
pp. 125-155, 328-344.
R. Petti, E. Giusti, All’inizio del conto – LABORATORI, Il Giardino di Archimede Un museo per la
matematica, http://web.math.unifi.it/archimede/archimede/index.html
Altro:
K. Chemla, Les neuf Chapitres. Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses
commentaires, Paris Dunod 2004.
K. Chemla, Le réel en Mathématiques : Quelques Vues Prises De Chine Ancienne, Associazione
Subalpina Mathesis, Conferenze e Seminari 2006-2007, Torino, Kim Williams Books, 2007,
pp. 159-181.
S. Kangshen, J. Crossley, A. Lun, The Nine Chapters on the Mathematical Art. Companion and
Commentary, Oxford, University Press, 1999.
J.C. Martzloff, Chinese mathematics, in I. Grattan-Guinness (editor), Companion Encyclopedia of
the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, London, Routledge 1994, I, pp. 93103.
J. Needham, Science and Civilisation in China, vol. III, Mathematics and the Sciences of the
Heavens and the Earth, Cambridge, University Press, 1959.
Biografie dei principali matematici della Cina antica si possono trovare sul sito:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/Chinese.html
13
